Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/21/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Punkte 3 3 2 3 1 2 2 4 4 3 10 4 2 3 6 3 2 3 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Matrizenmultiplikation.
  2. Die Antisymmetrie einer Relation auf einer Menge .
  3. Die Quotientenmenge zu einer Äquivalenzrelation auf einer Menge .
  4. Eine Intervallschachtelung in einem angeordneten Körper .
  5. Eine Drehung in .
  6. Die Binomialverteilung zu und .


Lösung

  1. Es sei ein Körper und es sei eine -Matrix und eine -Matrix über . Dann ist das Matrixprodukt

    diejenige -Matrix, deren Einträge durch

    gegeben sind.

  2. Die Relation heißt antisymmetrisch, wenn aus und stets folgt.
  3. Man nennt

    die Quotientenmenge von .

  4. Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen

    in heißt eine Intervallschachtelung, wenn für alle ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also

    gegen konvergiert.

  5. Eine Drehung ist eine lineare Abbildung, die durch eine Matrix der Form gegeben ist.
  6. Die endliche Wahrscheinlichkeitsdichte auf mit

    heißt Binomialverteilung zur Stichprobenlänge und zur Erfolgswahrscheinlichkeit .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung
  2. Der Satz über rationale Zahlen und periodische Ziffernentwicklung.
  3. Das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Abbildung

    in einem Punkt

    .


Lösung

  1. Es sei ein Körper und sei

    eine lineare Abbildung. Dann ist genau dann injektiv, wenn

    ist.
  2. Eine reelle Zahl ist genau dann eine rationale Zahl, wenn sie eine periodische Ziffernentwicklung (im Dezimalsystem) besitzt.
  3. Für sind folgende Aussagen äquivalent.
    1. ist stetig im Punkt .
    2. Für jede konvergente Folge in mit ist auch die Bildfolge konvergent mit dem Grenzwert .


Aufgabe (2 Punkte)

Erstelle eine Geradengleichung für die Gerade im , die durch die beiden Punkte und verläuft.


Lösung

Die Gerade wird in Punktvektorform durch

beschrieben. Die Gleichungsform hat somit die Gestalt

mit einem zu bestimmenden . Einsetzen des Punktes ergibt , also ist


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das Matrizenprodukt


Lösung

Es ist


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme (ohne Begründung), welche der folgenden skizzierten geometrischen Objekte im als Lösungsmenge eines linearen (inhomogenen) Gleichungssystems auftreten können (man denke sich die Objekte ins Unendliche fortgesetzt).


  1. AY 3 8910 obwiednia 1100.svg










  2. Primka.png











  3. Point and line.png











  4. Disk 1.svg












  5. Zero-dimension.GIF







Lösung

2 (Gerade) und 5 (Punkt) können als Lösungsmenge eines Gleichungssystems auftreten, die anderen nicht.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu


Lösung

Die inverse Matrix ist also .


Aufgabe (2 (1+0.5+0.5) Punkte)

Wir betrachten das Spiel Schnick Schnack Schnuck mit den Objekten Schere, Stein, Papier und Brunnen als eine Gewinnrelation.

  1. Skizziere diese Gewinnrelation durch einen gerichteten Graphen (Pfeildiagramm).
  2. Ist die Gewinnrelation transitiv?
  3. Gibt es eine dreielementige Teilmenge der Objekte derart, dass die Relation transitiv wird?


Lösung

  1. Stein schlägt Schere und Schere schlägt Papier, aber Stein schlägt nicht Papier, also ist die Relation nicht transitiv.
  2. Die Relation eingeschränkt auf die Teilmenge bestehend aus Papier, Brunnen und Stein ist transitiv (in der angegebenen Reihenfolge wird geschlagen).


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise das Kernkriterium für die Injektivität eines Gruppenhomomorphismus


Lösung

Wenn injektiv ist, so darf auf jedes Element höchstens ein Element aus gehen. Da auf geschickt wird, darf kein weiteres Element auf gehen, d.h. . Sei umgekehrt dies der Fall und sei angenommen, dass beide auf geschickt werden. Dann ist

und damit ist , also nach Voraussetzung und damit .


Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

Es sei die Heron-Folge zur Berechnung von mit Startwert und die Heron-Folge zur Berechnung von mit Startwert .

  1. Berechne .
  2. Zeige, dass die Differenzfolge

    eine Nullfolge ist.


Lösung

  1. Es ist
  2. Es ist
    Nach Fakt *****  (1) sind (für )

    und damit ist auch

    Somit ist und der rechte Faktor ist positiv und beschränkt. Durch den Faktor liegt eine Nullfolge vor.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

gegeben ist.


Lösung

Es ist


Aufgabe (10 Punkte)

Beweise den Isomorphiesatz für reelle Zahlen.


Lösung

Wir können davon ausgehen, dass der eine Körper das Cauchy-Folgen-Modell der reellen Zahlen ist, wobei den Ring aller rationalen Cauchy-Folgen und das Ideal der Nullfolgen bezeichnet. Der andere Körper sei mit bezeichnet. Beide Körper enthalten die rationalen Zahlen und ein Ringhomomorphismus bildet auf und auf ab. Ein Ringhomomorphismus respektiert auch die Quadrate. In einem vollständigen archimedisch angeordneten Körper sind die nichtnegativen Elemente nach Aufgabe ***** genau die Quadrate, deshalb muss ein solcher Ringhomomorphismus auch positive Elemente in positive Elemente überführen. Da man in einem archimedisch angeordneten Körper die Konvergenz mit Stammbrüchen allein überprüfen kann, erhält eine solche Abbildung auch die Konvergenz. Da in nach Konstruktion und Lemma 46.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) jedes Element Limes einer rationalen Cauchy-Folge ist, und diese auch in wegen der Vollständigkeit konvergiert, kann es nur eine solche Abbildung geben. Diese Überlegung zeigt zugleich, wie man die Abbildung ansetzen muss. Ein Element werde repräsentiert durch eine rationale Cauchy-Folge . Diese Folge konvergiert in gegen ein und man setzt . Dies ist wohldefiniert. Wenn man nämlich eine andere repräsentierende rationale Cauchy-Folge nimmt, so ist die Differenz zu eine Nullfolge und dann konvergieren nach Lemma 44.11 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017))  (1) die beiden Folgen in gegen das gleiche Element.

Aufgrund der Verträglichkeit mit der Konvergenz haben wir das kommutative Diagramm

wobei eine Cauchy-Folge auf ihren Limes in abbildet. Nach Lemma 44.11 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) ist diese Abbildung ein Ringhomomorphismus. Da die horizontale Abbildung surjektiv ist, ist auch ein Ringhomomorphismus.

Die Injektivität gilt für jeden Ringhomomorphismus zwischen Körpern. Zum Nachweis der Surjektivität von sei . Nach Korollar 28.10 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) gibt es eine Dezimalbruchfolge, die gegen konvergiert. Da diese Dezimalbruchfolge eine rationale Cauchy-Folge ist, gehört sie zu und definiert ein Element in , das durch auf abgebildet wird. Insgesamt ist also ein bijektiver Ringhomomorphismus.


Aufgabe (4 (1+1+1+1) Punkte)

Welche der folgenden Abbildungen ist ein Gruppenhomomorphismus?


Lösung

  1. Dies ist ein Gruppenhomomorphismus. Die positiven reellen Zahlen bilden mit der Multiplikation eine Gruppe und es gilt

    da die Quadrate davon übereinstimmen.

  2. Dies ist kein Gruppenhomomorphismus, allein schon deshalb, weil die Wurzel für negative Zahlen gar nicht definiert ist.
  3. Dies ist kein Gruppenhomomorphismus, da keine Gruppe ist, da kein inverses Element besitzt.
  4. Dies ist kein Gruppenhomomorphismus, da das neutrale Element links nicht auf das neutrale Element rechts abgebildet wird.


Aufgabe (2 Punkte)

Berechne das Quadrat des Polynoms


Lösung

Es ist


Aufgabe (3 Punkte)

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Lösung

Es ist insgesamt


Aufgabe (6 (3+1+2) Punkte)

  1. Bestimme diejenigen reellen Polynomfunktionen, die bijektiv sind und für die die Umkehrfunktion ebenfalls polynomial ist.
  2. Man gebe ein Beispiel für eine bijektive reelle Polynomfunktion, für die die Umkehrfunktion kein Polynom ist.
  3. Zeige, dass durch das Polynom eine bijektive Abbildung

    gegeben ist. Ist die Umkehrabbildung polynomial?


Lösung

  1. Die einzigen reellen Polynome mit polynomialer Umkehrfunktion sind die Polynome der Form mit

    Für diese ist die Umkehrfunktion, da ja wegen

    und

    diese Funktionen invers zueinander sind. Wir zeigen, dass es darüberhinaus keine weiteren Polynome mit polynomialer Umkehrfunktion gibt. Ein konstantes Polynom ist nicht bijektiv. Sei also ein Polynom, das zumindest einen Grad besitzt. Wenn man darin ein weiteres nichtkonstantes Polynom einsetzt, ergibt sich aber ebenfalls ein Polynom vom Grad und nicht . D.h., dass keine polynomiale Umkehrfunktion besitzen kann.

  2. Die Funktion

    ist bijektiv nach Fakt *****, nach Teil (1) kann aber die Umkehrfunktion nicht polynomial sein.

  3. Die vollständige Wertetabelle zu dieser Funktion ist

    also ist die Funktion bijektiv. Diese Funktion ist offenbar zu sich selbst invers, also ist die Umkehrfunktion polynomial.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei fixiert. Zeige, dass die Potenzfunktion

stetig ist.


Lösung

Es ist mit und . Nach Definition ist . Deshalb handelt es sich bei der Funktion um die Hintereinanderschaltung der Funktion gefolgt von der Funktion . Diese sind beide stetig (nach Korollar 51.9 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)) bei , Korollar 51.10 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)) bei und Satz 52.11 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019))), also ist nach Lemma 51.7 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)) auch stetig.


Aufgabe (2 Punkte)

Was ist eigentlich ein „Winkel“?


Lösung Winkel/Grundsatzfrage/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten den Einheitskreis über dem Körper , also die Teilmenge

Aus werden zufällig Punkte ausgewählt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein gewählter Punkt auf dem Einheitskreis liegt?


Lösung

Wir setzen die Elemente aus als an. Die Punkte, die die Kreisgleichung erfüllen, sind

Es gibt also

Punkte auf dem Einheitskreis. Da es insgesamt

Punkte in gibt, ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewählter Punkt auf dem Einheitskreis liegt, gleich .


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und eine Familie von vollständig unabhängigen Ereignissen. Zeige, dass die Familie vollständig unabhängig bleibt, wenn man die leere Menge und die Gesamtmenge hinzunimmt.


Lösung

Sei und und sei

Wenn in weder noch vorkommt, so ist und daher gilt

aufgrund der Voraussetzung über die vollständige Unabhängigkeit der Ausgangsfamilie. Wenn ist, so taucht darin die leere Menge auf und es ist einerseits

mit Wahrscheinlichkeit und andererseits auch

Wenn in der Index vorkommt, aber nicht , so ist

mit und somit