Kurs:Lineare Algebra/Teil II/4/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	1	4	6	4	7	6	4	1	3	1	2	7	5	3	4	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Orthogonale Vektoren ${}v,w\in V$ in einem reellen Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt.
2. Die Gramsche Matrix zu einer Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ bezüglich einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$.
3. Ein selbstadjungierter Endomorphismus

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt.

4. Der Index einer Untergruppe ${}H\subseteq G$ in einer Gruppe ${}G$.
5. Eine Ordnungsrelation ${}\preccurlyeq$ auf einer Menge ${}I$.
6. Eine Körpererweiterung.

Lösung

1. Zwei Vektoren ${}v,w\in V$ heißen orthogonal zueinander, wenn

   ${}\left\langle v,w\right\rangle =0\,$

   ist.

2. Die ${}n\times n$- Matrix

   $\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle _{1\leq i,j\leq n}$

   heißt die Gramsche Matrix von ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich der Basis.

3. Der Endomorphismus ${}\varphi$ heißt selbstadjungiert, wenn

   ${}\left\langle \varphi (u),v\right\rangle =\left\langle u,\varphi (v)\right\rangle \,$

   für alle ${}u,v\in V$ gilt.

4. Der Index ist die Anzahl der (Links- oder Rechts-)Nebenklassen von ${}H$ in ${}G$.
5. Die Relation ${}\preccurlyeq$ heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
   1. Es ist ${}i\preccurlyeq i$ für alle ${}i\in I$.
   2. Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq k$ folgt stets ${}i\preccurlyeq k$.
   3. Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq i$ folgt ${}i=j$.
6. Es sei ${}L$ ein Körper und  ${}K\subseteq L$  ein Unterkörper von ${}L$. Dann heißt die Inklusion  ${}K\subseteq L$  eine Körpererweiterung.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Polarisationsformel für ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum.
2. Der Charakterisierungssatz für eine eigentliche Isometrie in der reellen Ebene.
3. Der Satz über die universelle Eigenschaft des Dachproduktes.

Lösung

1. Die Polarisationsformel besagt

   ${}\left\langle v,w\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\left(\Vert {v+w}\Vert ^{2}-\Vert {v}\Vert ^{2}-\Vert {w}\Vert ^{2}\right)}\,.$

2. Jede eigentliche, lineare Isometrie

   $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

   ist eine Drehung.
3. Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}n\in \mathbb {N}$. Es sei

   $\psi \colon V^{n}\longrightarrow W$

   eine alternierende multilineare Abbildung in einen weiteren ${}K$-Vektorraum ${}W$. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

   ${\tilde {\psi }}\colon \bigwedge ^{n}V\longrightarrow W$

   derart, dass das Diagramm

   ${\begin{matrix}V^{n}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\bigwedge ^{n}V&\\&\searrow &\downarrow &\\&&W&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

   kommutiert.

Aufgabe (1 Punkt)

Berechne das komplexe Standardskalarprodukt ${}\left\langle {\mathrm {i} },{\mathrm {i} }\right\rangle$.

Lösung

Es ist

${}\left\langle {\mathrm {i} },{\mathrm {i} }\right\rangle ={\mathrm {i} }\cdot {\overline {\mathrm {i} }}={\mathrm {i} }{\left(-{\mathrm {i} }\right)}=1\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

${\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}}$

des ${}\mathbb {R} ^{3}$ an.

Lösung

Der Vektor ${}v_{1}={\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}}$ besitzt die Norm ${}{\sqrt {5}}$, somit ist

${}u_{1}={\frac {v_{1}}{\Vert {v_{1}}\Vert }}={\begin{pmatrix}{\frac {2}{\sqrt {5}}}\\{\frac {1}{\sqrt {5}}}\\0\end{pmatrix}}\,$

der zugehörige normierte Vektor. Nun berechnen wir

${}w_{2}=v_{2}-\left\langle v_{2},u_{1}\right\rangle u_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}-{\frac {2}{\sqrt {5}}}{\begin{pmatrix}{\frac {2}{\sqrt {5}}}\\{\frac {1}{\sqrt {5}}}\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{5}}\\-{\frac {2}{5}}\\-1\end{pmatrix}}\,$

als einen orthogonalen Vektor zu ${}u_{1}$, der zusammen mit ${}u_{1}$ den gleichen Untervektorraum wie ${}v_{1}$ und ${}v_{2}$ aufspannt. Normieren liefert

${}u_{2}={\frac {w_{2}}{\Vert {w_{2}}\Vert }}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {30}}}\\-{\frac {2}{\sqrt {30}}}\\-{\frac {5}{\sqrt {30}}}\end{pmatrix}}\,$

als zweiten Vektor der Orthonormalbasis. Ein weiterer Vektor, der orthogonal auf ${}u_{1}$ und ${}u_{2}$ steht, ist

${}{\begin{aligned}w_{3}&=v_{3}-\left\langle v_{3},u_{1}\right\rangle u_{1}-\left\langle v_{3},u_{2}\right\rangle u_{2}\\&={\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}}-0{\begin{pmatrix}{\frac {2}{\sqrt {5}}}\\{\frac {1}{\sqrt {5}}}\\0\end{pmatrix}}+{\frac {15}{\sqrt {30}}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {30}}}\\-{\frac {2}{\sqrt {30}}}\\-{\frac {5}{\sqrt {30}}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}\\-1\\{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Somit ist

${}u_{3}={\frac {w_{3}}{\Vert {w_{3}}\Vert }}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {6}}}\\-{\frac {2}{\sqrt {6}}}\\{\frac {1}{\sqrt {6}}}\end{pmatrix}}\,$

ein dritter Vektor der Orthonormalbasis.

Aufgabe (6 Punkte)

Es seien ${}V$ und ${}W$ euklidische Vektorräume und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${}\varphi$ ist eine Isometrie.
2. Für jede Orthonormalbasis ${}u_{i},i=1,\ldots ,n$, von ${}V$ ist ${}\varphi (u_{i}),i=1,\ldots ,n$, Teil einer Orthonormalbasis von ${}W$.
3. Es gibt eine Orthonormalbasis ${}u_{i},i=1,\ldots ,n$, von ${}V$ derart, dass ${}\varphi (u_{i}),i=1,\ldots ,n$, Teil einer Orthonormalbasis von ${}W$ ist.

Lösung

Aus (1) folgt (2). Wenn eine Isometrie vorliegt, und ${}u_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$, eine Orthonormalbasis von ${}V$ ist, so ist

${}\left\langle \varphi (u_{i}),\varphi (u_{j})\right\rangle =\left\langle u_{i},u_{j}\right\rangle =\delta _{ij}\,$

und somit ist ${}\varphi (u_{i})$, ${}i=1,\ldots ,n$, eine Orthonormalbasis von ${}\varphi (V)$. Diese kann man zu einer Orthonormalbasis von ${}W$ ergänzen.

Von (2) nach (3) ist klar, da es Orthonormalbasen von ${}V$ gibt.

Von (3) nach (1). Es sei ${}u_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$, eine Orthonormalbasis von ${}V$ mit der Eigenschaft, dass

$\varphi (u_{i}),\,i=1,\ldots ,n,$

Teil einer Orthonormalbasis von ${}W$ ist. Für zwei beliebige Vektoren ${}u=\sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i}$ und ${}v=\sum _{i=1}^{n}b_{i}u_{i}$ von ${}V$ ist dann

${}{\begin{aligned}\left\langle \varphi (u),\varphi (v)\right\rangle &=\left\langle \sum _{i=1}^{n}a_{i}\varphi (u_{i}),\sum _{j=1}^{n}b_{j}\varphi (u_{j})\right\rangle \\&=\sum _{1\leq i,j\leq n}a_{i}b_{j}\left\langle \varphi (u_{i}),\varphi (u_{j})\right\rangle \\&=\sum _{1\leq i\leq n}a_{i}b_{i}\\&=\sum _{1\leq i,j\leq n}a_{i}b_{i}\left\langle u_{i},u_{j}\right\rangle \\&=\left\langle \sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i},\sum _{j=1}^{n}b_{j}u_{j}\right\rangle \\&=\left\langle u,v\right\rangle ,\end{aligned}}$

es liegt also eine Isometrie vor.

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten das Dreieck, das durch die Ecken ${}(0,0),(2,0),(0,1)$ gegeben ist. Bestimme die Schnittpunkte der Dreiecksseiten mit der durch

${}y=2x-1\,$

gegebenen Geraden.

Lösung

Die ${}x$-Achse beinhaltet eine Dreiecksseite, der Schnittpunkt mit der gegebenen Geraden ist ${}\left({\frac {1}{2}},\,0\right)$, was zu dieser Dreiecksseite gehört. Die ${}y$-Achse beinhaltet ebenfalls eine Dreiecksseite, der Schnittpunkt mit der gegebenen Geraden ist ${}\left(0,\,-1\right)$, was nicht zur Dreiecksseite gehört. Die dritte Seite des Dreiecks ist durch die beiden Punkte ${}(0,1)$ und ${}(2,0)$ bestimmt, die entsprechende Seitengerade ist durch

${}y=-{\frac {1}{2}}x+1\,$

gegeben. Gleichsetzen führt auf

${}2x-1=-{\frac {1}{2}}x+1\,$

bzw.

${}5x=4\,,$

also

${}x={\frac {4}{5}}\,.$

Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist somit ${}\left({\frac {4}{5}},\,{\frac {3}{5}}\right)$, was zur Dreiecksseite gehört.

Aufgabe (7 Punkte)

Es seien ${}A,B$ verschiedene Punkte in einer euklidischen Ebene. Zeige, dass die Mittelsenkrechte zu ${}A$ und ${}B$ aus allen Punkten besteht, die zu ${}A$ und ${}B$ den gleichen Abstand haben.

Lösung

Es sei

${}M={\frac {1}{2}}(A+B)\,$

der Mittelpunkt der beiden Eckpunkte und ${}u$ ein zu ${}{\overrightarrow {AB}}$ senkrechter Vektor, sodass die Punkte auf der Mittelsenkrechten gleich ${}M+su$ mit  ${}s\in \mathbb {R}$  sind.

Es sei zunächst  ${}P\in \mathbb {R} ^{2}$  ein Punkt der Mittelsenkrechte, den wir als

${}P=M+su\,$

ansetzen können. Es ist unter Verwendung des Satzes des Pythagoras

${}d(P,A)^{2}=\Vert {P-A}\Vert ^{2}=\Vert {su-{\frac {1}{2}}(B-A)}\Vert ^{2}=\Vert {su}\Vert ^{2}+\Vert {{\frac {1}{2}}(B-A)}\Vert ^{2}\,.$

Das gleiche Ergebnis ergibt sich für ${}d(P,B)^{2}$.

Es sei nun  ${}P\in \mathbb {R} ^{2}$  ein Punkt, der zu ${}A$ und ${}B$ den gleichen Abstand besitzt. Der Abstand von ${}P$ zur Geraden durch ${}A$ und ${}B$ werde im Punkt ${}Q$ angenommen. Dann steht die Gerade durch ${}P$ und ${}Q$ senkrecht auf der Geraden durch ${}A$ und ${}B$ und nach dem Satz des Pythagoras gilt

${}d(P,A)^{2}=d(P,Q)^{2}+d(Q,A)^{2}\,$

und entsprechend

${}d(P,B)^{2}=d(P,Q)^{2}+d(Q,B)^{2}\,.$

Nach Voraussetzung ist also

${}d(Q,A)=d(Q,B)\,$

und somit ist

${}Q=M\,$

der Mittelpunkt der Strecke von ${}A$ nach ${}B$. Also liegt ${}P$ auf der Mittelsenkrechten.

Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Trägheitssatz von Sylvester.

Lösung

Bezüglich einer Orthogonalbasis ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ von ${}V$ (die es nach Satz 38.15 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) gibt) hat die Gramsche Matrix natürlich Diagonalgestalt. Es sei ${}p'$ die Anzahl der positiven Diagonaleinträge und ${}q'$ die Anzahl der negativen Diagonaleinträge. Die Basis sei so geordnet, dass die ersten ${}p'$ Diagonaleinträge positiv, die folgenden ${}q'$ Diagonaleinträge negativ und die übrigen ${}0$ seien. Auf dem ${}p'$-dimensionalen Unterraum  ${}U=\langle u_{1},\ldots ,u_{p'}\rangle$  ist die eingeschränkte Bilinearform positiv definit, sodass  ${}p'\leq p$  gilt. Es sei  ${}W=\langle u_{p'+1},\ldots ,u_{n}\rangle$,  auf diesem Unterraum ist die Bilinearform negativ semidefinit. Dabei ist  ${}V=U\oplus W$,  und diese beiden Räume sind orthogonal zueinander.

 Angenommen, es gebe einen Unterraum ${}U'$, auf dem die Bilinearform positiv definit ist, und dessen Dimension ${}p$ größer als ${}p'$ ist. Die Dimension von ${}W$ ist ${}n-p'$ und daher ist  ${}W\cap U'\neq 0$  nach Korollar 9.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)).

Für einen Vektor ${}w\in W\cap U'$, ${}w\neq 0$, ergibt sich aber direkt der Widerspruch  ${}\left\langle w,w\right\rangle >0$  und  ${}\left\langle w,w\right\rangle \leq 0$. 

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme mit dem Eigenwertkriterium den Typ der durch die Matrix

${\begin{pmatrix}5&0&0\\0&2&-3\\0&-3&4\end{pmatrix}}$

gegebenen symmetrischen Bilinearform.

Lösung

Das charakteristische Polynom der Matrix ist

${}{\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}x-5&0&0\\0&x-2&3\\0&3&x-4\end{pmatrix}}&=(x-5)((x-2)(x-4)-9)\\&=(x-5){\left(x^{2}-6x+8-9\right)}\\&=(x-5){\left(x^{2}-6x-1\right)}.\end{aligned}}$

Das Polynom ${}x^{2}-6x-1$ hat die Nullstellen

${}x_{1,2}=\pm {\sqrt {10}}+3\,,$

wobei die eine positiv und die andere negativ ist. Da die ${}5$ eine weitere Nullstelle des charakteristische Polynoms ist, besitzt dieses ${}2$ positive und eine negative Nullstelle. Daher ist der Typ der Bilinearform gleich ${}(2,1)$.

Aufgabe (1 Punkt)

Ist die Einschränkung einer Minkowski-Form im ${}\mathbb {R} ^{n}$ auf einen ${}n-1$-dimensionalen Untervektorraum wieder eine Minkowski-Form?

Lösung

Da eine Minkowski-Form nach Definition vom Typ ${}(n-1,1)$ ist, gibt es einen ${}n-1$-dimensionalen Untervektorraum, auf dem die Einschränkung positiv definit, also keine Minkowski-Form ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige anhand der Matrix

${\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}},$

dass ein ${}\varphi$- invarianter Untervektorraum  ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$  nicht invariant unter dem adjungierten Endomorphismus ${}{\hat {\varphi }}$ sein muss.

Lösung

Wir betrachten die lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},$

die durch die Matrix

${\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$

bezüglich der Standardbasis gegeben ist. Es ist  ${}U=\mathbb {R} e_{1}$  invariant unter ${}\varphi$. Nach Lemma 41.6 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) wird der adjungierte Endomorphismus durch die Matrix

${\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}$

beschrieben. Daher gilt

${}{\hat {\varphi }}(e_{1})=e_{1}+e_{2}\,$

und somit ist ${}U$ nicht invariant unter ${}{\hat {\varphi }}$.

Aufgabe (1 Punkt)

Es sei ${}G$ eine kommutative Gruppe und

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ${}H$ ebenfalls kommutativ ist.

Lösung

Es seien ${}h_{1},h_{2}\in H$. Dann gibt es ${}g_{1},g_{2}\in G$ mit ${}\varphi (g_{1})=h_{1}$ und ${}\varphi (g_{2})=h_{2}$. Dann ist

${}h_{1}h_{2}=\varphi (g_{1})\varphi (g_{2})=\varphi (g_{1}g_{2})=\varphi (g_{2}g_{1})=\varphi (g_{2})\varphi (g_{1})=h_{2}h_{1}\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme, ob die beiden Basen des ${}\mathbb {R} ^{2}$,

${\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-5\\7\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\begin{pmatrix}-3\\6\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}},$

die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht.

Lösung

Die Determinante links ist

${}2\cdot 7-4\cdot (-5)=14+20=34\,$

und die Determinante rechts ist

${}(-3)(-5)-6\cdot 2=15-12=3\,.$

Da beide Determinanten positiv sind, repräsentieren sie die gleiche Orientierung des ${}\mathbb {R} ^{2}$.

Aufgabe (7 (3+2+2) Punkte)

a) Zeige, dass die Gruppe ${}\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$ nicht die eigentliche Symmetriegruppe einer Teilmenge  ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{3}$  ist.

b) Zeige, dass man die Gruppe ${}\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$ als Untergruppe der vollen Isometriegruppe ${}\operatorname {O} _{3}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ realisieren kann.

c)

Betrachte die eigentliche Symmetriegruppe eines Quaders mit drei verschiedenen Seitenlängen. Bei ihm ist zu jeder Geraden durch gegenüberliegende Seitenmittelpunkte die Halbdrehung um diese Achse eine Symmetrie. Widerspricht dies nicht Teil (a)?

Lösung

a) Die endlichen Gruppen, die als eigentliche Bewegungsgruppe eines geometrisches Objektes  ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{3}$  auftreten, sind in Satz 51.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) klassifiziert. Die Gruppe  ${}G=\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$  hat acht Elemente, deshalb scheiden die Tetraedergruppe, die Würfelgruppe und die Ikosaedergruppe aus. Aufgrund der Anzahl könnte ${}G$ höchstens die zyklische Gruppe der Ordnung ${}8$, also ${}\mathbb {Z} /(8)$ sein, oder die Diedergruppe ${}D_{4}$. Diese enthält aber die zyklische Gruppe der Ordnung vier. In ${}G$ haben aber alle Elemente außer dem neutralen Element die Ordnung ${}2$, sodass auch diese beiden Gruppen ausgeschlossen sind.

b) Die acht Matrizen

${\begin{pmatrix}\pm 1&0&0\\0&\pm 1&0\\0&0&\pm 1\end{pmatrix}}$

sind allesamt Isometrien, und da es sich um Diagonalmatrizen handelt, bilden sie eine Gruppe, die isomorph zu

${}\{\pm 1\}\times \{\pm 1\}\times \{\pm 1\}\cong \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)\,$

ist.

c) Die Hintereinanderschaltung von zwei Halbdrehungen um verschiedene Quaderachsen ergibt die Halbdrehung um die dritte Achse, deshalb ist die Symmetriegruppe nicht ${}\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$, sondern ${}\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$.

Aufgabe (5 Punkte)

Der Matrizenraum  ${}\operatorname {Mat} _{n}(\mathbb {R} )\cong \mathbb {R} ^{n^{2}}$  sei mit der euklidischen Norm (bezogen auf die ${}n^{2}$ Einträge) versehen. Zeige, dass ${}n\times n$-Matrizen ${}A,B$ die Abschätzung

${}\mid \mid \!A\circ B\!\mid \mid _{\operatorname {euk} }\leq \mid \mid \!A\!\mid \mid _{\operatorname {euk} }\cdot \mid \mid \!B\!\mid \mid _{\operatorname {euk} }\,$

erfüllen.

Lösung

Es sei

${}A={\left(a_{ij}\right)}_{ij}\,$

und

${}B={\left(b_{k\ell }\right)}_{k\ell }\,.$

Die Produktmatrix

${}AB={\left(c_{rs}\right)}_{rs}\,$

besitzt die Einträge

${}c_{rs}=\sum _{j=1}^{n}a_{rj}b_{js}=\left\langle a_{r},b_{s}\right\rangle \,,$

wobei ${}a_{r}$ die ${}r$-te Zeile von ${}A$ und ${}b_{s}$ die ${}s$-te Spalte von ${}B$ bezeichnet. Das Quadrat der euklidischen Norm des Produktes erfüllt also unter Verwendung von Satz 31.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))

${}{\begin{aligned}\mid \mid \!AB\!\mid \mid _{\operatorname {euk} }^{2}&=\sum _{r,s}\left\langle a_{r},b_{s}\right\rangle ^{2}\\&\leq \sum _{r,s}\mid \mid \!a_{r}\!\mid \mid _{\operatorname {euk} }^{2}\cdot \mid \mid \!b_{s}\!\mid \mid _{\operatorname {euk} }^{2}\\&={\left(\sum _{r}\mid \mid \!a_{r}\!\mid \mid _{\operatorname {euk} }^{2}\right)}{\left(\sum _{s}\mid \mid \!b_{s}\!\mid \mid _{\operatorname {euk} }^{2}\right)}\\&=\mid \mid \!A\!\mid \mid _{\operatorname {euk} }^{2}\cdot \mid \mid \!B\!\mid \mid _{\operatorname {euk} }^{2}.\end{aligned}}$

Übergang zu den Quadratwurzeln ergibt die Behauptung.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}M$ eine spaltenstochastische Matrix, bei der eine Zeile ausschließlich aus positiven Einträgen bestehe. Zeige, dass die Folge ${}M^{n}$ gegen eine Matrix ${}N$ konvergiert, bei der jede Spalte gleich ist.

Lösung

Nach Satz 54.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) konvergiert unter der gegebenen Voraussetzung für jede Startverteilung ${}v$ die Folge ${}M^{n}v$, ${}n\in \mathbb {N}$, gegen die eindeutig bestimmte Eigenverteilung ${}w$. Dies gilt insbesondere für die Standardverteilungen ${}e_{1},\ldots ,e_{n}$. Da ${}M^{n}e_{i}$ die ${}i$-te Spalte der Matrix ${}M^{n}$ ist, konvergiert ${}M^{n}$ gegen diejenige Matrix, deren sämtliche Spalten gleich der Eigenverteilung ${}w$ sind.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die universelle Eigenschaft des Dachprodukts.

Lösung

Wir verwenden die Notation aus Konstruktion 57.3 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)). Durch die Zuordnung

$e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}\longmapsto \psi (v_{1},\ldots ,v_{n})$

wird nach Satz 10.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) eine ${}K$- lineare Abbildung

${\bar {\psi }}\colon H\longrightarrow W$

definiert. Da ${}\psi$ multilinear und alternierend ist, wird unter ${}{\bar {\psi }}$ der Untervektorraum  ${}U\subseteq H$  auf ${}0$ abgebildet. Nach Satz 47.16 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) gibt es daher eine ${}K$-lineare Abbildung

${\tilde {\psi }}\colon H/U\longrightarrow W,$

die mit ${}{\bar {\psi }}$ verträglich ist.
Die Eindeutigkeit ergibt sich daraus, dass die ${}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}$ ein Erzeugendensystem von ${}\bigwedge ^{n}V$ bilden und diese auf ${}\psi (v_{1},\ldots ,v_{n})$ abgebildet werden müssen.