Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Test 1/Klausur mit Lösungen

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Abzählbarkeit einer Menge ${}M$.
2. Eine Mengenalgebra auf einer Menge ${}M$.
3. Eine Borelmenge in einem topologischen Raum ${}(X,{\mathcal {T}})$.
4. Eine Ausschöpfung einer Menge ${}M$.
5. Ein Maß auf einem Messraum ${}(M,{\mathcal {A}})$ (ohne Bezug auf ein Prämaß).
6. Ein translationsinvariantes Maß auf ${}(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))$.
7. Das Lebesgue-Integral zu einer messbaren nichtnegativen Funktion ${}f\colon M\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$ auf einem ${}\sigma$- endlichen Maßraum ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$.
8. Der Limes inferior zu einer reellen Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.

Lösung

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Abzählbarkeit einer Menge ${}M$.
2. Eine Mengenalgebra auf einer Menge ${}M$.
3. Eine Borelmenge in einem topologischen Raum ${}(X,{\mathcal {T}})$.
4. Eine Ausschöpfung einer Menge ${}M$.
5. Ein Maß auf einem Messraum ${}(M,{\mathcal {A}})$ (ohne Bezug auf ein Prämaß).
6. Ein translationsinvariantes Maß auf ${}(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))$.
7. Das Lebesgue-Integral zu einer messbaren nichtnegativen Funktion ${}f\colon M\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$ auf einem ${}\sigma$- endlichen Maßraum ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$.
8. Der Limes inferior zu einer reellen Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.

 

Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Eindeutigkeitssatz für Maße.
2. Die Formel für ${}\lambda ^{n}(L(S))$ für eine Borelmenge ${}S\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ unter einer linearen Abbildung ${}L\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$.
3. Der Satz von der majorisierten Konvergenz (oder Satz von Lebesgue).
4. Das Cavalieri-Prinzip für eine messbare Teilmenge ${}T\subseteq M\times N$ zu ${}\sigma$- endlichen Maßräumen ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und ${}(N,{\mathcal {B}},\nu )$.

Lösung

1. Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und es sei ${}{\mathcal {E}}$ ein durchschnittsstabiles Erzeugendensystem für ${}{\mathcal {A}}$. Es seien ${}\mu _{1}$ und ${}\mu _{2}$ zwei Maße auf ${}(M,{\mathcal {A}})$, die auf ${}{\mathcal {E}}$ übereinstimmen. Es gebe eine Ausschöpfung ${}M_{n}\uparrow M$ mit ${}M_{n}\in {\mathcal {E}}$ und mit ${}\mu _{1}(M_{n})=\mu _{2}(M_{n})<\infty$. Dann ist

   ${}\mu _{1}=\mu _{2}\,.$

2. Es sei

   $L\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

   eine lineare Abbildung. Dann gilt für jede messbare Menge ${}S\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ die Beziehung

   ${}\lambda ^{n}(L(S))=\vert {\det L}\vert \cdot \lambda ^{n}(S)\,.$

3. Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum und es sei

   $f_{n}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

   eine punktweise konvergente Folge von messbaren Funktionen. Es gebe eine messbare integrierbare Funktion

   $h\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

   mit ${}\vert {f_{n}(x)}\vert \leq h(x)$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ und alle ${}x\in M$. Dann ist auch die Grenzfunktion ${}f=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}$ integrierbar, und es gilt

   ${}\int _{M}f\,d\mu =\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{M}f_{n}\,d\mu \,.$

4. Für jede messbare Teilmenge ${}T\subseteq M\times N$ gilt die Beziehung

   ${}(\mu \otimes \nu )(T)=\int _{M}\nu (T(x))\,d\mu (x)=\int _{N}\mu (T(y))\,d\nu (y)\,.$

 

Aufgabe * (6 Punkte)

Zeige, dass die Potenzmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(\mathbb {N} )$ und die Menge der Abbildungen ${}\operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {N} ,{\mathfrak {P}}\,(\mathbb {N} )\right)}$ gleichmächtig sind.

Lösung

Die Potenzmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(\mathbb {N} )$ steht in Bijektion zur Abbildungsmenge ${}\operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {N} ,\{0,1\}\right)}$ durch die Zuordnung ${}A\mapsto e_{A}$. Daher ist

${}\operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {N} ,{\mathfrak {P}}\,(\mathbb {N} )\right)}\cong \operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {N} ,\operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {N} ,\{0,1\}\right)}\right)}\cong \operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {N} \times \mathbb {N} ,\{0,1\}\right)}\,.$

Wegen der Gleichmächtigkeit von ${}\mathbb {N}$ zu ${}\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ folgt die Gleichmächtigkeit der Mengen

${}\operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {N} \times \mathbb {N} ,\{0,1\}\right)}\cong \operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {N} ,\{0,1\}\right)}\cong {\mathfrak {P}}\,(\mathbb {N} )\,.$

 

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}(X,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum und sei ${}{\mathcal {A}}$ die davon erzeugte Mengenalgebra. Zeige, dass diese genau aus allen endlichen Vereinigungen

$(U_{1}\cap A_{1})\cup (U_{2}\cap A_{2})\cup \ldots \cup (U_{n}\cap A_{n})$

mit offenen Mengen ${}U_{1},\ldots ,U_{n}$ und abgeschlossenen Mengen ${}A_{1},\ldots ,A_{n}$ besteht.

Lösung

Zu der von der Topologie erzeugten Mengenalgebra ${}{\mathcal {A}}$ müssen alle offenen Teilmengen und somit, da eine Mengenalgebra auch unter Komplementen abgeschlossen ist, auch alle abgeschlossenen Teilmengen gehören. Da eine Mengenalgebra mit zwei Teilmengen auch deren Durchschnitt und deren Vereinigung enthält, gehören die angegebenen Mengen zu ${}{\mathcal {A}}$.

Zur Umkehrung müssen wir zeigen, dass das angegebene Mengensystem eine Mengenalgebra ist, die alle offenen Mengen enthält. Eine offene Menge ${}U$ kann man als ${}U\cap X$ schreiben und ist daher von der angegebenen Form, da ${}X$ selbst abgeschlossen ist. Insbesondere ist der Gesamtraum ${}X$ von der angegebenen Form. Es sei eine Menge

$(U_{1}\cap A_{1})\cup \ldots \cup (U_{n}\cap A_{n})$

gegeben. Ihr Komplement ist

${}{\begin{aligned}X\setminus ((U_{1}\cap A_{1})\cup \ldots \cup (U_{n}\cap A_{n}))&=(X\setminus (U_{1}\cap A_{1}))\cap \ldots \cap (X\setminus (U_{n}\cap A_{n}))\\&=((X\setminus U_{1})\cup (X\setminus A_{1}))\cap \ldots \cap ((X\setminus U_{n})\cup (X\setminus A_{n}))\\&=\bigcup _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\}}(\bigcap _{i\in I}(X\setminus U_{i})\cap \bigcap _{j\in \{1,\ldots ,n\}\setminus I}(X\setminus A_{j})).\,\end{aligned}}$

Hierbei sind die ${}\bigcap _{i\in I}(X\setminus U_{i})$ jeweils abgeschlossen und die ${}\bigcap _{j\in \{1,\ldots ,n\}\setminus I}(X\setminus A_{j})$ jeweils offen, sodass eine Menge in der gewünschten Form vorliegt.

Die Vereinigung von zwei Mengen in der angegebenen Form ist offensichtlich wieder von dieser Form.

 

Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

Es seien ${}M$ und ${}N$ zwei abzählbare Mengen, die beide mit der ${}\sigma$- Algebra aller Teilmengen und mit dem Zählmaß (genannt ${}\mu$ bzw. ${}\nu$) versehen seien.

a) Zeige, dass ${}M$ und ${}N$ ${}\sigma$- endliche Maßräume sind.

b) Zeige, dass das Produktmaß ${}\mu \otimes \nu$ auf ${}M\times N$ ebenfalls das Zählmaß ist.

Lösung

a) Wenn ${}M$ leer ist, so ist nichts zu zeigen. Es sei

$\varphi \colon \mathbb {N} \longrightarrow M$

surjektiv. Dann ist ${}M_{n}:=\{\varphi (0),\ldots ,\varphi (n)\}$ eine Ausschöpfung von ${}M$ mit endlichen Mengen, die daher endliches (Zähl-)maß besitzen.

b) Das Produktmaß auf ${}M\times N$ ist dadurch gekennzeichnet, dass es auf Quadern ${}S\times T$ zu Seiten ${}S$ und ${}T$ mit endlichem Maß das Produkt ${}\mu (S)\cdot \nu (T)$ als Wert besitzt. Für einen Punkt ${}P=(x,y)$ ist ${}\{P\}=\{x\}\times \{y\}$ und daher ist

${}\mu \otimes \nu (\{P\})=\mu (\{x\})\cdot \nu (\{y\})=1\cdot 1=1\,.$

Wegen der Abzählbarkeit von ${}M\times N$ ist dadurch das Produktmaß festgelegt und gleich dem Zählmaß auf der Produktmenge.

 

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Volumen des von den drei Vektoren

${\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}4\\-5\\6\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}7\\8\\9\end{pmatrix}}$

im ${}\mathbb {R} ^{3}$ erzeugten Parallelotops.

Lösung

Das Parallelotop ist das Bild des Einheitswürfels unter der durch die Matrix

$M={\begin{pmatrix}1&4&7\\2&-5&8\\3&6&9\end{pmatrix}}$

gegebenen linearen Abbildung. Nach Satz 68.2 ist sein Volumen gleich dem Betrag der Determinante dieser Matrix. Wir berechnen die Determinante mittels der Regel von Sarrus, d.h. wir betrachten

${\begin{pmatrix}1&4&7&1&4\\2&-5&8&2&-5\\3&6&9&3&6\end{pmatrix}}.$

Daher ist

${}\det M=-45+96+84+105-48-72=285-165=120\,.$

Das Volumen ist also ${}120$.

 

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne den Flächeninhalt des von den Vektoren

$v=(2,3,-4){\text{ und }}w=(1,-1,7)$

im ${}\mathbb {R} ^{3}$ erzeugten Parallelogramms (in dem von diesen Vektoren erzeugten Unterraum).

Lösung

Es ist

${}\left\langle v,v\right\rangle =4+9+16=29\,,$

${}\left\langle v,w\right\rangle =2-3-28=-29\,$

und

${}\left\langle w,w\right\rangle =1+1+49=51\,.$

Die Determinante der zugehörigen Matrix ist

${}\det {\begin{pmatrix}29&-29\\-29&51\end{pmatrix}}=29\cdot 51-29\cdot 29=29\cdot 22=638\,.$

Daher ist der Flächeninhalt des Parallelogramms gleich ${}{\sqrt {638}}$.

 

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}M$ ein Messraum und ${}f\colon M\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$ eine nichtnegative messbare Funktion. Zeige, dass auch die Funktion

${\sqrt {f}}\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto {\sqrt {f(x)}},$

messbar ist.

Lösung

Wir schreiben die Funktion ${}{\sqrt {f}}$ als Hintereinanderschaltung

$M{\stackrel {f}{\longrightarrow }}\mathbb {R} _{\geq 0}{\stackrel {\sqrt {t}}{\longrightarrow }}\mathbb {R} _{\geq 0}.$

Da die Wurzelfunktion stetig ist, ist sie auch messbar und da die Hintereinanderschaltung von messbaren Abbildungen wieder messbar ist, ergibt sich die Messbarkeit von ${}{\sqrt {f}}$.

 

Aufgabe * (10 Punkte)

Zeige, dass sich die abgeschlossene Einheitskreisscheibe

$B\left(0,1\right)={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq 1\right\}}$

nicht durch abzählbar viele abgeschlossene Rechtecke ${}[a,b]\times [c,d]\subseteq B\left(0,1\right)$

(mit $a\leq b$ und $c\leq d$) überdecken lässt.

Lösung

Nehmen wir an, es sei ${}B\left(0,1\right)=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }R_{n}$ mit abgeschlossenen Rechtecken ${}R_{n}=[a_{n},b_{n}]\times [c_{n},d_{n}]\subseteq B\left(0,1\right)$. Dies führen wir zu einem Widerspruch. Es sei ${}P=(x,y)\in B\left(0,1\right)$ ein Randpunkt der Kreisscheibe, also ein Punkt mit ${}x^{2}+y^{2}=1$. Es ist dann ${}P\in R_{n}$ für mindestens ein ${}n$. Wir behaupten, dass ${}P$ ein Eckpunkt dieses Rechtecks ist.

Dazu zeigen wir, dass beide Koordinaten ${}x$ und ${}y$ Seitenkoordinaten des Rechtecks sind. Betrachten wir ${}x$ und nehmen wir an, ${}x$ sei keine Seitenkoordinate des Rechtecks, also ${}a_{n}<x<b_{n}$. Dann gibt es ein ${}\epsilon >0$ derart, dass sowohl ${}(x+\epsilon ,y)$ als auch ${}(x-\epsilon ,y)$ zu ${}R_{n}$ und damit zu ${}B\left(0,1\right)$ gehören. Also ist

${}{\sqrt {(x\pm \epsilon )^{2}+y^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}+\epsilon ^{2}\pm 2x\epsilon }}={\sqrt {1+\epsilon ^{2}\pm 2x\epsilon }}\leq 1\,.$

Da man das Vorzeichen bei nichtnegativem ${}x$ positiv und bei negativem ${}x$ negativ wählen kann, steht bei dieser Wahl unter der Wurzel eine Zahl, die größer als ${}1$ ist, was einen Widerspruch bedeutet. Da diese Überlegung auch für die ${}y$-Koordinate gilt, muss ${}P$ ein Eckpunkt eines Rechtecks sein.

Da nur abzählbar viele Rechtecke beteiligt sind, stehen insgesamt nur abzählbar viele Eckpunkte zur Verfügung. Andererseits gibt es aber überabzählbar viele Punkte auf der Sphäre ${}S^{1}={\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}$, wie aus der Bijektion

$[0,2\pi [\longrightarrow S^{1},\,\alpha \longmapsto (\cos \alpha ,\sin \alpha ),$

folgt. Also kann eine abzählbare Überdeckung mit abgeschlossenen Rechtecken in ${}B\left(0,1\right)$ nicht den gesamten Rand und damit nicht die abgeschlossene Kreisscheibe überdecken.

 

Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn man den Graphen der Funktion

$f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,t\longmapsto t+{\sqrt {t}}+1,$

um die ${}t$-Achse rotieren lässt.

Lösung

Das Volumen des Rotationskörpers ${}K$ ist gemäß der Formel gleich

${}{\begin{aligned}\lambda ^{3}(K)&=\pi \int _{0}^{1}(t+{\sqrt {t}}+1)^{2}\,dt\\&=\pi \int _{0}^{1}(t^{2}+t+1+2t^{3/2}+2t+2t^{1/2})\,dt\\&=\pi \int _{0}^{1}(t^{2}+2t^{3/2}+3t+2t^{1/2}+1)\,dt\\&=\pi {\left({\frac {1}{3}}t^{3}+{\frac {4}{5}}t^{5/2}+{\frac {3}{2}}t^{2}+{\frac {4}{3}}t^{3/2}+t\right)}|_{0}^{1}\\&=\pi {\left({\frac {1}{3}}+{\frac {4}{5}}+{\frac {3}{2}}+{\frac {4}{3}}+1\right)}\\&=\pi {\frac {10+24+45+40+30}{30}}\\&=\pi {\frac {149}{30}}.\end{aligned}}$

 

Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto f(x),$

eine positive stetige Funktion (mit ${}a\leq b$ aus ${}\mathbb {R}$). Zeige direkt (ohne die Transformationsformel), dass die Oberfläche des zugehörigen Rotationskörpers, also die Menge

${}M={\left\{(x,f(x)\cos \alpha ,f(x)\sin \alpha )\mid x\in [a,b],\,\alpha \in [0,2\pi [\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,,$

das Volumen ${}0$ besitzt.

Lösung

Nehmen wir an, dass ${}\lambda ^{3}(M)>0$ ist. Wir betrachten für ${}c\geq 1$ die durch die Matrix

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&c&0\\0&0&c\end{pmatrix}}$

gegebene lineare Abbildung ${}L_{c}$ des ${}\mathbb {R} ^{3}$ in sich. Wir setzen

$M_{c}=L_{c}(M).$

Für ${}c\neq c'$ sind ${}M_{c}$ und ${}M_{c'}$ disjunkt, da aus

${\begin{pmatrix}x\\cf(x)\cos \alpha \\cf(x)\sin \alpha \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x'\\c'f(x')\cos \alpha '\\c'f(x')\sin \alpha '\end{pmatrix}}$

sofort ${}x=x'$ und somit aus der Gleichheit der zweiten und dritten Zeile die „Radius“-Beziehung ${}c^{2}f(x)=(c')^{2}f(x)$, also ${}c=c'$ folgt. Nach der Volumenformel für lineare Abbildungen ist

${}\lambda ^{3}(M_{c})=c^{2}\lambda ^{3}(M)\geq \lambda ^{3}(M)\,.$

Daher ist einerseits

${}\lambda ^{3}{\left(\bigcup _{c\in [1,2]\cap \mathbb {Q} }M_{c}\right)}=\sum _{c\in [1,2]\cap \mathbb {Q} }\lambda ^{3}(M_{c})\geq \sum _{c\in [1,2]\cap \mathbb {Q} }\lambda ^{3}(M)=\infty \,.$

Andererseits ist aber diese Menge in

$[a,b]\times [-R,R]\times [-R,R]$

mit ${}R=2\cdot {\operatorname {sup} \,(f(x),x\in [a,b])}$ enthalten (wegen der Stetigkeit existiert das Supremum auf dem kompakten Intervall), die endliches Maß besitzt, sodass wir einen Widerspruch erhalten.

 

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein endlicher Maßraum und ${}A_{t}$, ${}t\in \mathbb {R}$, eine Familie von messbaren Mengen mit den zugehörigen Indikatorfunktionen ${}e_{A_{t}}$. Wir betrachten die Abbildung

$f\colon \mathbb {R} \times M\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,x)\longmapsto f(t,x)=e_{A_{t}}(x).$

Zeige, dass die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto \varphi (t)=\int _{M}f(t,x)\,d\mu (x),$

nicht stetig sein muss. Welche Voraussetzungen aus Satz 72.1 sind erfüllt, welche nicht?

Lösung

Für jedes ${}t\in \mathbb {R}$ ist

${}\varphi (t)=\int _{M}f(t,x)\,d\mu (x)=\int _{M}e_{A_{t}}(x)\,d\mu (x)=\int _{A_{t}}1\,d\mu (x)=\mu (A_{t})\,.$

Wenn z.B. ${}M$ ein Maßraum ist mit ${}\mu (M)=1$ und die Familie durch

$A_{t}={\begin{cases}\emptyset {\text{ für }}t\leq 0\,,\\M{\text{ für }}t>0\,,\end{cases}}$

gegeben ist, so besitzt die Funktion ${}\varphi (t)=\mu (A_{t})$ eine Sprungstelle in ${}0$ und ist daher nicht stetig.

Die Bedingung (1) ist erfüllt. Für festes ${}t\in \mathbb {R}$ geht es um die Abbildung

$M\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto e_{A_{t}}(x).$

Da ${}A_{t}$ nach Voraussetzung messbar ist, ist diese Abbildung messbar.

Die Bedingung (3) ist erfüllt, und zwar mit der konstanten Funktion ${}h=1$. Es ist ${}\int _{M}h\,d\mu =\mu (M)<\infty$ aufgrund der vorausgesetzten Endlichkeit des Maßraumes ${}M$, und es ist ${}e_{A}\leq h$ für jede Indikatorfunktion.

Da die Schlussfolgerung des Satzes nicht gilt, kann die Bedingung (2) nicht generell erfüllt sein.

 

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