Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 14

Übungsaufgaben

Aufgabe

Beweise Satz 14.1 direkt für ein Polynom ${}f$ .

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen, ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine komplex-differenzierbare Funktion und ${}a\in U$ ein Punkt. Zeige, dass die Potenzreihe von ${}f$ in ${}a$ auf jeder offenen Kreisscheibe ${}U{\left(a,r\right)}$ mit ${}U{\left(a,r\right)}\subseteq U$ konvergiert und dort die Funktion ${}f$ darstellt.

Die folgende Aussage kann man auch direkt durch Induktion zeigen, siehe Aufgabe 18.31 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) für den reellen Fall.

Aufgabe

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und seien

f,g\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

zwei ${}n$ -mal differenzierbare Funktionen. Zeige

{}(f\cdot g)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(k)}\cdot g^{(n-k)}\,

mit Satz 14.2.

Aufgabe

Es sei ${}0\in U\subseteq {\mathbb {C} }$ , seien

f,g\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }

holomorphe Funktionen und sei ${}\gamma$ eine Standardumrundung von ${}0$ innerhalb von ${}U$ . Zeige, dass die Identität

{}2\pi {\mathrm {i} }\int _{\gamma }{\frac {f(z)g(z)}{z^{2}}}dz={\left(\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z^{1}}}dz\right)}{\left(\int _{\gamma }{\frac {g(z)}{z^{2}}}dz\right)}+{\left(\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z^{2}}}dz\right)}{\left(\int _{\gamma }{\frac {g(z)}{z^{1}}}dz\right)}\,

gilt.

Aufgabe

Beweise Lemma 10.2 mit Lemma 1.7 und Satz 14.2.

Aufgabe

Beweise Satz 10.7 (zumindest die Aussage, dass die Hintereinanderschaltung von zwei konvergenten Potenzreihen wieder eine konvergente Potenzreihe ergibt) mit Satz 1.8 und Satz 14.2.

Die folgende Aufgabe schließt an Aufgabe 10.11 an.

Aufgabe

Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und sei ${}R$ die Menge aller Keime von holomorphen Funktionen

f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} },

die in einer offenen Umgebung ${}U$ von ${}P$ definiert sind (siehe Aufgabe 10.9). Zeige, dass ${}R$ mit dem Ring der konvergenten Potenzreihen ${}{\mathbb {C} }\langle \!\langle T-P\rangle \!\rangle$ übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion, ${}P\in U$ und ${}Q=\varphi (P)$ . Zeige, dass der Ringhomomorphismus zwischen den Keimen von holomorphen Funktionen (siehe Aufgabe 10.12)

{\mathcal {O}}_{Q}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{P},\,[f]\longmapsto [f\circ \varphi ],

mit dem Einsetzungshomomorphismus

\varphi ^{*}\colon {\mathbb {C} }\langle \!\langle S-Q\rangle \!\rangle \longrightarrow {\mathbb {C} }\langle \!\langle T-P\rangle \!\rangle

zwischen den Ringen der konvergenten Potenzreihen übereinstimmt.

Aufgabe

Zeige, dass die Hauptsätze der Funktionentheorie wie Satz 14.2, Satz 14.6, Korollar 14.7, Korollar 14.8, Satz 14.10, Satz 15.2, Satz 15.5 und Satz 15.8 nicht im Reellen gelten.

Aufgabe

Zeige, dass die Hauptsätze der Funktionentheorie wie Satz 14.6, Korollar 14.7, Korollar 14.8, Satz 14.10, Satz 15.2, Satz 15.5 und Satz 15.8 nicht ohne die Voraussetzung, dass der Definitionsbereich zusammenhängend ist, gelten.

Aufgabe

Es sei ${}U=U{\left(0,r\right)}\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Kreisscheibe und ${}V=U\setminus \{0\}$ . Es sei ${}f$ eine holomorphe Funktion auf ${}V$ und sei ${}g$ eine holomorphe Funktion auf ${}U$ . Es erfülle ${}f$ die Gleichung

{}f^{d}=g\,

auf ${}V$ . Zeige, dass ${}f$ auf ganz ${}U$ holomorph ist.

Für die folgende Aufgabe ist Aufgabe 1.12 hilfreich.

Aufgabe

Es sei ${}U=U{\left(0,r\right)}\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Kreisscheibe und ${}V=U\setminus \{0\}$ . Es sei ${}f$ eine holomorphe Funktion auf ${}V$ und seien ${}\alpha _{0},\ldots ,\alpha _{d-1}$ holomorphe Funktionen auf ${}U$ . Es erfülle ${}f$ die Ganzheitsgleichung

{}f^{d}+\alpha _{d-1}f^{d-1}+\cdots +\alpha _{2}f^{2}+\alpha _{1}f+\alpha _{0}=0\,

auf ${}V$ . Zeige, dass ${}f$ auf ganz ${}U$ holomorph ist.

Aufgabe

Zeige, dass ${}\vert {e^{1/z}}\vert$ in keiner Umgebung von ${}0\in {\mathbb {C} }$ beschränkt ist.

Aufgabe

Zeige, dass eine diskrete Teilmenge ${}D\subseteq {\mathbb {C} }$ abzählbar ist.

Aufgabe

Zeige, dass eine Vereinigung von diskreten Teilmengen ${}D_{1},\ldots ,D_{n}\subseteq {\mathbb {C} }$ wieder diskret ist.

Aufgabe

Es sei ${}T\subseteq {\mathbb {C} }$ eine nicht diskrete Teilmenge. Zeige, dass es dann einen Punkt ${}P\in T$ und eine Folge ${}z_{n}\in T$ gibt mit ${}z_{n}\neq P$ für alle ${}n$ , die gegen ${}P$ konvergiert.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für eine diskrete Teilmenge ${}T\subseteq {\mathbb {C} }$ , die nicht abgeschlossen ist.

Aufgabe

Zeige, dass es eine holomorphe Funktion ${}\neq 0$ auf ${}U={\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ gibt, die in jedem Stammbruch ${}{\frac {1}{n}}$ , ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ , eine Nullstelle besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}f\colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion. Die Menge der Fixpunkte von ${}f$ besitze einen Häufungspunkt. Zeige, dass ${}f$ die Identität ist.

Aufgabe *

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und sei ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit der Eigenschaft: Es gebe einen Punkt ${}a\in G$ mit ${}f(a)\neq 0$ und

{}\vert {f(z)}\vert \geq \vert {f(a)}\vert \,

für alle ${}z\in G$ . Zeige, dass dann ${}f$ konstant ist.

Aufgabe *

Bestimme die Maxima von ${}\vert {z-1}\vert$ auf ${}B\left(0,1\right)$ .

Aufgabe

Bestimme die Maxima von ${}\vert {z^{3}+4z^{2}-6z}\vert$ auf dem Quadrat ${}[0\times 1]\times [0,1]$ .

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}0\in U\subseteq {\mathbb {C} }$ , seien

f,g\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }

holomorphe Funktionen und sei ${}\gamma$ eine Standardumrundung von ${}0$ innerhalb von ${}U$ . Zeige, dass für jedes ${}n\in \mathbb {N}$ die Identität

{}2\pi {\mathrm {i} }\int _{\gamma }{\frac {f(z)g(z)}{z^{n+1}}}dz=\sum _{j=0}^{n}{\left(\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z^{j+1}}}dz\right)}{\left(\int _{\gamma }{\frac {g(z)}{z^{n+1-j}}}dz\right)}\,

gilt.

Aufgabe (2 Punkte)

Beweise Satz 10.8 mit Korollar 5.3 und Satz 14.2.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}f\colon U{\left(0,1\right)}\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit ${}\vert {f(z)}\vert \leq 1$ für alle ${}z\in U{\left(0,1\right)}$ . Zeige