Kurs:Maß- und Integrationstheorie/4/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	${}\sum$
Punkte	3	3	7	5	3	3	7	4	6	9	5	5	4	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Dynkin-System auf einer Menge ${}M$.
2. Eine messbare Abbildung

   $\varphi \colon M\longrightarrow N$

   zwischen zwei Messräumen ${}(M,{\mathcal {A}})$ und ${}(N,{\mathcal {B}})$.

3. Das Borel-Lebesgue-Maß auf der Menge der reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$.
4. Eine Ausschöpfung einer Menge ${}M$.
5. Eine in einem Punkt ${}x\in X$ gleichgradig stetige Teilmenge ${}T\subseteq \operatorname {Abb} \,{\left(X,Z\right)}$, wobei ${}X$ einen topologischen und ${}Z$ einen metrischen Raum bezeichnet.
6. Das ${}n$-te Tschebyschow-Polynom ${}T_{n}$.

Lösung

1. Ein Teilmengensystem ${}{\mathcal {A}}$ auf einer Menge ${}M$ heißt Dynkin-System, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
   1. Es ist ${}M\in {\mathcal {A}}$.
   2. Mit ${}S,T\in {\mathcal {A}}$ und ${}S\subseteq T$ gehört auch ${}T\setminus S$ zu ${}{\mathcal {A}}$.
   3. Für jede abzählbare Familie ${}T_{i}\in {\mathcal {A}}$, ${}i\in I$, mit paarweise disjunkten Mengen ${}T_{i}$ ist auch

      $\bigcup _{i\in I}T_{i}\in {\mathcal {A}}.$

2. Die Abbildung ${}\varphi$ heißt messbar, wenn für jede messbare Menge ${}T\subseteq N$ das Urbild ${}\varphi ^{-1}(T)$ messbar ist.
3. Das eindeutig bestimmte Maß ${}\lambda ^{1}=\lambda$ auf ${}(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$, das für jedes halboffene Intervall ${}[a,b[$ den Wert ${}\lambda ([a,b[)=b-a$ besitzt, heißt (eindimensionales) Borel-Lebesgue-Maß.
4. Eine Folge von Teilmengen ${}T_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, in ${}M$ mit ${}T_{n}\subseteq T_{n+1}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ heißt Ausschöpfung von ${}M$, wenn ${}M=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }T_{n}$ gilt.
5. Man nennt ${}T$ gleichgradig stetig in ${}x$, wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ eine offene Umgebung ${}x\in U\subseteq X$ derart gibt, dass für alle ${}x'\in U$ und alle ${}f\in T$ gilt

   ${}d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon \,.$

6. Unter dem ${}n$-ten Tschebyschow-Polynom versteht man das Polynom

   ${}T_{n}(t)=\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }{\binom {n}{2k}}t^{n-2k}(t^{2}-1)^{k}\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Produktsatz für Maße.
2. Der Satz von der majorisierten Konvergenz (oder Satz von Lebesgue).
3. Die Besselsche Abschätzung in einem ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt.

Lösung

1. Es seien ${}n$ ${}\sigma$- endliche Maßräume ${}(M_{1},{\mathcal {A}}_{1},\mu _{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {A}}_{n},\mu _{n})$ gegeben. Dann gibt es genau ein (${}\sigma$-endliches) Maß ${}\mu$ auf der Produkt-${}\sigma$- Algebra ${}{\mathcal {A}}_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}{\mathcal {A}}_{n}$, das für alle messbaren Quader (deren Seiten endliches Maß besitzen) den Wert

   ${}\mu (T_{1}\times \cdots \times T_{n})=\mu _{1}(T_{1}){\cdots }\mu _{n}(T_{n})\,$

   besitzt.
2. Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum und es sei

   $f_{n}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

   eine punktweise konvergente Folge von messbaren Funktionen. Es gebe eine messbare integrierbare Funktion

   $h\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

   mit ${}\vert {f_{n}(x)}\vert \leq h(x)$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ und alle ${}x\in M$. Dann ist auch die Grenzfunktion ${}f=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}$ integrierbar, und es gilt

   ${}\int _{M}f\,d\mu =\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{M}f_{n}\,d\mu \,.$

3. Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und sei ${}v_{i}$, ${}i\in I$, ein Orthonormalsystem. Dann ist für jeden Vektor ${}v\in V$ die Familie ${}\vert {\left\langle v,v_{i}\right\rangle }\vert ^{2}$, ${}i\in I$, summierbar und es gilt

   ${}\sum _{i\in I}\vert {\left\langle v,v_{i}\right\rangle }\vert ^{2}\leq \Vert {v}\Vert ^{2}\,.$

Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Eindeutigkeitssatz für Maße.

Lösung

Für jede messbare Menge ${}T\in {\mathcal {A}}$ ist ${}(T\cap M_{n})\uparrow T$ eine Ausschöpfung von ${}T$, so dass es nach Lemma 3.4 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023))  (5) genügt, die Gleichheit

${}\mu _{1}(T\cap M_{n})=\mu _{2}(T\cap M_{n})\,$

für alle ${}T\in {\mathcal {A}}$ und alle ${}n\in \mathbb {N}$ zu zeigen. Es sei ${}n$ fixiert. Wir betrachten das Mengensystem

${}{\mathcal {D}}_{n}={\left\{T\in {\mathcal {A}}\mid \mu _{1}(T\cap M_{n})=\mu _{2}(T\cap M_{n})\right\}}\,$

und wir wollen zeigen, dass dies ganz ${}{\mathcal {A}}$ ist. Da ${}{\mathcal {E}}$ durchschnittstabil ist, gehört nach Voraussetzung jede Menge ${}E\in {\mathcal {E}}$ zu ${}{\mathcal {D}}_{n}$. Wir behaupten, dass ${}{\mathcal {D}}_{n}$ ein Dynkin-System ist. Offenbar ist ${}M\in {\mathcal {D}}_{n}$. Seien ${}S\subseteq T$ Teilmengen, die zu ${}{\mathcal {D}}_{n}$ gehören. Dann ist

${}{\begin{aligned}\mu _{1}{\left((T\setminus S)\cap M_{n}\right)}&=\mu _{1}{\left({\left(T\cap M_{n}\right)}\setminus {\left(S\cap M_{n}\right)}\right)}\\&=\mu _{1}(T\cap M_{n})-\mu _{1}(S\cap M_{n})\\&=\mu _{2}(T\cap M_{n})-\mu _{2}(S\cap M_{n})\\&=\mu _{2}{\left({\left(T\cap M_{n}\right)}\setminus {\left(S\cap M_{n}\right)}\right)}\\&=\mu _{2}((T\setminus S)\cap M_{n}),\end{aligned}}$

so dass auch ${}T\setminus S$ zu ${}{\mathcal {D}}_{n}$ gehört. Es sei schließlich ${}T_{i}$, ${}i\in I$, eine abzählbare Familie paarweise disjunkter Teilmengen aus ${}{\mathcal {D}}_{n}$, und sei

${}T=\bigcup _{i\in I}T_{i}\,.$

Dann ist

${}{\begin{aligned}\mu _{1}{\left(T\cap M_{n}\right)}&=\mu _{1}{\left(\bigcup _{i\in I}(T_{i}\cap M_{n})\right)}\\&=\sum _{i\in I}\mu _{1}{\left(T_{i}\cap M_{n}\right)}\\&=\sum _{i\in I}\mu _{2}{\left(T_{i}\cap M_{n}\right)}\\&=\mu _{2}{\left(\bigcup _{i\in I}{\left(T_{i}\cap M_{n}\right)}\right)}\\&=\mu _{2}{\left(T\cap M_{n}\right)},\end{aligned}}$

so dass auch ${}T$ zu ${}{\mathcal {D}}_{n}$ gehört.
Damit ist ${}{\mathcal {D}}_{n}$ ein Dynkin-System, das das durchschnittsstabile Erzeugendensystem ${}{\mathcal {E}}$ enthält. Nach Lemma 1.13 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)) ist daher ${}{\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {D}}_{n}$, und es gilt Gleichheit.

Aufgabe (5 Punkte)

Ein Eimer steht im Garten, gestern abend war er leer. Der Eimer ist ${}30$ cm hoch, er hat am Boden einen Durchmesser von ${}20$ cm und oben am Rand einen Durchmesser von ${}25$ cm. Über Nacht hat es ${}5$ cm geregnet. Wie hoch ist der Wasserstand im Eimer am Morgen?

Lösung

Wir denken uns den Eimer als Ausschnitt aus einem Kegel mit runder Grundseite. Wenn der Eimer bis zur Höhe ${}h$ gefüllt ist, so ist das Wasservolumen darin nach Satz 12.6 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)) gleich

${}{\frac {1}{3}}(120+h)\cdot \pi {\left(10+{\frac {h}{12}}\right)}^{2}-{\frac {1}{3}}\cdot 120\cdot \pi \cdot 10^{2}={\frac {1}{3}}\pi {\left({\frac {1}{144}}(120+h)^{3}-12000\right)}\,.$

Die Wasserzufuhr in den Eimer hängt vom oberen Querschritt ab. Bei einer Regenmenge von ${}5$ cm ist dies

${}5\cdot {\left({\frac {25}{2}}\right)}^{2}\cdot \pi ={\frac {3125}{4}}\pi \,.$

Dies führt zur Bedingung

${}{\frac {1}{3}}{\left({\frac {1}{144}}(120+h)^{3}-12000\right)}={\frac {3125}{4}}\,$

bzw.

${}{\left({\frac {1}{36}}(120+h)^{3}-4\cdot 12000\right)}=3\cdot 3125\,$

bzw.

${}(120+h)^{3}=3\cdot 36\cdot 3125+4\cdot 36\cdot 12000=337500+1728000=2065500\,.$

Also ist

${}h={\sqrt[{3}]{2065500}}-120\cong 7,35\,.$

Aufgabe (3 (2+1) Punkte)

Wir betrachten gleichschenklige Dreiecke, deren Schenkel die Länge ${}1$ haben, und die durch den inneren Winkel ${}\alpha \in ]0,\pi [$ an der Spitze gegeben sind.

1. Bestimme den Flächeninhalt eines solchen gleichschenkligen Dreieckes in Abhängigkeit von ${}\alpha$.
2. Für welche Winkel ${}\alpha$ ist der Flächeninhalt maximal oder minimal?

Lösung

1. Wir betrachten einen Schenkel als Grundseite und bestimmen die zugehörige Höhe ${}h$ des Dreiecks. Für die Höhe und den anderen Schenkel gilt die Beziehung

   ${}\sin \alpha ={\frac {\text{Gegenkathede}}{\text{Hypotenuse}}}={\frac {h}{1}}\,.$

   Deshalb ist der Flächeninhalt gleich ${}{\frac {1}{2}}\sin \alpha$.

2. Die Ableitung der Sinusfunktion ist die Kosinusfunktion und die zweite Ableitung ist die negative Sinusfunktion. Die einzige Nullstelle des Kosinus im angegebenen Intervall liegt bei ${}\pi /2$ vor, dort liegt also ein lokales Maximum (mit dem Wert ${}{\frac {1}{2}}$) vor. Dieses ist auch global. Lokale Minima gibt es auf dem offenen Intervall nicht, der Flächeninhalt konvergiert gegen ${}0$ in Richtung der Randpunkte.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine integrierbare Funktion. Zeige, dass es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}r\in \mathbb {R} _{+}$ derart gibt, dass

${}\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus B\left(0,r\right)}fd\lambda ^{n}\leq \epsilon \,$

ist

Lösung

Wir können ${}f\geq 0$ annehmen. Es ist ${}\int _{\mathbb {R} ^{n}}fd\lambda ^{n}=a$ eine reelle Zahl und die Bälle ${}B\left(0,r\right)$ schöpfen ${}\mathbb {R} ^{n}$ aus und somit schöpfen die Subgraphen zu diesen Bällen den gesamten Subgraphen aus, wobei ${}\int _{B}\left(0,r\right)fd\lambda ^{n}$ für ${}r\rightarrow \infty$ nach Lemma 3.4 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)) gegen ${}a$ konvergiert. Die Differenz zu ${}a$ wird also beliebig klein, und diese ist gleich ${}\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus B\left(0,r\right)}fd\lambda ^{n}$.

Aufgabe (7 Punkte)

Beweise das Cavalieri-Prinzip für eine messbare Teilmenge ${}T\subseteq M\times N$.

Lösung

Wir zeigen zuerst, dass die Zuordnung

${\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,T\longmapsto \int _{M}\nu (T(x))\,d\mu (x),$

ein Maß auf der Produkt-${}\sigma$- Algebra ist. Es sei dazu ${}T=\biguplus _{i\in I}T_{i}$ eine abzählbare Zerlegung in paarweise disjunkte messbare Teilmengen. Nach Aufgabe 10.10 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)) ist

${}{\begin{aligned}\int _{M}\nu (T(x))\,d\mu &=\int _{M}\nu {\left({\left(\biguplus _{i\in I}T_{i}\right)}(x)\right)}\,d\mu \\&=\int _{M}\nu {\left(\biguplus _{i\in I}T_{i}(x)\right)}\,d\mu \\&=\int _{M}\sum _{i\in I}\nu (T_{i}(x))\,d\mu \\&=\sum _{i\in I}\int _{M}\nu (T_{i}(x))\,d\mu ,\end{aligned}}$

so dass die ${}\sigma$- Additivität erfüllt ist.
Für einen Quader ${}A\times B$ ist

${}\int _{M}\nu ((A\times B)(x))\,d\mu =\int _{A}\nu (B)\,d\mu =\mu (A)\cdot \nu (B)\,.$

Aufgrund des Eindeutigkeitssatzes für das Produktmaß muss daher das durch das Integral definierte Maß mit dem Produktmaß übereinstimmen.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}T$ die obere Einheitskreishälfte und sei

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto f(x,y)=x^{2}y+xy^{3}.$

Berechne ${}\int _{T}fd\lambda ^{2}$.

Lösung

Nach nach Satz 12.10 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)) ist

${}{\begin{aligned}\int _{T}fd\lambda ^{2}&=\int _{-1}^{1}{\left(\int _{0}^{\sqrt {1-x^{2}}}x^{2}y+xy^{3}dy\right)}dx\\&=\int _{-1}^{1}{\left({\frac {1}{2}}x^{2}y^{2}+{\frac {1}{4}}xy^{4}\right)}{|}_{0}^{\sqrt {1-x^{2}}}dx\\&=\int _{-1}^{1}{\left({\frac {1}{2}}x^{2}{\sqrt {1-x^{2}}}^{2}+{\frac {1}{4}}x{\sqrt {1-x^{2}}}^{4}\right)}dx\\&=\int _{-1}^{1}{\left({\frac {1}{2}}x^{2}{\left(1-x^{2}\right)}+{\frac {1}{4}}x{\left(1-x^{2}\right)}^{2}\right)}dx\\&=\int _{-1}^{1}{\left({\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{2}}x^{4}+{\frac {1}{4}}x-{\frac {1}{2}}x^{3}+{\frac {1}{4}}x^{5}\right)}dx\\&={\left({\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{6}}x^{3}-{\frac {1}{8}}x^{4}-{\frac {1}{10}}x^{5}+{\frac {1}{24}}x^{6}\right)}{|}_{-1}^{1}\\&={\frac {2}{15}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (6 (2+2+2) Punkte)

a) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus ${}[a,b]$ mit einer reellen Zahl aus ${}[c,d]$ addiert?

b) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus ${}[a,b]$ mit einer reellen Zahl aus ${}[c,d]$ multiplizert?

c) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus ${}[a,b]$ durch eine reelle Zahl aus ${}[c,d]$ (${}c>0$) dividiert?

Lösung

a) Nach Fubini ist

${}{\begin{aligned}\int _{[a,b]\times [c,d]}x+yd\lambda ^{2}&=\int _{[a,b]\times [c,d]}xd\lambda ^{2}+\int _{[a,b]\times [c,d]}yd\lambda ^{2}\\&=\int _{a}^{b}xdx\int _{c}^{d}1dy+\int _{a}^{b}1dx\int _{c}^{d}ydy\\&={\frac {1}{2}}(b^{2}-a^{2})(d-c)+{\frac {1}{2}}(b-a)(d^{2}-c^{2}).\end{aligned}}$

Der Durchschnittswert ergibt sich, wenn man durch die Grundfläche dividiert, das ist also

${}{\frac {{\frac {1}{2}}(b^{2}-a^{2})(d-c)+{\frac {1}{2}}(b-a)(d^{2}-c^{2})}{(b-a)(d-c)}}={\frac {1}{2}}{\left(b+a+c+d\right)}\,.$

b) Es ist

${}{\begin{aligned}\int _{[a,b]\times [c,d]}xyd\lambda ^{2}&=\int _{a}^{b}xdx\cdot \int _{c}^{d}ydy\\&={\frac {1}{2}}(b^{2}-a^{2})\cdot {\frac {1}{2}}(d^{2}-c^{2})\\&={\frac {1}{4}}(b^{2}-a^{2})(d^{2}-c^{2}).\end{aligned}}$

Der Durchschnittswert ist also

${}{\frac {{\frac {1}{4}}(b^{2}-a^{2})(d^{2}-c^{2})}{(b-a)(d-c)}}={\frac {1}{4}}(b+a)(c+d)={\frac {1}{2}}(b+a)\cdot {\frac {1}{2}}(c+d)\,.$

c) Es ist

${}{\begin{aligned}\int _{[a,b]\times [c,d]}{\frac {x}{y}}d\lambda ^{2}&=\int _{a}^{b}xdx\cdot \int _{c}^{d}{\frac {1}{y}}dy\\&={\frac {1}{2}}(b^{2}-a^{2})\cdot {\left(\ln y|_{c}^{d}\right)}\\&={\frac {1}{2}}(b^{2}-a^{2}){\left(\ln d-\ln c\right)}.\end{aligned}}$

Der Durchschnittswert ist also

${}{\frac {{\frac {1}{2}}(b^{2}-a^{2}){\left(\ln d-\ln c\right)}}{(b-a)(d-c)}}={\frac {1}{2}}(b+a){\frac {\ln d-\ln c}{d-c}}\,.$

Aufgabe (9 (1+4+1+1+2) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,\left(x,\,y\right)\longmapsto \left({\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {y^{2}}{2}}+y,\,x(y+1)\right).$

1. Zeige, dass ${}\varphi$ nicht injektiv ist.
2. Zeige, dass die Einschränkung von ${}\varphi$ auf ${}\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{<-1}$ injektiv ist.
3. Bestimme die Jacobi-Matrix zu ${}\varphi$ in einem Punkt ${}\left(x,\,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}$.
4. Bestimme die kritischen Punkte von ${}\varphi$. Welches geometrische Gebilde bilden diese?
5. Berechne den Flächeninhalt des Bildes des Rechteckes

   ${}Q=[-1,1]\times [-3,-2]\,.$

Lösung

1. Die beiden Punkte ${}\left(1,\,-1\right)$ und ${}\left(-1,\,-1\right)$ werden beide auf ${}\left(-1,\,0\right)$ abgebildet, die Abbildung ist also nicht injektiv.
2. Wir machen den Ansatz

   ${}{\begin{pmatrix}{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {y^{2}}{2}}+y\\x(y+1)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}\,.$

   Aus der zweiten Gleichung folgt (wegen ${}y+1<0$)

   ${}x={\frac {v}{y+1}}\,$

   und daraus mit der ersten Gleichung

   ${}g(y)={\frac {v^{2}}{2(y+1)^{2}}}-{\frac {y^{2}}{2}}+y=u\,.$

   Die Ableitung dieser Funktion ${}g(y)$ nach ${}y$ ist

   $-{\frac {v^{2}}{(y+1)^{3}}}-y+1.$

   Dies ist stets positiv, da alle drei Summanden positiv sind. D.h. ${}g$ ist streng wachsend und so kann es zu gegebenem ${}{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}$ höchstens eine Lösung für ${}y$ geben, was wegen der ersten Bedingung auch ${}x$ eindeutig festlegt.

3. Die Jacobi-Matrix ist

   ${\begin{pmatrix}x&-y+1\\y+1&x\end{pmatrix}}$

4. Die Determinante der Jacobi-Matrix ist

   ${}\det {\begin{pmatrix}x&-y+1\\y+1&x\end{pmatrix}}=x^{2}-(y+1)(-y+1)=x^{2}+y^{2}-1\,.$

   Ein kritischer Punkt liegt genau dann vor, wenn diese Determinante ${}0$ ist, was also bei

   ${}x^{2}+y^{2}=1\,$

   der Fall ist. Daher bilden die kritischen Punkten den Einheitskreis.

5. Die Abbildung ist auf dem Rechteck ${}Q$ injektiv und darauf überall regulär, daher ist nach Fakt *****

   ${}{\begin{aligned}\lambda ^{2}(\varphi (Q))&=\int _{Q}(x^{2}+y^{2}+1)d\lambda ^{2}\\&=\int _{-3}^{-2}\int _{-1}^{1}(x^{2}+y^{2}+1)dxdy\\&=\int _{-3}^{-2}{\left({\frac {x^{3}}{3}}+xy^{2}+x\right)}{|}_{-1}^{1}dy\\&=2\int _{-3}^{-2}{\left({\frac {1}{3}}+y^{2}+1\right)}dy\\&=2{\left({\frac {4}{3}}y+{\frac {1}{3}}y^{3}\right)}_{-3}^{-2}\\&=2{\left(-{\frac {8}{3}}-{\frac {8}{3}}+4+9\right)}\\&={\frac {46}{3}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass ein metrischer Raum genau dann eine abzählbare Basis der Topologie besitzt, wenn er eine abzählbare dichte Teilmenge besitzt.

Lösung

Der metrische Raum sei ${}X$. Es sei zuerst ${}U_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Basis der Topologie. Wir wählen Punkte ${}P_{n}\in U_{n}$ und behaupten, dass dies eine dichte Teilmenge ist. Sei ${}Q\in X$ und sei ${}Q\in V$ eine offene Umgebung. Dann ist

${}V=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$

und daher befinden sich auch die Punkte ${}P_{i}$ in dieser Umgebung. Es sei nun umgekehrt ${}P_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$ eine dichte Teilmenge. Es ist dann auch die Menge der offenen Bälle ${}U{\left(P_{n},{\frac {1}{k}}\right)}$, ${}(n,k)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} _{+}$, abzählbar. Sei ${}Q\in X$ und sei ${}Q\in V\subseteq X$ eine offene Umgebung und sei ${}Q\in U{\left(Q,{\frac {1}{m}}\right)}\subseteq V$. Wegen der Dichtheit gibt es einen Punkt ${}P_{n}$ mit

${}d{\left(Q,P_{n}\right)}<{\frac {1}{2m}}\,.$

Dann ist ${}Q\in U{\left(P_{n},{\frac {1}{2m}}\right)}\subseteq U{\left(Q,{\frac {1}{m}}\right)}$.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ ein offenes gleichseitiges Dreieck (gemeint ist die Fläche ohne den Rand) mit Seitenlänge ${}2$. Bestimme die minimale Anzahl an offenen Bällen mit Radius ${}1$, mit denen man ${}T$ überdecken kann.

Lösung Gleichseitiges Dreieck/Seitenlänge 2/Offen/Offener Einheitsball/Überdeckung/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Fourierreihen zu den Funktionen ${}e^{{\mathrm {i} }mt}$, ${}m\in \mathbb {Z}$, wenn man sie auf ${}[0,\pi ]$ auffasst.

Lösung

Es sei ${}m$ fixiert. Der ${}n$-te Fourierkoeffizient von ${}e^{{\mathrm {i} }mt}$ ist (für ${}m\neq 2n$)

${}{\begin{aligned}c_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{{\mathrm {i} }mt}e^{-2{\mathrm {i} }nt}dt\\&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{{\mathrm {i} }mt-2{\mathrm {i} }nt}dt\\&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{{\mathrm {i} }(m-2n)t}dt\\&=-{\frac {1}{\pi }}\cdot {\frac {\mathrm {i} }{m-2n}}e^{{\mathrm {i} }(m-2n)t}|_{0}^{\pi }\\&=-{\frac {1}{\pi }}\cdot {\frac {\mathrm {i} }{m-2n}}{\left(e^{{\mathrm {i} }(m-2n)\pi }-1\right)}\\&={\begin{cases}{\frac {2}{\pi }}\cdot {\frac {\mathrm {i} }{m-2n}}{\text{ bei }}m{\text{ ungerade}}\,,\\0{\text{ bei }}m{\text{ gerade}}\,.\end{cases}}\end{aligned}}$

Bei ${}m=2n$ ergibt sich ${}c_{n}=1$.