Lösung
- Die Abbildung
-
heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen
und .
- Ein Isomorphismus zwischen
und
ist eine bijektive lineare Abbildung
-
- Man nennt die
Dimension
des von den Spalten
erzeugten Untervektorraums
von den (Spalten-)Rang der Matrix .
- Unter dem Dualraum zu versteht man den
Homomorphismenraum
-
- Die Matrix
-
wobei die Restmatrix zur -ten Zeile und zur -ten Spalte ist, heißt die adjungierte Matrix von .
- Eine Kette von
Untervektorräumen
-
heißt eine Fahne in .
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die Anzahl von Basiselementen.
- Der Satz über die Beschreibung des Signums mit Fehlständen.
- Der Satz von der kanonischen additiven Zerlegung für eine trigonalisierbare Abbildung.
Lösung
- Es sei ein Körper und ein -Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem. Dann besitzen je zwei Basen von die gleiche Anzahl von Basisvektoren.
- Sei
und sei eine Permutation auf . Es sei die Anzahl der Fehlstände von . Dann ist das Signum von gleich
-
- Sei
-
ein trigonalisierbarer -Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen -Vektorraum . Dann gibt es eine Zerlegung
-
wobei diagonalisierbar, nilpotent und zusätzlich
-
gilt.
Lösung
Da endlich ist, ist auch die Abbildungsmenge endlich, da es für jedes Element nur viele Möglichkeiten gibt, wohin es abgebildet werden kann. Die Hintereinanderschaltungen
, ,
gehören alle zu dieser Abbildungsmenge. Da es keine injektive Abbildung von in eine endliche Menge gibt, gibt es Zahlen mit
-
Löse die lineare Gleichung
-
über und berechne den Betrag der Lösung.
Lösung
Es ist
Der Betrag ist
-
Lösung
Die Familie sei zunächst eine Basis. Dann ist sie insbesondere ein Erzeugendensystem. Nehmen wir einen Vektor, sagen wir , aus der Familie heraus. Wir müssen zeigen, dass dann die verbleibende Familie, also kein Erzeugendensystem mehr ist. Wenn sie ein Erzeugendensystem wäre, so wäre insbesondere als
Linearkombination
der Vektoren darstellbar, d.h. man hätte
-
Dann ist aber
-
eine nichttriviale Darstellung der , im Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der Familie.
Es sei nun die Familie ein minimales Erzeugendensystem. Um zu zeigen, dass eine Basis vorliegt, muss also lediglich gezeigt werden, dass die Familie linear unabhängig ist. Nehmen wir an, sie sei nicht linear unabhängig. Dann gibt es eine Darstellung
-
wobei mindestens ein Koeffizient ist. Wir behaupten, dass dann auch die um reduzierte Familie noch ein Erzeugendensystem ist im Widerspruch zur Minimalität. Dazu sei ein beliebiger Vektor, den man als
-
schreiben kann. Wir können schreiben als
-
Damit ist
woraus ablesbar ist, dass man auch als Linearkombination der darstellen kann.
Beweise den Satz über die Anzahl von Basiselementen.
Lösung
Es seien
und
zwei Basen von .
Aufgrund des Basisaustauschsatzes,
angewandt auf die Basis und die linear unabhängige Familie ergibt sich
.
Wendet man den Austauschsatz umgekehrt an, so folgt
,
also insgesamt
.
Die Zeitungen und verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.
- Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
- Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
- Die Abonnenten von bleiben zu bei , niemand wechselt zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
- Von den Nichtlesern entscheiden sich je für ein Abonnement von oder , die übrigen bleiben Nichtleser.
a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.
b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je Abonnenten und es gibt Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?
c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen
(und wie viele Nichtleser gibt es noch)
nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?
Lösung
a) Die Matrix, die die Kundenbewegungen
(in der Reihenfolge und Nichtleser)
beschreibt, ist
-
b) Die Kundenverteilung nach einem Jahr zur Ausgangsverteilung ist
-
c) Die Ausgangsverteilung ist , daher ist die Verteilung nach einem Jahr gleich .
Nach zwei Jahren ist die Kundenverteilung
-
Nach drei Jahren ist die Kundenverteilung
Es sei ein
Körper
und es seien
und
Vektorräume
über . Es sei der
-
Vektorraum
der
linearen Abbildungen
von nach und es sei
ein fixierter Vektor. Zeige, dass die Abbildung
-
-linear ist.
Lösung
Zur Additivität. Es seien . Dann ist
(nach der Definition der Addition auf )
-
Zur Skalarmultiplikation. Es sei und . Dann ist
(wieder aufgrund der Definition der Skalarmultiplikation auf )
-
Für eine
-
Matrix
sei
-
Zeige die folgenden Aussagen direkt, ohne die Gleichheit
zu verwenden
(Eigenschaften des Signums von Permutationen dürfen verwendet werden).
a) Es ist
.
b) ist multilinear in den Zeilen der Matrix.
c) ist alternierend in den Zeilen der Matrix.
d) Man folgere aus a),b),c), dass
ist.
Lösung
a) Es sei
die Einheitsmatrix. Für jede Permutation
-
gibt es ein mit
,
daher ist
-
Diese Summanden fallen also weg und übrig bleibt
-
b) Für jede Permutation ist die Zuordnung
-
multilinear, wie unmittelbar aus dem Distributivgesetz für folgt. Da jede Linearkombination von Multilinearformen wieder eine Multilinearform ist, ist multilinear.
c) Es seien die -te und die -te Zeile der Matrix identisch
(),
also
-
für alle . Es sei die
Transposition,
die und vertauscht. Man kann jede Permutation eindeutig als bzw. als schreiben, wobei sämtliche geraden Permutationen durchläuft. Daher ist
d) Nach a), b), c) liegt in eine alternierende Multilinearform vor, die auf der Einheitsmatrix den Wert besitzt. Aufgrund
der universellen Eigenschaft der Determinante
muss also mit der Determinante übereinstimmen.
Man finde ein
Polynom
-
mit
derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
-
Lösung
Die Bedingungen führen auf das lineare Gleichungssystem
-
-
-
führt auf
-
und führt auf
-
also
-
und somit
-
Das gesuchte Polynom ist also
-
Berechne das Ergebnis, wenn man im
Polynom
-
die Variable durch die
-
Matrix
-
ersetzt.
Lösung
Es ist
Somit ist
Lösung
Lösung
Bestimme die
Ordnung
der
Matrix
-
über dem
Körper
mit Elementen.
Lösung
Es ist
-
-
und
-
also ist die Ordnung gleich .
Beweise den Satz von der kanonischen additiven Zerlegung für eine trigonalisierbare Abbildung.
Lösung
Nach
Satz 26.14 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
ist
-
wobei die die
Haupträume
zu den
Eigenwerten
seien, und es ist
-
mit
.
Es sei
-
die Hintereinanderschaltung , d.h. ist insbesondere eine
Projektion.
Wir setzen
-
Diese Abbildung ist offenbar diagonalisierbar, auf ist es die Multiplikation mit . Es sei
-
Die Nilpotenz dieser Abbildung kann man auf den einzeln überprüfen, und dort ist
-
also nilpotent. Ferner kommutieren
und ,
da auf die Identität ist und auf
, ,
die Nullabbildung. Damit kommutieren auch die direkten
(skalaren)
Summen davon und damit kommutieren
und ,
also auch
und .
Finde eine
affine Basis
für die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung
-
Lösung
Eine spezielle Lösung der Gleichung ist durch
-
gegeben. Für die zugehörige homogene Gleichung sind
-
Lösungen, die offenbar linear unabhängig sind. Da der Rang des Gleichungssystems ist, handelt es sich um eine Basis des Lösungsraumes der homogenen Gleichung. Daher bildet
-
eine affine Basis der Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung.