Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 12/kontrolle

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Aufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei , . Wir betrachten die kurze exakte Sequenz

Zeige, dass dies zu einer kurzen exakten Sequenz

führt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

ein injektiver Gruppenhomomorphismus und

die zugehörige kurze exakte Sequenz. Zeige, dass dies zu einer exakten Sequenz

führt, wobei die Abbildung rechts nicht surjektiv sein muss.


Die nächste Aufgabe beruht auf dem Elementarteilersatz.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

ein injektiver Gruppenhomomorphismus und

die zugehörige kurze exakte Sequenz, wobei endlich ist. Zeige, dass dies zu einer kurzen exakten Sequenz

führt, wobei isomorph zu ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien und Garben von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum und sei

ein Garbenhomomorphismus. Zeige, dass genau dann injektiv ist, wenn

exakt ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien und Garben von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum und sei

ein Garbenhomomorphismus. Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn

exakt ist.


Aufgabe * Aufgabe 12.6 ändern

Es sei

eine kurze exakte Sequenz von kommutativen topologischen Gruppen (mit stetigen Gruppenhomomorphismen). Es trage die induzierte Topologie von und die Surjektion habe die Eigenschaft, dass es zu jedem Element eine offene Umgebung und einen stetigen Schnitt zu gibt. Zeige, dass dann für jeden topologischen Raum die zugehörige Sequenz der Garben der stetigen Abbildungen in diese Gruppen, also

ebenfalls exakt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien und kommutative topologische Gruppen und es sei ihre Produktgruppe (versehen mit der Produkttopologie) und es sei

die zugehörige kurze exakte Sequenz. Zeige, dass zu jedem topologischen Raum eine kurze exakte Garbensequenz

vorliegt, für die die globale Auswertung hinten stets surjektiv ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass eine kurze exakte Sequenz

von topologischen Gruppen mit vorliegt. Wende darauf Lemma 12.2 an.


Aufgabe Aufgabe 12.9 ändern

Es sei

eine kurze exakte Sequenz von kommutativen Gruppen, die wir alle mit der diskreten Topologie versehen. Zeige, dass dann für jeden topologischen Raum die zugehörige Sequenz der Garben der stetigen Abbildungen in diese Gruppen (also die lokal konstanten Abbildungen), also

ebenfalls exakt. Zeige ferner, dass in diesem Fall für jede offenen Teilmenge die Sequenz

exakt ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Interpretiere Aufgabe 12.9 für die kurze exakte Sequenz

und einen topologischen Raum .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein einpunktiger topologischer Raum und sei eine Garbe auf . Bestimme den Ausbreitungsraum zu .


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass der Ausbreitungsraum zur Garbe der stetigen reellwertigen Funktionen auf kein Hausdorffraum ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine diskrete kommutative Gruppe, es sei ein lokal zusammenhängender topologischer Raum und sei

die Garbe der stetigen Funktion auf mit Werten in . Zeige, dass der Ausbreitungsraum zu eine triviale Überlagerung mit der Faser ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine Überlagerung und lokal zusammenhängend. Es sei die Garbe der stetigen Schnitte in auf . Zeige, dass der Ausbreitungsraum zu mit übereinstimmt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine Untergarbe. Zeige, dass der Ausbreitungsraum zu in natürlicher Weise ein Unterraum des Ausbreitungsraumes von ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass der Ausbreitungsraum zur Garbe der holomorphen Funktionen auf einer riemannschen Fläche keine Überlagerung ist.