Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 22

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei $M$ eine berandete Mannigfaltigkeit und $\partial M$ sei der Rand. Zeige, dass der topologische Rand von $M\setminus \partial M$ gleich $\partial M$ ist.

Aufgabe

Bestimme die Träger der folgenden Funktionen von $ℝ$ nach $ℝ$.

1. Eine Polynomfunktion.
2. Die Sinusfunktion.
3. Die Exponentialfunktion.
4. Die Indikatorfunktion $e_{\mathbb{Z}}$.
5. Die Indikatorfunktion $e_{\mathbb{Q}}$.
6. Die Indikatorfunktion $e_{[a,b]}$.
7. Die Indikatorfunktion $e_{]a,b[}$.

Aufgabe

Es sei

$f:X⟶ℝ$

eine Funktion auf einem topologischen Raum $X$. Es gebe eine offene Teilmenge  $U\subseteq X$,  die den Träger von $f$ umfasse. Zeige, dass $f$ genau dann stetig ist, wenn die Einschränkung $f{|}_U$ stetig ist.

Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum und  $T\subseteq X$  eine Teilmenge. Zeige, dass der Abschluss von $T$ gleich dem Träger der Indikatorfunktion $e_T$ ist.

Aufgabe

Man gebe eine kompakte Ausschöpfung für die reellen Zahlen $ℝ$ an.

Aufgabe *

Man gebe eine kompakte Ausschöpfung für den ${ℝ}^d$ an.

Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum. Bestimme zur Überdeckung von $X$ durch $X$ eine untergeordnete Partition der Eins.

Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum und  $X=\bigcup _{i\in I}{U}_i$  eine offene Überdeckung. Wir betrachten die Familie der Indikatorfunktionen

$e_P,P\in X.$

Welche Eigenschaften einer (dieser Überdeckung) untergeordneten Partition der Eins erfüllt diese Familie?

Aufgabe

Wir betrachten die kompakte Ausschöpfung $A_n=[-n,n]$, $n\in \mathbb{N}$, der reellen Zahlen und die offene Überdeckung $W_n=A_{n+1}^o\setminus A_{n-1}$, $n\in \mathbb{N}$, (es sei $A_{-1}=\mathrm{\varnothing }$). Finde eine Überdeckung von $ℝ$ mit offenen Intervallen, die die Eigenschaften aus Lemma 22.9 (und seinem Beweis) erfüllt.

Aufgabe

Man konstruiere eine Folge von stetigen Funktionen

$f_n:[0,1]⟶[0,1]$

zu  $n\in \mathbb{N}$,  die eine Partition der Eins bilden und die Eigenschaft erfüllen, dass $0$ zum Träger einer jeden Funktion $f_n$ gehört.

Aufgabe

Es sei  $V\subseteq H$  eine offene Menge im Halbraum  $H\subset {ℝ}^n$  und sei

$f:V⟶ℝ$

eine stetig differenzierbare Funktion. Zeige, dass es eine offene Menge  $\tilde{V}\subseteq {ℝ}^n$  und eine stetig differenzierbare Funktion

$\tilde{f}:\tilde{V}⟶ℝ$

mit  $\tilde{V}\cap H=V$  und  $\tilde{f}{|}_{\tilde{V}}=f$  gibt.

Aufgabe

Es sei

$f:ℝ⟶ℝ$

eine stetig differenzierbare Funktion mit kompaktem Träger. Zeige, dass die Ableitung $f^{\prime }$ ebenfalls kompakten Träger hat, und dass  ${\int }_{ℝ}{f}^{\prime }d{\lambda }^1=0$  ist.

Aufgabe

Es sei

$f:{ℝ}_{\ge 0}⟶ℝ$

eine stetig differenzierbare Funktion mit kompaktem Träger. Zeige, dass die Ableitung $f^{\prime }$ ebenfalls kompakten Träger hat, und dass  ${\int }_{{ℝ}_{\ge 0}}{f}^{\prime }d{\lambda }^1=-f(0)$  ist. Zeige, dass diese Aussage nicht gelten muss, wenn $f$ keinen kompakten Träger besitzt.

Aufgabe

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie. Zeige, dass es eine riemannsche Struktur auf $X$ gibt.

Aufgabe

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie und sei $p:E\to X$ ein differenzierbares Vektorbündel über $X$. Zeige, dass man $E$ mit der Struktur eines riemannschen Vektorbündels versehen kann.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $A_n$, $n\in \mathbb{N}$, eine kompakte Ausschöpfung eines topologischen Raumes $X$. Zeige, dass die Beziehung

$A_{n+1}\setminus A_n^o\subseteq A_{n+2}^o\setminus A_{n-1}$

gilt.

Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe zur offenen Überdeckung

$ℝ=\bigcup _{n\in \mathbb{Z}}]n,n+3[$

eine untergeordnete stetige Partition der Eins an.

Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten die kompakte Ausschöpfung

$A_n=B(0,n),n\in \mathbb{N},$

des ${ℝ}^2$ und die offene Überdeckung

$W_n=A_{n+1}^o\setminus A_{n-1},n\in \mathbb{N},$

(es sei $A_{-1}=\mathrm{\varnothing }$). Finde eine Überdeckung des ${ℝ}^2$ mit offenen Kreisscheiben, die die Eigenschaften aus Lemma 22.9 (und seinem Beweis) erfüllt.

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen topologischen Raum, der keine kompakte Ausschöpfung besitzt.