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Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 22

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Übungsaufgaben

Es sei eine berandete Mannigfaltigkeit und sei der Rand. Zeige, dass der topologische Rand von gleich ist.



Bestimme die Träger der folgenden Funktionen von nach .

  1. Eine Polynomfunktion.
  2. Die Sinusfunktion.
  3. Die Exponentialfunktion.
  4. Die Indikatorfunktion .
  5. Die Indikatorfunktion .
  6. Die Indikatorfunktion .
  7. Die Indikatorfunktion .



Es sei

eine Funktion auf einem topologischen Raum . Es gebe eine offene Teilmenge , die den Träger von umfasse. Zeige, dass genau dann stetig ist, wenn die Einschränkung stetig ist.



Es sei ein topologischer Raum und eine Teilmenge. Zeige, dass der Abschluss von gleich dem Träger der Indikatorfunktion ist.



Man gebe eine kompakte Ausschöpfung für die reellen Zahlen an.



Man gebe eine kompakte Ausschöpfung für den an.



Es sei ein topologischer Raum. Bestimme zur Überdeckung von durch eine untergeordnete Partition der Eins.



Es sei ein topologischer Raum und eine offene Überdeckung. Wir betrachten die Familie der Indikatorfunktionen

Welche Eigenschaften einer (dieser Überdeckung) untergeordneten Partition der Eins erfüllt diese Familie?



Wir betrachten die kompakte Ausschöpfung , , der reellen Zahlen und die offene Überdeckung , , (es sei ). Finde eine Überdeckung von mit offenen Intervallen, die die Eigenschaften aus Lemma 22.9 (und seinem Beweis) erfüllt.



Man konstruiere eine Folge von stetigen Funktionen

zu , die eine Partition der Eins bilden und die Eigenschaft erfüllen, dass zum Träger einer jeden Funktion gehört.



Es sei eine offene Menge im Halbraum und sei

eine stetig differenzierbare Funktion. Zeige, dass es eine offene Menge und eine stetig differenzierbare Funktion

mit und gibt.



Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion mit kompaktem Träger. Zeige, dass die Ableitung ebenfalls kompakten Träger hat, und dass ist.



Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion mit kompaktem Träger. Zeige, dass die Ableitung ebenfalls kompakten Träger hat, und dass ist. Zeige, dass diese Aussage nicht gelten muss, wenn keinen kompakten Träger besitzt.



Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie. Zeige, dass es eine riemannsche Struktur auf gibt.



Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie und sei ein differenzierbares Vektorbündel über . Zeige, dass man mit der Struktur eines riemannschen Vektorbündels versehen kann.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei , , eine kompakte Ausschöpfung eines topologischen Raumes . Zeige, dass die Beziehung

gilt.



Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe zur offenen Überdeckung

eine untergeordnete stetige Partition der Eins an.



Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten die kompakte Ausschöpfung

des und die offene Überdeckung

(es sei ). Finde eine Überdeckung des mit offenen Kreisscheiben, die die Eigenschaften aus Lemma 22.9 (und seinem Beweis) erfüllt.



Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen topologischen Raum, der keine kompakte Ausschöpfung besitzt.




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