Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/41/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 2 2 4 3 2 8 4 2 8 3 4 8 3 1 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung .
  2. Die Konvergenz einer reellen Folge gegen .
  3. Eine fallende Funktion .
  4. Die Exponentialreihe für .
  5. Das Unterintegral einer nach unten beschränkten Funktion
  6. Die beschreibende Matrix zu einer linearen Abbildung

    zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen und bezüglich einer Basis von und einer Basis von .


Lösung

  1. Die Abbildung

    die jedes Element auf das eindeutig bestimmte Element mit abbildet, heißt die Umkehrabbildung zu .

  2. Die Konvergenz gegen bedeutet, dass es zu jedem reellen ein derart gibt, dass für alle die Abschätzung

    gilt.

  3. Die Funktion

    heißt fallend, wenn

  4. Für jedes heißt die Reihe

    die Exponentialreihe in .

  5. Das Supremum von sämtlichen Untersummen von unteren Treppenfunktionen von heißt das Unterintegral von .
  6. Unter der beschreibenden Matrix zu bezüglich der Basen versteht man die -Matrix

    wobei die -te Koordinate von bezüglich der Basis ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über beschränkte Teilmengen von .
  2. Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
  3. Der Satz über den Zusammenhang zwischen der Verknüpfung linearer Abbildungen und der Matrizenmultiplikation (genaue Formulierung mit Basen).


Lösung

  1. Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen besitzt ein Supremum in .
  2. Sei und sei

    eine stetige, auf differenzierbare Funktion. Dann gibt es ein mit

  3. Bei der Korrespondenz zwischen linearen Abbildungen und Matrizen entsprechen sich die Hintereinanderschaltung von linearen Abbildungen und die Matrizenmultiplikation. Damit ist folgendes gemeint: es seien Vektorräume über einem Körper mit Basen

    Es seien

    lineare Abbildungen. Dann gilt für die beschreibenden Matrizen von und der Hintereinanderschaltung die Beziehung


Aufgabe (2 Punkte)

Betrachte die Aussage: „Der Barbier von Sevilla rasiert alle Männer, die sich nicht selbst rasieren“. Rasiert er sich selbst?


Lösung Russell Antinomie/Barbier/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Frau Maier-Sengupta ist für ein halbes Jahr in Elternzeit. Ihr Sohn Siddhartha kam mit einem Gewicht von drei Kilogramm auf die Welt und wurde in den sechs Monaten ausschließlich von Muttermilch ernährt. Nach den sechs Monaten wiegt er zehn Kilogramm. Jeden Tag hat das Kind Milliliter Milch getrunken. Wie viel Milch hat Siddhartha in den sechs Monaten getrunken und wie viel Prozent davon ging in die Gewichtszunahme? (Rechne mit Monat = Tage und setze das Milchgewicht gleich dem Gewicht von Wasser an).


Lösung

Milliliter sind Liter. Siddhartha hat somit in den sechs Monaten

Liter Milch getrunken.

Dabei hat er Kilogramm zugenommen. Der Anteil der Gewichtszunahme an der Gesamttrinkmenge beträgt also

In Prozent ist der Anteil ca. Prozent.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass eine irrationale Zahl ist.


Lösung

Wir machen die Annahme, dass es eine rationale Zahl gibt, deren Quadrat gleich ist, und führen das zu einem Widerspruch. Sei also angenommen, dass

die Eigenschaft besitzt, dass

ist. Eine rationale Zahl hat die Beschreibung als ein Bruch, wobei Zähler und Nenner ganze Zahlen sind. Die rationale Zahl können wir somit als

ansetzen. Ferner können wir annehmen (dieses Annehmen ist eine Vereinfachung der Situation und hat nichts mit der zum Widerspruch zu führenden Annahme zu tun), dass dieser Bruch gekürzt ist, dass also und keinen echten gemeinsamen Teiler haben. In der Tat brauchen wir lediglich, dass wir annehmen dürfen, dass zumindest eine Zahl, oder ungerade ist (wenn beide gerade sind, so können wir mit kürzen, u.s.w.) Die Eigenschaft

bedeutet ausgeschrieben

Multiplikation mit ergibt die Gleichung

(dies ist eine Gleichung in bzw. sogar in ). Diese Gleichung besagt, dass gerade ist, da ja ein Vielfaches der ist. Daraus ergibt sich aber auch, dass selbst gerade ist, da ja das Quadrat einer ungeraden Zahl wieder ungerade ist. Deshalb können wir den Ansatz

mit einer ganzen Zahl machen. Dies setzen wir in die obige Gleichung ein und erhalten

Wir können mit kürzen und erhalten

Also ist auch und damit selbst gerade. Dies ist ein Widerspruch dazu, dass nicht sowohl als auch gerade sind.


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise, dass eine absolut konvergente Reihe reeller Zahlen konvergiert.


Lösung

Es sei vorgegeben. Wir wenden das Cauchy-Kriterium an. Aufgrund der absoluten Konvergenz gibt es ein derart, dass für alle die Abschätzung

gilt. Daher ist

was die Konvergenz bedeutet.


Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine Folge von abgeschlossenen Intervallen ()

mit für alle , wobei streng wachsend und streng fallend ist, wo aber keine Intervallschachtelung vorliegt.


Lösung

Sei und , dann sind alle geforderten Eigenschaften erfüllt, die Intervalllängen sind aber stets und somit bilden diese keine Nullfolge, es liegt also keine Intervallschachtelung vor.


Aufgabe (8 (2+3+3) Punkte)

Wir betrachten einen Kreis (mit Radius ) und darin eingeschriebene regelmäßige -Ecke.

  1. Circumscribed2.png

    In den Kreis sei ein Quadrat eingeschrieben. Bestimme dessen Flächeninhalt und dessen Umfang.

  2. Hagalaz.jpg

    In den Kreis sei ein regelmäßiges -Eck eingeschrieben. Bestimme dessen Flächeninhalt und dessen Umfang.

  3. Der Flächeninhalt eines eingeschriebenen regelmäßigen -Ecks ist eine Approximation für den Flächeninhalt des Kreises und der Umfang eines solchen -Ecks ist eine Approximation für den Umfang des Kreises. Welche Approximationen sind besser?


Lösung

  1. Die Seitenlänge des eingeschriebenen Quadrates ist nach dem Satz des Pythagoras gleich . Deshalb ist der Flächeninhalt des eingeschriebenen Quadrates gleich

    und der Umfang gleich .

  2. Das eingeschriebene regelmäßige Sechseck besteht aus gleichseitigen Dreiecken, da ja ihr Winkel im Kreismittelpunkt Grad beträgt, und somit ist ihre Seitenlänge gleich . Die Höhe dieser Dreiecke ist nach dem Satz des Pythagoras gleich

    Der Flächeninhalt eines dieser Dreiecke ist

    somit ist der Flächeninhalt des eingeschriebenen Sechsecks gleich

    Der Umfang des Sechsecks ist .

  3. Das regelmäßige eingeschriebene -Eck besteht aus gleichen gleichschenkligen Dreiecken, deren Schenkel die Länge haben. Deren Grundseite sei mit und deren Höhe sei mit bezeichnet (deren Werte muss man für den Vergleich der Approximationen nicht ausrechnen). Der Flächeninhalt eines solchen Dreiecks ist und somit ist der Flächeninhalt des eingeschriebenen -Ecks gleich

    Der Umfang des -Ecks ist

    Das Verhältnis des Flächeninhalts des -Ecks zum Flächeninhalt des Kreises ist somit

    das Verhältnis des Umfangs des -Ecks zum Umfang des Kreises ist

    Wegen ist die Umfangsapproximation besser als die Flächenapproximation.


Aufgabe (4 Punkte)

Ordne die Zahlen

gemäß ihrer Größe.


Lösung

Es ist einerseits

Andererseits ist

wobei wir im dritten Schritt die geometrische Reihe verwendet haben. Daher ist


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige durch Induktion, dass die -te Ableitung von gleich ist.


Lösung

Die nullte Ableitung von

ist diese Funktion selbst, ferner ist , was den Induktionsanfang sichert. Der Induktionsschluss ergibt sich für mit


Aufgabe (8 (2+5+1) Punkte)

Es sei eine auf einem offenen Intervall definierte Funktion. Wir interessieren uns für den Limes

zu einem Punkt .

  1. Bestimme diesen Limes für die Funktion

    mit einem .

  2. Es sei in differenzierbar. Zeige
  3. Überprüfe das Ergebnis aus (1) mit Hilfe der Formel aus (2).


Lösung

  1. Unter Verwendung von Rechenregeln für Exponentialfunktionen ist

    Da dies unabhängig von ist, ist auch der Limes für gleich .

  2. Wir betrachten den natürlichen Logarithmus des funktionalen Ausdrucks, also

    Dies ist der Differenzenquotient zur Funktion im Punkt . Da differenzierbar ist, ist auch diese Verknüpfung differenzierbar mit der Ableitung

    Somit ist

    und insbesondere existiert der Limes links. Da die Exponentialfunktion stetig ist, folgt daraus

  3. Für

    ist die Ableitung gleich . Somit ist

    die Exponentialfunktion davon ist in der Tat gleich .


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Stammfunktion der Umkehrfunktion.


Lösung

Ableiten unter Verwendung von Lemma 14.7 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) und Satz 14.8 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) ergibt


Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

a) Bestimme zu einer Geraden , , die Schnittpunkte mit dem Graphen von .

b) Zu einer gegebenen Geraden aus Teil (a) legen der Schnittpunkt mit , sein Basispunkt und der Nullpunkt ein Dreieck fest. Zeige, dass der Graph von dieses Dreieck in zwei gleich große Flächen zerlegt.


Lösung

a) Wir setzen

Dies ergibt die Lösungen , und , die Schnittpunkte sind also

b) Die Eckpunkte des Dreiecks sind

Sein Flächeninhalt ist demnach gleich

Der Flächeninhalt innerhalb des Dreiecks und unterhalb des Graphen berechnet sich als bestimmtes Integral zu

Dies ist die Hälfte des Dreiecksinhalts.


Aufgabe (8 (2+2+4) Punkte)

Es sei ein endlicher Körper mit Elementen.

a) Es sei ein -Vektorraum der Dimension . Wie viele Elemente besitzt ?

b) Zeige, dass ein -Vektorraum genau dann endlich ist, wenn er endlichdimensional ist.

c) Wie viele Basen besitzt ein -dimensionaler -Vektorraum?


Lösung

a) Da es eine Basis gibt, ist isomorph zu . Dieser Raum besteht aus allen -Tupeln und besitzt damit Elemente.

b) Wenn endlichdimensional ist, so folgt die Endlichkeit der Menge direkt aus a). Wenn endlich ist, so kann man ganz als endliches Erzeugendensystem wählen. Eine Teilmenge davon bildet eine endliche Basis. Also ist endlichdimensional.

c) Wir überlegen uns, auf wie viele Arten wir eine Basis zusammenstellen können. Damit müssen wir nur beachten, dass jeweils nicht im dem von den erzeugten Untervektorraum liegt. Durch diese Bedingung besitzt dieser Untervektorraum insbesondere Elemente. Das bedeutet, dass man für genau Auswahlmöglichkeiten hat. Daher gibt es insgesamt

Basen.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum mit endlicher Dimension . Es seien Vektoren in gegeben. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

  1. bilden eine Basis von .
  2. bilden ein Erzeugendensystem von .
  3. sind linear unabhängig.


Lösung

Eine Basis ist insbesondere ein Erzeugendensystem und linear unabhängig, deshalb folgt sowohl (2) als auch (3) aus (1). Sei (2) erfüllt, d.h. ist ein Erzeugendensystem. Wenn es keine Basis wäre, so wäre dieses System nach Satz 23.12 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) kein minimales Erzeugendensystem und man könnte Vektoren herausnehmen, und es würde ein Erzeugendensystem bleiben. Dies widerspricht der Wohldefiniertheit der Dimension. Sei (3) erfüllt, d.h. ist ein System aus linear unabhängigen Vektoren. Wenn es keine Basis wäre, so wäre es nach Satz 23.12 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) nicht maximal linear unabhängig, und man könnte es durch Hinzunahme von einem Vektor zu einem größeren linear unabhängigen System vergrößern. Auch dies wiederspricht der Wohldefiniertheit der Dimension.


Aufgabe (1 Punkt)

Wie lautet die Matrix, die bezüglich der Standardbasis die Vierteldrehung im gegen den Uhrzeigensinn beschreibt?


Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die komplexen Zahlen , für die die Matrix

nicht invertierbar ist.


Lösung

Die Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ist. Wir müssen also die Nullstellen der Determinante bestimmen. Die Determinante ist (nach der Regel von Sarrus)

Dies ist gleich genau dann, wenn

ist. Durch quadratisches Ergänzen führt diese Gleichung auf

Daher sind

die beiden einzigen Lösungen der quadratischen Gleichung. Diese zwei reellen Zahlen sind also die einzigen (reellen oder komplexen) Zahlen, für die die Matrix nicht invertierbar ist.