Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 14/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Beweise Satz 14.1 direkt für ein Polynom ${}f$.

Aufgabe Aufgabe 14.2 ändern

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen, ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine komplex-differenzierbare Funktion und ${}a\in U$ ein Punkt. Zeige, dass die Potenzreihe von ${}f$ in ${}a$ auf jeder offenen Kreisscheibe ${}U{\left(a,r\right)}$ mit ${}U{\left(a,r\right)}\subseteq U$ konvergiert und dort die Funktion ${}f$ darstellt.

Die folgende Aussage kann man auch direkt durch Induktion zeigen, siehe Aufgabe 18.31 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) für den reellen Fall.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und seien

$f,g\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

zwei ${}n$-mal differenzierbare Funktionen. Zeige

${}(f\cdot g)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(k)}\cdot g^{(n-k)}\,$

mit Satz 14.2.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}0\in U\subseteq {\mathbb {C} }$, seien

$f,g\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$

holomorphe Funktionen und sei ${}\gamma$ eine Standardumrundung von ${}0$ innerhalb von ${}U$. Zeige, dass die Identität

${}2\pi {\mathrm {i} }\int _{\gamma }{\frac {f(z)g(z)}{z^{2}}}dz={\left(\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z^{1}}}dz\right)}{\left(\int _{\gamma }{\frac {g(z)}{z^{2}}}dz\right)}+{\left(\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z^{2}}}dz\right)}{\left(\int _{\gamma }{\frac {g(z)}{z^{1}}}dz\right)}\,$

gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Beweise Lemma 10.2 mit Lemma 1.7 und Satz 14.2.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Beweise Satz 10.7 (zumindest die Aussage, dass die Hintereinanderschaltung von zwei konvergenten Potenzreihen wieder eine konvergente Potenzreihe ergibt) mit Satz 1.8 und Satz 14.2.

Die folgende Aufgabe schließt an Aufgabe 10.11 an.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und sei ${}R$ die Menge aller Keime von holomorphen Funktionen

$f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} },$

die in einer offenen Umgebung ${}U$ von ${}P$ definiert sind (siehe Aufgabe 10.9). Zeige, dass ${}R$ mit dem Ring der konvergenten Potenzreihen ${}{\mathbb {C} }\langle \!\langle T-P\rangle \!\rangle$ übereinstimmt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}\varphi \colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion, ${}P\in U$ und ${}Q=\varphi (P)$. Zeige, dass der Ringhomomorphismus zwischen den Keimen von holomorphen Funktionen (siehe Aufgabe 10.12)

${\mathcal {O}}_{Q}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{P},\,[f]\longmapsto [f\circ \varphi ],$

mit dem Einsetzungshomomorphismus

$\varphi ^{*}\colon {\mathbb {C} }\langle \!\langle S-Q\rangle \!\rangle \longrightarrow {\mathbb {C} }\langle \!\langle T-P\rangle \!\rangle$

zwischen den Ringen der konvergenten Potenzreihen übereinstimmt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Hauptsätze der Funktionentheorie wie Satz 14.2, Satz 14.6, Korollar 14.7, Korollar 14.8, Satz 14.10, Satz 15.2, Satz 15.5 und Satz 15.8 nicht im Reellen gelten.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Hauptsätze der Funktionentheorie wie Satz 14.6, Korollar 14.7, Korollar 14.8, Satz 14.10, Satz 15.2, Satz 15.5 und Satz 15.8 nicht ohne die Voraussetzung, dass der Definitionsbereich zusammenhängend ist, gelten.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}U=U{\left(0,r\right)}\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Kreisscheibe und ${}V=U\setminus \{0\}$. Es sei ${}f$ eine holomorphe Funktion auf ${}V$ und sei ${}g$ eine holomorphe Funktion auf ${}U$. Es erfülle ${}f$ die Gleichung

${}f^{d}=g\,$

auf ${}V$. Zeige, dass ${}f$ auf ganz ${}U$ holomorph ist.

Für die folgende Aufgabe ist Aufgabe 1.12 hilfreich.

Aufgabe Aufgabe 14.12 ändern

Es sei ${}U=U{\left(0,r\right)}\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Kreisscheibe und ${}V=U\setminus \{0\}$. Es sei ${}f$ eine holomorphe Funktion auf ${}V$ und seien ${}\alpha _{0},\ldots ,\alpha _{d-1}$ holomorphe Funktionen auf ${}U$. Es erfülle ${}f$ die Ganzheitsgleichung

${}f^{d}+\alpha _{d-1}f^{d-1}+\cdots +\alpha _{2}f^{2}+\alpha _{1}f+\alpha _{0}=0\,$

auf ${}V$. Zeige, dass ${}f$ auf ganz ${}U$ holomorph ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass ${}\vert {e^{1/z}}\vert$ in keiner Umgebung von ${}0\in {\mathbb {C} }$ beschränkt ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass eine diskrete Teilmenge ${}D\subseteq {\mathbb {C} }$ abzählbar ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass eine Vereinigung von diskreten Teilmengen ${}D_{1},\ldots ,D_{n}\subseteq {\mathbb {C} }$ wieder diskret ist.

Aufgabe Aufgabe 14.16 ändern

Es sei ${}T\subseteq {\mathbb {C} }$ eine nicht diskrete Teilmenge. Zeige, dass es dann einen Punkt ${}P\in T$ und eine Folge ${}z_{n}\in T$ gibt mit ${}z_{n}\neq P$ für alle ${}n$, die gegen ${}P$ konvergiert.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für eine diskrete Teilmenge ${}T\subseteq {\mathbb {C} }$, die nicht abgeschlossen ist.

Aufgabe Aufgabe 14.18 ändern

Zeige, dass es eine holomorphe Funktion ${}\neq 0$ auf ${}U={\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ gibt, die in jedem Stammbruch ${}{\frac {1}{n}}$, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$, eine Nullstelle besitzt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}f\colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion. Die Menge der Fixpunkte von ${}f$ besitze einen Häufungspunkt. Zeige, dass ${}f$ die Identität ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und sei ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit der Eigenschaft: Es gebe einen Punkt ${}a\in G$ mit ${}f(a)\neq 0$ und

${}\vert {f(z)}\vert \geq \vert {f(a)}\vert \,$

für alle ${}z\in G$. Zeige, dass dann ${}f$ konstant ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme die Maxima von ${}\vert {z-1}\vert$ auf ${}B\left(0,1\right)$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Maxima von ${}\vert {z^{3}+4z^{2}-6z}\vert$ auf dem Quadrat ${}[0\times 1]\times [0,1]$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}0\in U\subseteq {\mathbb {C} }$, seien

$f,g\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$

holomorphe Funktionen und sei ${}\gamma$ eine Standardumrundung von ${}0$ innerhalb von ${}U$. Zeige, dass für jedes ${}n\in \mathbb {N}$ die Identität

${}2\pi {\mathrm {i} }\int _{\gamma }{\frac {f(z)g(z)}{z^{n+1}}}dz=\sum _{j=0}^{n}{\left(\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z^{j+1}}}dz\right)}{\left(\int _{\gamma }{\frac {g(z)}{z^{n+1-j}}}dz\right)}\,$

gilt.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise Satz 10.8 mit Korollar 5.3 und Satz 14.2.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}f\colon U{\left(0,1\right)}\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit ${}\vert {f(z)}\vert \leq 1$ für alle ${}z\in U{\left(0,1\right)}$. Zeige

${}\vert {f'(0)}\vert \leq 1\,.$

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass ${}\vert {z^{n}e^{1/z}}\vert$ in keiner Umgebung von ${}0\in {\mathbb {C} }$ beschränkt ist.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Maxima von ${}\vert {z^{2}-z}\vert$ auf ${}B\left(0,1\right)$.