Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 7/kontrolle
- Aufwärmaufgaben
Es sei ein kommutativer Ring und , . Zeige, dass genau dann ein Primelement ist, wenn der Restklassenring ein Integritätsbereich ist.
Es sei ein kommutativer Ring und sei ein Ideal mit dem Restklassenring . Zeige, dass ein Element genau dann eine Einheit in ist, wenn in das Ideal zusammen mit das Einheitsideal erzeugt.
Es sei ein kommutativer Ring und sei ein Ideal mit dem Restklassenring
Zeige, dass die Ideale von eindeutig denjenigen Idealen von entsprechen, die umfassen.
Es sei ein kommutativer Ring und sei ein Ideal mit dem Restklassenring . Zu einem Ideal welches enthält, sei das zugehörige Ideal in . Zeige, dass es eine kanonische Ringisomorphie
gibt.
Wende Satz 7.5 auf den kanonischen Ringhomomorphismus zu einem kommutativen Ring an.
Es sei ein Körper, eine - Algebra mit einem Element . Wende Satz 7.5 auf den zugehörigen Einsetzungshomomorphismus , , an.
![{\displaystyle {}K[X]\longrightarrow A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84bcd54077db0316d0f551e23b6a57bd88f72516)
Zeige, dass die komplexen Zahlen die Restklassendarstellung
![{\displaystyle {}{\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09051e119d1799fd5aed514bd280592764ef33b3)
besitzen.
Es sei ein topologischer Raum und der Ring der stetigen Funktionen auf . Es sei eine Teilmenge. Zeige, dass die Teilmenge
ein Ideal in ist. Definiere einen Ringhomomorphismus
Ist dieser immer injektiv? Surjektiv?
Bestimme die multiplikative Ordnung aller Einheiten im Restklassenkörper .
Berechne in .
Es sei eine Primzahl. Beweise durch Induktion den kleinen Fermat, also die Aussage, dass ein Vielfaches von für jede ganze Zahl ist.
Bestimme im Polynomring alle irreduziblen Polynome vom Grad .
![{\displaystyle {}F_{5}[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f5690ae4c463962518ee0457eaa0a7514903ad3)
Bestimme die fünf kleinsten Primzahlen mit der Eigenschaft, dass das Polynom über in Linearfaktoren zerfällt.
Betrachte den Körper . Führe im Polynomring die Polynomdivision
![{\displaystyle {}K=\mathbb {F} _{4}=\mathbb {Z} /(2)[U]/(U^{2}+U+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5e7ad0ca6361d0d4be6f48feeacdba1513be362)
![{\displaystyle {}K[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7861df9df3d7463835d927c4d0d4c27f5e2f8416)
aus, wobei die Restklasse von in bezeichnet.
a) Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms in .
![{\displaystyle {}\mathbb {Z} /(5)[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8417bf0026e1cf0d3d1f733285575b7a0ef7181)
b) Zeige, dass durch
![{\displaystyle K=\mathbb {Z} /(5)[T]/(T^{2}-2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70d83a1fba568cce7e790501fcfac3255dc55e2b)
ein Körper mit Elementen gegeben ist.
c) Bestimmen die Primfaktorzerlegung von über .
![{\displaystyle {}K=\mathbb {Z} /(5)[T]/(T^{2}-2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c3ce846020da4fbc890c7926d1f9f292ec869e4)
Es sei eine Primzahl und sei ein Polynom mit Koeffizienten in vom Grad . Zeige, dass es ein Polynom mit einem Grad derart gibt, dass für alle Elemente die Gleichheit
gilt.
Es sei ein kommutativer Ring und der Polynomring über . Es sei ein Ideal mit Erzeugern
![{\displaystyle {}R[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e7ee29b3b3d6eeb3b39f218ba987877e85928bd)
![{\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\subseteq R[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/276995c00f7098c13b5f2cca0863eda37cee5b5d)
wobei mit sei. Für seien die Elemente aus , die entstehen, wenn man in die Variable durch ersetzt. Zeige, dass eine Ringisomorphie der Restklassenringe
![{\displaystyle {}R[X]/{\mathfrak {a}}\cong R/(G_{1},\ldots ,G_{n})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca335fb4c3e0c9d2b280ac71809898d61e5e988a)
vorliegt.
Bestimme in das Inverse von ( bezeichnet die Restklasse von ).
![{\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]/(X^{3}+4X^{2}-7)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f2ba436d527c33240ab833092eca5eac8954a0e)
Bestimme in das Inverse von ( bezeichnet die Restklasse von ).
![{\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]/(X^{3}-7)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4788a76028f7517ab2d938e3514f7ae17ff9193)
![{\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt {2}},{\sqrt {5}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e6ee241e566486a1ab17ca1793a7337a6aaa0b6)
Es sei eine Primzahl.
a) Zeige, dass das Polynom irreduzibel über ist.
b) Schließe daraus, dass
![{\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{p}}]\subseteq \mathbb {R} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89fe7414ea0f26566cb379bc45e88eb618c80be4)
über den Grad vier besitzt.
c) Finde einen echten Zwischenkörper
![{\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq K\subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{p}}]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ffb70e052f20f238f341b39f2cf7c5cd313b10c)
![{\displaystyle \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]^{\times }\longrightarrow (\mathbb {Q} _{+},1,\cdot ),\,z=x+{\mathrm {i} }y\longmapsto \vert {z}\vert ^{2}=x^{2}+y^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f65f5521708a7def9852bfd7e8301130944397c)
![{\displaystyle {}S_{\mathbb {Q} }^{1}={\left\{z\in \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\mid \vert {z}\vert =1\right\}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10c9b2890538247dd1fcfb553bd2be802e46ab73)
![{\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8db1ddb8b0fea8305b8d43d2701b675d1d57c5a8)
Es sei
der rationale Einheitskreis mit der aus ererbten Gruppenstruktur. Berechne die ersten vier Potenzen von .
![{\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]^{\times }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e36198aba3e62c672bd69bf49b057527d3135c59)
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme die multiplikative Ordnung aller Einheiten im Restklassenkörper .
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme im Polynomring alle irreduziblen Polynome vom Grad .
![{\displaystyle {}F_{3}[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6d9f3b721645b99685183afff96525fc670215f)
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei
der rationale Einheitskreis mit der aus ererbten Gruppenstruktur. Zeige, dass die Gruppen und nicht isomorph sind.
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
![{\displaystyle \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]^{\times }\longrightarrow (\mathbb {Q} _{+},1,\cdot ),\,x+{\mathrm {i} }y\longmapsto x^{2}+y^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0214d22015707176654094b5e078fb4be6aedf4a)
Aufgabe (5 (1+1+2+1) Punkte)Referenznummer erstellen
Betrachte den Körper mit Elementen.
- Zeige, dass kein Quadrat in ist und folgere, dass
ein Körper ist.
- Betrachte die
quadratische Körpererweiterung
und berechne
- Finde das Inverse zu in .
- Zeige, dass kein Quadrat in ist, dafür aber in .
![{\displaystyle {}\mathbb {Z} /(13)[X]/(X^{2}-5)=:\mathbb {Z} /(13)[{\sqrt {5}}]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f28091429a05de2bcc185342892ed20858b32944)
![{\displaystyle {}\mathbb {Z} /(13)\subset \mathbb {Z} /(13)[{\sqrt {5}}]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/429af4ab9e3521d48e847e0fedd8d9ca4c7a993d)
![{\displaystyle {}\mathbb {Z} /(13)[{\sqrt {5}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f402c54ebe8d1ffdc4d027a78742c510060f11be)
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
![{\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt {5}},{\sqrt {7}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39695912cceaf93e09b971ee8104d07cce3dab5d)
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
