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Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Anhang B

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Wir stellen hier einige topologische Begriffe zusammen, die für die Äquivalenz von Normen und für die Konvergenz von (stochastischen) Matrizen relevant sind.


Ein topologischer Raum heißt hausdorffsch, wenn es zu je zwei verschiedenen Punkten offene Mengen und mit , und mit gibt.


Es sei ein metrischer Raum und sei eine Folge in . Man sagt, dass die Folge gegen konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

gilt. In diesem Fall heißt der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch

Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert), andernfalls, dass sie divergiert.

Die Konvergenz in einem metrischen Raum ist ein Spezialfall der Konvergenz in einem topologischen Raum, siehe Aufgabe 52.20.


Es sei eine Folge in einem topologischen Raum . Man sagt, dass die Folge gegen konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jeder offenen Umgebung von gibt es ein derart, dass für alle die Folgenglieder zu gehören.

In diesem Fall heißt der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch

Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert), andernfalls, dass sie divergiert.



Der sei mit der euklidischen Metrik versehen und sei eine Folge in mit

Dann konvergiert die Folge im genau dann, wenn alle Komponentenfolgen in konvergieren.

Es sei die Gesamtfolge konvergent gegen . Wir behaupten, dass die -te Komponentenfolge gegen konvergiert. Sei (ohne Einschränkung) und vorgegeben. Wegen der Konvergenz der Gesamtfolge gibt es ein mit für alle . Daher ist


Es seien nun alle Komponentenfolgen konvergent, wobei die -te Folge den Grenzwert besitzen möge, und sei ein vorgegeben. Wir setzen und behaupten, dass die Folge gegen konvergiert. Zu gibt es für jede Komponentenfolge ein derart, dass für alle gilt. Dann gilt für alle

die Beziehung




Es sei ein metrischer Raum und sei eine Folge in . Ein Punkt heißt Häufungspunkt der Folge, wenn es für jedes unendlich viele Folgenglieder mit gibt.



Es sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge.

Dann ist genau dann abgeschlossen, wenn jede Folge , die in konvergiert, bereits in konvergiert.

Es sei zunächst abgeschlossen und eine Folge gegeben, die in gegen konvergiert. Wir müssen zeigen, dass ist. Angenommen, dies wäre nicht der Fall. Dann liegt im offenen Komplement von und daher gibt es ein derart, dass der gesamte -Ball im Komplement von liegt. Also ist

Da die Folge aber gegen konvergiert, gibt es ein derart, dass alle Folgenglieder , , zu diesem Ball gehören. Da sie andererseits in liegen, ist dies ein Widerspruch.
  Es sei nun nicht abgeschlossen. Wir müssen eine Folge in konstruieren, die in konvergiert, deren Grenzwert aber nicht zu gehört. Da nicht abgeschlossen ist, ist das Komplement nicht offen. D.h. es gibt einen Punkt derart, dass in jedem -Ball von auch Punkte außerhalb von , also in liegen. Insbesondere ist also für jede natürliche Zahl der Durchschnitt

Wir wählen aus dieser Schnittmenge ein Element und behaupten, dass die sich ergebende Folge die gewünschten Eigenschaften besitzt. Zunächst liegen nach Konstruktion alle Folgenglieder in . Die Folge konvergiert gegen , da man sich hierzu auf

beschränken kann und alle Folgenglieder , , in liegen. Da der Grenzwert einer Folge im Falle der Existenz eindeutig bestimmt ist, und ist, konvergiert die Folge in nicht.



Es sei eine Teilmenge.

Dann ist genau dann kompakt, wenn jede Folge in eine in konvergente Teilfolge besitzt.

Wenn nicht beschränkt ist, so gibt es zu jeder natürlichen Zahl ein mit . Diese Folge kann keine konvergente Teilfolge besitzen. Wenn nicht abgeschlossen ist, so gibt es nach Satz Anhang B.6 eine Folge , die gegen ein , konvergiert. Jede Teilfolge davon konvergiert ebenfalls gegen , sodass es keine in konvergente Teilfolge geben kann.

Es sei nun abgeschlossen und beschränkt, und sei eine Folge vorgegeben. Für diese Folge ist insbesondere jede Komponentenfolge beschränkt. Wir betrachten die erste Komponente . Nach dem Satz von Bolzano-Weierstrass gibt es eine Teilfolge derart, dass die erste Komponente dieser Folge konvergiert. Aus dieser Teilfolge wählen wir nun eine weitere Teilfolge derart, dass auch die zweite Komponentenfolge konvergiert. Insgesamt erhält man durch dieses Verfahren eine Teilfolge, wo jede Komponentenfolge konvergiert. Nach Lemma Anhang B.4 konvergiert dann die gesamte Teilfolge in . Da abgeschlossen ist, liegt nach Satz Anhang B.6 der Grenzwert in .



Es sei ein topologischer Raum mit einer abzählbaren Basis.

Dann ist genau dann kompakt, wenn jede Folge in einen Häufungspunkt (in ) besitzt.

Es sei kompakt und sei eine Folge gegeben.  Nehmen wir an, dass diese Folge keinen Häufungspunkt besitzt. Das bedeutet, dass es zu jedem eine offene Umgebung gibt, in der es nur endlich viele Folgenglieder gibt. Wegen

gibt es nach Voraussetzung eine endliche Teilüberdeckung

 Diese enthält einerseits alle Folgenglieder und andererseits nur endlich viele Folgenglieder, ein Widerspruch.

Es sei die Folgeneigenschaft erfüllt und sei eine Überdeckung mit offenen Mengen. Da eine abzählbare Basis besitzt, gibt es nach Aufgabe ***** eine abzählbare Teilmenge mit

Wir können annehmen.  Nehmen wir an, dass die Überdeckung keine endliche Teilüberdeckung besitzt. Dann ist insbesondere für jedes und daher gibt es zu jedem ein  mit . Nach Voraussetzung besitzt diese Folge einen Häufungspunkt . Da eine Überdeckung vorliegt, gibt es ein mit . Da ein Häufungspunkt ist, liegen unendlich viele Folgenglieder in . Dies ist ein Widerspruch, da nach Konstruktion für die Folgenglieder nicht zu gehören.


Der folgende Satz heißt Satz von Heine-Borel.


Es sei eine Teilmenge Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist überdeckungskompakt.
  2. Jede Folge in besitzt einen Häufungspunkt in .
  3. Jede Folge in besitzt eine in konvergente Teilfolge.
  4. ist abgeschlossen und beschränkt.

Die Äquivalenz von (1) und (2) wurde allgemeiner in Lemma Anhang B.8 bewiesen, für die Existenz einer abzählbaren Basis siehe Aufgabe *****.
Die Äquivalenz von (2) und (3) ist klar.
Die Äquivalenz von (3) und (4) wurde in Satz Anhang B.7 gezeigt.



Es sei

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen und und sei ein Punkt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist stetig im Punkt .
  2. Für jedes gibt es ein mit der Eigenschaft, dass aus folgt, dass

    ist.

  3. Für jede konvergente Folge in mit ist auch die Bildfolge konvergent mit dem Grenzwert .

Die Äquivalenz von (1) und (2) ist klar.
Es sei nun (2) erfüllt und sei eine Folge in , die gegen konvergiert. Wir müssen zeigen, dass ist. Dazu sei gegeben. Wegen (2) gibt es ein mit der angegebenen Eigenschaft und wegen der Konvergenz von gegen gibt es eine natürliche Zahl derart, dass für alle die Abschätzung

gilt. Nach der Wahl von ist dann

sodass die Bildfolge gegen konvergiert.

Es sei (3) erfüllt und vorgegeben.  Wir nehmen an, dass es für alle Elemente gibt, deren Abstand zu maximal gleich ist, deren Wert unter der Abbildung aber zu einen Abstand größer als besitzt. Dies gilt dann insbesondere für die Stammbrüche , . D.h. für jede natürliche Zahl gibt es ein mit

Diese so konstruierte Folge konvergiert gegen , aber die Bildfolge konvergiert nicht gegen , da der Abstand der Bildfolgenwerte zu zumindest ist. Dies ist ein Widerspruch zu (3).



Es sei

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen und . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist stetig in jedem Punkt .
  2. Für jeden Punkt und jedes gibt es ein mit der Eigenschaft, dass aus folgt, dass ist.
  3. Für jeden Punkt und jede konvergente Folge in mit ist auch die Bildfolge konvergent mit dem Grenzwert .
  4. Für jede offene Menge ist auch das Urbild offen.

Die Äquivalenz der ersten drei Formulierungen folgt direkt aus Lemma Anhang B.10.
Es sei (1) erfüllt und eine offene Menge gegeben mit dem Urbild . Sei ein Punkt mit dem Bildpunkt . Da offen ist, gibt es nach Definition ein mit . Nach (2) gibt es ein mit . Daher ist

und wir haben eine offene Ballumgebung von innerhalb des Urbilds gefunden. Deshalb ist offen.
Es sei (4) erfüllt und mit und vorgegeben. Da der offene Ball offen ist, ist wegen (4) auch das Urbild offen. Da zu dieser Menge gehört, gibt es ein mit

sodass (1) erfüllt ist.



Es seien und topologische Räume und es sei

eine stetige Abbildung. Es sei kompakt.

Dann ist das Bild ebenfalls kompakt ist.

Beweis

Siehe Aufgabe 52.21.