Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Vorlesung 14

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Weildivisoren

Definition  

Es sei eine irreduzible glatte Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper . Unter einem Weildivisor versteht man eine formale endliche Summe .


Definition  

Es sei eine irreduzible glatte Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und sei , , ein Element des Funktionenkörpers. Man nennt den Hauptdivisor zu .


Definition  

Zwei Divisoren auf einer glatten Kurve heißen linear äquivalent, wenn ein Hauptdivisor ist.


Definition  

Es sei eine irreduzible glatte Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper mit Funktionenkörper . Dann nennt man die Restklassengruppe

die Divisorenklassengruppe von .


Definition  

Es sei eine glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper . Zu einem Weildivisor auf ist der Grad als

definiert.



Definition  

Zu einem nichtkonstanten Morphismus

zwischen glatten Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und einem Weildivisor auf nennt man

den zurückgezogenen Weildivisor.



Satz  

Zu einem nichtkonstanten Morphismus

zwischen irreduziblen glatten Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und einem Hauptdivisor auf mit , ,

stimmt der zurückgezogene Divisor mit dem Hauptdivisor zu auf überein.

Beweis  

Wegen der Nichtkonstanz gehört zu eine Körpererweiterung und zu jedem Punkt liegt ein kommutatives Diagramm

von injektiven Ringhomomorphismen vor, wobei in der ersten Zeile diskrete Berwertungsringe stehen. Wenn

mit einer Einheit und einer Ortsuniformisierenden gilt, so ist

mit einer Orstuniformisierenden von , woraus die Aussage folgt.




Korollar  

Es sei eine glatte irreduzible Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und sei der Funktionenkörper von . Es sei , , und

der nach Lemma 13.3 zugehörige Morphismus zu einem Element .

Dann gilt für den zurückgezogenen Divisor

Beweis  

Der Funktionenkörper der projektiven Geraden ist mit . Die Erweiterung der Funktionenkörper ist durch

gegeben. Der Hauptdivisor zu ist . Daher folgt die Aussage aus Satz 14.7.




Satz  

Es sei eine glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper .

Dann ist der Grad eines Hauptdivisors gleich .

Beweis  

Für konstant ist die Aussage klar. Sei also nicht konstant. Wir betrachten den zugehörigen endlichen Morphismus

vom Grad . Nach Korollar 14.3 ist

Nach Satz 13.2 besitzen die beiden schematheoretischen Fasern beide die -Dimension und diese ist die Gesamtmultiplizität der Faser.


Divisorenklassengruppe vom Grad modulo Hauptdivisoren.


Definition  

Zu einem nichtkonstanten Morphismus

zwischen glatten Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und einem Weildivisor auf nennt man

den vorgeschobenen Weildivisor.

Die entscheidende Eigenschaft ist, dass ein Punkt auf den Punkt abgebildet wird, dies legt den Gruppenhomomorphismus fest.



Lemma  

Es sei ein endlicher Morphismus vom Grad zwischen irreduziblen, glatten Kurven. Dann gelten die folgenden Eigenschaften.

  1. Zu einem weiteren endlichen Morphismus ist .
  2. Zu einem Divisor auf ist
  3. Zu einem Weildivisor auf ist

Beweis  

(1) ist klar, bei (2) und (3) genügt es, die Aussagen für einen einzelnen Punkt zu zeigen. (2) ist dann klar, (3) folgt aus Satz 13.2.




Lemma  

Es sei ein endlicher Morphismus vom Grad zwischen irreduziblen, glatten Kurven, die zugehörige Körpererweiterung der Funktionenkörper sei galoissch mit Galoisgruppe .

  1. Zu einem Weildivisor auf ist

    für .

  2. Zu ist
  3. Zu einem Hauptdivisor mit , , ist

    wobei die Norm bezeichnet.

Beweis  

Wegen der Endlichkeit der Abbildung operiert die Galoisgruppe auf , siehe Satz 21.2 (Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)). (1) folgt direkt aus der Funktorialität des Vorschubs. (2) ergibt sich unter Verwendung von Lemma 14.11  (3) und Satz 14.7 mit

(3). Es ist

In der Divisorengruppe zu gilt

und daher ist nach (1) und (2)

Da die Divisorengruppe torsionsfrei ist, folgt die Gleichheit.




Lemma  

Es sei ein endlicher Morphismus vom Grad zwischen irreduziblen, glatten Kurven.

Dann werden unter

Hauptdivisoren auf Hauptdivisoren abgebildet.

Insbesondere induziert der Morphismus einen Homomorphismus

der Divisorenklassengruppen.

Beweis  

Die Erweiterung der Funktionenkörper besitzt nach Fakt ***** einen Zwischenkörper derart, dass separabel und rein-inseparabel ist. Dem entspricht eine Faktorisierung

Es genügt also, die Aussage für eine separable Kurvenabbildung und eine rein-inseparable Kurvenabbildung zu zeigen. Im zweiten Fall liegt eine Verknüpfung von Frobenius-Morphismen vor, für diese ist die Identität. Den separablen Fall kann man auf den Galoisfall zurückführen, der in Lemma 14.12  (3) behandelt wurde. Es sei insgesamt galoissch und mit einer weiteren Kurve endlich über . Wir betrachten also die Situation

Zu behaupten wir wieder

Es ist

Nach Lemma 14.11  (3), Satz 14.7, Lemma 14.12  (3) und Gesetzen für die Norm ist



Weildivisoren auf elliptischen Kurven



Lemma  

Es sei eine elliptische Kurve über dem algebraisch abgeschlossenen Körper mit dem Nullpunkt . Es seien .

Dann gibt es einen Punkt derart, dass die Divisoren und zueinander linear äquivalent sind.

Beweis  

Es sei mit homogen vom Grad . Bei betrachten wir die projektive Gerade durch die beiden Punkte. Bei betrachten wir die Tangente

an den Punkt. Es wird durch eine Linearform beschrieben. Der Weil-Divisor zu dieser Linearform ist , da ja aus drei Punkten (mit Multiplizitäten) besteht. Die Punkte definieren in der gleichen Weise eine weitere Gerade und eine zugehörige Linearform mit . Die Funktion ist eine rationale Funktion auf und definiert den Hauptdivisor

Damit ist .




Satz  

Es sei eine elliptische Kurve über dem algebraisch abgeschlossenen Körper mit dem Nullpunkt .

Dann ist die Abbildung

ein Gruppenisomorphismus.

Beweis  

Wir zeigen zuerst die Injektivität. Seien verschiedene Punkte. Wenn und zueinander linear äquivalent sind, so sind auch und zueinander linear äquivalent. Dann gibt es eine rationale Funktion auf mit . Wenn wir als einen Morphismus nach auffassen, so hat dieser nach Korollar 14.3 den Grad . Doch dann wäre die elliptische Kurve isomorph zu .

Zum Nachweis der Surjektivität sei ein Divisor vom Grad gegeben, sagen wir , wobei Punkte mehrfach vorkommen können. Mit Hilfe von Lemma 14.5 kann man zeigen, dass dieser Divisor linear äquivalent zu

Die Punkte und definieren wie in Lemma 14.5 eine Gerade und einen dritten Schnittpunkt . Ebenso definieren und eine Gerade und einen dritten Schnittpunkt . Es ist dann

Zum Nachweis der Homomorphie seien Punkte gegeben. Es sei die durch und gegebene Gerade mit der Linearform und dem dritten Schnittpunkt und es sei die Gerade durch und mit der Linearform und dem dritten Schnittpunkt . Nach Definition ist gleich in der Gruppenstruktur auf der elliptischen Kurve. In der Divisorenklassengruppe ist

es liegt also ein Gruppenhomomorphismus vor.



Satz  

Es seien elliptische Kurven über einem Körper und sei

eine Isogenie.

Dann ist ein Homomorphismus bezüglich der Gruppenstrukturen auf den Kurven.

Beweis  

Wir können annehmen, dass algebraisch abgeschlossen ist. Es liegt ein kommutatives Diagramm

vor, da

ist. Die horizontalen Abbildungen sind nach Satz 14.13 Gruppenisomorphismen. Die vertikale Abbildung rechts ist nach Lemma 14.13 ein Gruppenhomomorphismus. Daher ist auch die vertikale Abbildung links ein Gruppenhomomorphismus.




Satz  

Es sei eine separable Isogenie zwischen den elliptischen Kurven und .

Dann ist étale.

Beweis  

Aufgrund der Separabilität gibt es nach Satz 13.5 eine nichtleere offene affine Teilmenge derart, dass auch affin ist und die eingeschränkte Abbildung

die Eigenschaft besitzt, dass der Kählermodul gleich ist. Aus Satz 13.4 folgt somit, dass über einem jeden Punkt genau Punkte liegen, wobei den Grad der Kurvenabbildung bezeichnet. Es sei nun ein beliebiger Punkt und sei ein Punkt oberhalb von . Wir fixieren einen Punkt und einen Punkt oberhalb von . Wir betrachten die Translation auf von nach und die Translation auf von nach . Nach Satz 14.16 gilt

d.h. das Diagramm

kommutiert. D.h. durch wird die Faser über isomorph in die Faser über überführt und besteht auch aus genau Punkten.




Korollar  

Es sei eine separable Isogenie zwischen den elliptischen Kurven und über einem Körper .

Dann besteht

aus vielen Punkten.

Beweis  

Dies folgt aus Satz 14.17, da nach Satz 13.4 für einen étalen Morphismus zwischen glatten projektiven Kurven die Anzahl der Punkte über dem algebraischen Abschluss in jeder Faser konstant gleich dem Grad ist.


Wenn eine elliptische Kurve über dem Körper und eine endliche Körpererweiterung ist, so ist

endlich étale, aber über einem -Punkt liegen nicht verschiedene -Punkte, sondern ein -Punkt. Wenn algebraisch abgeschlossen ist, so liegen bei einer étalen Erweiterung vom Grad über jedem Punkt Punkte.



Korollar  

Es sei eine separable Isogenie zwischen den elliptischen Kurven und über einem algebraisch abgeschlossenen Körper .

Dann ist

Beweis  

Dies ist ein Spezialfall von Korollar 13.5.


Elliptische Kurve/Isogenie/Duale Isogenie/Textabschnitt




Satz  

Es seien und elliptische Kurven über einem Körper .

Dann ist der Grad

eine positiv definite quadratische Form (hierbei bekommt die konstante Abbildung nach den Grad ).

Beweis  

Die Positivität ist klar, das quadratische Verhalten bei Multiplikation mit auf ergibt sich aus Fakt *****.


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