Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Vorlesung 24/kontrolle

Auswertung von holomorphen Differentialformen längs eines Weges

Lemma Lemma 24.1 ändern

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche. Es sei ${}\omega$ eine holomorphe Differentialform auf ${}X$ mit der zugehörigen Kohomologieklasse ${}\delta (\omega )\in H^{1}(X,{\mathbb {C} })$ bezüglich der exakten Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\,\Omega _{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

(siehe Lemma 15.8).

Dann ist für jeden geschlossenen Weg ${}\gamma \colon [0,1]\rightarrow X$

${}\int _{\gamma }\omega =\int _{\gamma }\delta (\omega )\,.$

Beweis

Es sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung mit Kreisscheiben. Auf ${}U_{i}$ besitzt ${}\omega$ eine holomorphe Stammform, also eine holomorphe Funktion ${}h_{i}$ mit ${}dh_{i}=\omega$ auf ${}U_{i}$. Die zugehörige Kohomologieklasse in ${}H^{1}(X,{\mathbb {C} })$ wird durch den Čech-Kozykel ${}f_{ij}=h_{j}-h_{i}$ auf ${}U_{ij}=U_{i}\cap U_{j}$ beschrieben. Es sei ${}V_{1},V_{2},\ldots ,V_{n-1},V_{n}=V_{1}$ eine topologische Kette um ${}\gamma$ und es seien ${}P_{k}\in V_{k}\cap V_{k+1}\cap \gamma ([0,1])$ für ${}k=1,\ldots ,n-1$. Wir setzen ferner ${}P_{0}=\gamma (0)=\gamma (1)=P_{n}$. Es sei ${}\gamma _{k}$ der Teilweg, der von ${}P_{k-1}$ nach ${}P_{k}$ führt und somit in ${}U_{\alpha (k)}$ verläuft. Dann ist insgesamt

${}{\begin{aligned}\int _{\gamma }\omega &=\sum _{k=1}^{n}\int _{\gamma _{k}}\omega \\&=\sum _{k=1}^{n}\int _{\gamma _{k}}dh_{\alpha (k)}\\&=\sum _{k=1}^{n}{\left(h_{\alpha (k)}(P_{k})-h_{\alpha (k)}(P_{k-1})\right)}\\&=-h_{\alpha (1)}(P_{0})+\sum _{k=1}^{n-1}{\left(h_{\alpha (k)}(P_{k})-h_{\alpha (k+1)}(P_{k})\right)}+h_{\alpha (n)}(P_{n})\\&=\sum _{k=1}^{n-1}{\left(h_{\alpha (k)}(P_{k})-h_{\alpha (k+1)}(P_{k})\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n-1}f_{\alpha (k+1)\alpha (k)}(P_{k})\\&=\int _{\gamma }\delta (c).\end{aligned}}$

$\Box$

Die Wegintegrale ${}\int _{\gamma }\omega$ hängen nur von der Homotopieklasse des Weges ab. Dies folgt aus Satz 17.7 und für geschlossene Wege auch aus Lemma 24.1 in Verbindung mit Lemma 23.5  (6).

Korollar Korollar 24.2 ändern

Es sei ${}X$ eine zusammenhängende riemannsche Fläche und ${}\omega$ eine holomorphe Differentialform auf ${}X$.

Dann ist ${}\omega$ genau dann exakt, wenn für alle geschlossenen Wege ${}\gamma$ in ${}X$ die Gleichheit

${}\int _{\gamma }\omega =0\,$

gilt.

Beweis

Es sei ${}c=\delta (\omega )\in H^{1}(X,{\mathbb {C} })$ bezüglich der kurzen exakten Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\,\Omega _{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

(siehe Lemma 15.8). Die Exaktheit von ${}\omega$ bedeutet, dass es eine holomorphe Funktion ${}h$ auf ${}X$ mit ${}\omega =dh$ gibt. Dies ist aufgrund der langen Kohomologiesequenz äquivalent zu

${}\delta (\omega )=0\,.$

Wegen Lemma 24.1 folgt daher die Aussage aus Lemma 23.7.

$\Box$

Korollar Referenznummer erstellen

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und ${}\omega$ eine holomorphe Differentialform auf ${}X$.

Dann ist ${}\omega$ genau dann trivial, wenn für alle geschlossenen Wege ${}\gamma$ in ${}X$ die Gleichheit

${}\int _{\gamma }\omega =0\,$

gilt.

Beweis

Dies folgt aus Korollar 24.2, da auf einer kompakten zusammenhängenden riemannschen Fläche nur die triviale holomorphe Differentialform exakt ist, da als Stammformen nur die konstanten Funktionen in Frage kommen.

$\Box$

Korollar Referenznummer erstellen

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.

Dann gibt es einen natürlichen injektiven Gruppenhomomorphismus

$H^{0}(X,\Omega _{X})\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(\pi _{1}(X),{\mathbb {K} }\right)},\,\omega \longmapsto {\left(\gamma \mapsto \int _{\gamma }\omega \right)},$

von den globalen holomorphen Differentialformen in den Homorphismenraum von der Fundamentalgruppe ${}\pi _{1}(X)$ nach ${}{\mathbb {K} }$.

Beweis

Dies folgt aus Lemma 24.1 und Korollar 23.9 unter Verwendung der Injektivität von ${}\delta \colon H^{0}(X,\Omega _{X})\rightarrow H^{1}(X,{\mathbb {C} })$.

$\Box$

Das Bild der zu ${}\omega$ gehörenden Periodenabbildung ${}\gamma \mapsto \int _{\gamma }\omega$ nennen wir die Periodengruppe zu ${}\omega$, also

${}\operatorname {Per} (\omega )={\left\{\int _{\gamma }\omega \mid \gamma \in \pi _{1}(X)\right\}}\,.$

Es handelt sich um eine Untergruppe von ${}{\mathbb {C} }$. Es sei erwähnt, dass die Periodengruppe im Allgemeinen kein Gitter sein muss.

Korollar Korollar 24.5 ändern

Es sei ${}X$ ein komplexer Torus und ${}\omega$ eine nichttriviale holomorphe Differentialform auf ${}X$.

Dann ist das Bild unter dem natürlichen Gruppenhomomorphismus

$\pi _{1}(X)\cong \mathbb {Z} ^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,\gamma \longmapsto \int _{\gamma }\omega ,$

ein Gitter ${}P$ in ${}{\mathbb {C} }$, und ${}X$ ist biholomorph zu ${}{\mathbb {C} }/P$.

Beweis

Es ist ${}X={\mathbb {C} }/\Gamma$ mit einem Gitter ${}\Gamma =\langle v_{1},v_{2}\rangle \subseteq {\mathbb {C} }$ und der Projektion ${}p\colon {\mathbb {C} }\rightarrow X$. Die Fundamentalgruppe von ${}X$ ist ${}\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$, als Erzeuger kann man die Bilder der beiden Wege

$\gamma _{1}\colon [0,1]\longrightarrow X,\,t\longmapsto [tv_{1}],$

und

$\gamma _{2}\colon [0,1]\longrightarrow X,\,t\longmapsto [tv_{2}],$

wählen. Die Bildgruppe ${}{\left\{\int _{\gamma }\omega \mid \gamma \in \pi _{1}(X)\right\}}$ wird von ${}\int _{\gamma _{1}}\omega$ und ${}\int _{\gamma _{2}}\omega$ erzeugt. Es ist ${}\Gamma (X,\Omega _{X})$ nach Korollar 15.14 eindimensional und wird von ${}dz$ erzeugt, wobei ${}z$ die Variable auf ${}{\mathbb {C} }$ sei und die Differentialform ${}dz$ auf ${}{\mathbb {C} }$ sich wegen der Invarianz nach unten drückt. Daher ist ${}\omega =sdz$ mit einem ${}s\in {\mathbb {C} }$, ${}s\neq 0$. Es ist somit unter Verwendung von Satz Anhang.

${}\int _{\gamma _{1}}\omega =\int _{t\mapsto tv_{1}}p^{*}\omega =\int _{t\mapsto tv_{1}}sdz=\int _{0}^{1}sv_{1}dt=sv_{1}\,$

und ebenso

${}\int _{\gamma _{2}}\omega =sv_{2}\,.$

Also wird unter der Multiplikation mit ${}s$, also ${}s\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$, ${}z\longmapsto sz$, das Gitter ${}\Gamma$ in das Periodengitter ${}P$ überführt und nach Lemma 9.11 (Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)) sind ${}{\mathbb {C} }/\Gamma$ und ${}{\mathbb {C} }/P$ äquivalent.

$\Box$

Bemerkung   Referenznummer erstellen

Auf einem Torus ${}X=S^{1}\times S^{1}$ ist unabhängig von einer holomorphen Struktur

${}\pi _{1}(X)=\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \,$

mit den beiden jeweiligen einfachen Umkreisungen ${}\gamma _{1}$ und ${}\gamma _{2}$ als Basiswege (die allerdings nicht eindeutig bestimmt sind) und ${}H^{1}(X,{\mathbb {C} })\cong {\mathbb {C} }^{2}$, siehe Beispiel 22.7. Nach Korollar 23.9 liegt ein natürlicher Gruppenisomorphismus

$H^{1}(X,{\mathbb {C} })\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(\pi _{1}(X),{\mathbb {C} }\right)},\,c\longmapsto {\left(\gamma \mapsto \int _{\gamma }c\right)},$

vor. Eine Kohomologieklasse links kann man also mit einer linearen Abbildung identifizieren, bei der den Basiswegen eine komplexe Zahl zugeordnet wird. Insbesondere erhält man eine Basis auf ${}H^{1}(X,{\mathbb {C} })$ in den zwei Klassen, die den beiden Auswertungen ${}e_{\gamma _{1}}$ und ${}e_{\gamma _{1}}$ entsprechen.

Wenn der Torus zusätzlich die Struktur einer riemannschen Fläche besitzt, so erhält man mit Lemma 15.8 die exakte Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\,\Omega _{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

und dazu (die ersten beiden Terme wurden schon verarbeitet) die lange Kohomologiesequenz

$0\longrightarrow H^{0}(X,\Omega _{X}){\stackrel {\delta }{\longrightarrow }}H^{1}(X,{\mathbb {C} })\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,\Omega _{X})\longrightarrow \ldots$

(siehe auch Lemma 31.4). Der Raum ${}H^{0}(X,\Omega _{X})$ ist nach Korollar 15.14 eindimensional. Wenn ${}X={\mathbb {C} }/\Gamma$ mit einem Gitter ${}\Gamma =\langle v_{1},v_{2}\rangle$ realisiert wird, so sind die Bilder der Kantenwege ${}t\mapsto tv_{1}$ bzw. ${}t\mapsto tv_{2}$ (${}t\in [0,1]$) Basiswege des Torus. Nach dem Beweis zu Korollar 24.5 ist die Auswertung, die zu einer holomorphen Differentialform gehört, von der Form ${}\gamma _{1}\mapsto sv_{1},\gamma _{2}\mapsto sv_{2}$ mit einem festen ${}s\in {\mathbb {C} }$, also ein Vielfaches von ${}v_{1}e_{\gamma _{1}}+v_{2}e_{\gamma _{1}}$. Das Gitter spiegelt sich also darin wider, wie der eindimensionale Raum ${}H^{0}(X,\Omega _{X})$ im zweidimensionalen nur von der Topologie abhängigen Raum ${}H^{1}(X,{\mathbb {C} })\cong {\mathbb {C} }^{2}$ liegt. Ein eindimensionaler komplexer Untervektorraum von ${}H^{1}(X,{\mathbb {C} })$ kann genau dann als ${}H^{0}(X,\Omega _{X})$ eines komplexen Torus realisiert werden, wenn die beiden Komponenten reell-linear unabhängig in ${}{\mathbb {C} }$ sind.

Bemerkung   Bemerkung 24.7 ändern

Eine antiholomorphe Differentialform auf einer riemannschen Fläche ${}X$ ist eine Differentialform ${}\omega \in \Gamma {\left(X,{{\mathcal {E}}^{(1)}}\right)}$, die lokal die Form ${}{\overline {f}}d{\overline {z}}$ besitzt. Durch komplexe Konjugation entsteht aus jeder holomorphen Differentialform eine antiholomorphe Differentialform. Es gelten entsprechende Gesetzmäßigkeiten.

Beispiel Beispiel 24.8 ändern

Wir betrachten die durch die Gleichung

${}W^{2}=Z{\left(Z^{2}-1\right)}{\left(Z^{2}+1\right)}=Z{\left(Z^{4}-1\right)}=Z(Z-1)(Z+1)(Z-{\mathrm {i} })(Z+{\mathrm {i} })\,$

gegebene riemannsche Fläche ${}V$ und die vervollständigte (kompakte) Version ${}X$ davon, siehe Korollar 2.8 und Lemma 14.13. Nach Lemma 15.10 und Aufgabe 15.9 ist ${}\omega ={\frac {dz}{w}}$ eine holomorphe Differentialform auf ${}X$ und nach Lemma 17.12 ist das dort beschriebene Wegintegral ${}\int _{\gamma }\omega$ für ${}z$ reell zwischen ${}-1$ und ${}0$ positiv. Es sei ${}\zeta$ eine primitive achte Einheitswurzel, beispielsweise ${}\zeta =e^{\pi {\mathrm {i} }/4}$. Durch ${}Z\mapsto \zeta ^{2}Z$ und ${}W\mapsto \zeta W$ wird wegen

${}\zeta ^{2}Z{\left(\zeta ^{8}Z^{4}-1\right)}=\zeta ^{2}Z{\left(Z^{4}-1\right)}=\zeta ^{2}W^{2}={\left(\zeta W\right)}^{2}\,$

eine biholmorphe Abbildung ${}\theta$ auf ${}V$ und dann auch auf ${}X$ festgelegt. Nach Satz Anhang. gilt

${}\int _{\theta \circ \gamma }\omega =\int _{\gamma }\theta ^{*}\omega =\int _{\gamma }\zeta \omega =\zeta \int _{\gamma }\omega \,.$

Entsprechend sind die Wegintegrale zu ${}\omega$ längs der Wege ${}\theta ^{n}\circ g$ gleich ${}\zeta ^{n}\int _{\gamma }\omega$. Nach Korollar 19.12 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) sind die Potenzen ${}1,\zeta ,\zeta ^{2},\zeta ^{3}$ linear unabhängig über ${}\mathbb {Q}$ und das überträgt sich auf die Perioden ${}\int _{\gamma }\omega ,\,\int _{\theta \circ \gamma }\omega =\zeta \int _{\gamma }\omega ,\,\int _{\theta ^{2}\circ \gamma }\omega =\zeta ^{2}\int _{\gamma }\omega ,\,\int _{\theta ^{3}\circ \gamma }\omega =\zeta ^{3}\int _{\gamma }\omega$. Deshalb bilden die Perioden zu ${}\omega$ zu den verschiedenen geschlossenen Wegen eine Untergruppe vom Rang zumindest ${}4$ und daher ist die Periodengruppe kein Gitter in ${}{\mathbb {C} }$. Aufgrund von Eigenschaften des achten Kreisteilungskörpers handelt es sich um eine dichte Untergruppe.