Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/27/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 2 3 2 4 1 3 4 2 3 4 5 2 5 5 4 2 4 3 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Teilmenge einer Menge .
  2. Der Betrag einer komplexen Zahl .
  3. Eine reelle Potenzreihe.
  4. Die Stetigkeit einer Funktion

    in einem Punkt .

  5. Das Taylor-Polynom vom Grad zu einer -mal differenzierbaren Funktion

    in einem Punkt .

  6. Die Dimension eines -Vektorraums ( besitze ein endliches Erzeugendensystem).


Lösung

  1. Man sagt, dass die Menge eine Teilmenge von ist, wenn jedes Element von auch ein Element von ist.
  2. Der Betrag einer komplexen Zahl ist durch

    definiert.

  3. Es sei eine Folge von reellen Zahlen und eine weitere reelle Zahl. Dann heißt die Reihe

    die Potenzreihe in zu den Koeffizienten .

  4. Man sagt, dass stetig im Punkt ist,wenn es zu jedem ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung gilt.
  5. Das Polynom

    heißt das Taylor-Polynom vom Grad zu in .

  6. Unter der Dimension eines Vektorraums versteht man die Anzahl der Elemente in einer Basis von .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz von Bolzano-Weierstraß.
  2. Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung für eine stetige Funktion
    auf einem reellen Intervall .
  3. Der Satz über die Existenz von Basen in einem endlich erzeugten -Vektorraum .


Lösung

  1. Es sei eine beschränkte Folge von reellen Zahlen. Dann besitzt die Folge eine konvergente Teilfolge.
  2. Satzantwort Für einen beliebigen Punkt ist die Integralfunktion

    differenzierbar

    und es gilt
    für alle .
  3. Unter den gegebenen Bedingungen besitzt eine endliche Basis.


Aufgabe (2 Punkte)

Wenn Karl an Susanne denkt, bekommt er feuchte Hände, einen Kloß im Hals und einen roten Kopf. Einen roten Kopf bekommt er genau dann, wenn er an Susanne denkt oder wenn er das leere Tor nicht trifft. Wenn Karl das leere Tor trifft, bekommt er feuchte Hände. Karl bekommt den Ball vor dem leeren Tor. Kurz darauf bekommt er feuchte Hände, einen roten Kopf, aber keinen Kloß im Hals. Hat er an Susanne gedacht? Hat er das leere Tor getroffen?


Lösung

Karl hat nicht an Susanne gedacht, da er sonst einen Kloß im Hals bekommen hätte, was er nicht hat. Andererseits bekommt er einen roten Kopf, was bedeutet, dass er das leere Tor nicht getroffen hat oder an Susanne gedacht hat. Da letzteres nicht der Fall ist, hat er das leere Tor nicht getroffen.


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise durch Induktion die folgende Formel für .


Lösung

Beim Induktionsanfang ist , daher besteht die Summe links nur aus einem Summanden, nämlich der , und daher ist die Summe . Die rechte Seite ist , so dass die Formel für stimmt.

Für den Induktionsschritt setzen wir voraus, dass die Formel für ein gilt, und müssen zeigen, dass sie auch für gilt. Dabei ist beliebig. Es ist

Dabei haben wir für die zweite Gleichheit die Induktionsvoraussetzung verwendet. Der zuletzt erhaltene Term ist die rechte Seite der Formel für , also ist die Formel bewiesen.


Aufgabe (2 Punkte)

Die Biologin Sandra O'Neil ist eine renommierte Forscherin über Bakterien. Ihr Institut hat ein hochauflösendes Mikroskop erworben, das auf dem Bildschirm die Wirklichkeit im Verhältnis wiedergibt. Auf dem Bildschirm ist die Geißel des Bakteriums cm lang und dreimal so lang wie das Bakterium selbst. Auf dem Bakterium befindet sich ein roter Punkt, dessen Flächeninhalt auf dem Bildschirm Quadratzentimeter einnimmt.

  1. Wie lang ist das Bakterium in Wirklichkeit?
  2. Welchen Flächeninhalt hat der rote Punkt in Wirklichkeit?


Lösung

Der Faktor von der wirklichen Länge zur Bildschirmlänge ist , der umgekehrte Faktor ist .

  1. Die Länge des Bakteriums auf dem Bildschirm ist

    Deshalb ist die wirkliche Länge des Bakteriums gleich in Meter, also Nanometer.

  2. Der Flächeninhalt im Mikroskop ist

    Um den wahren Flächeninhalt zu bestimmen, muss man den umgekehrten Faktor quadrieren. Der wahre Flächeninhalt des roten Punktes ist somit gleich

    Quadratmeter.


Aufgabe (4 Punkte)

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Lösung

Es ist

Ferner ist

und

Somit ist


Aufgabe (1 Punkt)

Negiere die Aussage, dass eine Folge in einem angeordneten Körper gegen konvergiert, durch Umwandlung der Quantoren.


Lösung

Es gibt ein mit der Eigenschaft, dass es für alle ein

derart gibt, dass

ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Eine reelle Folge sei durch einen Anfangswert und durch die Rekursionsvorschrift

gegeben. Bestimme die Anfangswerte, für die diese Folge konvergiert.


Lösung

Bei ist die Folge konstant gleich . Diese Folge konvergiert gegen . Für jeden anderen Startwert konvergiert die Folge nicht. Wegen

wechseln sich in der Folge und ab, so dass abwechselnd eine feste positive und eine feste negative Zahl auftreten. Eine solche Folge kann aber nicht konvergieren.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und , . Zeige, dass es dann Elemente mit gibt.


Lösung

Wir setzen

Da ist, ist auch

und damit ist

Wir setzen sodann

so dass die geforderte Gleichheit

gilt. Wegen ist

also ist auch


Aufgabe (2 Punkte)

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Vierfache ihrer zweiten Potenz, gleich der Quadratwurzel von ist?


Lösung

Es geht um eine reelle Lösung für die Gleichung

Es ist und und . Da als Polynomfunktion stetig ist, gibt es nach dem Zwischenwertsatz ein mit .


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung der Exponentialfunktion.


Lösung

Aufgrund von Satz 16.1 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) ist


Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

Es seien

zwei differenzierbare Funktionen und sei

a) Drücke die Ableitung mit den Ableitungen von und aus.

b) Sei nun

Berechne auf zwei verschiedene Arten, einerseits über und andererseits über die Formel aus Teil .


Lösung

a) Nach der Produkt- und Kettenregel ist

b) Wir berechnen zuerst . Es ist

Die Ableitung ist daher
Andererseits ist
und daher nach Teil a)


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

a) Untersuche das Monotonieverhalten dieser Funktion.

b) Zeige, dass diese Funktion injektiv ist.

c) Bestimme das Bild von .

d) Man gebe die Umkehrfunktion auf dem Bild zu dieser Funktion an.

e) Skizziere den Funktionsgraphen von .


Lösung

a) Die Ableitung von ist

Dies ist stets positiv, so dass die Funktion auf den beiden Teilintervallen und jeweils streng wachsend ist. Insgesamt ist die Funktion aber nicht wachsend, da die Werte zu negativem stets größer als die Werte zu positivem sind.

b) Für ist , da der Exponent positiv ist. Für ist , da der Exponent negativ ist. Daher haben insbesondere negative und positive reellen Zahlen unter unterschiedliche Werte. Da im negativen Bereich als auch im positiven Bereich strenges Wachstum vorliegt, ist die Abbildung insgesamt injektiv.

c) Für negatives durchläuft sämtliche positiven Zahlen, so dass das offene Intervall durchläuft. Für positives durchläuft sämtliche negativen Zahlen, so dass das offene Intervall durchläuft. Das Bild ist also .

d) Aus folgt durch Äquivalenzumformungen und damit , die Umkehrabbildung ist also

e)


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion


Lösung

Die Ableitung von ist


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

ein normiertes Polynom vom Grad und die Sinusfunktion. Zeige, dass die Graphen von und von maximal zwei Schnittpunkte besitzen.


Lösung

Wir betrachten

Die Schnittpunkte der Graphen von und sind die Nullstellen von . Wir zeigen also, dass maximal zwei Nullstellen besitzt. Es ist

und

Da der Sinus Werte zwischen und besitzt, ist

und überall positiv. Daher ist streng wachsend. Insbesondere besitzt höchstens eine Nullstelle (da die Ableitung davon größergleich ist, gibt es genau eine Nullstelle) und somit ist auf einem linksseitig offenen Intervall negativ und rechtsseitig davon positiv. Dies bedeutet für selbst, dass unterhalb von streng fallend und oberhalb von streng wachsend ist. In beiden Bereichen kann es nur eine Nullstelle geben.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein reelles Intervall und sei

eine stetige Funktion. Es sei und es sei

die zugehörige Integralfunktion. Zeige, dass dann differenzierbar ist und dass für alle gilt.


Lösung

Es sei fixiert. Der Differenzenquotient ist

Wir müssen zeigen, dass für der Limes existiert und gleich ist. Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung gibt es zu jedem ein mit

und damit ist

Für konvergiert gegen und wegen der Stetigkeit von konvergiert gegen .


Aufgabe (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem


Lösung

Wir eliminieren zuerst die Variable , indem wir die erste Gleichung von der vierten Gleichung abziehen. Dies führt auf

Nun eliminieren wir die Variable , indem wir (bezogen auf das vorhergehende System) und ausrechnen. Dies führt, nachdem wir die neue erste Gleichung durch sieben teilen, auf

Mit ergibt sich

und

Rückwärts gelesen ergibt sich

und


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein Körper und . Zeige, dass die Menge der Diagonalmatrizen ein Untervektorraum im Raum aller -Matrizen über ist und bestimme seine Dimension.


Lösung

Zu zwei Diagonalmatrizen

und Skalare ist auch

ebenfalls eine Diagonalmatrix, daher liegt ein Untervektorraum vor. Die Diagonalmatrizen , , deren -ter Diagonaleintrag eine ist und die sonst überall Nulleinträge haben, bilden offenbar eine Basis des Raumes der Diagonalmatrizen. Daher ist die Dimension gleich .


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine -Matrix über dem Körper . Es sei

für jede -Matrix vom Rang . Zeige


Lösung

Es sei

angenommen. Dann gibt es einen Vektor mit

Wir ergänzen zu einer Basis

von . Es sei die Matrix bezüglich der Standardbasis, die die durch und für festgelegte lineare Abbildung beschreibt. Der Rang von ist , da ja das Bild gerade ist, und es ist

also ist

im Widerspruch zur Voraussetzung.


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Beschreibung eines Eigenraums als Kern.


Lösung

Sei . Dann ist genau dann, wenn ist, und dies ist genau bei der Fall, was man als schreiben kann.