Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 25

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $p:E=X\times ℝ\to X$ das triviale Vektorbündel über $X$ vom Rang $1$. Es sei $\omega$ eine $1$-Differentialform auf $X$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Die Abbildung

   $TE⟶p^{\ast }E,(P,u,v,w)⟼(P,u,\omega (P,v)+w),$

   definiert einen Zusammenhang.

2. Die vertikale Ableitung zu dem Zusammenhang ist für stetig differenzierbare Funktionen $f:U\to ℝ$ auf einer offenen Menge  $U\subseteq X$  durch

   $\mathrm{\nabla }(f)(P)=\omega (P)+(df{)}_P$

   gegeben (hierbei identifizieren wir auf beiden Seiten eine reellwertige Funktion $f$ mit dem Schnitt $X⟶X\times ℝ$, $x⟼(x,f(x))$.)

3. Eine stetig differenzierbare Funktion $f:U\to ℝ$ ist genau dann ein horizontaler Schnitt über $U$ bezüglich $\mathrm{\nabla }$, wenn $-f$ eine Stammform zu $\omega$ über $U$ ist.
4. Die Form $\omega$ ist genau dann geschlossen, wenn der Zusammenhang lokal integrabel ist.
5. Die Form $\omega$ ist genau dann exakt, wenn der Zusammenhang global integrabel ist.

Aufgabe

Wir betrachten das triviale Vektorbündel

$p:E={ℝ}^2\times ℝ⟶{ℝ}^2.$

Beschreibe einen Zusammenhang auf $E$ derart, dass es keinen horizontalen Schnitt gibt.

Aufgabe

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $p:E=X\times ℝ\to X$ das triviale Vektorbündel über $X$ vom Rang $1$. Es sei $\omega$ eine $1$-Differentialform auf $X$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Die Abbildung

   $TE⟶p^{\ast }E,(P,u,v,w)⟼(P,u,u\omega (P,v)+w),$

   definiert einen Zusammenhang.

2. Die vertikale Ableitung zu dem Zusammenhang ist für stetig differenzierbare Funktionen $f:U\to ℝ$ auf einer offenen Menge  $U\subseteq X$  durch

   $\mathrm{\nabla }(f)(P)=f\omega (P)+(df{)}_P$

   gegeben (hierbei identifizieren wir auf beiden Seiten eine reellwertige Funktion $f$ mit dem Schnitt $X⟶X\times ℝ$, $x⟼(x,f(x))$.)

3. Eine nullstellenfreie stetig differenzierbare Funktion $f:U\to ℝ$ ist genau dann ein horizontaler Schnitt über $U$ bezüglich $\mathrm{\nabla }$, wenn $-\ln |f|$ eine Stammform zu $\omega$ über $U$ ist.

Aufgabe

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf $X$, das mit einem Zusammenhang versehen sei. Zeige, dass ein stetig differenzierbarer Schnitt $s:U\to E{|}_U$ auf einer offenen Menge  $U\subseteq X$  genau dann horizontal ist, wenn seine vertikale Ableitung  $\mathrm{\nabla }s=0$  ist.

Aufgabe

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf $X$, das mit einem Zusammenhang versehen sei. Es sei $Z$ eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer differenzierbaren Abbildung $\psi :Z\to X$. Zeige, dass ein stetig differenzierbarer Schnitt $s:Z\to E$ über $\psi$ genau dann horizontal ist, wenn seine vertikale Ableitung  $\mathrm{\nabla }s=0$  ist.

Für die folgende Aufgabe verwende man Aufgabe 25.21.

Aufgabe

Es sei $p:E\to X$ ein Vektorbündel vom Rang $r$ über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $X$, das mit einem global integrablen Zusammenhang versehen sei. Zeige, dass es (auf $X$ definierte) horizontale Schnitte $s_1,\dots ,s_r$ in $E$ derart gibt, dass

$X\times {ℝ}^r⟶E,(P,v_1,\dots ,v_r)⟼\sum _{i=1}^r{v}_i{s}_i(P),$

ein Isomorphismus von Vektorbündeln ist.

Aufgabe *

Es sei $p:E\to X$ ein Vektorbündel vom Rang $r$ über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $X$, das mit einem linearen global integrablen Zusammenhang versehen sei. Zeige, dass es (auf $X$ definierte) horizontale Schnitte $s_1,\dots ,s_r$ in $E$ derart gibt, dass unter dem Isomorphismus von Vektorbündeln

$X\times {ℝ}^r⟶E,(P,v_1,\dots ,v_r)⟼\sum _{i=1}^r{v}_i{s}_i(P),$

die Christoffelsymbole für den Zusammenhang bezüglich der Basisschnitte $s_1,\dots ,s_r$ trivial sind.

Aufgabe *

Es sei ein zeitabhängiges stetiges Vektorfeld

$F:I\times {ℝ}^n⟶{ℝ}^n,(t,u_1,\dots ,u_n)⟼(F_1(u_1,\dots ,u_n),\dots ,F_n(u_1,\dots ,u_n)),$

mit dem zugehörigen gewöhnlichen Differentialgleichungssystem

$u^{\prime }=F(t,u)$

auf einem offenen Intervall  $I\subseteq ℝ$  gegeben.

1. Zeige, dass durch

   $I\times {ℝ}^n\times ℝ\times {ℝ}^n⟶I\times {ℝ}^n\times {ℝ}^n,(t,u,v,w)⟼(t,u,-vF(t,u_1,\dots ,u_n)+w),$

   ein (die vertikale Projektion für einen) Zusammenhang auf dem trivialen Vektorbündel

   $I\times {ℝ}^n⟶{ℝ}^n$

   gegeben ist.

2. Bestimme die vertikale Ableitung ${\mathrm{\nabla }}_{\partial }u$ zu einer differenzierbaren Kurve

   $u:I⟶{ℝ}^n$

   (aufgefasst als Schnitt in $I\times {ℝ}^n$).

3. Zeige, dass eine differenzierbare Kurve $u:I\to {ℝ}^n$ genau dann eine Lösung des Differentialgleichungssystems ist, wenn $u$ ein horizontaler Schnitt bezüglich des Zusammenhangs ist.

Aufgabe

Es sei $\mathrm{\nabla }$ ein linearer Zusammenhang auf einem differenzierbaren Vektorbündel $E$ über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $X$. Zeige, dass der Nullschnitt horizontal ist.

Aufgabe

Es sei $\mathrm{\nabla }$ der triviale Zusammenhang auf dem trivialen Vektorbündel $p:X\times W\to X$ zu einem reellen Vektorraum $W$ über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $X$. Zeige, dass $\mathrm{\nabla }$ linear ist.

Aufgabe *

Es sei  $U\subseteq {ℝ}^n$  eine offene Teilmenge und es sei $\mathrm{\nabla }$ der triviale Zusammenhang auf $U\times ℝ$. Zeige, dass die Christoffelsymbole und die vertikale Ableitung des Zusammenhangs folgende Eigenschaften erfüllen.

1. Die Christoffelsymbole sind

   ${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k=0$

   für alle $i,j,k$.

2. Es ist

   ${\mathrm{\nabla }}_{{\partial }_i}{\partial }_j=0$

   für die Standardvektorfelder ${\partial }_i$.

3. Es ist

   ${\mathrm{\nabla }}_{{\partial }_i}\left(\sum _{j=1}^n{f}_j{\partial }_j\right)=\sum _{j=1}^n{\partial }_i(f_j){\partial }_j$

   für differenzierbare Funktionen $f_j$.

4. Zu einem Vektorfeld $V$ und einem differenzierbaren Vektorfeld $W$ auf $U$ ist

   $({\mathrm{\nabla }}_{V}W)(P)={\left(DW\right)}_P(V(P)).$

Aufgabe *

Wir betrachten auf dem trivialen Vektorbündel $ℝ\times {ℝ}^2$ über $ℝ$ den trivialen Zusammenhang $\mathrm{\nabla }$.

1. Zeige, dass  $f_1(t)=(1+t^2,t^3)$  und  $f_2(t)=(t,1+t^2)$  Basisschnitte des Vektorbündels sind.
2. Drücke die Standardbasisschnitte $e_1,e_2$ als Linearkombination der Basisschnitte $f_1,f_2$ aus.
3. Bestimme die Christoffelsymbole von $\mathrm{\nabla }$ bezüglich dieser Basisschnitte.

Aufgabe

Wir betrachten auf dem trivialen Vektorbündel ${ℝ}^2\times {ℝ}^2$ über ${ℝ}^2$ den trivialen Zusammenhang $\mathrm{\nabla }$.

1. Zeige, dass  $f_1(x,y)=(x,y)$  und  $f_2(x,y)=(-y,x)$  Basisschnitte des Vektorbündels auf  $U={ℝ}^2\setminus \{(0,0)\}$  sind.
2. Bestimme die Christoffelsymbole von $\mathrm{\nabla }$ bezüglich dieser Basisschnitte auf $U$.

Aufgabe *

Es sei ein homogenes lineares Differentialgleichungssystem

$u^{\prime }=Mu$

auf einem offenen Intervall  $I\subseteq ℝ$  mit

$M(t)={(a_{kj}(t))}_{kj}$

(dabei ist $k$ der Zeilenindex und $j$ der Spaltenindex) mit stetigen Funktionen

$a_{kj}:I⟶ℝ$

gegeben. Diese Funktionen fassen wir über

${\mathrm{\Gamma }}_j^k(t):=-a_{kj}$

als Christoffelsymbole (mit $i=1$) für den linearen Zusammenhang $\mathrm{\nabla }$ auf dem trivialen Vektorbündel $p:I\times {ℝ}^n\to I$ im Sinne von Bemerkung 25.8 auf. Zeige, dass eine differenzierbare Kurve

$u:I⟶{ℝ}^n$

genau dann eine Lösung des Differentialgleichungssystems ist, wenn $u$ ein horizontaler Schnitt bezüglich des Zusammenhangs ist.

Aufgabe

Es sei  $Y\subseteq W\subseteq {ℝ}^n$,  $W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei $\gamma :I\to Y$ eine differenzierbare Kurve. Es sei

$F:I⟶TY$

ein differenzierbares Vektorfeld längs $\gamma$, d.h. es liegt ein kommutatives Diagramm

$\begin{array}{cccc}& & & TY\\ & & F\nearrow & \downarrow \\ & I& \stackrel{\gamma }{⟶}& Y\end{array}$

vor. Zeige, dass $F$ genau dann parallel längs $\gamma$ ist, wenn $F$ ein horizontaler Schnitt bezüglich des (mithilfe der orthogonalen Projektion definierten) Zusammenhangs auf $TY$ ist.

Aufgabe

Es sei  $Y\subseteq W\subseteq {ℝ}^n$,  $W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei $\mathrm{\nabla }$ der (mithilfe der orthogonalen Projektion definierte) Zusammenhang auf $TY$. Zeige, dass $\mathrm{\nabla }$ linear ist.

Aufgabe

Es seien ${\mathrm{\nabla }}_1$ und ${\mathrm{\nabla }}_2$ lineare Zusammenhänge auf einem differenzierbaren Vektorbündel $E$ über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $X$. Es seien

$g_1,g_2:X⟶ℝ$

stetig differenzierbare Funktionen mit  $g_1+g_2=1$.  Zeige, dass $g_1{\mathrm{\nabla }}_1+g_2{\mathrm{\nabla }}_2$ ebenfalls ein (wie definierter?) linearer Zusammenhang auf $E$ ist.

Aufgabe

Es sei  $X=\bigcup _{i\in I}{U}_i$  eine offene Überdeckung einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $X$, auf der das differenzierbare Vektorbündel $E$ trivialisiert. Es sei ${\mathrm{\nabla }}_i$ der triviale Zusammenhang auf $E{|}_{U_i}$ und es sei $h_j$ $j\in J$, eine der Überdeckung untergeordnete Partition der Eins, $h_j$, $j\in J$. Zeige, dass $\sum _{j\in J}{h}_j{\mathrm{\nabla }}_{i(j)}$ ein wohldefinierter linearer Zusammenhang auf $E$ ist.

Aufgabe

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und sei $\omega$ eine stetige $1$-Differentialform auf $X$. Zeige, dass die Abbildung

$C^1(X,ℝ)⟶C^0(X,T^{\ast }X),f⟼{\mathrm{\nabla }}_{\omega }(f):=f\omega +df,$

die Leibniz-Regel aus Satz 25.5 erfüllt.

Aufgabe

Es sei $p:E\to X$ ein differenzierbares Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $X$. Es sei $E$ selbst eine riemannsche Mannigfaltigkeit. Zeige, dass auf $E$ ein linearer Zusammenhang gegeben ist, indem man zum Vertikalbündel  $V\subseteq TE$  über das orthogonale Komplement ein Horizontalbündel definiert.

Aufgabe

Es sei $p:E\to X$ ein Vektorbündel über der differenzierbaren Mannigfaltigkeit $X$ mit abzählbarer Basis der Topologie. Zeige mit Aufgabe 22.15 und mit Aufgabe 25.18, dass es auf $E$ einen linearen Zusammenhang gibt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 (3+2) Punkte)

Es sei  $X=S^1$  der Einheitskreis mit dem Tangentialbündel $p:T{S}^1=S^1\times ℝ\to S^1$.

1. Beschreibe einen Zusammenhang auf $T{S}^1$ derart, dass es keinen horizontalen Schnitt auf ganz $S^1$ gibt.
2. Bestimme einen horizontalen Schnitt zum Zusammenhang aus (1) längs der Abbildung

   $ℝ⟶S^1,t⟼(\cos t,\sin t).$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf $X$, das mit einem Zusammenhang versehen sei. Es sei $Z$ eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer differenzierbaren Abbildung $\psi :Z\to X$. Es sei $Z$ zusammenhängend und seien $s_1,s_2:Z\to E$ horizontale Schnitte über $\psi$ mit  $s_1(z)=s_2(z)$  für einen Punkt  $z\in Z$.  Zeige  $s_1=s_2$. 

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf $X$, das mit einem linearen Zusammenhang versehen sei und es sei $G$ ein Vektorfeld auf $X$. Zeige, dass für jeden differenzierbaren Schnitt $s$ in $E$ und jede differenzierbare Funktion $f$ (die beide auf einer offenen Menge  $U\subseteq X$  definiert sind) die Beziehung

${\mathrm{\nabla }}_G(fs)=s\otimes D_G(f)+f{\mathrm{\nabla }}_G(s)$

gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen linearen Zusammenhang auf einem Vektorbündel $p:E\to X$ über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $X$ derart, dass der Vektorraum $H(\mathrm{\nabla },X)$ der horizontalen Schnitte eine Vektorraumdimension besitzt, die größer als der Rang von $E$ ist.