Lösung
- Die Abbildung
-
heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen
und
.
- Ein Isomorphismus zwischen
und
ist eine bijektive lineare Abbildung
-
- Man nennt die
Dimension
des von den Spalten
erzeugten Untervektorraums
von
den (Spalten-)Rang der Matrix
.
- Unter dem Dualraum zu
versteht man den
Homomorphismenraum
-

- Die Matrix
-
wobei
die Restmatrix zur
-ten Zeile und zur
-ten Spalte ist, heißt die adjungierte Matrix von
.
- Eine Kette von
Untervektorräumen
-
heißt eine Fahne in
.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die Anzahl von Basiselementen.
- Der Satz über die Beschreibung des Signums mit Fehlständen.
- Der Satz von der kanonischen additiven Zerlegung für eine trigonalisierbare Abbildung.
Lösung
- Es sei
ein Körper und
ein
-Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem. Dann besitzen je zwei Basen von
die gleiche Anzahl von Basisvektoren.
- Sei
und sei
eine Permutation auf
. Es sei
die Anzahl der Fehlstände von
. Dann ist das Signum von
gleich
-

- Sei
-
ein trigonalisierbarer
-Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen
-Vektorraum
. Dann gibt es eine Zerlegung
-

wobei
diagonalisierbar,
nilpotent und zusätzlich
-

gilt.
Lösung
Da
endlich ist, ist auch die Abbildungsmenge
endlich, da es für jedes Element nur
viele Möglichkeiten gibt, wohin es abgebildet werden kann. Die Hintereinanderschaltungen
,
,
gehören alle zu dieser Abbildungsmenge. Da es keine injektive Abbildung von
in eine endliche Menge gibt, gibt es Zahlen
mit
-

Löse die lineare Gleichung
-

über
und berechne den Betrag der Lösung.
Lösung
Es ist

Der Betrag ist
-

Lösung
Die Familie sei zunächst eine Basis. Dann ist sie insbesondere ein Erzeugendensystem. Nehmen wir einen Vektor, sagen wir
, aus der Familie heraus. Wir müssen zeigen, dass dann die verbleibende Familie, also
kein Erzeugendensystem mehr ist. Wenn sie ein Erzeugendensystem wäre, so wäre insbesondere
als
Linearkombination
der Vektoren darstellbar, d.h. man hätte
-

Dann ist aber
-
eine nichttriviale Darstellung der
, im Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der Familie.
Sei nun die Familie ein minimales Erzeugendensystem. Um zu zeigen, dass eine Basis vorliegt, muss also lediglich gezeigt werden, dass die Familie linear unabhängig ist. Nehmen wir an, sie sei nicht linear unabhängig. Dann gibt es eine Darstellung
-

wobei mindestens ein Koeffizient
ist. Wir behaupten, dass dann auch die um
reduzierte Familie noch ein Erzeugendensystem ist im Widerspruch zur Minimalität. Dazu sei
ein beliebiger Vektor, den man als
-

schreiben kann. Wir können
schreiben als
-

Damit ist

woraus ablesbar ist, dass man
auch als Linearkombination der
darstellen kann.
Beweise den Satz über die Anzahl von Basiselementen.
Lösung
Es seien
und
zwei Basen von
.
Aufgrund des Basisaustauschsatzes,
angewandt auf die Basis
und die linear unabhängige Familie
ergibt sich
. Wendet man den Austauschsatz umgekehrt an, so folgt
, also insgesamt
.
Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)
Die Zeitungen
und
verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit
potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.
- Die Abonnenten von
bleiben zu
bei
,
wechseln zu
,
wechseln zu
und
werden Nichtleser.
- Die Abonnenten von
bleiben zu
bei
,
wechseln zu
,
wechseln zu
und
werden Nichtleser.
- Die Abonnenten von
bleiben zu
bei
, niemand wechselt zu
,
wechseln zu
und
werden Nichtleser.
- Von den Nichtlesern entscheiden sich je
für ein Abonnement von
oder
, die übrigen bleiben Nichtleser.
a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.
b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je
Abonnenten und es gibt
Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?
c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls
potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen
(und wie viele Nichtleser gibt es noch)
nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?
Lösung
a) Die Matrix, die die Kundenbewegungen
(in der Reihenfolge
und Nichtleser)
beschreibt, ist
-
b) Die Kundenverteilung nach einem Jahr zur Ausgangsverteilung
ist
-

c) Die Ausgangsverteilung ist
, daher ist die Verteilung nach einem Jahr gleich
.
Nach zwei Jahren ist die Kundenverteilung
-

Nach drei Jahren ist die Kundenverteilung

Es sei
ein
Körper
und es seien
und
Vektorräume
über
. Es sei
der
-Vektorraum
der
linearen Abbildungen
von
nach
und es sei
ein fixierter Vektor. Zeige, dass die Abbildung
-
-linear ist.
Lösung
Zur Additivität. Seien
. Dann ist
(nach der Definition der Addition auf
)
-

Zur Skalarmultiplikation. Sei
und
. Dann ist
(wieder aufgrund der Definition der Skalarmultiplikation auf
)
-

Aufgabe (10 (1+2+6+1) Punkte)
Für eine
-Matrix
sei
-

Zeige die folgenden Aussagen direkt, ohne die Gleichheit
zu verwenden
(Eigenschaften des Signums von Permutationen dürfen verwendet werden).
a) Es ist
.
b)
ist multilinear in den Zeilen der Matrix.
c)
ist alternierend in den Zeilen der Matrix.
d) Man folgere aus a),b),c), dass
ist.
Lösung
a) Es sei
die Einheitsmatrix. Für jede Permutation
-

gibt es ein
mit
,
daher ist
-

Diese Summanden fallen also weg und übrig bleibt
-

b) Für jede Permutation
ist die Zuordnung
-
multilinear, wie unmittelbar aus dem Distributivgesetz für
folgt. Da jede Linearkombination von Multilinearformen wieder eine Multilinearform ist, ist
multilinear.
c) Es seien die
-te und die
-te Zeile der Matrix
identisch
(
),
also
-

für alle
. Es sei
die
Transposition,
die
und
vertauscht. Man kann jede Permutation
eindeutig als
bzw. als
schreiben, wobei
sämtliche geraden Permutationen durchläuft. Daher ist

d) Nach a), b), c) liegt in
eine alternierende Multilinearform vor, die auf der Einheitsmatrix den Wert
besitzt. Aufgrund
der universellen Eigenschaft der Determinante
muss also
mit der Determinante übereinstimmen.
Man finde ein
Polynom
-
mit
derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
-
Lösung
Die Bedingungen führen auf das lineare Gleichungssystem
-

-

-

führt auf
-

und
führt auf
-

also
-

und somit
-

Das gesuchte Polynom ist also
-
Berechne das Ergebnis, wenn man im
Polynom
-
die Variable
durch die
-Matrix
-
ersetzt.
Lösung
Es ist

Somit ist

Es sei
-
eine
Matrix
mit
(paarweise)
verschiedenen
Eigenwerten.
Zeige, dass die
Determinante
von
das Produkt der Eigenwerte ist.
Lösung
Lösung
Bestimme die
Ordnung
der
Matrix
-
über dem
Körper
mit
Elementen.
Lösung
Es ist
-

-

und
-

also ist die Ordnung gleich
.
Beweise den Satz von der kanonischen additiven Zerlegung für eine trigonalisierbare Abbildung.
Lösung
Nach
Satz 26.14 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))
ist
-

wobei die
die
Haupträume
zu den
Eigenwerten
seien, und es ist
-

mit
.
Es sei
-
die Hintereinanderschaltung
, d.h.
ist insbesondere eine
Projektion.
Wir setzen
-

Diese Abbildung ist offenbar diagonalisierbar, auf
ist es die Multiplikation mit
. Sei
-

Die Nilpotenz dieser Abbildung kann man auf den
einzeln überprüfen, und dort ist
-

also nilpotent. Ferner kommutieren
und
,
da
auf
die Identität ist und auf
,
,
die Nullabbildung. Damit kommutieren auch die direkten
(skalaren)
Summen davon und damit kommutieren
und
,
also auch
und
.
Finde eine
affine Basis
für die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung
-

Lösung
Eine spezielle Lösung der Gleichung ist durch
-
gegeben. Für die zugehörige homogene Gleichung sind
-
Lösungen, die offenbar linear unabhängig sind. Da der Rang des Gleichungssystems
ist, handelt es sich um eine Basis des Lösungsraumes der homogenen Gleichung. Daher bildet
-
eine affine Basis der Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung.