Kurs:Lineare Algebra/Teil I/22/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 3 5 6 8 3 2 4 3 4 2 6 4 4 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Matrizenmultiplikation.
  2. Der von einer Familie von Vektoren , aus einem -Vektorraum aufgespannte Untervektorraum.
  3. Die Elementarmatrizen.
  4. Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen

    und

  5. Ein Gruppenhomomorphismus zwischen Gruppen und .
  6. Ein affiner Raum über einem -Vektorraum .


Lösung

  1. Es sei ein Körper und es sei eine -Matrix und eine -Matrix über . Dann ist das Matrixprodukt

    diejenige -Matrix, deren Einträge durch

    gegeben sind.

  2. Man nennt

    den von der Familie aufgespannten Untervektorraum.

  3. Mit bezeichnen wir diejenige -Matrix, die an der Stelle den Wert und sonst überall den Wert null hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen.
    1. .
    2. .
    3. .
  4. Die Abbildung

    heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen und .

  5. Eine Abbildung

    heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit

    für alle gilt.

  6. Ein affiner Raum über einem -Vektorraum ist (die leere Menge oder) eine nichtleere Menge zusammen mit einer Abbildung

    die den drei Bedingungen

    1. für alle ,
    2. für alle und ,
    3. Zu je zwei Punkten gibt es genau einen Vektor mit ,

    genügt.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über den Zusammenhang zwischen der Verknüpfung linearer Abbildungen und der Matrizenmultiplikation (genaue Formulierung mit Basen).
  2. Der Satz über die Vertauschungseigenschaft bei einer alternierenden Abbildung.
  3. Der Satz über die Nullstellen von Minimalpolynom und charakteristischem Polynom.


Lösung

  1. Bei der Korrespondenz zwischen linearen Abbildungen und Matrizen entsprechen sich die Hintereinanderschaltung von linearen Abbildungen und die Matrizenmultiplikation. Damit ist folgendes gemeint: es seien Vektorräume über einem Körper mit Basen

    Es seien

    lineare Abbildungen. Dann gilt für die beschreibenden Matrizen von und der Hintereinanderschaltung die Beziehung

  2. Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und sei . Es sei

    eine alternierende Abbildung. Dann gilt

  3. Es sei ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper und es sei

    eine lineare Abbildung. Dann besitzt das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom

    die gleichen Nullstellen.


Aufgabe (3 Punkte)

Löse das lineare Gleichungssystem


Lösung

Wir setzen die dritte Gleichung in die beiden ersten Gleichungen ein und erhalten

und

Wir addieren das Vierfache der ersten mit dem Fünffachen der zweiten Gleichung und erhalten

Somit ist

und

Die einzige Lösung des Gleichungssystems ist somit


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die Übergangsmatrizen und für die Standardbasis und die durch die Vektoren

gegebene Basis im .


Lösung

Es ist

Für die umgekehrte Übergangsmatrix müssen wir diese Matrix invertieren. Es ist

Es ist also


Aufgabe (6 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen Körper , eine kommutative Gruppe und eine Abbildung

derart, dass diese Struktur alle Vektorraumaxiome außer

erfüllt.


Lösung

Wir betrachten den Körper und die additive Gruppe . Als „Skalarmultiplikation“

betrachten wir die durch

gegebene Abbildung, wobei die komplexe Konjugation von bezeichnet (wir schreiben um zu betonen, dass es sich um eine untypische Operation handelt).

Zum Nachweis der Assoziativität der Multiplikation sei und . Bei

ist

wobei die mittlere Gleichung sowohl bei als auch bei gilt. Bei

ist

Zum Nachweis der Distributivität in den Skalaren ist bei

und bei

ist


Sei nun

und

Dann ist

und somit ist einerseits

und andererseits

Somit ist diese Multiplikation nicht distributiv in den Vektoren.

Ferner ist wegen

stets


Aufgabe (8 Punkte)

Beweise den Basisaustauschsatz.


Lösung

Wir führen Induktion über , also über die Anzahl der Vektoren in der Familie. Bei ist nichts zu zeigen. Sei die Aussage für schon bewiesen und seien linear unabhängige Vektoren

gegeben. Nach Induktionsvoraussetzung, angewandt auf die

(ebenfalls linear unabhängigen) Vektoren

gibt es eine Teilmenge derart, dass die Familie

eine Basis von ist. Wir wollen auf diese Basis das Austauschlemma anwenden. Da eine Basis vorliegt, kann man

schreiben.  Wären hierbei alle Koeffizienten ,  so ergäbe sich sofort ein Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der , . Es gibt also ein mit . Wir setzen . Damit ist eine -elementige Teilmenge von . Nach dem Austauschlemma kann man den Basisvektor durch ersetzen und erhält die neue Basis

  Der Zusatz folgt sofort, da eine -elementige Teilmenge einer -elementigen Menge vorliegt.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme, welche der folgenden elementargeormetrischen Abbildungen linear, welche diagonalisierbar und welche trigonalisierbar sind.

  1. Die Achsenspiegelung durch die durch gegebene Achse.
  2. Die Verschiebung um den Vektor .
  3. Die Drehung um Grad gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung.
  4. Die Punktspiegelung mit dem Punkt als Zentrum.


Lösung

  1. Da die Gerade durch den Nullpunkt geht, ist diese Achsenspiegelung linear. Die Achse ist der Eigenraum zum Eigenwert , die dazu senkrechte Gerade durch den Nullpunkt ist der Eigenraum zum Eigenwert , mit zwei Eigenwerten ist die Abbildung diagonalisierbar und insbesondere trigonalisierbar.
  2. Bei dieser Verschiebung wird der Nullpunkt bewegt, somit ist die Abbildung nicht linear.
  3. Eine Drehung um den Ursprung ist stets linear. Da um Grad gedreht wird, wird keine Gerade auf sich selbst abgebildet. Somit gibt es keine Eigenwerte und die Abbildung ist nicht trigonalisierbar und schon gar nicht diagonalisierbar.
  4. Da der Nullpunkt bewegt wird, ist die Abbildung nicht linear.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den Rang der Matrix


Lösung

Die zweite Zeile minus die erste Zeile ergibt den Standardvektor , die dritte Zeile minus die vierte Zeile ergibt . Die erste Zeile minus ergibt und die vierte Zeile minus ergibt . Der durch die Zeilen erzeugte Untervektorraum ist also vierdimensional und somit ist der Rang gleich .


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine untere Dreiecksmatrix. Zeige, ausgehend von der Definition der Determinante, dass die Determinante von das Produkt der Diagonaleinträge ist (es darf verwendet werden, dass die Determinante zu einer Matrix mit einer Nullzeile gleich ist).


Lösung

Wie führen Induktion nach , wobei eine -Matrix sei. Der Induktionsanfang für ist klar, sei die Aussage für alle unteren Dreiecksmatrizen der Länge schon bewiesen. Die Determinantenformel sagt

Für ist die erste Zeile von ohne den ersten Eintrag eine Zeile von , und zwar ist dies eine Nullzeile, da ja eine untere Dreiecksmatrix ist. Daher sind die Determinanten zu den , , gleich und die hintere Summe in der obigen Formel ist . Hingegen ist wieder eine untere Dreiecksmatrix und ihre Determinante ist nach Induktionsvoraussetzung gleich . Also ist


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei . Zeige, dass es gleich viele gerade und ungerade Permutationen auf gibt.


Lösung

Wegen der Voraussetzung gibt es eine Transposition , die wir fixieren. Es sei die Menge der geraden und die Menge der ungeraden Permutationen. Wir betrachten die Abbildung

Dies ist eine wohldefinierte Abbildung aufgrund der Tatsache, dass das Signum ein Gruppenhomomorphismus ist und dass das Signum einer Transposition gleich ist. Die Abbildung ist bijektiv, und zwar ist die Multiplikation mit von rechts die Umkehrabbildung. Also besitzen und die gleiche Anzahl an Elementen.


Aufgabe (4 Punkte)

Formuliere und beweise die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung

mit , .


Lösung

Es ist

vorausgesetzt, der Wurzelausdruck ist nichtnegativ. Dies sieht man so: Die Bedingung

ist äquivalent zu

was mittels quadratischem Ergänzen äquivalent zu

ist. Umstellen und Erweitern liefert

Dies ist äquivalent zu

und somit zu


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Sei ein Körper, und ein Polynom mit .

  1. Zeige, dass und teilerfremd sind.
  2. Sei . Zeige, dass und teilerfremd sind.


Lösung

  1. Der einzige normierte Teiler von von positivem Grad ist selbst. Da keine Nullstelle von ist, folgt nach Lemma 19.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)), dass kein Teiler von ist. Die einzigen gemeinsamen Teiler sind somt die konstanten Polynome , was die Teilerfremdheit bedeutet.
  2. Die einzigen normierten Teiler von sind mit . Deshalb folgt die Teilerfremdheit aus Teil (1).


Aufgabe (6 (2+3+1) Punkte)

Wir betrachten die lineare Abbildung

die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben wird.

a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von .

b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.

c) Stelle die Matrix für bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.


Lösung

a) Das charakteristische Polynom ist

und die Eigenwerte von sind .

b) Wir bestimmen für jeden Eigenwert einen Eigenvektor.

:

Wir müssen ein nichttriviales Element im Kern von

bestimmen. Da gehört dazu.

:

Dies führt auf

Wir wählen und und erhalten , also ist

ein Eigenvektor zum Eigenwert .

:

Dies führt auf

Mit und ist die mittlere Zeile erfüllt. Die erste Zeile wird dann zu

und daher ist

Somit ist

ein Eigenvektor zum Eigenwert .

c) Bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren besitzt die beschreibende Matrix die Gestalt


Aufgabe (4 (2+1+1) Punkte)

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine nilpotente lineare Abbildung. Der Kern von sei eindimensional. Es sei

und die minimale Zahl mit

  1. Zeige, dass alle , , eine direkte Zerlegung

    mit eindimensional haben.

  2. Zeige, dass die Einschränkungen

    für bijektiv sind.

  3. Zeige, dass mit der Dimension von übereinstimmt.


Lösung Nilpotente Abbildung/Kern eindimensional/Surjektivität/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Wie viele jordansche Normalformen (bis auf Ähnlichkeit) zu -Matrizen gibt es, bei denen in der Diagonalen der konstante Wert steht?


Lösung

Die jordanschen Normalformen von der gesuchten Form haben jedenfalls die Gestalt

wobei an den Freistellen eine oder eine stehen kann. Wir behaupten, dass die Matrizen

eine vollständige Liste der nichtähnlichen Matrizen in jordanscher Normalform sind. Die beiden Matrizen

sind zur zweiten Matrix der Liste ähnlich, da sie ebenso aus zwei Einerblöcken und einem Zweierblock bestehen. Die Matrix

ist zur dritten Matrix ähnlich, da sie ebenfalls aus einem Dreierblock und einem Einerblock besteht. Die fünf angegebenen Matrizen sind paarweise zueinander unähnlich, da die Anzahl der Jordanblöcke und ihre Größe eine Invariante der Abbildung ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Festlegungssatz für affine Abbildungen.


Lösung

Es sei . Es gibt nach Satz 10.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

mit

für alle .

Dann ist

eine affin-lineare Abbildung mit der gewünschten Eigenschaft. Umgekehrt ist eine solche affine Abbildung durch den linearen Anteil und das Verhalten auf einem einzigen Punkt eindeutig festgelegt, so dass

sein muss.