Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesung 24

Zu einer differenzierbaren Hyperfläche  $Y\subseteq {ℝ}^n$  ist für jeden Punkt  $P\in Y$  der Tangentialraum ein Untervektorraum  $T_{P}Y\subseteq {ℝ}^n$  und das Standardskalarprodukt des ${ℝ}^n$ erlaubt über die orthogonale Projektion

${\pi }_P:{ℝ}^n⟶T_{P}Y,$

Daten im umgebenden Raum auf der Hyperfläche zu interpretieren und dadurch wichtige Konzepte für $Y$ einzuführen, wie beispielsweise die tangentiale Beschleunigung, geodätische Kurven, die Krümmung, die kovariante Ableitung eines Vektorfeldes, ein paralleles Vektorfeld und den Paralleltransport. Das Standardskalarprodukt definiert aber auch eine riemannsche Struktur auf $Y$, und es erhebt sich die Frage, ob man die eben erwähnten Konzepte auch intrinsisch, nur durch Kenntnis von $Y$ und ihrer riemannschen Struktur, definieren kann (beispielsweise für die hyperbolische Fläche). Um diese Frage beantworten zu können, muss man eine neue Technik einführen, die sogenannten Zusammenhänge auf einem Vektorbündel und insbesondere auf dem Tangentialbündel einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit. Im Fall einer riemannschen Mannigfaltigkeit ergibt sich in kanonischer Weise der sogenannte Levi-Civita-Zusammenhang (siehe Satz 26.12), mit dem man die oben erwähnten Konzepte intrinsisch erfassen kann.

Zusammenhänge

Es sei $X$ eine reelle differenzierbare Mannigfaltigkeit und

$p:E⟶X$

ein Vektorbündel über $X$, das wir ebenfalls als eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ansetzen. Die Tangentialabbildung ist eine Abbildung $T(p):TE\to TX$, die in dem kommutativen Diagramm

$\begin{array}{cccc}TE& \stackrel{T(p)}{⟶}& TX& \\ \downarrow & & \downarrow & \\ E& \stackrel{p}{⟶}& X& \end{array}$

liegt, und wobei für jeden Punkt  $e\in E$  mit Basispunkt  $x=p(e)$  die lineare Tangentialabbildung

$T_e(p):T_{e}E⟶T_{x}X$

vorliegt. Diese ist surjektiv, was beispielsweise daraus folgt, dass es bei einem Vektorbündel $E$ lokal durch jeden Punkt  $e\in E$  einen Schnitt gibt. Um eine gemeinsame Basis zu haben, fassen wir $T(p)$ als Bündelabbildung

$Tp:TE⟶p^{\ast }TX$

von Vektorbündeln über $E$ auf. Dabei ist

$p^{\ast }TX=E\oplus TX=E{\times }_{X}TX$

die direkte Summe von Vektorbündeln über $X$, siehe Aufgabe 12.24, wobei wir hier $p^{\ast }TX$ als Vektorbündel über $E$ auffassen. Die Faser von $p^{\ast }TX$ über einem Punkt  $e\in E$  mit Basispunkt  $x=p(e)$  ist einfach $T_{x}X$ und die Abbildung in der Faser ist nach wie vor

$T_e(p):T_{e}E⟶T_{x}X,$

wobei es in $p^{\ast }TX$ für jedes  $e\in E$  eine Kopie von $T_{x}X$ gibt.

Bemerkung  

Es sei $p:E\to X$ ein differenzierbares Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $X$. Für eine offene Menge  $U\subseteq X$,  über der $E$ trivialisiert, also die Gestalt  $E{|}_U\cong U\times W$  mit einem $ℝ$-Vektorraum $W$ hat, ist

$T\left(E{|}_U\right)=T(U\times W)=TU\times TW=TU\times W\times W,$

und die Tangentialabbildung zu $p_U:E{|}_U\to U$ ist dabei die Projektion auf $TU$. Als Bündelhomomorphismus über $U\times W$ muss man

$p^{\ast }TU=TU\times W=TU{\times }_U(U\times W)$

und

$T\left(E{|}_U\right)=TU\times W\times W⟶TU\times W$

mit der Projektion auf $TU$ und der zweiten Projektion auf $W$ nehmen.

Definition

Es sei $p:E\to X$ ein differenzierbares Vektorbündel auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $X$. Das Kernbündel des surjektiven Bündelhomomorphismus

$T(p):TE⟶p^{\ast }TX$

über $E$ heißt Vertikalbündel. Es wird mit $V$ bezeichnet.

Das Vertikalbündel ist ein Vektorbündel über $E$ nach Aufgabe 12.19 und zwar ein Untervektorbündel von $TE$.

Lemma

Es sei $p:E\to X$ ein differenzierbares Vektorbündel auf einer $C^2$-differenzierbaren Mannigfaltigkeit $X$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es liegt eine kurze exakte Sequenz

   $0\stackrel{}{⟶}V\stackrel{}{⟶}TE\stackrel{}{⟶}{p}^{\ast }TX\stackrel{}{⟶}0$

   von Homomorphismen von Vektorbündeln über $E$ vor.

2. Für das Vertikalbündel liegt eine Bündelisomorphie  $V\cong p^{\ast }E=E\oplus E$  vor.
3. Für jeden Punkt  $e\in E$  liegt eine kurze exakte Sequenz von Vektorräumen

   $0\stackrel{}{⟶}{E}_{p(e)}\stackrel{}{⟶}{T}_{e}E\stackrel{}{⟶}{T}_{p(e)}X\stackrel{}{⟶}0$

   vor.

Beweis

1. Dies ist klar.
2. Es gibt einen injektiven Homomorphismus von Vektorbündeln

   $p^{\ast }E=E\oplus E⟶TE$

   über $E$, der $(P,u)$,  $u\in E_P$,  auf den Tangentialvektor abbildet, der durch die (vertikale) differenzierbare Kurve

   $ℝ⟶E,t⟼(P,tu),$

   gegeben ist. Unter

   $TE⟶p^{\ast }TX$

   werden diese Tangentialvektoren auf $0$ abgebildet, da ja die repräsentierende Kurve unter $p:E\to X$ auf $P$ abgebildet wird. Daher ist  $E\subseteq V$  und aus Ranggründen liegt eine Isomorphie vor.

$◻$

Häufig ist das Vektorbündel $E$ gleich dem Tangentialbündel von $X$, dann liegt eine kurze exakte Sequenz

$0\stackrel{}{⟶}{p}^{\ast }TX\stackrel{}{⟶}TTX\stackrel{}{⟶}{p}^{\ast }TX\stackrel{}{⟶}0$

vor, und man muss stets sorgfältig unterscheiden, ob man das Tangentialbündel links oder rechts meint.

Bemerkung  

Es sei

$f:{ℝ}^n⟶ℝ$

eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und  $Y=f^{-1}(0)$  die zugehörige differenzierbare Hyperfläche, die in jedem Punkt regulär sei. Das Tangentialbündel $TY$ lässt sich ebenfalls als eine Faser von Funktionen beschreiben, nämlich als

$\begin{array}{cc}TY& =\{(P,u)\mid f(P)=0,{\left(Df\right)}_P\left(u\right)=0\}\\ & =\{(P,u_1,\dots ,u_n)\mid f(P)=0,\sum _{i=1}^n{u}_i\frac{\partial f}{\partial x_i}(P)=0\}\\ & \subseteq {ℝ}^n\times {ℝ}^n,\end{array}$

siehe Aufgabe 10.15. Wir fassen dabei $f$ als Funktion auf dem ${ℝ}^{2n}$ auf, die nur von den ersten $n$ Variablen abhängt, und wir setzen

$g(P,u)=\sum _{i=1}^n{u}_i\frac{\partial f}{\partial x_i}(P).$

Das zweite Tangentialbündel $TTY$, also das Tangentialbündel zu $TY$, können wir entsprechend mit dem totalen Differential zu

$\phi =(f,g):{ℝ}^{2n}⟶{ℝ}^2$

beschreiben, es ist

$\begin{array}{cc}TTY& =\{(P,u,v,w)\mid (P,u)\in TY,{\left(D\phi \right)}_{(P,u)}((v,w))=0\}\\ & \subseteq {ℝ}^{4n}.\end{array}$

Die Jacobi-Matrix, die das totale Differential $D\phi$ beschreibt, ist

$\left(\begin{array}{cccccc}\frac{\partial f}{\partial x_1}(P)& \dots & \frac{\partial f}{\partial x_n}(P)& 0& \dots & 0\\ \sum _{i=1}^n{u}_i\frac{\partial }{\partial x_1}\frac{\partial f}{\partial x_i}(P)& \dots & \sum _{i=1}^n{u}_i\frac{\partial }{\partial x_n}\frac{\partial f}{\partial x_i}(P)& \frac{\partial f}{\partial x_1}(P)& \dots & \frac{\partial f}{\partial x_n}(P)\end{array}\right).$

Dies ergibt neben den beiden Bedingungen für den $TY$, die sich nur auf $P$ und $u$ beziehen, die beiden zusätzlichen Bedingungen an alle Variablen, nämlich

$\sum _{j=1}^n{v}_j\frac{\partial f}{\partial x_j}(P)=0$

und

$\sum _{j=1}^n{v}_j(\sum _{i=1}^n{u}_i\frac{\partial }{\partial x_i}\frac{\partial f}{\partial x_j}(P))+\sum _{k=1}^n{w}_k\frac{\partial f}{\partial x_k}(P)=0.$

Bemerkung  

Es sei

$f:{ℝ}^n⟶ℝ$

eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und  $Y=f^{-1}(0)$  die zugehörige differenzierbare Hyperfläche, die in jedem Punkt regulär sei. Wir knüpfen an die Beschreibung des zweiten Tangentialbündels $TTY$ aus Bemerkung 24.4 mit den dortigen Bezeichnungen an. Das zurückgezogene Tangentialbündel ${\pi }^{\ast }TY$ zu

$\pi :TY⟶Y,$

das zugleich das Vertikalbündel ist, ist

$\begin{array}{cc}V& \cong {\pi }^{\ast }TY\\ & =TY{\times }_{Y}TY\\ & =\{(P,u,z)\mid f(P)=0,\sum _{i=1}^n{u}_i\frac{\partial f}{\partial x_i}(P)=0,\sum _{k=1}^n{z}_k\frac{\partial f}{\partial x_k}(P)=0\}.\end{array}$

Wir müssen bestimmen, wie die tangentiale Abbildung $T(\pi ):TTY\to {\pi }^{\ast }TY$ und wie die Einbettung des Vertikalbündels in $TTY$ aussieht. Nach Aufgabe 24.2 ist

$T(\pi ):TTY⟶{\pi }^{\ast }TY,(P,u,v,w)⟼(P,u,v).$

Der Kern davon ist

$V=\{(P,u,0,w)\mid (P,u,0,w)\in TTY\}\subset TTY,$

wobei man direkt sieht, dass dann $(P,u,w)$ die Bedingung für ${\pi }^{\ast }TY$ erfüllt. Die Bündelhomomorphismen in der kurzen exakten Sequenz

$0\stackrel{}{⟶}{\pi }^{\ast }TY\stackrel{}{⟶}TTY\stackrel{}{⟶}{\pi }^{\ast }TY\stackrel{}{⟶}0$

kann man also in Koordinaten als $(P,u,w)\mapsto (P,u,0,w)$ und $(P,u,v,w)\mapsto (P,u,v)$ schreiben.

Wenn $E$ das triviale Bündel ist, also  $E=X\times {ℝ}^r$,  so gibt es eine direkte Zerlegung (über $E$)  $TE=V\oplus p^{\ast }TX$.  Für jeden Punkt  $e\in E$  repräsentieren dann die Tangentialvektoren  $t\in V$  die vertikalen Richtungen und  $t\in p^{\ast }{T}_{x}X$  die „horizontalen Richtungen“. Für jedes Vektorbündel kann man lokal mithilfe von Trivialisierungen den Tangentialraum $T_{e}E$ in die direkte Summe aus vertikalem Raum und horizontalem Raum zerlegen. Allerdings hängen die horizontalen Unterräume wesentlich von der gewählten Trivialisierung ab und lassen sich nicht ohne Weiteres (im Gegensatz zu den vertikalen Unterräumen, die zusammen das Vertikalbündel bilden) zu einem Unterbündel zusammenfassen. Die Existenz eines solchen Bündels wird durch den Begriff des Zusammenhangs beschrieben.

Definition

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf $X$. Unter einem Zusammenhang auf $E$ versteht man eine direkte Summenzerlegung des Tangentialbündels  $TE=V\oplus H$  in zwei Untervektorbündel $V$ und $H$, wobei  $V\subseteq TE$  das Vertikalbündel ist. Das Unterbündel  $H\subseteq TE$  nennt man das Horizontalbündel des Zusammenhangs.

Ein Zusammenhang wird zumeist kurz als $\mathrm{\nabla }$ bezeichnet, insbesondere, wenn man die durch einen Zusammenhang bestimmten Ableitungsprozesse betonen möchte. Gemäß dieser Definition ist also ein Zusammenhang nichts anderes als ein zum Vertikalbündel komplementäres Unterbündel des Tangentialbündels $TE$. Es gibt einige inhaltlich äquivalente Beschreibungen eines Zusammenhangs. Ein Zusammenhang ist äquivalent zu einem Bündelhomomorphismus (der Vertikalprojektion des Zusammenhangs)

${\pi }_{\text{vert}}:TE⟶V$

mit

${\pi }_{\text{vert}}\circ \iota ={\mathrm{Id}}_V,$

wobei $\iota$ die Einbettung von $V$ in $TE$ bezeichne. Das horizontale Bündel ist dann der Kern von ${\pi }_{\text{vert}}$, und umgekehrt liefert die Summenzerlegung eine Projektion auf die beiden Summanden. Eine solche Summenzerlegung nennt man auch eine Spaltung der kurzen exakten Sequenz. Einen Zusammenhang kann man auf jede offene Teilmenge  $U\subseteq X$  einschränken.

Beispiel

Auf dem trivialen Bündel

$p:X\times W=W_X⟶X,$

wobei $W$ einen reellen Vektorraum der Dimension $r$ und $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit bezeichnet, liegt die kurze exakte Sequenz

$0\stackrel{}{⟶}{p}^{\ast }(X\times W)=X\times W\times W\stackrel{}{⟶}{p}^{\ast }T(X\times W)=TX\times W\times W\stackrel{}{⟶}{p}^{\ast }TX=TX\times W\stackrel{}{⟶}0$

von Vektorbündeln über $X\times W$ vor. Die Produkte werden dabei absolut genommen, wobei links die Identifizierung  $(X\times W){\times }_X(X\times W)=X\times W\times W$  und rechts die Identifizierung  $TX{\times }_X(X\times W)=TX\times W$  vorgenommen wurde. Zu einem Punkt  $(x,w)\in X\times W$  gehört die exakte Sequenz der Fasern, also

$0\stackrel{}{⟶}W\stackrel{}{⟶}{T}_{x}X\times W\stackrel{}{⟶}{T}_{x}X\stackrel{}{⟶}0.$

Die triviale Spaltung dieser kurzen exakten Sequenz von Vektorbündeln nennt man den trivialen Zusammenhang auf dem trivialen Bündel.

Bemerkung  

Es sei

$f:{ℝ}^n⟶ℝ$

eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und  $Y=f^{-1}(0)$  die zugehörige differenzierbare Hyperfläche, die in jedem Punkt regulär sei. Wir knüpfen an die Beschreibung des zweiten Tangentialbündels $TTY$ aus Bemerkung 24.4 und an die Bündelhomomorphismen aus Bemerkung 24.5 an. Durch die orthogonale Projektion ${ℝ}^n\to T_{P}Y$ erhält man die vertikale Projektion

$TTY⟶V=p^{\ast }TY,(P,u,v,w)⟼(P,u,{\pi }_P(w)),$

auf das Vertikalbündel. Durch die orthogonale Projektion gehört ${\pi }_P(w)$ zum Tangentialraum an $Y$, wenn man mit einem Vektor  $(P,u,w)\in V$  startet, so ist in $(P,u,0,w)$ das hintere $w$ automatisch im Tangentialraum, die orthogonale Projektion bildet solche Elemente also auf $(P,u,w)$ zurück ab. Es ergibt sich also ein Zusammenhang auf $TY$.

Vertikale Ableitung

Definition

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf $X$, das mit einem Zusammenhang versehen sei. Unter der vertikalen Ableitung $\mathrm{\nabla }$ versteht man die Abbildung

$\mathrm{\nabla }:C^1(E)⟶C^0(E\otimes T^{\ast }X),s⟼\mathrm{\nabla }(s)={\pi }_{\text{vert}}\circ T(s).$

Zu einem differenzierbaren Schnitt $s$ in $E$ (über $X$ oder einer beliebigen offenen Teilmenge $U\subseteq X$) wird also die Abbildung

$TX\stackrel{T(s)}{⟶}TE\stackrel{{\pi }_{\text{vert}}}{⟶}V\cong p^{\ast }E⟶E$

zugeordnet, wobei wir  $\mathrm{Hom}(TX,E)\cong E\otimes T^{\ast }X$  auffassen.

Wenn zusätzlich ein Vektorfeld $F$ auf $X$, also ein Schnitt $F:X\to TX$ im Tangentialbündel $TX$ gegeben ist, so erhält man die Abbildung

${\mathrm{\nabla }}_F:C^1(E)⟶C^0(E),s⟼{\mathrm{\nabla }}_F(s)=\mathrm{\nabla }(s)\circ F,$

die man die vertikale Ableitung in Richtung $F$ nennt. Man beachte, dass dabei die Abhängigkeit vom Vektorfeld $F$ nur punktweise ist, die Abhängigkeit von $s$ aber infinitesimal ist, da die Tangentialabbildung $T(s)$ eingeht.

Lemma

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf $X$, das mit einem Zusammenhang versehen sei. Es bezeichne

${\mathrm{\nabla }}_F:C^1(E)⟶C^0(E)$

den zugehörigen Ableitungsoperator zu einem Vektorfeld $F$. Dann gelten die folgenden Eigenschaften.

1. $({\mathrm{\nabla }}_F(s))(P)$ hängt nur von $F(P)$ (und $s$ ab).
2. Es ist

   ${\mathrm{\nabla }}_{g_1{F}_1+g_2{F}_2}=g_1{\mathrm{\nabla }}_{F_1}+g_2{\mathrm{\nabla }}_{F_2}$

   für Vektorfelder $F_1,F_2$ und Funktionen $g_1,g_2:X\to ℝ$.

Beweis

1. Zu einem fixierten Punkt  $P\in X$  und einem fixierten Schnitt  $s\in C^1(U,E)$  zu einer offenen Menge  $P\in U\subseteq X$  ist

   ${\mathrm{\nabla }}_F(s)(P)=({\pi }_{\text{vert}}\circ T_P(s))(F(P)).$

2. Die Tangentialabbildung und die vertikale Projektion sind linear. Wegen (1) ist die Abhängigkeit von $F$ linear und auch mit der Multiplikation von Funktionen verträglich.

$◻$

Lemma

Es sei  $Y\subseteq W\subseteq {ℝ}^n$,  $W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei

$F:Y⟶{ℝ}^n$

ein tangentiales Vektorfeld.

Dann stimmt die vertikale Ableitung ${\mathrm{\nabla }}_F$ zum Zusammenhang aus Bemerkung 24.8 mit der kovarianten Ableitung überein.

Beweis

Die vertikale Ableitung längs $F$ des Zusammenhangs eines differenzierbaren Schnittes $s:Y\to TY$ ist

$Y\stackrel{F}{⟶}TY\stackrel{T(s)}{⟶}TTY\stackrel{{\pi }_{\text{vert}}}{⟶}TY.$

Dabei bildet $T(s)$ einen Punkt $(P,u)$ auf $(P,u,s(P),{\left(Ds\right)}_P\left(u\right))$ in der Notation von Bemerkung 24.8 ab und dieses wird auf $(P,{\pi }_P\left({\left(Ds\right)}_P\left(u\right)\right))$ abgebildet. Dies stimmt mit der Definition der kovarianten Ableitung überein.

$◻$

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