Kurs:Studienprojekt:Modultheorie über Hauptidealbereichen (Osnabrück 2011-2012)/Grundlagen zu Hauptidealbereichen/Textabschnitt

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Definition  

Ein kommutativer, nullteilerfreier, von verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.



Lemma  

In einem Integritätsbereich ist ein Primelement stets irreduzibel.

Beweis  

Angenommen, wir haben eine Zerlegung . Wegen der Primeigenschaft teilt einen Faktor, sagen wir . Dann ist bzw. . Da kein Nullteiler ist, folgt , so dass also eine Einheit ist.



Definition  

Zwei Elemente und eines kommutativen Ringes heißen assoziiert, wenn es eine Einheit derart gibt, dass ist.



Hauptidealbereiche

Definition  

Ein Integritätsbereich, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealbereich.



Lemma  

Sei ein Hauptidealbereich, , eine Familie von Elementen und der Schnitt der davon erzeugten Hauptideale. Ein Element ist genau dann ein kleinstes gemeinsames Vielfaches von , wenn , wenn also als Hauptideal erzeugt.

Beweis  

Ein Element ist ein Vielfaches aller , also nach Definition ein gemeinsames Vielfaches und jedes gemeinsame Vielfache liegt in . Ein erzeugendes Element des Ideals ist Teiler aller anderen gemeinsamen Vielfachen und daher nach Definition ein kleinstes gemeinsames Vielfaches und jedes kleinste gemeinsame Vielfache erzeugt .




Satz (Lemma von Bezout)  

Sei ein Hauptidealring. Dann gilt:

Elemente besitzen stets einen größten gemeinsamen Teiler , und dieser lässt sich als Linearkombination der darstellen, d.h. es gibt Elemente mit .

Insbesondere besitzen teilerfremde Elemente eine Darstellung der .

Beweis  

Sei das von den Elementen erzeugte Ideal. Da wir in einem Hauptidealring sind, handelt es sich um ein Hauptideal; es gibt also ein Element mit . Wir behaupten, dass ein größter gemeinsamer Teiler der ist. Die Inklusionen zeigen, dass es sich um einen gemeinsamen Teiler handelt. Sei ein weiterer gemeinsamer Teiler der . Dann ist wieder , was wiederum bedeutet. Die Darstellungsaussage folgt unmittelbar aus .

Im teilerfremden Fall ist .




Satz (Lemma von Euklid)  

Sei ein Hauptidealbereich und . Es seien und teilerfremd und teile das Produkt . Dann teilt den Faktor .

Beweis  

Da und teilerfremd sind, gibt es nach dem Lemma von Bezout Elemente mit . Die Voraussetzung, dass das Produkt teilt, schreiben wir als . Damit gilt

was zeigt, dass ein Vielfaches von ist.




Lemma  

Sei ein Hauptidealbereich. Dann ist ein Element genau dann prim,

wenn es irreduzibel ist.

Beweis  

Ein Primelement in einem Integritätsbereich ist nach Fakt ***** stets irreduzibel. Sei also umgekehrt irreduzibel, und nehmen wir an, dass das Produkt teilt, sagen wir . Nehmen wir an, dass kein Vielfaches von ist. Dann sind aber und teilerfremd, da eine echte Inklusionskette der Irreduzibilität von widerspricht. Damit teilt nach dem Lemma von Euklid den anderen Faktor .




Lemma  

In einem Hauptidealbereich lässt sich jede Nichteinheit darstellen als Produkt von irreduziblen Elementen.

Beweis  

Angenommen, jede Zerlegung enthalte nicht irreduzible Elemente. Dann gibt es in jedem solchen Produkt einen Faktor, der ebenfalls keine Zerlegung in irreduzible Faktoren besitzt. Wir erhalten also eine unendliche Kette , wobei ein nicht-trivialer Teiler von ist. Somit haben wir eine echt aufsteigende Idealkette

Die Vereinigung dieser Ideale ist aber Aufgabe ***** ebenfalls ein Ideal und nach Voraussetzung ein Hauptideal. Dies ist ein Widerspruch.




Satz  

In einem Hauptidealbereich lässt sich jede Nichteinheit darstellen als Produkt von Primelementen. Diese Darstellung ist eindeutig bis auf Reihenfolge und Assoziiertheit. Wählt man aus jeder Assoziiertheitsklasse von Primelementen einen festen Repräsentanten , so gibt es eine bis auf die Reihenfolge eindeutige Darstellung , wobei eine Einheit ist und die Repräsentanten sind.

Beweis  

Die erste Aussage folgt direkt aus Lemma 3.9 und Lemma 3.8.

Die behauptete Eindeutigkeit bis auf Umordnung bedeutet, dass wenn

zwei Primfaktorzerlegungen sind, dass dann ist und es eine Permutation auf gibt derart, dass und assoziiert sind für alle . Wir beweisen diese Aussage durch Induktion über . Sei zuerst (das sei zugelassen). Dann steht links eine Einheit, also muss auch rechts eine Einheit stehen, was bedeutet.

Sei also und die Aussage sei für alle kleineren bewiesen. Die Gleichung bedeutet insbesondere, dass das Produkt rechts teilt. Da prim ist, muss nach dem Lemma von Euklid einen der Faktoren rechts teilen. Nach Umordnung kann man annehmen, dass von geteilt wird. Da ebenfalls prim ist, sind und assoziiert. Also ist

mit einer Einheit und man kann die Gleichung nach kürzen und erhält

Die Induktionsvoraussetzung liefert dann und dass jedes zu einem assoziiert ist.


Diesen Satz kann man auch so ausdrücken, dass Hauptidealbereiche faktoriell sind im Sinne der folgenden Definition. Für solche Bereiche gilt ganz allgemein, dass die Primfaktorzerlegung eindeutig ist.


Definition (Faktorieller Bereich)  

Ein Integritätsbereich heißt faktorieller Bereich, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.

  1. Jedes irreduzible Element in ist prim.
  2. Jedes Element , , ist ein Produkt aus irreduziblen Elementen.



Korollar  

Jede positive natürliche Zahl lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.

Beweis  

Dies folgt sofort aus Satz 3.10.




Korollar  

Sei ein Hauptidealbereich und seien und zwei Elemente mit Primfaktorzerlegungen

(wobei die Exponenten auch sein können und Einheiten sind). Dann gilt genau dann, wenn ist für alle Exponenten .

Beweis  

Wenn die Exponentenbedingung erfüllt ist, so ist und man kann

schreiben, was die Teilbarkeit bedeutet. Die Umkehrung folgt aus der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung in Hauptidealbereichen (siehe Satz 3.10).




Satz  

Sei ein Hauptidealbereich und ein Element. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent.

  1. ist ein Primelement.
  2. ist ein Integritätsbereich.
  3. ist ein Körper.

Beweis  

Die Äquivalenz (1) (2) gilt in jedem kommutativen Ring (auch für ), siehe Aufgabe *****, und (3) impliziert natürlich (2). Sei also (1) erfüllt und sei von verschieden. Wir bezeichnen einen Repräsentanten davon in ebenfalls mit . Es ist dann und es ergibt sich eine echte Idealinklusion . Ferner können wir schreiben, da wir in einem Hauptidealring sind. Es folgt . Da keine Einheit ist und prim (also nach Fakt ***** auch irreduzibel) ist, muss eine Einheit sein. Es ist also , und das bedeutet modulo , also in , dass eine Einheit ist. Also ist ein Körper.




euklidischer Hauptidealbereich

Definition  

Ein euklidischer Bereich (oder euklidischer Ring) ist ein Integritätsbereich , für den eine Abbildung existiert, die die folgende Eigenschaft erfüllt:

Für Elemente mit gibt es mit

Bemerkung  

Für einen Körper ist der Polynomring in einer Variablen ein euklidischer Bereich, wobei die euklidische Funktion durch die Gradfunktion gegeben ist. Viele Parallelen zwischen dem Polynomring und beruhen auf dieser Eigenschaft. Die Gradfunktion hat die Eigenschaft




Lemma  

Beweis  

Sei ein von verschiedenes Ideal. Betrachte die nichtleere Menge

Diese Menge hat ein Minimum , das von einem Element , herrührt, sagen wir . Wir behaupten, dass ist. Dabei ist die Inklusion „“ klar. Zum Beweis der Inklusion „“ sei gegeben. Aufgrund der Definition eines euklidischen Bereiches gilt mit oder . Wegen und der Minimalität von kann der zweite Fall nicht eintreten. Also ist und ist ein Vielfaches von .



Satz  

Ein Polynomring über einem Körper

ist ein Hauptidealbereich.

Beweis  

Dies ist eine direkte Folge von Bemerkung 3.16 und Lemma 3.17.