Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 25

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Es sei ${}X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}p\colon E=X\times \mathbb {R} \rightarrow X$ das triviale Vektorbündel über ${}X$ vom Rang ${}1$. Es sei ${}\omega$ eine ${}1$- Differentialform auf ${}X$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Die Abbildung

   $TE\longrightarrow p^{*}E,\,(P,u,v,w)\longmapsto (P,u,\omega (P,v)+w),$

   definiert einen Zusammenhang.

2. Die vertikale Ableitung zu dem Zusammenhang ist für stetig differenzierbare Funktionen ${}f\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ auf einer offenen Menge ${}U\subseteq X$ durch

   ${}\nabla (f)(P)=\omega (P)+(df)_{P}\,$

   gegeben (hierbei identifizieren wir auf beiden Seiten eine reellwertige Funktion ${}f$ mit dem Schnitt ${}X\longrightarrow X\times \mathbb {R}$, ${}x\longmapsto (x,f(x))$.)

3. Eine stetig differenzierbare Funktion ${}f\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ ist genau dann ein horizontaler Schnitt über ${}U$ bezüglich ${}\nabla$, wenn ${}-f$ eine Stammform zu ${}\omega$ über ${}U$ ist.
4. Die Form ${}\omega$ ist genau dann geschlossen, wenn der Zusammenhang lokal integrabel ist.
5. Die Form ${}\omega$ ist genau dann exakt, wenn der Zusammenhang global integrabel ist.

Aufgabe

Wir betrachten das triviale Vektorbündel

$p\colon E=\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2}.$

Beschreibe einen Zusammenhang auf ${}E$ derart, dass es keinen horizontalen Schnitt gibt.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}p\colon E=X\times \mathbb {R} \rightarrow X$ das triviale Vektorbündel über ${}X$ vom Rang ${}1$. Es sei ${}\omega$ eine ${}1$- Differentialform auf ${}X$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Die Abbildung

   $TE\longrightarrow p^{*}E,\,(P,u,v,w)\longmapsto (P,u,u\omega (P,v)+w),$

   definiert einen Zusammenhang.

2. Die vertikale Ableitung zu dem Zusammenhang ist für stetig differenzierbare Funktionen ${}f\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ auf einer offenen Menge ${}U\subseteq X$ durch

   ${}\nabla (f)(P)=f\omega (P)+(df)_{P}\,$

   gegeben (hierbei identifizieren wir auf beiden Seiten eine reellwertige Funktion ${}f$ mit dem Schnitt ${}X\longrightarrow X\times \mathbb {R}$, ${}x\longmapsto (x,f(x))$.)

3. Eine nullstellenfreie stetig differenzierbare Funktion ${}f\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ ist genau dann ein horizontaler Schnitt über ${}U$ bezüglich ${}\nabla$, wenn ${}-\ln \vert {f}\vert$ eine Stammform zu ${}\omega$ über ${}U$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf ${}X$, das mit einem Zusammenhang versehen sei. Zeige, dass ein stetig differenzierbarer Schnitt ${}s\colon U\rightarrow E{|}_{U}$ auf einer offenen Menge ${}U\subseteq X$ genau dann horizontal ist, wenn seine vertikale Ableitung ${}\nabla s=0$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf ${}X$, das mit einem Zusammenhang versehen sei. Es sei ${}Z$ eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer differenzierbaren Abbildung ${}\psi \colon Z\rightarrow X$. Zeige, dass ein stetig differenzierbarer Schnitt ${}s\colon Z\rightarrow E$ über ${}\psi$ genau dann horizontal ist, wenn seine vertikale Ableitung ${}\nabla s=0$ ist.

Für die folgende Aufgabe verwende man Aufgabe 25.21.

Aufgabe

Es sei ${}p\colon E\rightarrow X$ ein Vektorbündel vom Rang ${}r$ über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}X$, das mit einem global integrablen Zusammenhang versehen sei. Zeige, dass es (auf ${}X$ definierte) horizontale Schnitte ${}s_{1},\ldots ,s_{r}$ in ${}E$ derart gibt, dass

$X\times \mathbb {R} ^{r}\longrightarrow E,\,(P,v_{1},\ldots ,v_{r})\longmapsto \sum _{i=1}^{r}v_{i}s_{i}(P),$

ein Isomorphismus von Vektorbündeln ist.

Aufgabe *

Es sei ${}p\colon E\rightarrow X$ ein Vektorbündel vom Rang ${}r$ über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}X$, das mit einem linearen global integrablen Zusammenhang versehen sei. Zeige, dass es (auf ${}X$ definierte) horizontale Schnitte ${}s_{1},\ldots ,s_{r}$ in ${}E$ derart gibt, dass unter dem Isomorphismus von Vektorbündeln

$X\times \mathbb {R} ^{r}\longrightarrow E,\,(P,v_{1},\ldots ,v_{r})\longmapsto \sum _{i=1}^{r}v_{i}s_{i}(P),$

die Christoffelsymbole für den Zusammenhang bezüglich der Basisschnitte ${}s_{1},\ldots ,s_{r}$ trivial sind.

Aufgabe *

Es sei ein zeitabhängiges stetiges Vektorfeld

$F\colon I\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,\left(t,\,u_{1},\,\ldots ,\,u_{n}\right)\longmapsto \left(F_{1}{\left(u_{1},\ldots ,u_{n}\right)},\,\ldots ,\,F_{n}{\left(u_{1},\ldots ,u_{n}\right)}\right),$

mit dem zugehörigen gewöhnlichen Differentialgleichungssystem

${}u'=F(t,u)\,$

auf einem offenen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ gegeben.

1. Zeige, dass durch

   $I\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow I\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n},\,(t,u,v,w)\longmapsto \left(t,\,u,\,-vF{\left(t,u_{1},\ldots ,u_{n}\right)}+w\right),$

   ein (die vertikale Projektion für einen) Zusammenhang auf dem trivialen Vektorbündel

   $I\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

   gegeben ist.

2. Bestimme die vertikale Ableitung ${}\nabla _{\partial }u$ zu einer differenzierbaren Kurve

   $u\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

   (aufgefasst als Schnitt in ${}I\times \mathbb {R} ^{n}$).

3. Zeige, dass eine differenzierbare Kurve ${}u\colon I\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ genau dann eine Lösung des Differentialgleichungssystems ist, wenn ${}u$ ein horizontaler Schnitt bezüglich des Zusammenhangs ist.

Aufgabe

Es sei ${}\nabla$ ein linearer Zusammenhang auf einem differenzierbaren Vektorbündel ${}E$ über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}X$. Zeige, dass der Nullschnitt horizontal ist.

Aufgabe

Es sei ${}\nabla$ der triviale Zusammenhang auf dem trivialen Vektorbündel ${}p\colon X\times W\rightarrow X$ zu einem reellen Vektorraum ${}W$ über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}X$. Zeige, dass ${}\nabla$ linear ist.

Aufgabe *

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und es sei ${}\nabla$ der triviale Zusammenhang auf ${}U\times \mathbb {R}$. Zeige, dass die Christoffelsymbole und die vertikale Ableitung des Zusammenhangs folgende Eigenschaften erfüllen.

1. Die Christoffelsymbole sind

   ${}\Gamma _{ij}^{k}=0\,$

   für alle ${}i,j,k$.

2. Es ist

   ${}\nabla _{\partial _{i}}\partial _{j}=0\,$

   für die Standardvektorfelder ${}\partial _{i}$.

3. Es ist

   ${}\nabla _{\partial _{i}}{\left(\sum _{j=1}^{n}f_{j}\partial _{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}\partial _{i}(f_{j})\partial _{j}\,$

   für differenzierbare Funktionen ${}f_{j}$.

4. Zu einem Vektorfeld ${}V$ und einem differenzierbaren Vektorfeld ${}W$ auf ${}U$ ist

   ${}(\nabla _{V}W)(P)={\left(DW\right)}_{P}{\left(V(P)\right)}\,.$

Aufgabe *

Wir betrachten auf dem trivialen Vektorbündel ${}\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}$ über ${}\mathbb {R}$ den trivialen Zusammenhang ${}\nabla$.

1. Zeige, dass ${}f_{1}(t)=\left(1+t^{2},\,t^{3}\right)$ und ${}f_{2}(t)=\left(t,\,1+t^{2}\right)$ Basisschnitte des Vektorbündels sind.
2. Drücke die Standardbasisschnitte ${}e_{1},e_{2}$ als Linearkombination der Basisschnitte ${}f_{1},f_{2}$ aus.
3. Bestimme die Christoffelsymbole von ${}\nabla$ bezüglich dieser Basisschnitte.

Aufgabe

Wir betrachten auf dem trivialen Vektorbündel ${}\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}$ über ${}\mathbb {R} ^{2}$ den trivialen Zusammenhang ${}\nabla$.

1. Zeige, dass ${}f_{1}(x,y)=\left(x,\,y\right)$ und ${}f_{2}(x,y)=\left(-y,\,x\right)$ Basisschnitte des Vektorbündels auf ${}U=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$ sind.
2. Bestimme die Christoffelsymbole von ${}\nabla$ bezüglich dieser Basisschnitte auf ${}U$.

Aufgabe *

Es sei ein homogenes lineares Differentialgleichungssystem

${}u'=Mu\,$

auf einem offenen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ mit

${}M(t)={\left(a_{kj}(t)\right)}_{kj}\,$

(dabei ist ${}k$ der Zeilenindex und ${}j$ der Spaltenindex) mit stetigen Funktionen

$a_{kj}\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

gegeben. Diese Funktionen fassen wir über

${}\Gamma _{j}^{k}(t):=-a_{kj}\,$

als Christoffelsymbole (mit ${}i=1$) für den linearen Zusammenhang ${}\nabla$ auf dem trivialen Vektorbündel ${}p\colon I\times \mathbb {R} ^{n}\rightarrow I$ im Sinne von Bemerkung 25.8 auf. Zeige, dass eine differenzierbare Kurve

$u\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

genau dann eine Lösung des Differentialgleichungssystems ist, wenn ${}u$ ein horizontaler Schnitt bezüglich des Zusammenhangs ist.

Aufgabe

Es sei ${}Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, ${}W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei ${}\gamma \colon I\rightarrow Y$ eine differenzierbare Kurve. Es sei

$F\colon I\longrightarrow TY$

ein differenzierbares Vektorfeld längs ${}\gamma$, d.h. es liegt ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}&&&TY\\&&F\nearrow &\downarrow \\&I&{\stackrel {\gamma }{\longrightarrow }}&Y\!\\\end{matrix}}$

vor. Zeige, dass ${}F$ genau dann parallel längs ${}\gamma$ ist, wenn ${}F$ ein horizontaler Schnitt bezüglich des (mit Hilfe der orthogonalen Projektion definierten) Zusammenhangs auf ${}TY$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, ${}W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei ${}\nabla$ der (mit Hilfe der orthogonalen Projektion definierte) Zusammenhang auf ${}TY$. Zeige, dass ${}\nabla$ linear ist.

Aufgabe

Es seien ${}\nabla _{1}$ und ${}\nabla _{2}$ lineare Zusammenhänge auf einem differenzierbaren Vektorbündel ${}E$ über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}X$. Es seien

$g_{1},g_{2}\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$

stetig differenzierbare Funktionen mit ${}g_{1}+g_{2}=1$. Zeige, dass ${}g_{1}\nabla _{1}+g_{2}\nabla _{2}$ ebenfalls ein (wie definierter?) linearer Zusammenhang auf ${}E$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}X$, auf der das differenzierbare Vektorbündel ${}E$ trivialisiert. Es sei ${}\nabla _{i}$ der triviale Zusammenhang auf ${}E{|}_{U_{i}}$ und es sei ${}h_{j}$ ${}j\in J$, eine der Überdeckung untergeordnete Partition der Eins, ${}h_{j}$, ${}j\in J$. Zeige, dass ${}\sum _{j\in J}h_{j}\nabla _{i(j)}$ ein wohldefinierter linearer Zusammenhang auf ${}E$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und sei ${}\omega$ eine stetige ${}1$- Differentialform auf ${}X$. Zeige, dass die Abbildung

$C^{1}(X,\mathbb {R} )\longrightarrow C^{0}(X,T^{*}X),\,f\longmapsto \nabla _{\omega }(f):=f\omega +df,$

die Leibniz-Regel aus Satz 25.5 erfüllt.

Aufgabe

Es sei ${}p\colon E\rightarrow X$ ein differenzierbares Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}X$. Es sei ${}E$ selbst eine riemannsche Mannigfaltigkeit. Zeige, dass auf ${}E$ ein linearer Zusammenhang gegeben ist, indem man zum Vertikalbündel ${}V\subseteq TE$ über das orthogonale Komplement ein Horizontalbündel definiert.

Aufgabe

Es sei ${}p\colon E\rightarrow X$ ein Vektorbündel über der differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}X$ mit abzählbarer Basis der Topologie. Zeige mit Aufgabe 22.15 und mit Aufgabe 25.18, dass es auf ${}E$ einen linearen Zusammenhang gibt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 (3+2) Punkte)

Es sei ${}X=S^{1}$ der Einheitskreis mit dem Tangentialbündel ${}p\colon TS^{1}=S^{1}\times \mathbb {R} \rightarrow S^{1}$.

1. Beschreibe einen Zusammenhang auf ${}TS^{1}$ derart, dass es keinen horizontalen Schnitt auf ganz ${}S^{1}$ gibt.
2. Bestimme einen horizontalen Schnitt zum Zusammenhang aus (1) längs der Abbildung

   $\mathbb {R} \longrightarrow S^{1},\,t\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t\right).$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf ${}X$, das mit einem Zusammenhang versehen sei. Es sei ${}Z$ eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer differenzierbaren Abbildung ${}\psi \colon Z\rightarrow X$. Es sei ${}Z$ zusammenhängend und seien ${}s_{1},s_{2}\colon Z\rightarrow E$ horizontale Schnitte über ${}\psi$ mit ${}s_{1}(z)=s_{2}(z)$ für einen Punkt ${}z\in Z$. Zeige ${}s_{1}=s_{2}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf ${}X$, das mit einem linearen Zusammenhang versehen sei und es sei ${}G$ ein Vektorfeld auf ${}X$. Zeige, dass für jeden differenzierbaren Schnitt ${}s$ in ${}E$ und jede differenzierbare Funktion ${}f$ (die beide auf einer offenen Menge ${}U\subseteq X$ definiert sind) die Beziehung

${}\nabla _{G}(fs)=s\otimes D_{G}(f)+f\nabla _{G}(s)\,$

gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen linearen Zusammenhang auf einem Vektorbündel ${}p\colon E\rightarrow X$ über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}X$ derart, dass der Vektorraum ${}H(\nabla ,X)$ der horizontalen Schnitte eine Vektorraumdimension besitzt, die größer als der Rang von ${}E$ ist.