Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 14

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Beweise Satz 14.1 direkt für ein Polynom .


Aufgabe

Es sei offen, eine komplex-differenzierbare Funktion und ein Punkt. Zeige, dass die Potenzreihe von in auf jeder offenen Kreisscheibe mit konvergiert und dort die Funktion darstellt.


Die folgende Aussage kann man auch direkt durch Induktion zeigen, siehe Aufgabe 18.31 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) für den reellen Fall.

Aufgabe

Es sei offen und seien

zwei -mal differenzierbare Funktionen. Zeige

mit Satz 14.2.


Aufgabe

Es sei , seien

holomorphe Funktionen und sei eine Standardumrundung von innerhalb von . Zeige, dass die Identität

gilt.


Aufgabe

Beweise Lemma 10.2 mit Lemma 1.7 und Satz 14.2.


Aufgabe

Beweise Satz 10.7 (zumindest die Aussage, dass die Hintereinanderschaltung von zwei konvergenten Potenzreihen wieder eine konvergente Potenzreihe ergibt) mit Satz 1.8 und Satz 14.2.


Die folgende Aufgabe schließt an Aufgabe 10.11 an.

Aufgabe

Es sei ein Punkt und sei die Menge aller Keime von holomorphen Funktionen

die in einer offenen Umgebung von definiert sind (siehe Aufgabe 10.9). Zeige, dass mit dem Ring der konvergenten Potenzreihen übereinstimmt.


Aufgabe

Es sei eine holomorphe Funktion, und . Zeige, dass der Ringhomomorphismus zwischen den Keimen von holomorphen Funktionen (siehe Aufgabe 10.12)

mit dem Einsetzungshomomorphismus

zwischen den Ringen der konvergenten Potenzreihen übereinstimmt.


Aufgabe

Zeige, dass die Hauptsätze der Funktionentheorie wie Satz 14.2, Satz 14.6, Korollar 14.7, Korollar 14.8, Satz 14.10, Satz 15.2, Satz 15.5 und Satz 15.8 nicht im Reellen gelten.


Aufgabe

Zeige, dass die Hauptsätze der Funktionentheorie wie Satz 14.6, Korollar 14.7, Korollar 14.8, Satz 14.10, Satz 15.2, Satz 15.5 und Satz 15.8 nicht ohne die Voraussetzung, dass der Definitionsbereich zusammenhängend ist, gelten.


Aufgabe

Es sei eine offene Kreisscheibe und . Es sei eine holomorphe Funktion auf und sei eine holomorphe Funktion auf . Es erfülle die Gleichung

auf . Zeige, dass auf ganz holomorph ist.


Für die folgende Aufgabe ist Aufgabe 1.11 hilfreich.

Aufgabe

Es sei eine offene Kreisscheibe und . Es sei eine holomorphe Funktion auf und seien holomorphe Funktionen auf . Es erfülle die Ganzheitsgleichung

auf . Zeige, dass auf ganz holomorph ist.


Aufgabe

Zeige, dass in keiner Umgebung von beschränkt ist.


Aufgabe

Zeige, dass eine diskrete Teilmenge abzählbar ist.


Aufgabe

Zeige, dass eine Vereinigung von diskreten Teilmengen wieder diskret ist.


Aufgabe

Es sei eine nicht diskrete Teilmenge. Zeige, dass es dann einen Punkt und eine Folge gibt mit für alle , die gegen konvergiert.


Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für eine diskrete Teilmenge , die nicht abgeschlossen ist.


Aufgabe

Zeige, dass es eine holomorphe Funktion auf gibt, die in jedem Stammbruch , , eine Nullstelle besitzt.


Aufgabe

Es sei eine holomorphe Funktion. Die Menge der Fixpunkte von besitze einen Häufungspunkt. Zeige, dass die Identität ist.


Aufgabe *

Es sei ein Gebiet und sei eine holomorphe Funktion mit der Eigenschaft: Es gebe einen Punkt mit und

für alle . Zeige, dass dann konstant ist.


Aufgabe *

Bestimme die Maxima von auf .


Aufgabe

Bestimme die Maxima von auf dem Quadrat .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei , seien

holomorphe Funktionen und sei eine Standardumrundung von innerhalb von . Zeige, dass für jedes die Identität

gilt.


Aufgabe (2 Punkte)

Beweise Satz 10.8 mit Korollar 5.3 und Satz 14.2.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei eine holomorphe Funktion mit für alle . Zeige


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei . Zeige, dass in keiner Umgebung von beschränkt ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die Maxima von auf .




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