Kurs:Lineare Algebra/Teil II/4/Klausur mit Lösungen
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Punkte | 3 | 3 | 0 | 6 | 0 | 7 | 6 | 1 | 0 | 1 | 0 | 2 | 7 | 0 | 3 | 5 | 44 |
Aufgabe (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Orthogonale Vektoren in einem reellen Vektorraum mit Skalarprodukt.
- Die Gramsche Matrix zu einer Bilinearform auf einem - Vektorraum bezüglich einer Basis von .
- Ein
selbstadjungierter
Endomorphismus
auf einem - Vektorraum mit Skalarprodukt.
- Ein Normalteiler in einer Gruppe .
- Eine Ordnungsrelation auf einer Menge .
- Eine Körpererweiterung.
- Zwei Vektoren heißen orthogonal zueinander, wenn
ist.
- Die
-
Matrix
heißt die Gramsche Matrix von bezüglich der Basis.
- Der Endomorphismus heißt
selbstadjungiert,
wenn
für alle gilt.
- Ein Untergruppe ist ein Normalteiler, wenn
für alle ist.
- Die
Relation
heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
- Es ist für alle .
- Aus und folgt stets .
- Aus und folgt .
- Es sei ein Körper und ein Unterkörper von . Dann heißt die Inklusion heißt eine Körpererweiterung.
Aufgabe (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Die Polarisationsformel für ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum.
- Der Charakterisierungssatz für eigentliche Isometrie in der reellen Ebene.
- Der Satz über die universelle Eigenschaft des Dachproduktes.
- Die Polarisationsformel besagt
- Jede eigentliche, lineare Isometrie
- Es sei ein
Körper,
ein
-
Vektorraum
und . Es sei
eine alternierende multilineare Abbildung in einen weiteren -Vektorraum . Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (6 Punkte)
Es seien und euklidische Vektorräume und sei
eine lineare Abbildung. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
- ist eine Isometrie.
- Für jede Orthonormalbasis , von ist , Teil einer Orthonormalbasis von .
- Es gibt eine Orthonormalbasis , von derart, dass , Teil einer Orthonormalbasis von ist.
Aus (1) folgt (2). Wenn eine Isometrie vorliegt, und , , eine Orthonormalbasis von ist, so ist
und somit ist , , eine Orthonormalbasis von . Diese kann man zu einer Orthonormalbasis von ergänzen.
Von (2) nach (3) ist klar, da es Orthonormalbasen von gibt.
Von (3) nach (1). Es sei , , eine Orthonormalbasis von mit der Eigenschaft, dass
Teil einer Orthonormalbasis von ist. Für zwei beliebige Vektoren und von ist dann
es liegt also eine Isometrie vor.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (7 Punkte)
Es seien verschiedene Punkte in einer euklidischen Ebene. Zeige, dass die Mittelsenkrechte zu und aus allen Punkten besteht, die zu und den gleichen Abstand haben.
Es sei
der Mittelpunkt der beiden Eckpunkte und ein zu senkrechter Vektor, sodass die Punkte auf der Mittelsenkrechten gleich mit sind.
Es sei zunächst ein Punkt der Mittelsenkrechte, den wir als
ansetzen können. Es ist unter Verwendung des Satzes des Pythagoras
Das gleiche Ergebnis ergibt sich für .
Es sei nun ein Punkt, der zu und den gleichen Abstand besitzt. Der Abstand von zur Geraden durch und werde im Punkt angenommen. Dann steht die Gerade durch und senkrecht auf der Geraden durch und und nach dem Satz des Pythagoras gilt
und entsprechend
Nach Voraussetzung ist also
und somit ist
der Mittelpunkt der Strecke von nach . Also liegt auf der Mittelsenkrechten.
Aufgabe (6 Punkte)
Beweise den Trägheitssatz von Sylvester.
Bezüglich einer Orthogonalbasis von (die es nach Satz 38.15 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) gibt) hat die Gramsche Matrix natürlich Diagonalgestalt. Es sei die Anzahl der positiven Diagonaleinträge und die Anzahl der negativen Diagonaleinträge. Die Basis sei so geordnet, dass die ersten Diagonaleinträge positiv, die folgenden Diagonaleinträge negativ und die übrigen seien. Auf dem -dimensionalen Unterraum ist die eingeschränkte Bilinearform positiv definit, sodass gilt. Sei , auf diesem Unterraum ist die Bilinearform negativ semidefinit. Dabei ist , und diese beiden Räume sind orthogonal zueinander.
Angenommen, es gebe einen Unterraum , auf dem die Bilinearform positiv definit ist, und dessen Dimension größer als ist. Die Dimension von ist und daher ist nach Korollar 9.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)).
Für einen Vektor , , ergibt sich aber direkt der Widerspruch und .
Aufgabe (1 Punkt)
Ist die Einschränkung einer Minkowski-Form im auf einen -dimensionalen Untervektorraum wieder eine Minkowski-Form?
Da eine Minkowski-Form nach Definition vom Typ ist, gibt es einen -dimensionalen Untervektorraum, auf dem die Einschränkung positiv definit, also keine Minkowski-Form ist.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (1 Punkt)
Es sei eine kommutative Gruppe und
ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ebenfalls kommutativ ist.
Es seien . Dann gibt es mit und . Dann ist
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (2 Punkte)
Die Determinante links ist
und die Determinante rechts ist
Da beide Determinanten positiv sind, repräsentieren sie die gleiche Orientierung des .
Aufgabe (7 (3+2+2) Punkte)
- Zeige, dass die Gruppe nicht die eigentliche Symmetriegruppe einer Teilmenge ist.
- Zeige, dass man die Gruppe als Untergruppe der vollen Isometriegruppe realisieren kann.
-
Betrachte die eigentliche Symmetriegruppe eines Quaders mit drei verschiedenen Seitenlängen. Bei ihm ist zu jeder Geraden durch gegenüberliegende Seitenmittelpunkte die Halbdrehung um diese Achse eine Symmetrie. Widerspricht dies nicht Teil (1)?
- Die endlichen Gruppen, die als eigentliche Bewegungsgruppe eines geometrisches Objektes auftreten, sind in [[Endliche Symmetriegruppe/Klassifizierung/Fakt|Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Endliche Symmetriegruppe/Klassifizierung/Fakt/Faktreferenznummer (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))]] klassifiziert. Die Gruppe hat acht Elemente, deshalb scheiden die Tetraedergruppe, die Würfelgruppe und die Ikosaedergruppe aus. Aufgrund der Anzahl könnte höchstens die zyklische Gruppe der Ordnung , also sein, oder die Diedergruppe . Diese enthält aber die zyklische Gruppe der Ordnung vier. In haben aber alle Elemente außer dem neutralen Element die Ordnung , sodass auch diese beiden Gruppen ausgeschlossen sind.
- Die acht Matrizen
sind allesamt Isometrien, und da es sich um Diagonalmatrizen handelt, bilden sie eine Gruppe, die isomorph zu
ist.
- Die Hintereinanderschaltung von zwei Halbdrehungen um verschiedene Quaderachsen ergibt die Halbdrehung um die dritte Achse, deshalb ist die Symmetriegruppe nicht , sondern .
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei eine spaltenstochastische Matrix, bei der eine Zeile ausschließlich aus positiven Einträgen bestehe. Zeige, dass die Folge gegen eine Matrix konvergiert, bei der jede Spalte gleich ist.
Nach Satz 54.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) konvergiert unter der gegebenen Voraussetzung für jede Startverteilung die Folge , , gegen die eindeutig bestimmte Eigenverteilung . Dies gilt insbesondere für die Standardverteilungen . Da die -te Spalte der Matrix ist, konvergiert gegen diejenige Matrix, deren sämtliche Spalten gleich der Eigenverteilung sind.
Aufgabe (5 Punkte)
Beweise die universelle Eigenschaft des Dachprodukts.
Wir verwenden die Notation aus Konstruktion 57.3 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)). Durch die Zuordnung
wird nach Satz 10.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) eine - lineare Abbildung
definiert. Da multilinear und alternierend ist, wird unter der Untervektorraum auf abgebildet. Nach Satz 48.7 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) gibt es daher eine -lineare Abbildung
die mit verträglich ist.
Die Eindeutigkeit ergibt sich daraus, dass die ein
Erzeugendensystem
von bilden und diese auf abgebildet werden müssen.