Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesung 22

Wir besprechen nun eine wichtige analytische Hilfstechnik namens Partition der Eins. Wir werden sie im Beweis für die Aussage, dass orientierbare Mannigfaltigkeiten eine positive Volumenform besitzen, und für den Beweis des Satzes von Stokes einsetzen. In dieser Vorlesung werden wir Partitionen der Eins konstruieren, wozu wir zunächst einige topologische Begriffe benötigen.

Kompakte Ausschöpfung

Das offene Innere ist die Vereinigung aller inneren Punkte, also derjenigen Punkte von ${}T$ (im Bild ${}E$), die mit einer ganzen offenen Umgebung in ${}T$ enthalten sind.

Definition

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}T\subseteq X$ eine Teilmenge. Dann heißt

${}{\overline {T}}=\bigcap _{A{\text{ abgeschlossen}},\,T\subseteq A}A\,$

der Abschluss (oder topologische Abschluss) von ${}T$.

Für metrische Räume haben wir den Abschluss als Menge aller Berührpunkte schon früher eingeführt, siehe insbesondere Aufgabe 35.3 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).

Definition

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}T\subseteq X$ eine Teilmenge. Dann heißt

${}T^{o}=\bigcup _{U{\text{ offen}},\,U\subseteq T}U\,$

das offene Innere (oder Innere) von ${}T$.

Diese beiden Begriffe stehen durch

${}{\overline {T}}=X\setminus (X\setminus T)^{o}\,$

miteinander in Beziehung. Auch der Begriff des Randes überträgt sich von der metrischen Situation auf beliebige topologische Räume.

Definition

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}T\subseteq X$ eine Teilmenge. Unter dem Rand von ${}T$ versteht man die Menge

${}\operatorname {Rand} \,(T)={\overline {T}}\setminus T^{o}\,.$

Man beachte, dass dieser topologische Rand ein anderes Konzept ist als der Rand bei einer berandeten Mannigfaltigkeit, allerdings besteht eine Beziehung, die in Aufgabe 22.1 besprochen wird.

Definition

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und

$f\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Dann heißt der topologische Abschluss

${\overline {\left\{x\in X\mid f(x)\neq 0\right\}}}$

der Träger von ${}f$.

Definition

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Eine kompakte Ausschöpfung ${}A_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, von ${}X$ ist eine Folge von kompakten Teilmengen ${}A_{n}\subseteq X$ mit

$A_{n}\subseteq A_{n+1}^{o}{\text{ und }}\bigcup _{n=0}^{\infty }A_{n}=X.$

Der ${}\mathbb {R} ^{d}$ wird durch die abgeschlossenen Bälle ${}B\left(0,n\right)$, ${}n\in \mathbb {N}$. kompakt ausgeschöpft, siehe Aufgabe 22.6.

Partitionen der Eins

Lemma

Es sei ${}M$ eine Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie.

Dann besitzt ${}M$ eine kompakte Ausschöpfung.

Beweis

Zu jedem Punkt ${}P\in M$ gibt es eine offene Kartenumgebung ${}P\in U$,

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

sowie Ballumgebungen

${}U{\left(\alpha (P),\epsilon \right)}\subseteq B\left(\alpha (P),\epsilon \right)\subset V\,.$

Wegen der Homöomorphie der Kartenabbildung und der Kompaktheit der abgeschlossenen Bälle ist ${}B_{P}=\alpha ^{-1}{\left(B\left(\alpha (P),\epsilon \right)\right)}$ eine kompakte Teilmenge von ${}M$, die die offene Umgebung ${}U_{P}=\alpha ^{-1}{\left(U{\left(\alpha (P),\epsilon \right)}\right)}$ von ${}P$ umfasst. Die ${}U_{P}$, ${}P\in M$, bilden eine offene Überdeckung von ${}M$, sodass es nach Aufgabe 2.8 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)) eine abzählbare Teilüberdeckung gibt. Diese sei mit ${}U_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, bezeichnet (wobei die ${}U_{n}$ in den kompakten Teilmengen ${}B_{n}$ liegen). Wir definieren nun rekursiv eine monoton wachsende Abbildung

$\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,k\longmapsto n_{k},$

derart, dass

$A_{k}=\bigcup _{n=0}^{n_{k}}B_{n},k\in \mathbb {N} ,$

eine kompakte Ausschöpfung von ${}M$ ist. Als endliche Vereinigungen von kompakten Mengen sind diese ${}A_{k}$ kompakt. Wir beginnen mit ${}n_{0}$. Es sei ${}n_{k}$ schon konstruiert. Die Menge

$A_{k}\cup B_{n_{k}+1}$

ist kompakt und wird daher von endlich vielen offenen Mengen ${}\bigcup _{n=0}^{n_{k+1}}U_{n}$ überdeckt, wobei wir ${}n_{k+1}\geq n_{k}+1$ wählen. Mit dieser Wahl ist

${}A_{k}\subseteq \bigcup _{n=0}^{n_{k+1}}U_{n}\subseteq \bigcup _{n=0}^{n_{k+1}}B_{n}=A_{k+1}\,,$

und diese Folge bildet eine Ausschöpfung, da die ${}U_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine offene Überdeckung von ${}M$ bilden.

$\Box$

Definition

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Eine Familie von Funktionen

$h_{j}\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$

mit ${}j\in J$ heißt eine Partition der Eins, wenn folgende Eigenschaften gelten.

1. Es ist ${}h_{j}(X)\subseteq [0,1]$ für alle ${}j\in J$.
2. Jeder Punkt ${}P\in X$ besitzt eine offene Umgebung ${}P\in U$ derart, dass die eingeschränkten Funktionen ${}h_{j}{|}_{U}$ bis auf endlich viele Ausnahmen die Nullfunktion sind.
3. Es ist ${}\sum _{j\in J}h_{j}=1$.

Wenn alle ${}h_{j}$ stetig sind, so spricht man von einer stetigen Partition der Eins.

Die zweite Eigenschaft sichert dabei, dass die Summe in (3) definiert ist, da für jeden Punkt ${}P\in X$ und fast alle ${}j\in J$ die Gleichheit ${}h_{j}(P)=0$ gilt. Bei einer Mannigfaltigkeit nennt man eine solche Partition differenzierbar, wenn alle ${}h_{j}$ differenzierbare Funktionen sind.

Definition

Es sei ${}X=\bigcup _{i\in I}W_{i}$ eine offene Überdeckung eines topologischen Raumes ${}X$. Eine Partition der Eins

$h_{j}\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$

mit ${}j\in J$ heißt eine der Überdeckung untergeordnete Partition der Eins, wenn es für jedes ${}j\in J$ eine offene Menge ${}W_{i(j)}$ aus der Überdeckung derart gibt, dass der Träger von ${}h_{j}$ in ${}W_{i(j)}$ liegt.

Lemma

Es sei ${}M$ eine Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie. Es sei ${}M=\bigcup _{i\in I}W_{i}$ eine offene Überdeckung von ${}M$.

Dann gibt es einen abzählbaren verträglichen Atlas ${}{\left(U_{j},\alpha _{j},V_{j}\right)}$, ${}j\in J$, mit Ballumgebungen

${}U{\left(0,\delta _{j}\right)}\subset B\left(0,\epsilon _{j}\right)\subset V_{j}\,$

(dabei ist ${}0\in V_{j}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und ${}\delta _{j}<\epsilon _{j}$) derart, dass es für jedes ${}j\in J$ ein ${}W_{i(j)}$ mit ${}U_{j}\subseteq W_{i(j)}$ gibt, dass ${}M$ von ${}\alpha _{j}^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{j}\right)}\right)}$, ${}j\in J$, überdeckt wird und dass jeder Punkt ${}P\in M$ nur in endlich vielen der Mengen ${}U_{j}$ liegt.

Beweis

Es sei die offene Überdeckung ${}W_{i}$, ${}i\in I$, gegeben. Ferner sei ${}A_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine kompakte Ausschöpfung von ${}M$, die es nach Lemma 22.6 gibt. Die offenen Mengen ${}A_{n+1}^{o}\setminus A_{n-1}$ bilden ebenfalls eine offene Überdeckung, da es zu jedem Punkt ${}P\in M$ ein minimales ${}n\in \mathbb {N}$ mit ${}P\in A_{n}$ (es sei ${}A_{-1}=\emptyset$) gibt. Für dieses ${}n$ ist ${}P\not \in A_{n-1}$ und ${}P\in A_{n}\subseteq A_{n+1}^{o}$. Indem wir die Durchschnitte ${}W_{i}\cap {\left(A_{n+1}^{o}\setminus A_{n-1}\right)}$ betrachten, können wir annehmen, dass alle Mengen der Überdeckung innerhalb von einem ${}A_{n+1}^{o}\setminus A_{n-1}$ liegen.
Zu jedem Punkt ${}P\in M$ gibt es eine offene (verträgliche) Kartenumgebung ${}P\in U_{P}$, die in einem der ${}W_{i}$ liegt und für die es Ballumgebungen

${}U{\left(0,\delta _{P}\right)}\subset B\left(0,\epsilon _{P}\right)\subset V_{P}\,$

gibt mit ${}P\in \alpha _{P}^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{P}\right)}\right)}$ und ${}\delta _{P}<\epsilon _{P}$. Diese ${}\alpha _{P}^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{P}\right)}\right)}$, ${}P\in M$, bilden dann ebenfalls eine offene Überdeckung von ${}M$. Nach Aufgabe 2.8 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)) können wir zu einer abzählbaren Teilüberdeckung davon übergehen. Wir können also annehmen, dass ein System von Karten ${}U_{j}$, ${}j\in \mathbb {N}$, zusammen mit Ballumgebungen

${}U{\left(0,\delta _{j}\right)}\subset B\left(0,\epsilon _{j}\right)\subset V_{j}\,$

derart gegeben ist, dass auch ${}\alpha _{j}^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{j}\right)}\right)}$, ${}j\in \mathbb {N}$, eine offene Überdeckung von ${}M$ ist, dass jedes ${}U_{j}$ in einem ${}W_{i(j)}$ liegt und dass die oben beschriebene Beziehung zu der kompakten Ausschöpfung gilt.
  Wir werden eine Teilmenge ${}J\subseteq \mathbb {N}$ derart definieren, dass die Familie ${}U_{j}$, ${}j\in J$, auch noch die Endlichkeitseigenschaft erfüllt. Zu ${}n\in \mathbb {N}$ betrachten wir die kompakte Menge ${}A_{n+1}\setminus A_{n}^{o}$. Diese wird von endlich vielen der ${}\alpha _{j}^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{j}\right)}\right)}$, ${}j\in \mathbb {N}$, überdeckt, und zwar braucht man dazu nur Indizes ${}j$ mit der Eigenschaft, dass ${}U_{j}$ in ${}A_{n+2}^{o}\setminus A_{n-1}$ liegt. Die zugehörige endliche Indexmenge sei mit ${}J_{n}$ bezeichnet, und sei ${}J=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }J_{n}$. Dann wird jedes ${}A_{n}$ nur von endlich vielen der ${}U_{j}$, ${}j\in J$, getroffen.

$\Box$

Satz

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie.

Dann gibt es zu jeder offenen Überdeckung eine der Überdeckung untergeordnete stetig differenzierbare Partition der Eins.

Beweis

Nach Lemma 22.9 können wir davon ausgehen, dass eine offene Überdeckung aus Kartengebieten ${}U_{j}$, ${}j\in J$, (${}J$ abzählbar) mit

$\alpha _{j}\colon U_{j}\longrightarrow V_{j}$

und mit Ballumgebungen

${}U{\left(0,\delta _{j}\right)}\subset B\left(0,\epsilon _{j}\right)\subset V_{j}\,$

(mit ${}\delta _{j}<\epsilon _{j}$) vorliegt derart, dass auch die ${}\alpha _{j}^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{j}\right)}\right)}$ eine Überdeckung von ${}M$ bilden und dass jeder Punkt ${}P\in M$ nur in endlich vielen der ${}U_{j}$ und insbesondere nur in endlich vielen dieser ${}\alpha _{j}^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{j}\right)}\right)}$ enthalten ist. Auf ${}V_{j}$ betrachten wir die Funktion ${}g_{j}$, die durch

${}g_{j}(v)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{{\left(\delta _{j}^{2}-\Vert {v}\Vert ^{2}\right)}^{2}}}}{\text{ für }}\Vert {v}\Vert <\delta _{j}\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

definiert ist. Diese Funktion hat genau auf ${}U{\left(0,\delta _{j}\right)}$ einen positiven Wert und ihr Träger ist ${}B\left(0,\delta _{j}\right)$. Eine Betrachtung auf den beiden offenen Teilmengen (die ${}V_{j}$ überdecken) ${}U{\left(0,\epsilon _{j}\right)}$ und ${}V_{j}\setminus B\left(0,\delta _{j}\right)$ zeigt, dass ${}g_{j}$ unendlich oft differenzierbar ist. Wir definieren eine Funktion

${\tilde {g}}_{j}\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

durch

${}{\tilde {g}}_{j}(x)={\begin{cases}g(\alpha _{j}(x)){\text{ für }}x\in \alpha _{j}^{-1}(U{\left(0,\delta _{j}\right)})\,,\\0{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$

Diese Funktion ist stetig differenzierbar auf ${}M$, da der „Streifen“ ${}B\left(0,\epsilon _{j}\right)\setminus U{\left(0,\delta _{j}\right)}$ einen glatten Übergang erlaubt. Wir setzen

${}{\tilde {g}}(x):=\sum _{j\in J}{\tilde {g}}_{j}(x)\,,$

wobei dies für jeden Punkt eine endliche Summe ist, da der Träger von ${}{\tilde {g}}_{j}$ in

${}\alpha ^{-1}{\left(B\left(0,\delta _{j}\right)\right)}\subset U_{j}\,$

liegt. Diese Funktion ist stetig differenzierbar auf ${}M$ und überall positiv, da die ${}{\tilde {g}}_{j}(x)$ auf den überdeckenden Mengen ${}\alpha ^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{j}\right)}\right)}$ positiv sind. Dann bilden die

${}h_{j}={\frac {{\tilde {g}}_{j}}{\tilde {g}}}\,$

die gesuchte Partition der Eins.

$\Box$

Orientierungen auf Mannigfaltigkeiten und Volumenformen

Mit Hilfe von Partitionen der Eins können wir nun die Umkehrung von Lemma 15.5 beweisen.

Satz

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie.

Dann existiert genau dann eine stetige nullstellenfreie Volumenform auf ${}M$, wenn ${}M$ orientierbar ist.

Diese Volumenform kann dann auch stetig differenzierbar und positiv gewählt werden.

Beweis

Die eine Richtung wurde bereits in Lemma 15.5 bewiesen.
Es sei also umgekehrt ${}M$ orientierbar und ein abzählbarer orientierter Atlas ${}(U_{i},V_{i},\alpha _{i})$, ${}i\in I$, von ${}M$ gegeben. Dabei ist ${}V_{i}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und die Koordinaten ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ definieren eine nullstellenfreie stetige (sogar beliebig oft differenzierbare) Volumenfom ${}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$ auf ${}V_{i}$. Wir setzen

${}\omega _{i}=\alpha _{i}^{*}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,$

und erhalten so eine nullstellenfreie Volumenform auf ${}U_{i}$, die wir außerhalb von ${}U_{i}$ durch ${}0$ fortsetzen.

Es sei nun ${}h_{j}$, ${}j\in J$, eine der Überdeckung ${}U_{i}$, ${}i\in I$, untergeordnete, stetig differenzierbare Partition der Eins, die es nach Satz 22.10 gibt. Insbesondere gibt es also für jedes ${}j$ ein ${}i(j)$ derart, dass der Träger von ${}h_{j}$ in ${}U_{i(j)}$ liegt. Daher sind die ${}h_{j}\omega _{i(j)}$ stetige ${}n$-Differentialformen auf ${}M$. Wir setzen

${}\omega =\sum _{j\in J}h_{j}\omega _{i(j)}\,.$

Dies ist für jeden Punkt ${}P\in M$ eine endliche Summe und somit eine wohldefinierte stetige ${}n$-Differentialform auf ${}M$. Für einen Punkt ${}P\in M$ und eine die Orientierung repräsentierende Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}T_{P}M$ ist

${}\omega (P;v_{1},\ldots ,v_{n})=\sum _{j\in J}h_{j}(P)\omega _{i(j)}(P;v_{1},\ldots ,v_{n})\,.$

Dabei gibt es ein ${}j$ mit ${}h_{j}(P)>0$, und für dieses ${}j$ ist auch ${}\omega _{i(j)}(P;v_{1},\ldots ,v_{n})>0$, da ja ${}P\in U_{j}$ liegt, sodass diese Form überall positiv ist.

$\Box$

Fußnoten

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