Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/27/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	2	4	1	3	4	2	3	4	5	2	5	5	4	2	4	3	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Teilmenge ${}T$ einer Menge ${}M$.
2. Der Betrag einer komplexen Zahl ${}z=a+b{\mathrm {i} }$.
3. Eine reelle Potenzreihe.
4. Die Stetigkeit einer Funktion

   $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

   in einem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$.

5. Das Taylor-Polynom vom Grad ${}n$ zu einer ${}n$-mal differenzierbaren Funktion

   $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

   in einem Punkt ${}a\in \mathbb {R}$.

6. Die Dimension eines ${}K$-Vektorraums ${}V$ (${}V$ besitze ein endliches Erzeugendensystem).

Lösung

1. Man sagt, dass die Menge ${}T$ eine Teilmenge von ${}M$ ist, wenn jedes Element von ${}T$ auch ein Element von ${}M$ ist.
2. Der Betrag einer komplexen Zahl ${}z=a+b{\mathrm {i} }$ ist durch

   ${}\vert {z}\vert ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,$

   definiert.

3. Es sei ${}{\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge von reellen Zahlen und ${}x$ eine weitere reelle Zahl. Dann heißt die Reihe

   $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$

   die Potenzreihe in ${}x$ zu den Koeffizienten ${}{\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.

4. Man sagt, dass ${}f$ stetig im Punkt ${}x$ ist,wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ derart gibt, dass für alle ${}x'$ mit ${}\vert {x-x'}\vert \leq \delta$ die Abschätzung ${}\vert {f(x)-f(x')}\vert \leq \epsilon$ gilt.
5. Das Polynom

   $\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}$

   heißt das Taylor-Polynom vom Grad ${}n$ zu ${}f$ in ${}a$.

6. Unter der Dimension eines Vektorraums ${}V$ versteht man die Anzahl der Elemente in einer Basis von ${}V$.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz von Bolzano-Weierstraß.
2. Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung für eine stetige Funktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem reellen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.
3. Der Satz über die Existenz von Basen in einem endlich erzeugten ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Lösung

1. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine beschränkte Folge von reellen Zahlen. Dann besitzt die Folge eine konvergente Teilfolge.
2. Satzantwort Für einen beliebigen Punkt ${}a\in I$ ist die Integralfunktion

   ${}F(x):=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\,$

   differenzierbar und es gilt

   ${}F'(x)=f(x)\,$

   für alle

   ${}x\in I$.
3. Unter den gegebenen Bedingungen besitzt ${}V$ eine endliche Basis.

Aufgabe (2 Punkte)

Wenn Karl an Susanne denkt, bekommt er feuchte Hände, einen Kloß im Hals und einen roten Kopf. Einen roten Kopf bekommt er genau dann, wenn er an Susanne denkt oder wenn er das leere Tor nicht trifft. Wenn Karl das leere Tor trifft, bekommt er feuchte Hände. Karl bekommt den Ball vor dem leeren Tor. Kurz darauf bekommt er feuchte Hände, einen roten Kopf, aber keinen Kloß im Hals. Hat er an Susanne gedacht? Hat er das leere Tor getroffen?

Lösung

Karl hat nicht an Susanne gedacht, da er sonst einen Kloß im Hals bekommen hätte, was er nicht hat. Andererseits bekommt er einen roten Kopf, was bedeutet, dass er das leere Tor nicht getroffen hat oder an Susanne gedacht hat. Da letzteres nicht der Fall ist, hat er das leere Tor nicht getroffen.

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise durch Induktion die folgende Formel für ${}n\geq 1$.

${}\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}\,.$

Lösung

Beim Induktionsanfang ist ${}n=1$, daher besteht die Summe links nur aus einem Summanden, nämlich der ${}1$, und daher ist die Summe ${}1$. Die rechte Seite ist ${}{\frac {1\cdot 2}{2}}=1$, sodass die Formel für ${}n=1$ stimmt.

Für den Induktionsschritt setzen wir voraus, dass die Formel für ein ${}n\geq 1$ gilt, und müssen zeigen, dass sie auch für ${}n+1$ gilt. Dabei ist ${}n$ beliebig. Es ist

${}{\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n+1}k&=\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)+n+1\\&={\frac {n(n+1)}{2}}+n+1\\&={\frac {n(n+1)+2(n+1)}{2}}\\&={\frac {(n+2)(n+1)}{2}}.\end{aligned}}$

Dabei haben wir für die zweite Gleichheit die Induktionsvoraussetzung verwendet. Der zuletzt erhaltene Term ist die rechte Seite der Formel für ${}n+1$, also ist die Formel bewiesen.

Aufgabe (2 Punkte)

Die Biologin Sandra O'Neil ist eine renommierte Forscherin über Bakterien. Ihr Institut hat ein hochauflösendes Mikroskop erworben, das auf dem Bildschirm die Wirklichkeit im Verhältnis ${}3:10^{7}$ wiedergibt. Auf dem Bildschirm ist die Geißel des Bakteriums ${}21$ cm lang und dreimal so lang wie das Bakterium selbst. Auf dem Bakterium befindet sich ein roter Punkt, dessen Flächeninhalt auf dem Bildschirm ${}2$ Quadratzentimeter einnimmt.

1. Wie lang ist das Bakterium in Wirklichkeit?
2. Welchen Flächeninhalt hat der rote Punkt in Wirklichkeit?

Lösung

Der Faktor von der wirklichen Länge zur Bildschirmlänge ist ${}10^{7}/3$, der umgekehrte Faktor ist ${}3\cdot 10^{-7}$.

1. Die Länge des Bakteriums auf dem Bildschirm ist

   ${}{\frac {1}{3}}\cdot 21cm=7cm=7\cdot 10^{-2}m\,.$

   Deshalb ist die wirkliche Länge des Bakteriums gleich ${}7\cdot 10^{-2}\cdot 3\cdot 10^{-7}=21\cdot 10^{-9}=2,1\cdot 10^{-8}$ in Meter, also ${}21$ Nanometer.

2. Der Flächeninhalt im Mikroskop ist

   ${}2cm^{2}=2\cdot 10^{-4}m^{2}\,.$

   Um den wahren Flächeninhalt zu bestimmen, muss man den umgekehrten Faktor quadrieren. Der wahre Flächeninhalt des roten Punktes ist somit gleich

   ${}2\cdot 10^{-4}\cdot {\left(3\cdot 10^{-7}\right)}^{2}=18\cdot 10^{-18}\,$

   Quadratmeter.

Aufgabe (4 Punkte)

Führe in ${}{\mathbb {C} }[X]$ die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ für die beiden Polynome ${}P=X^{4}+{\mathrm {i} }X^{3}+X^{2}+(1-3{\mathrm {i} })X+3$ und ${}T=X^{2}+(1-{\mathrm {i} })X+2$ durch.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}P-X^{2}T&=X^{4}+{\mathrm {i} }X^{3}+X^{2}+(1-3{\mathrm {i} })X+3-X^{2}{\left(X^{2}+(1-{\mathrm {i} })X+2\right)}\\&=(-1+2{\mathrm {i} })X^{3}-X^{2}+(1-3{\mathrm {i} })X+3\\&={\tilde {P}}.\end{aligned}}$

Ferner ist

${}{\begin{aligned}{\tilde {P}}-(-1+2{\mathrm {i} })XT&=(-1+2{\mathrm {i} })X^{3}-X^{2}+(1-3{\mathrm {i} })X+3-(-1+2{\mathrm {i} })X{\left(X^{2}+(1-{\mathrm {i} })X+2\right)}\\&=(-2-3{\mathrm {i} })X^{2}+(3-7{\mathrm {i} })X+3\\&={\hat {P}}\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}{\hat {P}}-(-2-3{\mathrm {i} })T&={\hat {P}}+(2+3{\mathrm {i} })T\\&=(-2-3{\mathrm {i} })X^{2}+(3-7{\mathrm {i} })X+3+(2+3{\mathrm {i} }){\left(X^{2}+(1-{\mathrm {i} })X+2\right)}\\&=(8-6{\mathrm {i} })X+7+6{\mathrm {i} }.\end{aligned}}$

Somit ist

${}P=(X^{2}+(-1+2{\mathrm {i} })X+(2+3{\mathrm {i} }))T+(8-6{\mathrm {i} })X+7+6{\mathrm {i} }\,.$

Aufgabe (1 Punkt)

Negiere die Aussage, dass eine Folge ${}x_{n}$ in ${}\mathbb {R}$ gegen ${}x$ konvergiert, durch Umwandlung der Quantoren.

Lösung

Es gibt ein ${}\epsilon >0$ mit der Eigenschaft, dass es für alle ${}m\in \mathbb {N}$ ein

${}n\geq m\,$

derart gibt, dass

${}\vert {x_{n}-x}\vert >\epsilon \,$

ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Eine reelle Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ sei durch einen Anfangswert ${}x_{0}\in \mathbb {R}$ und durch die Rekursionsvorschrift

${}x_{n+1}=-x_{n}\,$

gegeben. Bestimme die Anfangswerte, für die diese Folge konvergiert.

Lösung

Bei ${}x_{0}=0$ ist die Folge konstant gleich ${}0$. Diese Folge konvergiert gegen ${}0$. Für jeden anderen Startwert ${}x_{0}\neq 0$ konvergiert die Folge nicht. Wegen

${}-{\left(-x\right)}=x\,$

wechseln sich in der Folge ${}x_{0}$ und ${}-x_{0}$ ab, sodass abwechselnd eine feste positive und eine feste negative Zahl auftreten. Eine solche Folge kann aber nicht konvergieren.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}b\in K$, ${}b>1$. Zeige, dass es dann Elemente ${}c,d>1$ mit ${}b=cd$ gibt.

Lösung

Wir setzen

${}c={\frac {b+1}{2}}\,.$

Da ${}b>1$ ist, ist auch

${}b+1>2\,$

und damit ist

${}c>1\,.$

Wir setzen sodann

${}d=b\cdot c^{-1}={\frac {2b}{b+1}}\,,$

sodass die geforderte Gleichheit

${}b=c\cdot d\,$

gilt. Wegen ${}b>1$ ist

${}2b=b+b>b+1\,,$

also ist auch

${}d>1\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Vierfache ihrer zweiten Potenz, gleich der Quadratwurzel von ${}42$ ist?

Lösung

Es geht um eine reelle Lösung für die Gleichung

${}f(x)=x^{3}-4x^{2}={\sqrt {42}}\,.$

Es ist ${}f(0)=0$ und ${}f(5)=25$ und ${}0\leq {\sqrt {42}}\leq 25$. Da ${}f$ als Polynomfunktion stetig ist, gibt es nach dem Zwischenwertsatz ein ${}x\in \mathbb {R}$ mit ${}f(x)={\sqrt {42}}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung der Exponentialfunktion.

Lösung

Aufgrund von Satz 16.1 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) ist

${}{\begin{aligned}\exp \!'(x)&={\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right)}'\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\left({\frac {x^{n}}{n!}}\right)}'\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{n!}}x^{n-1}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n-1)!}}x^{n-1}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\\&=\exp x.\end{aligned}}$

Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

Es seien

$f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

zwei differenzierbare Funktionen und sei

${}h(x)=(g(f(x)))^{2}f(g(x))\,.$

a) Drücke die Ableitung ${}h'$ mit den Ableitungen von ${}f$ und ${}g$ aus.

b) Es sei nun

$f(x)=x^{2}-1{\text{ und }}g(x)=x+2.$

Berechne ${}h'(x)$ auf zwei verschiedene Arten, einerseits über ${}h(x)$ und andererseits über die Formel aus Teil a).

Lösung

a) Nach der Produkt- und Kettenregel ist

${}h'(x)=(g(f(x)))^{2}\cdot f'(g(x))\cdot g'(x)+2g(f(x))\cdot g'(f(x))\cdot f'(x)\cdot f(g(x))\,.$

b) Wir berechnen zuerst ${}h(x)$. Es ist

${}{\begin{aligned}h(x)&=(x^{2}+1)^{2}\cdot ((x+2)^{2}-1)\\&=(x^{4}+2x^{2}+1)(x^{2}+4x+3)\\&=x^{6}+4x^{5}+5x^{4}+8x^{3}+7x^{2}+4x+3.\end{aligned}}$

Die Ableitung ist daher

${}h'(x)=6x^{5}+20x^{4}+20x^{3}+24x^{2}+14x+4\,.$

Andererseits ist

$f'(x)=2x{\text{ und }}g'(x)=1$

und daher nach Teil a)

${}{\begin{aligned}h'(x)&=(g(f(x)))^{2}\cdot f'(g(x))\cdot g'(x)+2g(f(x))\cdot g'(f(x))\cdot f'(x)\cdot f(g(x))\\&=(x^{4}+2x^{2}+1)2(x+2)+2(x^{2}+1)(2x)(x^{2}+4x+3)\\&=2(x^{5}+2x^{3}+x+2x^{4}+4x^{2}+2)+4x(x^{4}+4x^{3}+3x^{2}+x^{2}+4x+3)\\&=2(x^{5}+2x^{4}+2x^{3}+4x^{2}+x+2)+4x(x^{4}+4x^{3}+4x^{2}+4x+3)\\&=6x^{5}+20x^{4}+20x^{3}+24x^{2}+14x+4.\end{aligned}}$

Aufgabe (5 (1+1+1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=e^{-{\frac {1}{x}}}.$

1. Untersuche das Monotonieverhalten dieser Funktion.
2. Zeige, dass diese Funktion injektiv ist.
3. Bestimme das Bild von ${}f$.
4. Man gebe die Umkehrfunktion auf dem Bild zu dieser Funktion an.
5. Skizziere den Funktionsgraphen von ${}f$.

Lösung

a) Die Ableitung von ${}f$ ist

${}f'(x)={\frac {1}{x^{2}}}\cdot e^{-{\frac {1}{x}}}\,.$

Dies ist stets positiv, sodass die Funktion auf den beiden Teilintervallen ${}\mathbb {R} _{-}$ und ${}\mathbb {R} _{+}$ jeweils streng wachsend ist. Insgesamt ist die Funktion aber nicht wachsend, da die Werte zu negativem ${}x$ stets größer als die Werte zu positivem ${}x$ sind.

b) Für ${}x<0$ ist ${}e^{-{\frac {1}{x}}}>1$, da der Exponent positiv ist. Für ${}x>0$ ist ${}e^{-{\frac {1}{x}}}<1$, da der Exponent negativ ist. Daher haben insbesondere negative und positive reellen Zahlen unter ${}f$ unterschiedliche Werte. Da im negativen Bereich als auch im positiven Bereich strenges Wachstum vorliegt, ist die Abbildung insgesamt injektiv.

c) Für negatives ${}x$ durchläuft ${}-{\frac {1}{x}}$ sämtliche positiven Zahlen, sodass ${}e^{-{\frac {1}{x}}}$ das offene Intervall ${}]1,\infty [$ durchläuft. Für positives ${}x$ durchläuft ${}-{\frac {1}{x}}$ sämtliche negativen Zahlen, sodass ${}e^{-{\frac {1}{x}}}$ das offene Intervall ${}]0,1[$ durchläuft. Das Bild ist also ${}\mathbb {R} _{+}\setminus \{1\}$.

d) Aus ${}y=e^{-{\frac {1}{x}}}$ folgt durch Äquivalenzumformungen ${}\ln y=-{\frac {1}{x}}$ und damit ${}x=-{\frac {1}{\ln y}}$, die Umkehrabbildung ist also

$\mathbb {R} _{+}\setminus \{1\}\longrightarrow \mathbb {R} \setminus \{0\},\,y\longmapsto -{\frac {1}{\ln y}}.$

e)

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin ^{2}\left(\cos x\right).$

Lösung

Die Ableitung von ${}\sin ^{2}\left(\cos x\right)$ ist

$-2\sin \left(\cos x\right){\left(\cos \left(\cos x\right)\right)}\sin x.$

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

${}g(x)=x^{2}+ax+b\,$

ein normiertes Polynom vom Grad ${}2$ und ${}h(x)=\sin x$ die Sinusfunktion. Zeige, dass die Graphen von ${}g$ und von ${}h$ maximal zwei Schnittpunkte besitzen.

Lösung

Wir betrachten

${}f(x):=g(x)-h(x)=x^{2}+ax+b-\sin x\,.$

Die Schnittpunkte der Graphen von ${}g$ und ${}h$ sind die Nullstellen von ${}f$. Wir zeigen also, dass ${}f$ maximal zwei Nullstellen besitzt. Es ist

${}f'(x)=2x+a-\cos x\,$

und

${}f^{\prime \prime }(x)=2+\sin x\,.$

Da der Sinus Werte zwischen ${}-1$ und ${}1$ besitzt, ist

${}f^{\prime \prime }(x)\geq 1\,$

und überall positiv. Daher ist ${}f'$ streng wachsend. Insbesondere besitzt ${}f'$ höchstens eine Nullstelle ${}c$ (da die Ableitung davon größergleich ${}1$ ist, gibt es genau eine Nullstelle) und somit ist ${}f'$ auf einem linksseitig offenen Intervall negativ und rechtsseitig davon positiv. Dies bedeutet für ${}f$ selbst, dass ${}f$ unterhalb von ${}c$ streng fallend und oberhalb von ${}c$ streng wachsend ist. In beiden Bereichen kann es nur eine Nullstelle geben.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion. Es sei ${}a\in I$ und es sei

${}F(x):=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\,$

die zugehörige Integralfunktion. Zeige, dass dann ${}F$ differenzierbar ist und dass ${}F'(x)=f(x)$ für alle ${}x\in I$ gilt.

Lösung

Es sei ${}x$ fixiert. Der Differenzenquotient ist

${}{\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}={\frac {1}{h}}{\left(\int _{a}^{x+h}f(t)\,dt-\int _{a}^{x}f(t)\,dt\right)}={\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}f(t)\,dt\,.$

Wir müssen zeigen, dass für ${}h\rightarrow 0$ der Limes existiert und gleich ${}f(x)$ ist. Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung gibt es zu jedem ${}h$ ein ${}c_{h}\in [x,x+h]$ mit

${}f(c_{h})\cdot h=\int _{x}^{x+h}f(t)dt\,$

und damit ist

${}f(c_{h})={\frac {\int _{x}^{x+h}f(t)dt}{h}}\,.$

Für ${}h\rightarrow 0$ konvergiert ${}c_{h}$ gegen ${}x$ und wegen der Stetigkeit von ${}f$ konvergiert ${}f(c_{h})$ gegen ${}f(x)$.

Aufgabe (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem

${\begin{matrix}-x&+2y&+z&+3w&=&-1\\x&+3y&-2z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&3\\3x&-5y&+z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&2\\2x&+y&\,\,\,\,-z&+3w&=&0\,.\end{matrix}}$

Lösung

Wir eliminieren zuerst die Variable ${}w$, indem wir die erste Gleichung von der vierten Gleichung abziehen. Dies führt auf

${\begin{matrix}x&+3y&-2z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&3\\3x&-5y&+z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&2\\3x&\,\,\,\,-y&-2z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&1\,.\end{matrix}}$

Nun eliminieren wir die Variable ${}z$, indem wir (bezogen auf das vorhergehende System) ${}2II+I$ und ${}III+2II$ ausrechnen. Dies führt, nachdem wir die neue erste Gleichung durch sieben teilen, auf

${\begin{matrix}x&\,\,\,\,-y&\,\,\,\,\,\,\,\,&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&1\\9x&-11y&\,\,\,\,\,\,\,\,&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&5\,.\end{matrix}}$

Mit ${}-9I+II$ ergibt sich

${}-2y=-4\,$

und

${}y=2\,.$

Rückwärts gelesen ergibt sich

${}x=3\,,$

${}z=3\,$

und

${}w=-{\frac {5}{3}}\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass die Menge der Diagonalmatrizen ein Untervektorraum im Raum aller ${}n\times n$- Matrizen über ${}K$ ist und bestimme seine Dimension.

Lösung

Zu zwei Diagonalmatrizen

${\begin{pmatrix}a_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&a_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&a_{n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&a_{n}\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\begin{pmatrix}b_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&b_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&b_{n}\end{pmatrix}}$

und Skalare ${}s,t\in K$ ist auch

${}{\begin{aligned}s{\begin{pmatrix}a_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&a_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&a_{n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&a_{n}\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}b_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&b_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&b_{n}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}sa_{1}+tb_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&sa_{2}+tb_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&sa_{n-1}+tb_{n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&sa_{n}+tb_{n}\end{pmatrix}}\\\,\end{aligned}}$

ebenfalls eine Diagonalmatrix, daher liegt ein Untervektorraum vor. Die Diagonalmatrizen ${}D_{i}$, ${}1\leq i\leq n$, deren ${}i$-ter Diagonaleintrag eine ${}1$ ist und die sonst überall Nulleinträge haben, bilden offenbar eine Basis des Raumes der Diagonalmatrizen. Daher ist die Dimension gleich ${}n$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix über dem Körper ${}K$. Es sei

${}NM=0\,$

für jede ${}n\times n$-Matrix ${}N$ vom Rang ${}1$. Zeige

${}M=0\,.$

Lösung

Es sei

${}M\neq 0\,$

angenommen. Dann gibt es einen Vektor ${}v\in K^{n}$ mit

${}Mv=w\neq 0\,.$

Wir ergänzen ${}w$ zu einer Basis

$w=w_{1},w_{2},\ldots ,w_{n}$

von ${}K^{n}$. Es sei ${}N$ die Matrix bezüglich der Standardbasis, die die durch ${}w\mapsto w$ und ${}w_{i}\mapsto 0$ für ${}i\geq 2$ festgelegte lineare Abbildung beschreibt. Der Rang von ${}N$ ist ${}1$, da ja das Bild gerade ${}Kw$ ist, und es ist

${}NMv=Nw=w\neq 0\,,$

also ist

${}NM\neq 0\,$

im Widerspruch zur Voraussetzung.

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Beschreibung eines Eigenraums als Kern.

Lösung

Es sei ${}v\in V$. Dann ist ${}v\in \operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}$ genau dann, wenn ${}\varphi (v)=\lambda v$ ist, und dies ist genau bei ${}\lambda v-\varphi (v)=0$ der Fall, was man als ${}{\left(\lambda \cdot \operatorname {Id} _{V}-\varphi \right)}(v)=0$ schreiben kann.