Kurs:Lineare Algebra/Teil I/1/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 3 2 8 3 4 2 10 3 3 4 4 2 6 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen

    und

  2. Ein Isomorphismus zwischen -Vektorräumen und .
  3. Der Spaltenrang einer -Matrix über einem Körper .
  4. Der Dualraum zu einem -Vektorraum .
  5. Die adjungierte Matrix zu einer quadratischen Matrix .
  6. Eine Fahne in einem -dimensionalen -Vektorraum .


Lösung

  1. Die Abbildung

    heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen und .

  2. Ein Isomorphismus zwischen und ist eine bijektive lineare Abbildung
  3. Man nennt die Dimension des von den Spalten erzeugten Untervektorraums von den (Spalten-)Rang der Matrix .
  4. Unter dem Dualraum zu versteht man den Homomorphismenraum
  5. Die Matrix

    wobei die Restmatrix zur -ten Zeile und zur -ten Spalte ist, heißt die adjungierte Matrix von .

  6. Eine Kette von Untervektorräumen

    heißt eine Fahne in .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Anzahl von Basiselementen.
  2. Der Satz über die Beschreibung des Signums mit Fehlständen.
  3. Der Satz von der kanonischen additiven Zerlegung für eine trigonalisierbare Abbildung.


Lösung

  1. Es sei ein Körper und ein -Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem. Dann besitzen je zwei Basen von die gleiche Anzahl von Basisvektoren.
  2. Sei und sei eine Permutation auf . Es sei die Anzahl der Fehlstände von . Dann ist das Signum von gleich
  3. Sei

    ein trigonalisierbarer -Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen -Vektorraum . Dann gibt es eine Zerlegung

    wobei diagonalisierbar, nilpotent und zusätzlich

    gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine endliche Menge und eine Abbildung. Es sei die -fache Hintereinanderschaltung von mit sich selbst. Zeige, dass es natürliche Zahlen mit gibt.


Lösung

Da endlich ist, ist auch die Abbildungsmenge endlich, da es für jedes Element nur viele Möglichkeiten gibt, wohin es abgebildet werden kann. Die Hintereinanderschaltungen , , gehören alle zu dieser Abbildungsmenge. Da es keine injektive Abbildung von in eine endliche Menge gibt, gibt es Zahlen mit


Aufgabe (2 Punkte)

Löse die lineare Gleichung

über und berechne den Betrag der Lösung.


Lösung

Es ist

Der Betrag ist


Aufgabe (8 Punkte)

Es sei ein Vektorraum und

eine Familie von Vektoren in . Zeige, dass die Familie genau dann eine Basis von bildet, wenn es sich um ein minimales Erzeugendensystem handelt (d.h. sobald man einen Vektor weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor).


Lösung

Die Familie sei zunächst eine Basis. Dann ist sie insbesondere ein Erzeugendensystem. Nehmen wir einen Vektor, sagen wir , aus der Familie heraus. Wir müssen zeigen, dass dann die verbleibende Familie, also kein Erzeugendensystem mehr ist. Wenn sie ein Erzeugendensystem wäre, so wäre insbesondere als Linearkombination der Vektoren darstellbar, d.h. man hätte

Dann ist aber

eine nichttriviale Darstellung der , im Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der Familie.

Sei nun die Familie ein minimales Erzeugendensystem. Um zu zeigen, dass eine Basis vorliegt, muss also lediglich gezeigt werden, dass die Familie linear unabhängig ist. Nehmen wir an, sie sei nicht linear unabhängig. Dann gibt es eine Darstellung

wobei mindestens ein Koeffizient ist. Wir behaupten, dass dann auch die um reduzierte Familie noch ein Erzeugendensystem ist im Widerspruch zur Minimalität. Dazu sei ein beliebiger Vektor, den man als

schreiben kann. Wir können schreiben als

Damit ist

woraus ablesbar ist, dass man auch als Linearkombination der darstellen kann.


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Anzahl von Basiselementen.


Lösung

Es seien und zwei Basen von . Aufgrund des Basisaustauschsatzes, angewandt auf die Basis und die linear unabhängige Familie ergibt sich . Wendet man den Austauschsatz umgekehrt an, so folgt , also insgesamt .


Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

Die Zeitungen und verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.

  1. Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  2. Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  3. Die Abonnenten von bleiben zu bei , niemand wechselt zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  4. Von den Nichtlesern entscheiden sich je für ein Abonnement von oder , die übrigen bleiben Nichtleser.

a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.

b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je Abonnenten und es gibt Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?

c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen (und wie viele Nichtleser gibt es noch) nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?


Lösung

a) Die Matrix, die die Kundenbewegungen (in der Reihenfolge und Nichtleser) beschreibt, ist

b) Die Kundenverteilung nach einem Jahr zur Ausgangsverteilung ist

c) Die Ausgangsverteilung ist , daher ist die Verteilung nach einem Jahr gleich .

Nach zwei Jahren ist die Kundenverteilung

Nach drei Jahren ist die Kundenverteilung


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Es sei der -Vektorraum der linearen Abbildungen von nach und es sei ein fixierter Vektor. Zeige, dass die Abbildung

-linear ist.


Lösung

Zur Additivität. Seien . Dann ist (nach der Definition der Addition auf )

Zur Skalarmultiplikation. Sei und . Dann ist (wieder aufgrund der Definition der Skalarmultiplikation auf )


Aufgabe (10 (1+2+6+1) Punkte)

Für eine -Matrix sei

Zeige die folgenden Aussagen direkt, ohne die Gleichheit zu verwenden (Eigenschaften des Signums von Permutationen dürfen verwendet werden).

a) Es ist .

b) ist multilinear in den Zeilen der Matrix.

c) ist alternierend in den Zeilen der Matrix.

d) Man folgere aus a),b),c), dass ist.


Lösung

a) Es sei die Einheitsmatrix. Für jede Permutation

gibt es ein mit , daher ist

Diese Summanden fallen also weg und übrig bleibt

b) Für jede Permutation ist die Zuordnung

multilinear, wie unmittelbar aus dem Distributivgesetz für folgt. Da jede Linearkombination von Multilinearformen wieder eine Multilinearform ist, ist multilinear.

c) Es seien die -te und die -te Zeile der Matrix identisch (), also

für alle . Es sei die Transposition, die und vertauscht. Man kann jede Permutation eindeutig als bzw. als schreiben, wobei sämtliche geraden Permutationen durchläuft. Daher ist

d) Nach a), b), c) liegt in eine alternierende Multilinearform vor, die auf der Einheitsmatrix den Wert besitzt. Aufgrund der universellen Eigenschaft der Determinante muss also mit der Determinante übereinstimmen.


Aufgabe (3 Punkte)

Man finde ein Polynom

mit derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.


Lösung

Die Bedingungen führen auf das lineare Gleichungssystem

führt auf

und führt auf

also

und somit

Das gesuchte Polynom ist also


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom

die Variable durch die -Matrix

ersetzt.


Lösung

Es ist

Somit ist


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine Matrix mit (paarweise) verschiedenen Eigenwerten. Zeige, dass die Determinante von das Produkt der Eigenwerte ist.


Lösung

Aufgrund der verschiedenen Eigenwerte ist nach Korollar 22.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) diagonalisierbar. Es gibt daher nach Satz 22.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) eine invertierbare Matrix derart, dass

eine Diagonalmatrix ist, wobei in der Diagonalen die verschiedenen Eigenwerte stehen. Nach Satz 17.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) und Lemma 16.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) ist


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper und es sei ein -dimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung. Zeige, dass genau dann ein Eigenwert von ist, wenn eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist.


Lösung

Es sei eine beschreibende Matrix für , und sei vorgegeben. Es ist

genau dann, wenn die lineare Abbildung

nicht bijektiv (und nicht injektiv) ist (wegen Satz 16.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) und Lemma 12.5 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))). Dies ist nach Fakt ***** und Lemma 11.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) äquivalent zu

was bedeutet, dass der Eigenraum zu nicht der Nullraum ist, also ein Eigenwert zu ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Ordnung der Matrix

über dem Körper mit Elementen.


Lösung

Es ist

und

also ist die Ordnung gleich .


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Satz von der kanonischen additiven Zerlegung für eine trigonalisierbare Abbildung.


Lösung

Nach Satz 26.14 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) ist

wobei die die Haupträume zu den Eigenwerten seien, und es ist

mit . Es sei

die Hintereinanderschaltung , d.h. ist insbesondere eine Projektion. Wir setzen

Diese Abbildung ist offenbar diagonalisierbar, auf ist es die Multiplikation mit . Sei

Die Nilpotenz dieser Abbildung kann man auf den einzeln überprüfen, und dort ist

also nilpotent. Ferner kommutieren und , da auf die Identität ist und auf , , die Nullabbildung. Damit kommutieren auch die direkten (skalaren) Summen davon und damit kommutieren und , also auch und .


Aufgabe (4 Punkte)

Finde eine affine Basis für die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung


Lösung

Eine spezielle Lösung der Gleichung ist durch

gegeben. Für die zugehörige homogene Gleichung sind

Lösungen, die offenbar linear unabhängig sind. Da der Rang des Gleichungssystems ist, handelt es sich um eine Basis des Lösungsraumes der homogenen Gleichung. Daher bildet

eine affine Basis der Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung.