Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesung 21

Mannigfaltigkeiten mit Rand

Definition

Es seien $n \in ℕ$ und $k \in {\overline{ℕ}}_{+}$ . Ein topologischer Hausdorffraum $M$ zusammen mit einer offenen Überdeckung $M = ⋃_{i \in I} U_{i}$ und Karten

α_{i} : U_{i} ⟶ V_{i},

wobei die $V_{i} \subseteq H \subset ℝ^{n}$ offene Mengen im euklidischen Halbraum $H$ der Dimension $n$ sind, und mit der Eigenschaft, dass die Übergangsabbildungen

α_{j} \circ α_{i}^{- 1} : V_{i} \cap α_{i} (U_{i} \cap U_{j}) ⟶ V_{j} \cap α_{j} (U_{i} \cap U_{j})

$C^{k}$ -Diffeomorphismen sind, heißt $C^{k}$ -Mannigfaltigkeit mit Rand oder differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand (vom Grad $k$ ), oder berandete Mannigfaltigkeit. Die Menge der Karten $(U_{i}, α_{i})$ , $i \in I$ , nennt man auch den $C^{k}$ -Atlas der berandeten Mannigfaltigkeit.

Da auch offene Mengen im Halbraum $H$ zugelassen sind, die den Rand $\partial H = 0 \times ℝ^{n - 1}$ gar nicht treffen, umfasst dieser Begriff den der differenzierbaren Mannigfaltigkeit. Bei einer Mannigfaltigkeit mit Rand kann der Rand (den wir gleich in naheliegender Weise definieren) eben auch leer sein. Dies ist genau bei den „gewöhnlichen“ differenzierbaren Mannigfaltigkeiten der Fall.

Definition

Es sei $M$ eine Mannigfaltigkeit mit Rand. Dann ist der Rand von $M$ , geschrieben $\partial M$ , durch

\partial M = {x \in M ∣ α_{i} (x) \in \partial H \cap V_{i} für ein i \in I}

definiert, wobei $α_{i}$ Karten sind.

Dabei kann man auf jeder Karte testen, ob ein gegebener Punkt ein Randpunkt ist.

Lemma

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand $\partial M$ . Dann gelten folgende Aussagen.

Ein Punkt $P \in M$ ist genau dann ein Randpunkt, wenn dies für jede Karte, deren Kartengebiet den Punkt beinhaltet, gilt.^[1]

Der Rand $\partial M$ ist abgeschlossen.

Das Komplement $M ∖ \partial M$ ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne Rand).

Beweis

(1). Es sei $P \in M$ und $P \in U$ ein Kartengebiet mit zwei Karten

α_{1} : U ⟶ V_{1}

und

α_{2} : U ⟶ V_{2}

mit $V_{1} \subseteq H_{1}$ und $V_{2} \subseteq H_{2}$ offen in euklidischen Halbräumen $H_{1}, H_{2} ≅ ℝ_{\geq 0} \times ℝ^{n - 1}$ . Die Kartenwechselabbildung $φ = α_{2} \circ α_{1}^{- 1}$ ist ein Diffeomorphismus, und das heißt nach Aufgabe 21.14 für jeden Punkt $Q \in V_{1}$ , dass es offene Umgebungen $W_{1}$ und $W_{2}$ in $ℝ^{n}$ gibt mit $Q \in W_{1}$ und eine diffeomorphe Ausdehnung

\tilde{φ} : W_{1} ⟶ W_{2}

von $φ ∣_{W_{1} \cap H_{1}}$ . Daher ist $\tilde{φ} (H_{1}^{+} \cap W_{1})$ offen in $W_{2}$ .

Es sei nun $Q_{1} = α_{1} (P)$ und $W_{1}, W_{2}, \tilde{φ}$ mit den eben erwähnten Eigenschaften gewählt. Wenn $Q_{1}$ kein Randpunkt in der ersten Karte ist, so ist $Q_{1} \in H_{1}^{+} \cap W_{1}$ eine offene Umgebung und damit ist $α_{2} (P) \in \tilde{φ} (H_{1}^{+} \cap W_{1})$ eine offene Umgebung in $W_{2} \subseteq ℝ^{n}$ . Ferner ist $\tilde{φ} (H_{1}^{+} \cap W_{1}) \subseteq H_{2}$ . D.h. $α_{2} (P) \in H_{2}$ besitzt eine in $ℝ^{n}$ offene Umgebung innerhalb von $H_{2}$ und kann daher nach Aufgabe 21.13 auch in der zweiten Karte kein Randpunkt sein.
(2). Sei $P \notin \partial M$ und sei $P \in U$ ein Kartengebiet mit dem Homöomorphismus

α : U ⟶ V

mit $V \subseteq ℝ_{\geq 0} \times ℝ^{n - 1} = H$ offen. Da $P$ kein Randpunkt ist, ist die erste Komponente von $α (P)$ positiv und daher gibt es eine offene Menge $α (P) \in V^{'} \subseteq ℝ_{+} \times ℝ^{n - 1} = H_{+}$ . Daher ist $U^{'} = α^{- 1} (V^{'})$ eine offene Umgebung von $P$ , die (nach Teil 1) den Rand nicht trifft.
(3). Für jeden Punkt $P \notin \partial M$ kann man wie in (2) ein Kartengebiet angeben, das disjunkt zum Rand ist und dessen Kartenbild eine offene Menge im $ℝ^{n}$ ist. Daher liegt eine Mannigfaltigkeit (ohne Rand) vor.

◻

Auch die Begriffe differenzierbare Abbildung, Diffeomorphismus und Tangentialraum übertragen sich auf eine Mannigfaltigkeit mit Rand, siehe Aufgabe 21.2.

Satz

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand der Dimension $n$ .

Dann ist der Rand $\partial M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne Rand) der Dimension $n - 1$ .

Beweis

Zunächst ist $L = \partial M$ mit der induzierten Topologie ein Hausdorffraum. Sei $P \in L$ und sei

α : U ⟶ V

eine Karte mit $V \subseteq H$ offen und $α (P) \in \partial H$ . Da $α$ eine Homöomorphie ist und da nach Lemma 21.3 (1) bei jeder Karte Randpunkte zu Randpunkten korrespondieren, induziert dies eine Homöomorphie

U \cap L ⟶ V \cap \partial H .

Dabei ist $U \cap L$ eine offene Umgebung von $P$ in $L$ , sodass wir diese Mengen als Kartengebiete nehmen können. Betrachten wir nun einen Kartenwechsel, wobei wir gleich von einem einzigen Kartengebiet $U \subseteq M$ und zwei Karten $α_{1} : U \to V_{1}$ und $α_{2} : U \to V_{2}$ mit $V_{1}, V_{2} \subseteq H$ offen ausgehen können. Es liegt dann ein $C^{1}$ -Diffeomorphismus

φ = α_{2} \circ α_{1}^{- 1} : V_{1} ⟶ V_{2}

vor. Dies bedeutet zunächst, dass eine Homöomorphie $\partial H \cap V_{1} \to \partial H \cap V_{2}$ vorliegt. Die Diffeomorphismuseigenschaft von $φ$ bedeutet für jeden Punkt $P \in U \cap L$ , dass es offene Umgebungen $α_{1} (P) \in W_{1} \subseteq ℝ^{n}$ und $α_{2} (P) \in W_{2} \subseteq ℝ^{n}$ und eine diffeomorphe Fortsetzung

\tilde{φ} : W_{1} ⟶ W_{2}

von $φ$ von $V_{1} \cap W_{1}$ nach $V_{2} \cap W_{2}$ gibt. Diese Fortsetzung induziert dann nach Aufgabe 21.19 auch eine $C^{1}$ -Diffeomorphie zwischen den Rändern $\partial H \cap W_{1}$ und $\partial H \cap W_{2}$ , sodass insgesamt eine Diffeomorphie

φ |_{\partial H} : \partial H \cap V_{1} ⟶ \partial H \cap V_{2}

vorliegt.

◻

Wir wissen bereits, dass die Faser einer differenzierbaren regulären Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten die Struktur einer abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit trägt. Auf einem ähnlichen Argument beruht der folgende Satz, der die Existenz von sehr vielen berandeten Mannigfaltigkeiten sichert.

Satz

Es sei $L$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und es sei

f : L ⟶ ℝ

eine stetig differenzierbare Funktion. Es sei $a \in ℝ$ . Jeder Punkt der Faser $F = f^{- 1} (a)$ über $a$ sei regulär.

Dann sind die Teilmengen

$M = {x \in L ∣ f (x) \leq a} und N = {x \in L ∣ f (x) \geq a}$

differenzierbare Mannigfaltigkeiten mit Rand, und zwar ist ihr Rand jeweils gleich $F$ .

Beweis

Zur Notationsvereinfachung sei $a = 0$ , und wir beschränken uns auf $M$ . Es ist

M = {x \in L ∣ f (x) < 0} ⊎ F,

wobei die linke Menge eine offene Menge von $L$ und damit eine offene Untermannigfaltigkeit ist. Entscheidend ist also zu zeigen, dass es für die Punkte aus der Faser $F$ Karten und damit eine Mannigfaltigkeitsstruktur gibt. Es sei also $P \in F$ . Nach dem Beweis des Satzes über implizite Abbildungen gibt es zu $P \in F$ eine offene (Karten)-Umgebung $P \in U \subseteq L$ und eine Karte

α : U ⟶ V,

$V \subseteq ℝ^{n}$ , derart, dass $f = x_{1} \circ α$ ist. Dabei korrespondiert $F \cap U$ zu ${x \in V ∣ x_{1} = 0}$ und $M \cap U$ zu $H_{\leq 0} \cap V$ , sodass also die Einschränkung von $α$ auf $M$ eine Karte für $M$ in $P$ liefert. Die Kartenwechsel sind dabei $C^{1}$ -diffeomorph, da dies für die (vollen) Karten auf $L$ gilt.

◻

Beispiel

Die abgeschlossene Kugel

B (0, r) = {x \in ℝ^{n} ∣ \sqrt{x_{1}^{2} + \dots + x_{n}^{2}} \leq r}

ist eine $C^{\infty}$ -differenzierbare Mannigfaltigkeit mit der Sphäre

S (0, r) = {x \in ℝ^{n} ∣ \sqrt{x_{1}^{2} + \dots + x_{n}^{2}} = r}

als Rand. Dies folgt unmittelbar aus Satz 21.5 angewendet auf die differenzierbare Funktion

f : ℝ^{n} ⟶ ℝ, (x_{1}, \dots, x_{n}) ⟼ \sqrt{x_{1}^{2} + \dots + x_{n}^{2}},

die in jedem Punkt $\neq 0$ regulär ist.

Beispiel

Ein abgeschlossener Quader

[a_{1}, b_{1}] \times [a_{2}, b_{2}] \times \dots \times [a_{n}, b_{n}] \subseteq ℝ^{n}

ist bei $n \geq 2$ keine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand, da er nicht nur Seiten, sondern auch (je nach Dimension) Ecken und Kanten besitzt. Ein Rechteck besitzt vier Eckpunkte, denen man nicht die Struktur einer (mit dem umgebenden Raum verträglichen) differenzierbaren berandeten Mannigfaltigkeit geben kann (da das abgeschlossene Rechteck homöomorph zur abgeschlossenen Kreisscheibe ist, kann man darauf die Struktur einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit mit Rand erklären; mit dieser Struktur ist aber die natürliche Einbettung des Rechtecks in den $ℝ^{2}$ nicht differenzierbar), ein dreidimensionaler Quader besitzt zwölf Kanten und acht Ecken, an denen es keine natürliche Mannigfaltigkeitsstruktur gibt.

Wenn man allerdings diese Ecken, Kanten etc. entfernt und nur die „Seiten der Kodimension eins“ beibehält, so bekommt man eine (nicht kompakte) Mannigfaltigkeit mit Rand. Der Rand ist dabei die disjunkte Vereinigung dieser Hyper-Seiten. Dieser Rand ist, wie bei jeder Mannigfaltigkeit mit Rand, abgeschlossen innerhalb der Mannigfaltigkeit, allerdings nicht abgeschlossen im umgebenden euklidischen Raum.

Orientierungen auf Mannigfaltigkeiten mit Rand

Der $ℝ^{n}$ sei mit der durch die Standardvektoren $e_{1}, \dots, e_{n}$ gegebenen Orientierung versehen, ferner sei der Halbraum

H_{\leq 0} = {x \in ℝ^{n} ∣ x_{1} \leq 0}

als der „innere Halbraum“ ausgezeichnet. Dann nennt man die auf der Hyperebene (also dem Rand der berandeten Mannigfaltigkeit $H_{\leq 0}$ )

E = {x \in ℝ^{n} ∣ x_{1} = 0}

durch die Basis $e_{2}, \dots, e_{n}$ definierte Orientierung die Orientierung durch die äußere Normale. Eine beliebige Basis $v_{2}, \dots, v_{n}$ von $E$ repräsentiert diese Orientierung genau dann, wenn für einen beliebigen Vektor $v \in H_{+}$ (das bedeutet, nach „außen“, also raus aus dem Halbraum zu zeigen) die Basis $v, v_{2}, \dots, v_{n}$ (also $v$ zuerst) von $ℝ^{n}$ die Ausgangsorientierung repräsentiert .^[2]

Dieser Zusammenhang zwischen Orientierungen auf einem reellen Vektorraum und Orientierungen auf dem Rand eines Halbraumes überträgt sich auf Mannigfaltigkeiten mit Rand. Wichtig ist dabei, dass der Tangentialraum $T_{P} M$ in einem Randpunkt $P$ eine kanonische Hyperebene enthält, nämlich den Tangentialraum $T_{P} (\partial M)$ des Randes. Die Mannigfaltigkeit definiert dabei eine „innere“ und eine „äußere Hälfte“ des Tangentialraumes.

Satz

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand, die eine Orientierung trage.

Dann trägt auch die Randmannigfaltigkeit eine kanonische Orientierung, nämlich diejenige, die auf jeder Karte durch die äußere Normale festgelegt ist.

Beweis

Für jede (orientierte) Karte

α : U ⟶ V

zu $U \subseteq M$ offen wird die induzierte Karte

U \cap \partial M ⟶ V \cap \partial H

mit der Orientierung durch die äußere Normale auf $\partial H$ versehen. Nach Voraussetzung besitzen sämtliche Kartenwechsel zu $M$ in jedem Punkt eine positive Fundamentaldeterminante bezüglich der die Orientierungen repräsentierenden Basen, und wir müssen zeigen, dass dies auch für die induzierten Kartenwechsel gilt. Dabei können wir von einem offenen Kartengebiet $P \in U \subseteq M$ und zwei Karten

α_{1} : U ⟶ V_{1}

und

α_{2} : U ⟶ V_{2}

ausgehen und die Übergangsabbildung

φ = α_{2} \circ α_{1}^{- 1} : V_{1} ⟶ V_{2}

mit offenen Mengen $V_{1} \subseteq H_{1} \subset ℝ^{n}$ und $V_{2} \subseteq H_{2} \subset ℝ^{n}$ betrachten. Es sei $v_{2}, \dots, v_{n}$ eine Basis von $\partial H_{1}$ und $v_{1} \in ℝ^{n}$ derart, dass $v_{1}$ die äußere Normale von $H_{1}$ repräsentiert, dass also $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}$ die Orientierung des $ℝ^{n}$ repräsentiert (es seien $x_{1}, \dots, x_{n}$ die zugehörigen Koordinaten); ebenso sollen $w_{1}, w_{2}, \dots, w_{n} \in H_{2}$ die entsprechenden Eigenschaften erfüllen. Wir schreiben die Fundamentalmatrix von $φ$ bezüglich dieser Basen hin, also die Matrix mit den Einträgen

{(\frac{\partial φ_{i}}{\partial x_{j}} (Q))}_{1 \leq i, j \leq n} .

Die Determinante davon ist nach Voraussetzung positiv. Wegen $φ (\partial H_{1}) \subseteq \partial H_{2}$ gilt für einen Punkt $Q \in \partial H_{1}$ die Beziehung

\frac{\partial φ_{1}}{\partial x_{j}} (Q) = 0

für $j = 2, \dots, n$ . Nach dem Entwicklungssatz hängt daher das Vorzeichen der Determinante der Matrix

{(\frac{\partial φ_{i}}{\partial x_{j}} (Q))}_{2 \leq i, j \leq n},

die die Fundamentalmatrix der Übergangsabbildung der Randkarten

U_{1} \cap \partial H_{1} ⟶ U_{2} \cap \partial H_{2}

(bezüglich der Basen $v_{2}, \dots, v_{n}$ und $w_{2}, \dots, w_{n}$ ) im Punkt $Q$ ist, nur von $\frac{\partial φ_{1}}{\partial x_{1}} (Q)$ ab. Dabei gilt mit $Q = (0, a_{2}, \dots, a_{n})$ nach Lemma 44.3 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) die Beziehung

\frac{\partial φ_{1}}{\partial x_{1}} (Q) = \lim_{ϵ \to 0} \frac{φ_{1} (ϵ, a_{2}, \dots, a_{n})}{ϵ} .

Da $v_{1}$ die äußere Normale repräsentiert, ist bei negativem (betragsmäßig hinreichend kleinen) $ϵ$ der Vektor mit den Koordinaten $(ϵ, a_{2}, \dots, a_{n}) \in H_{1}$ . Daher muss der Bildvektor zu $H_{2}$ gehören und daher ist wiederum $φ_{1} (ϵ, a_{2}, \dots, a_{n}) < 0$ . Also ist dieser Quotient $\geq 0$ , was dann auch für den Limes gilt. Da ein Diffeomorphismus vorliegt, muss der Limes sogar positiv sein, woraus die Aussage folgt.

◻

Fußnoten

↑ Bei einer topologischen Mannigfaltigkeit mit Rand, wo also die Übergangsabbildungen lediglich Homöomorphien sind, gilt diese Aussage mit anderem Beweis ebenfalls.
↑ Dies ist für eine Halbgerade $H = ℝ_{\geq 0} \subseteq ℝ$ mit seinem einzigen Randpunkt ${0}$ folgendermaßen zu interpretieren. Die beiden Orientierungen auf ${0}$ sind $+$ und $-$ , und $-$ repräsentiert die Orientierung durch die äußere Normale, da für einen nach außen weisenden Vektor $w \in ℝ_{-}$ der entgegengesetzte Vektor $- w$ die Standardorientierung von $ℝ$ repräsentiert. Für den negativen Halbraum $ℝ_{\leq 0}$ repräsentiert hingegen im Nullpunkt $+$ die Orientierung durch die äußere Normale.

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[1] Bei einer topologischen Mannigfaltigkeit mit Rand, wo also die Übergangsabbildungen lediglich Homöomorphien sind, gilt diese Aussage mit anderem Beweis ebenfalls.

[2] Dies ist für eine Halbgerade $H = ℝ_{\geq 0} \subseteq ℝ$ mit seinem einzigen Randpunkt ${0}$ folgendermaßen zu interpretieren. Die beiden Orientierungen auf ${0}$ sind $+$ und $-$ , und $-$ repräsentiert die Orientierung durch die äußere Normale, da für einen nach außen weisenden Vektor $w \in ℝ_{-}$ der entgegengesetzte Vektor $- w$ die Standardorientierung von $ℝ$ repräsentiert. Für den negativen Halbraum $ℝ_{\leq 0}$ repräsentiert hingegen im Nullpunkt $+$ die Orientierung durch die äußere Normale.

[1]

[2]