Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 22

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine berandete Mannigfaltigkeit und ${}\partial M$ sei der Rand. Zeige, dass der topologische Rand von ${}M\setminus \partial M$ gleich ${}\partial M$ ist.

Aufgabe

Bestimme die Träger der folgenden Funktionen von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$.

1. Eine Polynomfunktion.
2. Die Sinusfunktion.
3. Die Exponentialfunktion.
4. Die Indikatorfunktion ${}e_{\mathbb {Z} }$.
5. Die Indikatorfunktion ${}e_{\mathbb {Q} }$.
6. Die Indikatorfunktion ${}e_{[a,b]}$.
7. Die Indikatorfunktion ${}e_{]a,b[}$.

Aufgabe

Es sei

$f\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion auf einem topologischen Raum ${}X$. Es gebe eine offene Teilmenge ${}U\subseteq X$, die den Träger von ${}f$ umfasse. Zeige, dass ${}f$ genau dann stetig ist, wenn die Einschränkung ${}f{|}_{U}$ stetig ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}T\subseteq X$ eine Teilmenge. Zeige, dass der Abschluss von ${}T$ gleich dem Träger der Indikatorfunktion ${}e_{T}$ ist.

Aufgabe

Man gebe eine kompakte Ausschöpfung für die reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ an.

Aufgabe *

Man gebe eine kompakte Ausschöpfung für den ${}\mathbb {R} ^{d}$ an.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Bestimme zur Überdeckung von ${}X$ durch ${}X$ eine untergeordnete Partition der Eins.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung. Wir betrachten die Familie der Indikatorfunktionen

$e_{P},P\in X.$

Welche Eigenschaften einer (dieser Überdeckung) untergeordneten Partition der Eins erfüllt diese Familie?

Aufgabe

Wir betrachten die kompakte Ausschöpfung ${}A_{n}=[-n,n]$, ${}n\in \mathbb {N}$, der reellen Zahlen und die offene Überdeckung ${}W_{n}=A_{n+1}^{o}\setminus A_{n-1}$, ${}n\in \mathbb {N}$, (es sei ${}A_{-1}=\emptyset$). Finde eine Überdeckung von ${}\mathbb {R}$ mit offenen Intervallen, die die Eigenschaften aus Lemma 22.9 (und seinem Beweis) erfüllt.

Aufgabe

Man konstruiere eine Folge von stetigen Funktionen

$f_{n}\colon [0,1]\longrightarrow [0,1]$

zu ${}n\in \mathbb {N}$, die eine Partition der Eins bilden und die Eigenschaft erfüllen, dass ${}0$ zum Träger einer jeden Funktion ${}f_{n}$ gehört.

Aufgabe

Es sei ${}V\subseteq H$ eine offene Menge im Halbraum ${}H\subset \mathbb {R} ^{n}$ und sei

$f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion. Zeige, dass es eine offene Menge ${}{\tilde {V}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und eine stetig differenzierbare Funktion

${\tilde {f}}\colon {\tilde {V}}\longrightarrow \mathbb {R}$

mit ${}{\tilde {V}}\cap H=V$ und ${}{\tilde {f}}{|}_{\tilde {V}}=f$ gibt.

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion mit kompaktem Träger. Zeige, dass die Ableitung ${}f'$ ebenfalls kompakten Träger hat, und dass ${}\int _{\mathbb {R} }f'd\lambda ^{1}=0$ ist.

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion mit kompaktem Träger. Zeige, dass die Ableitung ${}f'$ ebenfalls kompakten Träger hat, und dass ${}\int _{\mathbb {R} _{\geq 0}}f'd\lambda ^{1}=f(0)$ ist. Zeige, dass diese Aussage nicht gelten muss, wenn ${}f$ keinen kompakten Träger besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie. Zeige, dass es eine riemannsche Struktur auf ${}X$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie und sei ${}p\colon E\rightarrow X$ ein differenzierbares Vektorbündel über ${}X$. Zeige, dass man ${}E$ mit der Struktur eines riemannschen Vektorbündels versehen kann.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}A_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine kompakte Ausschöpfung eines topologischen Raumes ${}X$. Zeige, dass die Beziehung

$A_{n+1}\setminus A_{n}^{o}\subseteq A_{n+2}^{o}\setminus A_{n-1}$

gilt.

Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe zur offenen Überdeckung

${}\mathbb {R} =\bigcup _{n\in \mathbb {Z} }]n,n+3[\,$

eine untergeordnete stetige Partition der Eins an.

Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten die kompakte Ausschöpfung

$A_{n}=B\left(0,n\right),n\in \mathbb {N} ,$

des ${}\mathbb {R} ^{2}$ und die offene Überdeckung

$W_{n}=A_{n+1}^{o}\setminus A_{n-1},n\in \mathbb {N} ,$

(es sei ${}A_{-1}=\emptyset$). Finde eine Überdeckung des ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit offenen Kreisscheiben, die die Eigenschaften aus Lemma 22.9 (und seinem Beweis) erfüllt.

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen topologischen Raum, der keine kompakte Ausschöpfung besitzt.