Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 57/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung, $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und

$\phi :V⟶V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass das charakteristische Polynom zu $\phi$ mit dem charakteristischen Polynom der Tensorierung ${\phi }_L$ übereinstimmt.

Allerdings können beim Übergang von $K$ nach $L$ neue Nullstellen des charakteristischen Polynoms und damit neue Eigenwerte und Eigenvektoren auftreten.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung und seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$.

a) Definiere eine $L$-lineare Abbildung

$L{\otimes }_K{\mathrm{Hom}}_K(V,W)⟶{\mathrm{Hom}}_L(V_L,W_L),$

die $c\otimes \phi$ auf $c({\mathrm{Id}}_L\otimes \phi )$ abbildet.

b) Es seien die beiden Vektorräume nun endlichdimensional. Zeige, dass die Abbildung aus Teil (a) ein Isomorphismus ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung, $V$ ein $K$-Vektorraum und $W$ ein $L$-Vektorraum. Es sei

$\phi :V⟶W$

eine $K$-lineare Abbildung. Zeige, dass es eine $L$-lineare Abbildung

$\tilde{\phi }:V_L⟶W$

gibt, die $\phi$ fortsetzt (also auf $V\subseteq V_L$ mit $\phi$ übereinstimmt).

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Vereinfache in $\stackrel{2}{\bigwedge }{ℝ}^3$ den Ausdruck

$e_1\wedge (e_2-4e_3)-e_2\wedge (5e_1+3e_2-4e_3)+\left(7e_3\right)\wedge e_1-4(5e_1\wedge 2e_3)+(2e_1-8e_2)\wedge (2e_1-8e_2).$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Vereinfache in $\stackrel{3}{\bigwedge }{ℝ}^3$ den Ausdruck

$(e_1-e_2)\wedge (e_2-4e_3)\wedge (3e_1-5e_2+4e_3)+\left(7e_3\right)\wedge (e_1-4e_3)\wedge (5e_3-e_1)-(4e_3-2e_2)\wedge e_2\wedge (4e_1+3e_2-4e_3).$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Vereinfache in $\stackrel{3}{\bigwedge }{ℝ}^3$ den Ausdruck

$-7e_1\wedge e_2\wedge e_3+6e_2\wedge e_3\wedge e_1+4e_3\wedge e_2\wedge e_1+3e_2\wedge e_1\wedge e_3+5e_3\wedge e_1\wedge e_2-11e_2\wedge e_3\wedge e_1.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Zeige die Gleichheit  $V=\stackrel{1}{\bigwedge }V$. 

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum der Dimension $n$. Zeige, dass $\stackrel{n}{\bigwedge }V$ nicht der Nullraum ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $m$-dimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei  $n>m$.  Zeige  $\stackrel{n}{\bigwedge }V=0$. 

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es seien  $f_1,\dots ,f_k\in V^{\ast }$.  Zeige, dass die Abbildung

$V\times \cdots \times V⟶K,(v_1,\dots ,v_k)⟼det(f_i(v_j){)}_{1\le i,j\le k},$

multilinear und alternierend ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige folgende Aussage über das Dachprodukt: Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum der Dimension $n$. Es seien $v_1,\dots ,v_r$ und $w_1,\dots ,w_r$ Vektoren in $V$, die miteinander in der Beziehung

$\left(\begin{array}{c}{w}_1\\ ⋮\\ w_r\end{array}\right)=M\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ ⋮\\ v_r\end{array}\right)$

stehen, wobei $M$ eine $r\times r$-Matrix bezeichnet. Dann gilt in $\stackrel{r}{\bigwedge }V$ die Beziehung

$w_1\wedge \dots \wedge w_r=(detM)v_1\wedge \dots \wedge v_r.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Beweise Satz 57.10 direkt aus der Konstruktion für das Tensorprodukt und der Konstruktion für das Dachprodukt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum und sei  $n\in \mathbb{N}$. 

1. Kann man durch die Zuordnung

   $v_1\wedge \dots \wedge v_n\mapsto v_1{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{v}_n$

   eine (lineare) Abbildung von $\stackrel{n}{\bigwedge }V$ nach $V{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}V$ festlegen?

2. Kann man auf die kanonische Abbildung

   $\pi :V\times \cdots \times V⟶V{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}V$

   die universelle Eigenschaft für das Dachprodukt anwenden, um eine lineare Abbildung von $\stackrel{n}{\bigwedge }V$ nach $V{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}V$ zu erhalten?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum und sei

$\pi :V\times \cdots \times V⟶V{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}V$

(mit $n$ Faktoren) die kanonische multilineare Abbildung.

1. Es sei  $\sigma \in S$  eine Permutation. Zeige, dass es eine multilineare Abbildung

   $\pi \circ \sigma :V\times \cdots \times V⟶V{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}V$

   mit

   $(\pi \circ \sigma )(v_1,\dots ,v_n)=v_{\sigma (1)}{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{v}_{\sigma (n)}$

   gibt.

2. Zeige, dass $\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma )\pi \circ \sigma$ multilinear und alternierend ist.
3. Zeige, dass es eine lineare Abbildung

   $\Psi :\stackrel{n}{\bigwedge }V⟶V{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}V$

   mit

   $\Psi (v_1\wedge \dots \wedge v_n)=\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma )v_{\sigma (1)}{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{v}_{\sigma (n)}$

   gibt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung, $V$ ein $K$-Vektorraum und  $n\in \mathbb{N}$.  Zeige, dass es eine kanonische Isomorphie der $L$-Vektorräume

$\stackrel{n}{\bigwedge }{V}_L\text{ und }(\stackrel{n}{\bigwedge }V{)}_L$

(wobei links das Dachprodukt über $L$ steht) gibt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung, $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und

$\phi :V⟶V$

eine lineare Abbildung. Zeige

$det\phi =det{\phi }_L.$

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

$\phi :V⟶V$

ein Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$ und

${\phi }_{ℂ}:V_{ℂ}⟶V_{ℂ}$

die zugehörige Komplexifizierung. Zeige, dass $\phi$ genau dann (asymptotisch) stabil ist, wenn dies für ${\phi }_{ℂ}$ gilt.