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Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 25

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Übungsaufgaben

Aufgabe *

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und das triviale Vektorbündel über vom Rang . Es sei eine - Differentialform auf . Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Die Abbildung

    definiert einen Zusammenhang.

  2. Die vertikale Ableitung zu dem Zusammenhang ist für stetig differenzierbare Funktionen auf einer offenen Menge durch

    gegeben (hierbei identifizieren wir auf beiden Seiten eine reellwertige Funktion mit dem Schnitt , .)

  3. Eine stetig differenzierbare Funktion ist genau dann ein horizontaler Schnitt über bezüglich , wenn eine Stammform zu über ist.
  4. Die Form ist genau dann geschlossen, wenn der Zusammenhang lokal integrabel ist.
  5. Die Form ist genau dann exakt, wenn der Zusammenhang global integrabel ist.


Aufgabe

Wir betrachten das triviale Vektorbündel

Beschreibe einen Zusammenhang auf derart, dass es keinen horizontalen Schnitt gibt.


Aufgabe

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und das triviale Vektorbündel über vom Rang . Es sei eine - Differentialform auf . Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Die Abbildung

    definiert einen Zusammenhang.

  2. Die vertikale Ableitung zu dem Zusammenhang ist für stetig differenzierbare Funktionen auf einer offenen Menge durch

    gegeben (hierbei identifizieren wir auf beiden Seiten eine reellwertige Funktion mit dem Schnitt , .)

  3. Eine nullstellenfreie stetig differenzierbare Funktion ist genau dann ein horizontaler Schnitt über bezüglich , wenn eine Stammform zu über ist.


Aufgabe

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ein differenzierbares Vektorbündel auf , das mit einem Zusammenhang versehen sei. Zeige, dass ein stetig differenzierbarer Schnitt auf einer offenen Menge genau dann horizontal ist, wenn seine vertikale Ableitung ist.


Aufgabe

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ein differenzierbares Vektorbündel auf , das mit einem Zusammenhang versehen sei. Es sei eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer differenzierbaren Abbildung . Zeige, dass ein stetig differenzierbarer Schnitt über genau dann horizontal ist, wenn seine vertikale Ableitung ist.


Für die folgende Aufgabe verwende man Aufgabe 25.21.

Aufgabe

Es sei ein Vektorbündel vom Rang über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit , das mit einem global integrablen Zusammenhang versehen sei. Zeige, dass es (auf definierte) horizontale Schnitte in derart gibt, dass

ein Isomorphismus von Vektorbündeln ist.


Aufgabe *

Es sei ein Vektorbündel vom Rang über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit , das mit einem linearen global integrablen Zusammenhang versehen sei. Zeige, dass es (auf definierte) horizontale Schnitte in derart gibt, dass unter dem Isomorphismus von Vektorbündeln

die Christoffelsymbole für den Zusammenhang bezüglich der Basisschnitte trivial sind.


Aufgabe *

Es sei ein zeitabhängiges stetiges Vektorfeld

mit dem zugehörigen gewöhnlichen Differentialgleichungssystem

auf einem offenen Intervall gegeben.

  1. Zeige, dass durch

    ein (die vertikale Projektion für einen) Zusammenhang auf dem trivialen Vektorbündel

    gegeben ist.

  2. Bestimme die vertikale Ableitung zu einer differenzierbaren Kurve

    (aufgefasst als Schnitt in ).

  3. Zeige, dass eine differenzierbare Kurve genau dann eine Lösung des Differentialgleichungssystems ist, wenn ein horizontaler Schnitt bezüglich des Zusammenhangs ist.


Aufgabe

Es sei ein linearer Zusammenhang auf einem differenzierbaren Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit . Zeige, dass der Nullschnitt horizontal ist.


Aufgabe

Es sei der triviale Zusammenhang auf dem trivialen Vektorbündel zu einem reellen Vektorraum über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit . Zeige, dass linear ist.


Aufgabe *

Es sei eine offene Teilmenge und es sei der triviale Zusammenhang auf . Zeige, dass die Christoffelsymbole und die vertikale Ableitung des Zusammenhangs folgende Eigenschaften erfüllen.

  1. Die Christoffelsymbole sind

    für alle .

  2. Es ist

    für die Standardvektorfelder .

  3. Es ist

    für differenzierbare Funktionen .

  4. Zu einem Vektorfeld und einem differenzierbaren Vektorfeld auf ist


Aufgabe *

Wir betrachten auf dem trivialen Vektorbündel über den trivialen Zusammenhang .

  1. Zeige, dass und Basisschnitte des Vektorbündels sind.
  2. Drücke die Standardbasisschnitte als Linearkombination der Basisschnitte aus.
  3. Bestimme die Christoffelsymbole von bezüglich dieser Basisschnitte.


Aufgabe

Wir betrachten auf dem trivialen Vektorbündel über den trivialen Zusammenhang .

  1. Zeige, dass und Basisschnitte des Vektorbündels auf sind.
  2. Bestimme die Christoffelsymbole von bezüglich dieser Basisschnitte auf .


Aufgabe *

Es sei ein homogenes lineares Differentialgleichungssystem

auf einem offenen Intervall mit

(dabei ist der Zeilenindex und der Spaltenindex) mit stetigen Funktionen

gegeben. Diese Funktionen fassen wir über

als Christoffelsymbole (mit ) für den linearen Zusammenhang auf dem trivialen Vektorbündel im Sinne von Bemerkung 25.8 auf. Zeige, dass eine differenzierbare Kurve

genau dann eine Lösung des Differentialgleichungssystems ist, wenn ein horizontaler Schnitt bezüglich des Zusammenhangs ist.


Aufgabe

Es sei , offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei eine differenzierbare Kurve. Es sei

ein differenzierbares Vektorfeld längs , d.h. es liegt ein kommutatives Diagramm

vor. Zeige, dass genau dann parallel längs ist, wenn ein horizontaler Schnitt bezüglich des (mit Hilfe der orthogonalen Projektion definierten) Zusammenhangs auf ist.


Aufgabe

Es sei , offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei der (mit Hilfe der orthogonalen Projektion definierte) Zusammenhang auf . Zeige, dass linear ist.


Aufgabe

Es seien und lineare Zusammenhänge auf einem differenzierbaren Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit . Es seien

stetig differenzierbare Funktionen mit . Zeige, dass ebenfalls ein (wie definierter?) linearer Zusammenhang auf ist.


Aufgabe

Es sei eine offene Überdeckung einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit , auf der das differenzierbare Vektorbündel trivialisiert. Es sei der triviale Zusammenhang auf und es sei , eine der Überdeckung untergeordnete Partition der Eins, , . Zeige, dass ein wohldefinierter linearer Zusammenhang auf ist.


Aufgabe

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und sei eine stetige - Differentialform auf . Zeige, dass die Abbildung

die Leibniz-Regel aus Satz 25.5 erfüllt.


Aufgabe

Es sei ein differenzierbares Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit . Es sei selbst eine riemannsche Mannigfaltigkeit. Zeige, dass auf ein linearer Zusammenhang gegeben ist, indem man zum Vertikalbündel über das orthogonale Komplement ein Horizontalbündel definiert.


Aufgabe

Es sei ein Vektorbündel über der differenzierbaren Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Basis der Topologie. Zeige mit Aufgabe 22.15 und mit Aufgabe 25.18, dass es auf einen linearen Zusammenhang gibt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 (3+2) Punkte)

Es sei der Einheitskreis mit dem Tangentialbündel .

  1. Beschreibe einen Zusammenhang auf derart, dass es keinen horizontalen Schnitt auf ganz gibt.
  2. Bestimme einen horizontalen Schnitt zum Zusammenhang aus (1) längs der Abbildung


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ein differenzierbares Vektorbündel auf , das mit einem Zusammenhang versehen sei. Es sei eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer differenzierbaren Abbildung . Es sei zusammenhängend und seien horizontale Schnitte über mit für einen Punkt . Zeige .


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ein differenzierbares Vektorbündel auf , das mit einem linearen Zusammenhang versehen sei und es sei ein Vektorfeld auf . Zeige, dass für jeden differenzierbaren Schnitt in und jede differenzierbare Funktion (die beide auf einer offenen Menge definiert sind) die Beziehung

gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen linearen Zusammenhang auf einem Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit derart, dass der Vektorraum der horizontalen Schnitte eine Vektorraumdimension besitzt, die größer als der Rang von ist.



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