Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Vorlesung 44

In den folgenden Vorlesungen werden wir unsere Methoden um einige wesentliche Aspekte erweitern, indem wir insbesondere Äquivalenzrelationen in algebraischen Strukturen und Restklassenbildung besprechen. Diese Konstruktionen verlaufen für verschiedene algebraische Strukturen (Gruppen, Ringe, Vektorräume) nach dem gleichen Schema, so dass wir diese Konstruktion grundlegend für Gruppen besprechen.

Gruppen

Für ein Element ${}g\in G$ einer multiplikativ geschriebenen Gruppe ${}G$ und ${}n\in \mathbb {N}$ schreibt man

${}g^{n}=g\cdots g\,$

(${}n$ mal) und

${}g^{n}={\left(g^{-1}\right)}^{-n}\,$

für ${}n\in \mathbb {Z} _{-}$. Aufgrund der Potenzgesetze, siehe Aufgabe 44.2, passt dies zusammen. Für Permutationen und invertierbare Matrizen haben wir schon mehrfach über die Ordnung gesprochen.

Definition

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}g\in G$ ein Element. Dann nennt man die kleinste positive Zahl ${}n$ mit ${}g^{n}=e_{G}$ die Ordnung von ${}g$. Man schreibt hierfür ${}\operatorname {ord} \,(g)$. Wenn alle positiven Potenzen von ${}g$ vom neutralen Element verschieden sind, so setzt man ${}\operatorname {ord} \,(g)=\infty$.

Definition

Eine Gruppe ${}G$ heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird.

Das bedeutet, dass es ein Element ${}g\in G$ (einen Erzeuger) derart gibt, dass man jedes Element aus ${}G$ als ${}g^{n}$ mit einem ${}n\in \mathbb {Z}$ schreiben kann. Die Gruppe ${}(\mathbb {Z} ,+,0)$ ist zyklisch, wobei man ${}1$ oder ${}-1$ als Erzeuger nehmen kann. Auch die Untergruppen von ${}\mathbb {Z}$ sind selbst wieder zyklisch, wie die folgende Aussage zeigt.

Satz

Die Untergruppen von ${}\mathbb {Z}$ sind genau

die Teilmengen der Form

${}\mathbb {Z} d={\left\{kd\mid k\in \mathbb {Z} \right\}}\,$

mit einer eindeutig bestimmten nichtnegativen Zahl ${}d$.

Beweis

Siehe Aufgabe 44.3.

$\Box$

Beispiel

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und betrachte auf

${}\mathbb {Z} /(n)=\{0,1,\ldots ,n-1\}\,$

die Verknüpfung

$a+b:=(a+b)\mod n={\begin{cases}a+b,{\text{ falls }}a+b<n\,,\\a+b-n,{\text{ falls }}a+b\geq n\,.\end{cases}}$

Mit dieser Verknüpfung liegt gemäß Aufgabe 44.15 eine Gruppe vor. Da man jedes Element als eine gewisse Summe der ${}1$ mit sich selbst schreiben kann, liegt eine zyklische Gruppe vor.

Gruppenhomomorphismen

Gruppenhomomorphismen haben wir schon in der 18ten Vorlesung in Zusammenhang mit dem Signum einer Permutation erwähnt.

Definition

Es seien ${}(G,\circ ,e_{G})$ und ${}(H,\circ ,e_{H})$ Gruppen. Eine Abbildung

$\psi \colon G\longrightarrow H$

heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit

${}\psi (g\circ g')=\psi (g)\circ \psi (g')\,$

für alle ${}g,g'\in G$ gilt.

Die Menge der Gruppenhomomorphismen von ${}G$ nach ${}H$ wird mit

$\operatorname {Hom} \,(G,H)$

bezeichnet. Lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen sind insbesondere Gruppenhomomorphismen. Die folgenden beiden Lemmata folgen direkt aus der Definition.

Lemma

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und ${}\varphi \colon G\rightarrow H$ sei ein Gruppenhomomorphismus.

Dann ist ${}\varphi (e_{G})=e_{H}$ und ${}(\varphi (g))^{-1}=\varphi {\left(g^{-1}\right)}$ für jedes ${}g\in G$.

Beweis

Zum Beweis der ersten Aussage betrachten wir

${}\varphi (e_{G})=\varphi (e_{G}e_{G})=\varphi (e_{G})\varphi (e_{G})\,.$

Durch Multiplikation mit ${}\varphi (e_{G})^{-1}$ folgt ${}e_{H}=\varphi (e_{G})$.
Zum Beweis der zweiten Behauptung verwenden wir

${}\varphi {\left(g^{-1}\right)}\varphi (g)=\varphi {\left(g^{-1}g\right)}=\varphi (e_{G})=e_{H}\,.$

Das heißt, dass ${}\varphi {\left(g^{-1}\right)}$ die Eigenschaft besitzt, die für das Inverse von ${}\varphi (g)$ charakteristisch ist. Da das Inverse in einer Gruppe nach Lemma 3.2 eindeutig bestimmt ist, muss ${}\varphi {\left(g^{-1}\right)}=(\varphi (g))^{-1}$ gelten.

$\Box$

Lemma

Es seien ${}F,G,H$ Gruppen.

Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Die Identität

   $\operatorname {Id} \colon G\longrightarrow G$

   ist ein Gruppenhomomorphismus.

2. Sind ${}\varphi :F\rightarrow G$ und ${}\psi :G\rightarrow H$ Gruppenhomomorphismen, so ist auch die Hintereinanderschaltung ${}\psi \circ \varphi \colon F\rightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus.
3. Ist ${}F\subseteq G$ eine Untergruppe, so ist die Inklusion ${}F\hookrightarrow G$ ein Gruppenhomomorphismus.
4. Es sei ${}\{e\}$ die triviale Gruppe. Dann ist die Abbildung ${}\{e\}\rightarrow G$, die ${}e$ auf ${}e_{G}$ schickt, ein Gruppenhomomorphismus. Ebenso ist die (konstante) Abbildung ${}G\rightarrow \{e\}$ ein Gruppenhomomorphismus.

Beweis

Das ist trivial.

$\Box$

Beispiel

Es sei ${}d\in \mathbb {N}$ fixiert. Die Abbildung

$\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,n\longmapsto dn,$

ist ein Gruppenhomomorphismus. Dies folgt unmittelbar aus dem Distributivgesetz. Für ${}d\geq 1$ ist die Abbildung injektiv und das Bild ist die Untergruppe ${}\mathbb {Z} d\subseteq \mathbb {Z}$. Bei ${}d=0$ liegt die Nullabbildung vor. Bei ${}d=1$ ist die Abbildung die Identität, bei ${}d\geq 2$ ist die Abbildung nicht surjektiv.

Beispiel

Es sei ${}d\in \mathbb {N} _{+}$. Wir betrachten die Menge

${}\mathbb {Z} /(d)=\{0,1,\ldots ,d-1\}\,$

mit der in Aufgabe 44.15 beschriebenen Addition, die damit eine Gruppe ist. Die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(d),$

die eine ganze Zahl ${}n$ auf ihren Rest bei Division durch ${}d$ abbildet, ist ein Gruppenhomomorphismus. Sind nämlich ${}m=ad+r$ und ${}n=bd+s$ mit ${}0\leq r,s<d$ gegeben, so ist

${}m+n=(a+b)d+r+s\,,$

wobei allerdings ${}r+s\geq d$ sein kann. In diesem Fall ist

${}\varphi (m+n)=r+s-d\,$

und das stimmt mit der Addition von ${}r$ und ${}s$ in ${}\mathbb {Z} /(d)$ überein. Diese Abbildungen sind surjektiv, aber nicht injektiv.

Beispiel

Zu einem Körper ${}K$ und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ ist die Determinante

$\det \colon \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}\longrightarrow K^{\times },\,M\longmapsto \det M,$

ein Gruppenhomomorphismus. Dies beruht auf dem Determinantenmultiplikationssatz und Satz 16.11.

Beispiel

Die Zuordnung

$S_{n}\longrightarrow \{1,-1\},\,\pi \longmapsto \operatorname {sgn} (\pi ),$

wobei ${}S_{n}$ die Permutationsgruppe zu ${}n$ Elementen bezeichnet, ist nach Satz 18.13 ein Gruppenhomomorphismus.

Lemma

Es sei ${}G$ eine Gruppe.

Dann entsprechen sich eindeutig Gruppenelemente ${}g\in G$ und Gruppenhomomorphismen ${}\varphi$ von ${}\mathbb {Z}$ nach ${}G$ über die Korrespondenz

$g\longmapsto (n\mapsto g^{n}){\text{ und }}\varphi \longmapsto \varphi (1).$

Beweis

Es sei ${}g\in G$ fixiert. Dass die Abbildung

$\varphi _{g}\colon \mathbb {Z} \longrightarrow G,\,n\longmapsto g^{n},$

ein Gruppenhomomorphismus ist, ist eine Umformulierung der Potenzgesetze. Wegen ${}\varphi _{g}(1)=g^{1}=g$ erhält man aus der Potenzabbildung das Gruppenelement zurück. Umgekehrt ist ein Gruppenhomomorphismus ${}\varphi \colon \mathbb {Z} \rightarrow G$ durch ${}\varphi (1)$ eindeutig festgelegt, da ${}\varphi (n)=(\varphi (1))^{n}$ für ${}n$ positiv und ${}\varphi (n)={\left((\varphi (1))^{-1}\right)}^{-n}$ für ${}n$ negativ gelten muss.

$\Box$

Man kann den Inhalt dieses Lemmas auch kurz durch ${}G\cong \operatorname {Hom} _{}^{}{\left(\mathbb {Z} ,G\right)}$ ausdrücken. Die Gruppenhomomorphismen von einer Gruppe ${}G$ nach ${}\mathbb {Z}$ sind schwieriger zu charakterisieren. Die Gruppenhomomorphismen von ${}\mathbb {Z}$ nach ${}\mathbb {Z}$ sind die Multiplikationen mit einer festen ganzen Zahl ${}a$, also

$\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,x\longmapsto ax.$

Gruppenisomorphismen

Definition

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen. Einen bijektiven Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

nennt man einen Isomorphismus (oder eine Isomorphie). Die beiden Gruppen heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt.

Bijektive lineare Abbildungen sind insbesondere Gruppenisomorphismen.

Lemma

Seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein Gruppenisomorphismus.

Dann ist auch die Umkehrabbildung

$\varphi ^{-1}\colon H\longrightarrow G,\,h\longmapsto \varphi ^{-1}(h),$

ein Gruppenisomorphismus.

Beweis

Dies folgt aus

${}{\begin{aligned}\varphi ^{-1}(h_{1}h_{2})&=\varphi ^{-1}{\left(\varphi (\varphi ^{-1}(h_{1}))\varphi (\varphi ^{-1}(h_{2}))\right)}\\&=\varphi ^{-1}{\left(\varphi {\left(\varphi ^{-1}(h_{1})\varphi ^{-1}(h_{2})\right)}\right)}\\&=\varphi ^{-1}(h_{1})\varphi ^{-1}(h_{2}).\end{aligned}}$

$\Box$

Beispiel

Betrachte die additive Gruppe der reellen Zahlen, also ${}(\mathbb {R} ,0,+)$, und die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen, also ${}(\mathbb {R} _{+},1,\cdot )$. Dann ist die Exponentialabbildung

$\exp \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto \exp(x),$

ein Gruppenisomorphismus. Dies beruht auf grundlegenden analytischen Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Homomorphieeigenschaft ist lediglich eine Umformulierung des Exponentialgesetzes

${}\exp(x+y)=e^{x+y}=e^{x}e^{y}=\exp(x)\exp(y)\,.$

Die Injektivität der Abbildung folgt aus der strengen Monotonie, die Surjektivität folgt aus dem Zwischenwertsatz. Die Umkehrabbildung ist der natürliche Logarithmus, der somit ebenfalls ein Gruppenisomorphismus ist.

Isomorphe Gruppen sind bezüglich ihrer gruppentheoretischen Eigenschaften als gleich anzusehen. Isomorphismen einer Gruppe auf sich selbst nennt man auch Automorphismen. Die Menge aller Automorphismen auf ${}G$ bildet mit der Hintereinanderschaltung eine Gruppe, die man mit ${}\operatorname {Aut} \,G$ bezeichnet und die die Automorphismengruppe zu ${}G$ nennt. Wichtige Beispiele für Automorphismen sind die sogenannten inneren Automorphismen.

Definition

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}g\in G$ fixiert. Die durch ${}g$ definierte Abbildung

$\kappa _{g}\colon G\longrightarrow G,\,x\longmapsto gxg^{-1},$

heißt innerer Automorphismus.

Diese Abbildung ${}\kappa _{g}$ heißt auch die Konjugation mit ${}g$. Wenn ${}G$ eine kommutative Gruppe ist, so ist wegen ${}gxg^{-1}=xgg^{-1}=x$ die Identität der einzige innere Automorphismus. Der Begriff ist also nur bei nicht kommutativen Gruppen von Interesse.

Lemma

Ein innerer Automorphismus ist in der Tat

ein Automorphismus.

Die Zuordnung

$G\longrightarrow \operatorname {Aut} \,G,\,g\longmapsto \kappa _{g},$

ist ein Gruppenhomomorphismus.

Beweis

Es ist

${}\kappa _{g}(xy)=gxyg^{-1}=gxg^{-1}gyg^{-1}=\kappa _{g}(x)\kappa _{g}(y)\,,$

sodass ein Gruppenhomomorphismus vorliegt. Wegen

${}\kappa _{g}(\kappa _{h}(x))=\kappa _{g}(hxh^{-1})=ghxh^{-1}g^{-1}=ghx(gh)^{-1}=\kappa _{gh}\,$

ist einerseits

${}\kappa _{g^{-1}}\circ \kappa _{g}=\kappa _{g^{-1}g}=\operatorname {Id} _{G}\,,$

sodass ${}\kappa _{g}$ bijektiv, also ein Automorphismus, ist. Andererseits ist deshalb die Gesamtabbildung ${}\kappa$ ein Gruppenhomomorphismus.

$\Box$

Beispiel

Zu einer fixierten invertierbaren Matrix ${}B\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ ist die Konjugation

$\kappa _{B}\colon \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}\longrightarrow \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)},\,M\longmapsto BMB^{-1},$

gerade diejenige Abbildung, die der beschreibenden Matrix ${}M$ zu einer linearen Abbildung bezüglich einer Basis die beschreibende Matrix bezüglich einer neuen Basis zuordnet.

Der Kern eines Gruppenhomomorphismus

Definition

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein Gruppenhomomorphismus. Dann nennt man das Urbild des neutralen Elementes den Kern von ${}\varphi$, geschrieben

${}\operatorname {kern} \varphi =\varphi ^{-1}(e_{H})={\left\{g\in G\mid \varphi (g)=e_{H}\right\}}\,.$

Lemma

Seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein Gruppenhomomorphismus.

Dann ist der Kern von ${}\varphi$ eine Untergruppe von ${}G$.

Beweis

Wegen ${}\varphi (e_{G})=e_{H}$ ist ${}e_{G}\in \operatorname {kern} \varphi$. Seien ${}g,g'\in \operatorname {kern} \varphi$. Dann ist

${}\varphi (gg')=\varphi (g)\varphi (g')=e_{H}e_{H}=e_{H}\,$

und daher ist auch ${}gg'\in \operatorname {kern} \varphi$. Der Kern ist also ein Untermonoid. Es sei nun ${}g\in \operatorname {kern} \varphi$ und betrachte das inverse Element ${}g^{-1}$. Nach Lemma 44.6 ist

${}\varphi {\left(g^{-1}\right)}=(\varphi (g))^{-1}=e_{H}^{-1}=e_{H}\,,$

also auch ${}g^{-1}\in \operatorname {kern} \varphi$.

$\Box$

Wie für lineare Abbildungen gilt wieder das Kernkriterium für die Injektivität.

Lemma

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen.

Ein Gruppenhomomorphismus ${}\varphi :G\rightarrow H$ ist genau dann injektiv, wenn der Kern von ${}\varphi$ trivial ist.

Beweis

Wenn ${}\varphi$ injektiv ist, so darf auf jedes Element ${}h\in H$ höchstens ein Element aus ${}G$ gehen. Da ${}e_{G}$ auf ${}e_{H}$ geschickt wird, darf kein weiteres Element auf ${}e_{H}$ gehen, d.h. ${}\ker \varphi =\{e_{G}\}$. Es sei umgekehrt dies der Fall und sei angenommen, dass ${}g,{\tilde {g}}\in G$ beide auf ${}h\in H$ geschickt werden. Dann ist

${}\varphi {\left(g{\tilde {g}}^{-1}\right)}=\varphi (g)\varphi ({\tilde {g}})^{-1}=hh^{-1}=e_{H}\,$

und damit ist ${}g{\tilde {g}}^{-1}\in \ker \varphi$, also ${}g{\tilde {g}}^{-1}=e_{G}$ nach Voraussetzung und damit ${}g={\tilde {g}}$.

$\Box$

Das Bild eines Gruppenhomomorphismus

Lemma

Seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei ${}\varphi \colon G\rightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus.

Dann ist das Bild von ${}\varphi$ eine Untergruppe von ${}H$.

Beweis

Sei ${}B:=\operatorname {bild} \,\varphi$. Dann ist ${}e_{H}=\varphi (e_{G})\in B$. Es seien ${}h_{1},h_{2}\in B$. Dann gibt es ${}g_{1},g_{2}\in G$ mit ${}\varphi (g_{1})=h_{1}$ und ${}\varphi (g_{2})=h_{2}$. Damit ist ${}h_{1}\cdot h_{2}=\varphi (g_{1})\cdot \varphi (g_{2})=\varphi (g_{1}\cdot g_{2})\in B$. Ebenso gibt es für ${}h\in B$ ein ${}g\in G$ mit ${}\varphi (g)=h$. Somit ist ${}h^{-1}=(\varphi (g))^{-1}=\varphi (g^{-1})\in B$.

$\Box$

Beispiel

Betrachte die analytische Abbildung

$\mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {C} },\,t\longmapsto e^{{\mathrm {i} }t}=\cos t+{\mathrm {i} }\sin t.$

Aufgrund des Exponentialgesetzes (bzw. der Additionstheoreme für die trigonometrischen Funktionen) ist ${}e^{{\mathrm {i} }(t+s)}=e^{{\mathrm {i} }t}e^{{\mathrm {i} }s}$. Daher liegt ein Gruppenhomomorphismus von der additiven Gruppe ${}(\mathbb {R} ,+,0)$ in die multiplikative Gruppe ${}({\mathbb {C} }^{\times },\cdot ,1)$ vor. Wir bestimmen den Kern und das Bild dieser Abbildung. Für den Kern muss man diejenigen reellen Zahlen ${}t$ bestimmen, für die

$\cos t=1\,\,{\text{ und }}\,\,\sin t=0$

ist. Aufgrund der Periodizität der trigonometrischen Funktionen ist dies genau dann der Fall, wenn ${}t$ ein ganzzahliges Vielfaches von ${}2\pi$ ist. Der Kern ist also die Untergruppe ${}2\pi \mathbb {Z}$. Für einen Bildpunkt gilt ${}\vert {e^{{\mathrm {i} }t}}\vert =\sin ^{2}t+\cos ^{2}t=1$, sodass der Bildpunkt auf dem komplexen Einheitskreis liegt. Andererseits durchlaufen die trigonometrischen Funktionen den gesamten Einheitskreis, sodass die Bildgruppe der Einheitskreis mit der komplexen Multiplikation ist.

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