Kurs:Lineare Algebra/Teil II/4/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	0	6	0	7	6	1	0	1	0	2	7	0	3	5	44

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Orthogonale Vektoren ${}v,w\in V$ in einem reellen Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt.
2. Die Gramsche Matrix zu einer Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ bezüglich einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$.
3. Ein selbstadjungierter Endomorphismus

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt.

4. Ein Normalteiler ${}N$ in einer Gruppe ${}G$.
5. Eine Ordnungsrelation ${}\preccurlyeq$ auf einer Menge ${}I$.
6. Eine Körpererweiterung.

Lösung

1. Zwei Vektoren ${}v,w\in V$ heißen orthogonal zueinander, wenn

   ${}\left\langle v,w\right\rangle =0\,$

   ist.

2. Die ${}n\times n$- Matrix

   $\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle _{1\leq i,j\leq n}$

   heißt die Gramsche Matrix von ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich der Basis.

3. Der Endomorphismus ${}\varphi$ heißt selbstadjungiert, wenn

   ${}\left\langle \varphi (u),v\right\rangle =\left\langle u,\varphi (v)\right\rangle \,$

   für alle ${}u,v\in V$ gilt.

4. Ein Untergruppe ${}H\subseteq G$ ist ein Normalteiler, wenn

   ${}xH=Hx\,$

   für alle ${}x\in G$ ist.

5. Die Relation ${}\preccurlyeq$ heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
   1. Es ist ${}i\preccurlyeq i$ für alle ${}i\in I$.
   2. Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq k$ folgt stets ${}i\preccurlyeq k$.
   3. Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq i$ folgt ${}i=j$.
6. Es sei ${}L$ ein Körper und ${}K\subseteq L$ ein Unterkörper von ${}L$. Dann heißt die Inklusion ${}K\subseteq L$ heißt eine Körpererweiterung.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Polarisationsformel für ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum.
2. Der Charakterisierungssatz für eigentliche Isometrie in der reellen Ebene.
3. Der Satz über die universelle Eigenschaft des Dachproduktes.

Lösung

1. Die Polarisationsformel besagt

   ${}\left\langle v,w\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\left(\Vert {v+w}\Vert ^{2}-\Vert {v}\Vert ^{2}-\Vert {w}\Vert ^{2}\right)}\,.$

2. Jede eigentliche, lineare Isometrie

   $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

   ist eine Drehung.
3. Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}n\in \mathbb {N}$. Es sei

   $\psi \colon V^{n}\longrightarrow W$

   eine alternierende multilineare Abbildung in einen weiteren ${}K$-Vektorraum ${}W$. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

   ${\tilde {\psi }}\colon \bigwedge ^{n}V\longrightarrow W$

   derart, dass das Diagramm

   ${\begin{matrix}V^{n}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\bigwedge ^{n}V&\\&\searrow &\downarrow &\\&&W&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

   kommutiert.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (6 Punkte)

Es seien ${}V$ und ${}W$ euklidische Vektorräume und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${}\varphi$ ist eine Isometrie.
2. Für jede Orthonormalbasis ${}u_{i},i=1,\ldots ,n$, von ${}V$ ist ${}\varphi (u_{i}),i=1,\ldots ,n$, Teil einer Orthonormalbasis von ${}W$.
3. Es gibt eine Orthonormalbasis ${}u_{i},i=1,\ldots ,n$, von ${}V$ derart, dass ${}\varphi (u_{i}),i=1,\ldots ,n$, Teil einer Orthonormalbasis von ${}W$ ist.

Lösung

Aus (1) folgt (2). Wenn eine Isometrie vorliegt, und ${}u_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$, eine Orthonormalbasis von ${}V$ ist, so ist

${}\left\langle \varphi (u_{i}),\varphi (u_{j})\right\rangle =\left\langle u_{i},u_{j}\right\rangle =\delta _{ij}\,$

und somit ist ${}\varphi (u_{i})$, ${}i=1,\ldots ,n$, eine Orthonormalbasis von ${}\varphi (V)$. Diese kann man zu einer Orthonormalbasis von ${}W$ ergänzen.

Von (2) nach (3) ist klar, da es Orthonormalbasen von ${}V$ gibt.

Von (3) nach (1). Es sei ${}u_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$, eine Orthonormalbasis von ${}V$ mit der Eigenschaft, dass

$\varphi (u_{i}),\,i=1,\ldots ,n,$

Teil einer Orthonormalbasis von ${}W$ ist. Für zwei beliebige Vektoren ${}u=\sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i}$ und ${}v=\sum _{i=1}^{n}b_{i}u_{i}$ von ${}V$ ist dann

${}{\begin{aligned}\left\langle \varphi (u),\varphi (v)\right\rangle &=\left\langle \sum _{i=1}^{n}a_{i}\varphi (u_{i}),\sum _{j=1}^{n}b_{j}\varphi (u_{j})\right\rangle \\&=\sum _{1\leq i,j\leq n}a_{i}b_{j}\left\langle \varphi (u_{i}),\varphi (u_{j})\right\rangle \\&=\sum _{1\leq i\leq n}a_{i}b_{i}\\&=\sum _{1\leq i,j\leq n}a_{i}b_{i}\left\langle u_{i},u_{j}\right\rangle \\&=\left\langle \sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i},\sum _{j=1}^{n}b_{j}u_{j}\right\rangle \\&=\left\langle u,v\right\rangle ,\end{aligned}}$

es liegt also eine Isometrie vor.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (7 Punkte)

Es seien ${}A,B$ verschiedene Punkte in einer euklidischen Ebene. Zeige, dass die Mittelsenkrechte zu ${}A$ und ${}B$ aus allen Punkten besteht, die zu ${}A$ und ${}B$ den gleichen Abstand haben.

Lösung

Es sei

${}M={\frac {1}{2}}(A+B)\,$

der Mittelpunkt der beiden Eckpunkte und ${}u$ ein zu ${}{\overrightarrow {AB}}$ senkrechter Vektor, so dass die Punkte auf der Mittelsenkrechten gleich ${}M+su$ mit ${}s\in \mathbb {R}$ sind.

Es sei zunächst ${}P\in \mathbb {R} ^{2}$ ein Punkt der Mittelsenkrechte, den wir als

${}P=M+su\,$

ansetzen können. Es ist unter Verwendung des Satzes des Pythagoras

${}d(P,A)^{2}=\Vert {P-A}\Vert ^{2}=\Vert {su-{\frac {1}{2}}(B-A)}\Vert ^{2}=\Vert {su}\Vert ^{2}+\Vert {{\frac {1}{2}}(B-A)}\Vert ^{2}\,.$

Das gleiche Ergebnis ergibt sich für ${}d(P,B)^{2}$.

Es sei nun ${}P\in \mathbb {R} ^{2}$ ein Punkt, der zu ${}A$ und ${}B$ den gleichen Abstand besitzt. Der Abstand von ${}P$ zur Geraden durch ${}A$ und ${}B$ werde im Punkt ${}Q$ angenommen. Dann steht die Gerade durch ${}P$ und ${}Q$ senkrecht auf der Geraden durch ${}A$ und ${}B$ und nach dem Satz des Pythagoras gilt

${}d(P,A)^{2}=d(P,Q)^{2}+d(Q,A)^{2}\,$

und entsprechend

${}d(P,B)^{2}=d(P,Q)^{2}+d(Q,B)^{2}\,.$

Nach Voraussetzung ist also

${}d(Q,A)=d(Q,B)\,$

und somit ist

${}Q=M\,$

der Mittelpunkt der Strecke von ${}A$ nach ${}B$. Also liegt ${}P$ auf der Mittelsenkrechten.

Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Trägheitssatz von Sylvester.

Lösung

Bezüglich einer Orthogonalbasis ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ von ${}V$ (die es nach Fakt ***** gibt) hat die Gramsche Matrix natürlich Diagonalgestalt. Es sei ${}p'$ die Anzahl der positiven Diagonaleinträge und ${}q'$ die Anzahl der negativen Diagonaleinträge. Die Basis sei so geordnet, dass die ersten ${}p'$ Diagonaleinträge positiv, die folgenden ${}q'$ Diagonaleinträge negativ und die übrigen ${}0$ seien. Auf dem ${}p'$-dimensionalen Unterraum ${}U=\langle u_{1},\ldots ,u_{p'}\rangle$ ist die eingeschränkte Bilinearform positiv definit, so dass ${}p'\leq p$ gilt. Sei ${}W=\langle u_{p'+1},\ldots ,u_{n}\rangle$, auf diesem Unterraum ist die Bilinearform negativ semidefinit. Dabei ist ${}V=U\oplus W$, und diese beiden Räume sind orthogonal zueinander.

 Angenommen, es gebe einen Unterraum ${}U'$, auf dem die Bilinearform positiv definit ist, und dessen Dimension ${}p$ größer als ${}p'$ ist. Die Dimension von ${}W$ ist ${}n-p'$ und daher ist ${}W\cap U'\neq 0$ nach Fakt *****.

Für einen Vektor ${}w\in W\cap U'$, ${}w\neq 0$, ergibt sich aber direkt der Widerspruch ${}\left\langle w,w\right\rangle >0$ und ${}\left\langle w,w\right\rangle \leq 0$.

Aufgabe (1 Punkt)

Ist die Einschränkung einer Minkowski-Form im ${}\mathbb {R} ^{n}$ auf einen ${}n-1$-dimensionalen Untervektorraum wieder eine Minkowski-Form?

Lösung

Da eine Minkowski-Form nach Definition vom Typ ${}(n-1,1)$ ist, gibt es einen ${}n-1$-dimensionalen Untervektorraum, auf dem die Einschränkung positiv definit, also keine Minkowski-Form ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (1 Punkt)

Es sei ${}G$ eine kommutative Gruppe und

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ${}H$ ebenfalls kommutativ ist.

Lösung

Es seien ${}h_{1},h_{2}\in H$. Dann gibt es ${}g_{1},g_{2}\in G$ mit ${}\varphi (g_{1})=h_{1}$ und ${}\varphi (g_{2})=h_{2}$. Dann ist

${}h_{1}h_{2}=\varphi (g_{1})\varphi (g_{2})=\varphi (g_{1}g_{2})=\varphi (g_{2}g_{1})=\varphi (g_{2})\varphi (g_{1})=h_{2}h_{1}\,.$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme, ob die beiden Basen des ${}\mathbb {R} ^{2}$,

${\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-5\\7\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\begin{pmatrix}-3\\6\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}},$

die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht.

Lösung

Die Determinante links ist

${}2\cdot 7-4\cdot (-5)=14+20=34\,$

und die Determinante rechts ist

${}(-3)(-5)-6\cdot 2=15-12=3\,.$

Da beide Determinanten positiv sind, repräsentieren sie die gleiche Orientierung des ${}\mathbb {R} ^{2}$.

Aufgabe (7 (3+2+2) Punkte)

1. Zeige, dass die Gruppe ${}\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$ nicht die eigentliche Symmetriegruppe einer Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ ist.
2. Zeige, dass man die Gruppe ${}\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$ als Untergruppe der vollen Isometriegruppe ${}\operatorname {O} _{3}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ realisieren kann.

3. 

   Betrachte die eigentliche Symmetriegruppe eines Quaders mit drei verschiedenen Seitenlängen. Bei ihm ist zu jeder Geraden durch gegenüberliegende Seitenmittelpunkte die Halbdrehung um diese Achse eine Symmetrie. Widerspricht dies nicht Teil (1)?

Lösung

1. Die endlichen Gruppen, die als eigentliche Bewegungsgruppe eines geometrisches Objektes ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ auftreten, sind in Fakt ***** klassifiziert. Die Gruppe ${}G=\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$ hat acht Elemente, deshalb scheiden die Tetraedergruppe, die Würfelgruppe und die Ikosaedergruppe aus. Aufgrund der Anzahl könnte ${}G$ höchstens die zyklische Gruppe der Ordnung ${}8$, also ${}\mathbb {Z} /(8)$ sein, oder die Diedergruppe ${}D_{4}$. Diese enthält aber die zyklische Gruppe der Ordnung vier. In ${}G$ haben aber alle Elemente außer dem neutralen Element die Ordnung ${}2$, so dass auch diese beiden Gruppen ausgeschlossen sind.
2. Die acht Matrizen

   ${\begin{pmatrix}\pm 1&0&0\\0&\pm 1&0\\0&0&\pm 1\end{pmatrix}}$

   sind allesamt Isometrien, und da es sich um Diagonalmatrizen handelt, bilden sie eine Gruppe, die isomorph zu

   ${}\{\pm 1\}\times \{\pm 1\}\times \{\pm 1\}\cong \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)\,$

   ist.

3. Die Hintereinanderschaltung von zwei Halbdrehungen um verschiedene Quaderachsen ergibt die Halbdrehung um die dritte Achse, deshalb ist die Symmetriegruppe nicht ${}\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$, sondern ${}\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}M$ eine spaltenstochastische Matrix, bei der eine Zeile ausschließlich aus positiven Einträgen bestehe. Zeige, dass die Folge ${}M^{n}$ gegen eine Matrix ${}N$ konvergiert, bei der jede Spalte gleich ist.

Lösung

Nach Fakt ***** konvergiert unter der gegebenen Voraussetzung für jede Startverteilung ${}v$ die Folge ${}M^{n}v$, ${}n\in \mathbb {N}$, gegen die eindeutig bestimmte Eigenverteilung ${}w$. Dies gilt insbesondere für die Standardverteilungen ${}e_{1},\ldots ,e_{n}$. Da ${}M^{n}e_{i}$ die ${}i$-te Spalte der Matrix ${}M^{n}$ ist, konvergiert ${}M^{n}$ gegen diejenige Matrix, deren sämtliche Spalten gleich der Eigenverteilung ${}w$ sind.

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise die universelle Eigenschaft des Dachprodukts.

Lösung

Wir verwenden die Notation aus Fakt *****. Durch die Zuordnung

$e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}\longmapsto \psi (v_{1},\ldots ,v_{n})$

wird nach Satz 10.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) eine ${}K$- lineare Abbildung

${\bar {\psi }}\colon H\longrightarrow W$

definiert. Da ${}\psi$ multilinear und alternierend ist, wird unter ${}{\bar {\psi }}$ der Untervektorraum ${}U\subseteq H$ auf ${}0$ abgebildet. Nach Fakt ***** gibt es daher eine ${}K$-lineare Abbildung

${\tilde {\psi }}\colon H/U\longrightarrow W,$

die mit ${}{\bar {\psi }}$ verträglich ist.
Die Eindeutigkeit ergibt sich daraus, dass die ${}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}$ ein Erzeugendensystem von ${}\bigwedge ^{n}V$ bilden und diese auf ${}\psi (v_{1},\ldots ,v_{n})$ abgebildet werden müssen.