Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/3/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 5 3 3 4 1 3 2 6 5 12 5 3 5 63




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine abgeschlossene Menge in einem metrischen Raum .
  2. Ein inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten (über ).
  3. Ein Beobachtervektor in einem Minkowskiraum .
  4. Die Richtungsableitung einer Abbildung

    in Richtung , wobei endlichdimensionale reelle Vektorräume sind mit offen und .

  5. Das Taylor-Polynom im Punkt vom Grad einer -fach differenzierbaren Abbildung
  6. Ein volumentreuer Diffeomorphismus zwischen offenen Mengen .


Lösung

  1. Eine Teilmenge heißt abgeschlossen, wenn das Komplement offen ist.
  2. offenes Intervall. Eine Differentialgleichung der Form

    wobei

    eine Matrix mit Einträgen ist und

    eine Abbildung, heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten oder inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
  3. Ein Vektor mit

    heißt Beobachtervektor.

  4. Die Abbildung heißt differenzierbar in Richtung , falls in jedem Punkt in Richtung differenzierbar ist. In diesem Fall heißt die Abbildung

    die Richtungsableitung von in Richtung .

  5. Das Taylor-Polynom vom Grad zu in ist
  6. heißt volumentreu, wenn

    für alle ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Kettenregel für differenzierbare Kurven.
  2. Der Satz über die Lösung zu einem Eigenvektor bei einem linearen Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
  3. Der Satz über implizite Abbildungen.


Lösung

  1. Es seien und zwei reelle Intervalle, es sei

    eine in differenzierbare Funktion und es sei

    eine in differenzierbare Kurve in einen euklidischen Vektorraum . Dann ist auch die zusammengesetzte Kurve

    in differenzierbar und es gilt

  2. Es sei

    mit

    eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten und es sei ein Eigenvektor zu zum Eigenwert . Dann ist die Abbildung

    () eine Lösung dieses

    Differentialgleichungssystems.
  3. Sei offen und sei

    eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei und es sei die Faser durch . Das totale Differential sei surjektiv. Dann gibt es eine offene Menge , , eine offene Menge und eine stetig differenzierbare Abbildung

    derart, dass ist und eine Bijektion

    induziert.


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise das Lösungsverfahren für inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen in einer Variablen.


Lösung

Da keine Nullstelle besitzt, kann man jede Funktion

als

mit einer unbekannten (differenzierbaren) Funktion ansetzen. Dabei ist (für eine differenzierbare Funktion )

Daher kann man die Lösungsbedingung

als

schreiben, und diese gilt wegen genau dann, wenn

bzw.

gilt. D.h. muss eine Stammfunktion zu sein.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein metrischer Raum und sei ein Punkt. Zeige, dass abgeschlossen ist.


Lösung

Es ist zu zeigen, dass offen ist. Sei dazu , also . Dann ist

und somit ist

da ja nicht zu diesem offenen Ball gehört. Also gibt es zu jedem Punkt aus eine offene Ballumgebung, die ganz in drinliegt und daher ist diese Menge offen.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Länge der Kurve


Lösung

Es ist

und

Die Länge der Kurve ist nach Satz 38.6 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) gleich


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über Wegintegrale bei einer Umparametrisierung.


Lösung

Es seien die Komponentenfunktionen von und die Komponentenfunktionen von . Dann gilt mit der Substitution

unter Verwendung von Satz 20.6 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021))


Aufgabe (1 Punkt)

Es sei

eine Lösung der zeitunabhängigen Differentialgleichung

zum Vektorfeld

Zeige, dass auch

zu jedem eine Lösung ist.


Lösung

Dies folgt direkt aus


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine reelle -Matrix, ein Eigenvektor von zum Eigenwert . Es sei eine stetige Funktion. Finde eine nichttriviale Lösung für das lineare Differentialgleichungssystem


Lösung

Es sei eine Stammfunktion zu . Wir behaupten, dass

eine Lösung ist. Dies beruht auf


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein -dimensionaler -Vektorraum mit einer Bilinearform vom Typ und es sei ein -dimensionaler Untervektorraum. Die Einschränkung der Bilinearform sei vom Typ . Zeige


Lösung

Es sei ein Untervektorraum der Dimension , auf dem die eingeschränkte Bilinearform positiv definit ist. Einen solchen Untervektorraum muss es nach der Definition des Typs geben. Nach der Dimensionsabschätzung für den Durchschnitt von Untervektorräumen besitzt mindestens die Dimension . Da dies ein Untervektorraum von ist, auf dem die Form positiv definit ist, gilt


Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Für welche , , besitzt die zugehörige dreistufige (maximale) untere Treppenfunktion zu den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?


Lösung

Es seien die Markierungen der möglichen Intervallunterteilungen. Der Flächeninhalt der zugehörigen maximalen unteren Treppenfunktion von ist

Die partiellen Ableitungen davon sind

Wir bestimmen die kritischen Punkte. Aus der ersten Gleichung folgt

(den negativen Fall kann man ausschließen). Wir setzen in die zweite Gleichung ein und erhalten die Bedingung

woraus

folgt. Daher ist

und der einzige kritische Punkt ist

Die Hesse-Matrix von ist

Im kritischen Punkt ist der Eintrag links oben negativ. Die Determinante ist

positiv, so dass die Hesse-Matrix negativ definit ist und daher im kritischen Punkt ein Maximum vorliegt. Da es auch in einer geeigneten (kleinen) offenen Umgebung des abgeschlossenen Definitionsbereiches keinen weiteren kritischen Punkt gibt, liegt ein absolutes Maximum vor. Der Wert ist


Aufgabe (5 (1+1+1+2) Punkte)

Betrachte die Abbildung

a) Erstelle die Jacobi-Matrix von .

b) Bestimme die regulären Punkte von .

c) Zeige, dass die Bedingung

erfüllt.

d) Zeige, dass die Abbildung injektiv ist.


Lösung

a) Die Jacobi-Matrix ist

b) Für ist der Rang der Matrix gleich und die Abbildung ist regulär, für wird die zweite Spalte zu und der Rang der Matrix ist . Die regulären Punkte der Abbildung sind also genau die Punkte mit .

c) Es ist

d) Es seien und

gegeben mit

Wegen

folgt sofort . Wegen

folgt wegen der Bijektivität der dritten Potenz direkt

Also ist .


Aufgabe (12 (4+4+4) Punkte)

Es soll eine (quaderförmige) Schachtel mit den Seitenlängen angefertigt werden, deren Inhalt gleich

sein soll.

a) Wie müssen gewählt werden, damit der Materialaufwand für die sechs Seiten kritisch (also extremal sein könnte) wird?

b) Ist der Materialaufwand unter der in a) beschriebenen Situation minimal oder maximal?

c) Für die Luxusversion der Schachtel aus Teil a) soll die kleinste Seitenfläche (vorne und hinten) mit einer Goldfolie bedeckt werden. Die Materialkosten für eine solche Seite sind dreimal so hoch wie für eine normale Seite. Für welche Seitenlängen sind nun die Materialkosten extremal?


Lösung

a) Wir schreiben die Inhaltsbedingung als

und die Flächenfunktion (bis auf den Faktor ) als

Die Ableitungen in einem Punkt sind

und

Den Ansatz für die lineare Abhängigkeit schreiben wir als

Die Differenz von je zwei der Gleichungen führt auf

Wären die drei Zahlen alle untereinander verschieden, so würde sich durch kürzen sofort der Widerspruch

ergeben. Bei

ergibt sich

und daraus mit der zweiten Zeile

also

was außerhalb des Definitionsbereiches liegt. Die einzige Möglichkeit für einen extremalen Punkt ist also

(und ). Wegen

ist dieser Punkt .

b) Wir arbeiten mit der Abbildung

Diese stiftet eine lokale Bijektion zwischen einer offenen Umgebung von und einer offenen Umgebung von der Faser von , so dass es zu untersuchen genügt, ob die Funktion

in ein Maximum oder ein Minimum besitzt. Es gilt

Das totale Differential davon ist

mit dem kritischen Punkt . Die Hesse-Matrix dazu ist

Für den kritischen Punkt ist der Eintrag links oben positiv und die Determinante ist

Daher ist die Matrix positiv definit und somit liegt ein lokales Minimum vor.

c) Sei

Die Zielfunktion ist jetzt

Die Lagrange-Bedingung ist somit

Die Differenz der ersten beiden Gleichungen ist

Bei ergibt sich

und daraus mit

der Wert

was nicht erlaubt ist. Also ist

Aus

folgt

Aus

ergibt sich

Aus der Volumenbedingung

folgt

und


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die ersten drei Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung

mit der Anfangsbedingung und .


Lösung

Die nullte Iteration ist die konstante Funktion

Die erste Iteration ist

Die zweite Iteration ist

Die dritte Iteration ist


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das Integral zur Funktion

über dem Einheitswürfel .


Lösung

Aufgrund des Satzes von Fubini ist


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten den Kreissektor aus dem Einheitskreis zum Winkel Grad, der an der -Achse anliegt. Bestimme mit der Hilfe von Polarkoordinaten den Schwerpunkt von .


Lösung

Der Flächeninhalt von ist . In Polarkoordinaten wird durch den Radius

und den Winkel

parametrisiert. Somit ist nach Korollar 60.5 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) und Korollar 59.6 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021))

und

Somit sind die Koordinaten des Schwerpunktes von gleich