Frobeniushomomorphismus/Lineare Fortsetzung/Fixpunkte/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik ${}p>0$ enthalte. Der Frobeniushomomorphismus ist der Ringhomomorphismus

$R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f^{p}.$

Den Frobenius-Homomorphismus kann man iterieren, die ${}e$-te Iteration ist die Abbildung

$R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f^{q},$

mit ${}q=p^{e}$.

Satz

Es sei ${}L$ ein endlicher Körper der Charakteristik ${}p$.

Dann ist der Frobeniushomomorphismus

$\Phi \colon L\longrightarrow L,\,x\longmapsto x^{p},$

ein Automorphismus, dessen Fixkörper ${}\mathbb {Z} /(p)$ ist.

Beweis

Der Frobeniushomomorphismus ist stets ein Ringhomomorphismus. Die Injektivität ergibt sich aus Fakt, und daraus ergibt sich die Surjektivität wegen der Endlichkeit aus Fakt. Wegen ${}\Phi (1)=1$ werden die Elemente aus ${}\mathbb {Z} /(p)$ auf sich selbst abgebildet. Daher gibt es ${}p$ Elemente in ${}K$ mit ${}x^{p}=x$. Mehr kann es wegen Fakt nicht geben.

$\Box$

Satz

Es sei ${}L$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik ${}p$. Es sei ${}e\in \mathbb {N} _{+}$ und ${}q=p^{e}$.

Dann ist der Fixkörper des ${}e$-ten Frobeniushomomorphismus

$F^{e}\colon L\longrightarrow L,\,x\longmapsto x^{q},$

ein endlicher Körper mit ${}q$ Elementen.

Beweis

Körper/Charakteristik p/Algebraisch abgeschlossen/Frobeniuspotenz/Fixkörper/Fakt/Beweis

$\Box$

Satz

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}m\in \mathbb {N}$, ${}q=p^{m}$.

Dann ist die Körpererweiterung ${}{\mathbb {F} }_{p}\subseteq {\mathbb {F} }_{q}$ eine Galoiserweiterung mit einer zyklischen Galoisgruppe der Ordnung ${}m$, die vom Frobeniushomomorphismus erzeugt wird.

Beweis

Es sei

$\Phi \colon {\mathbb {F} }_{q}\longrightarrow {\mathbb {F} }_{q}$

der Frobeniushomomorphismus, der nach Fakt ein ${}{\mathbb {F} }_{p}$-Automorphismus ist. Daher sind auch die Iterationen ${}\Phi ^{k}$ Automorphismen, und zwar gilt

${}\Phi ^{k}(x)=x^{p^{k}}\,.$

Bei ${}k=m$ ist nach Fakt ${}x^{p^{m}}=x$ für alle ${}x\in {\mathbb {F} }_{q}$, also ist ${}\Phi ^{m}=\operatorname {Id}$. Für ${}k<m$ kann ${}\Phi ^{k}$ nicht die Identität sein, da dies sofort Fakt widersprechen würde. Also gibt es ${}m$ verschiedene Potenzen des Frobeniusautomorphismus. Nach Fakt kann es keine weiteren Automorphismen geben und die Körpererweiterung ist galoissch mit der vom Frobenius erzeugten Gruppe als Galoisgruppe.

$\Box$

Auf den Körper ${}K$ mit

${}q=p^{e}\,$

ist die ${}e$-te Frobeniusiteration ${}F^{e}$ die Identität. Im folgenden arbeiten wir mit Ringen und Varietäten über einem Grundkörper ${}{\mathbb {F} }_{q}$, der Frobenius ${}F^{e}$ ist dann mit der Basis verträglich (auf dem Grundring trivial), hat aber auf den algebraischen oder geometrischen Objekten eine interessante Wirkung.

Lemma

Es sei ${}K={\mathbb {F} }_{q}$, ${}q=p^{e}$, ein endlicher Körper und sei ${}R$ eine ${}K$-Algebra. Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung.

Dann wirkt der ${}e$-te Frobeniushomomorphismus

$F^{e}\colon R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f^{q},$

in folgender Weise.

1. Für einen ${}L$-rationalen Punkt

   $\psi \colon R\longrightarrow L$

   ist

   ${}(F^{e})^{*}(\psi )=\psi \circ F^{e}=F^{e}\circ \psi \,,$

   wobei das letzte ${}F^{e}$ den ${}e$-ten Frobenius auf ${}L$ bezeichnet.

2. Für einen ${}L$-rationalen Punkt

   $\psi \colon R\longrightarrow L$

   ist

   ${}\operatorname {kern} \left((F^{e})^{*}(\psi )\right)=\operatorname {kern} \psi \,.$

3. Für einen ${}K$-rationalen Punkt

   $\psi \colon R\longrightarrow K$

   ist

   ${}(F^{e})^{*}(\psi )=\psi \,.$

4. Für ${}K\neq L$ und ${}\psi \colon R\rightarrow L$ surjektiv ist

   ${}(F^{e})^{*}(\psi )\neq \psi \,.$

Beweis

1. Zu ${}f\in R$ ist

   ${}(\psi \circ F^{e})(f)=\psi (f^{q})=(\psi (f))^{q}=(F^{e}\circ \psi )(f)\,.$

2. Folgt aus (1), da ${}F^{e}$ auf ${}L$ injektiv ist.
3. Folgt aus (1), da ${}F^{e}$ auf ${}K$ die Identität ist.
4. Es sei ${}g\in L$, ${}g\notin K$, und ${}g=\psi (f)$. Wegen

   ${}(F^{e}\circ \psi )(f)=((\psi (f))^{q}=g^{q}\neq g=\psi (f)\,$

   ist

   ${}F^{e}\circ \psi \neq \psi \,.$

$\Box$

Mit Fakt  (2) hängt unmittelbar die Tatsache zusammen, dass der Frobenius auf dem Spektrum von ${}R$ identisch wirkt.

Definition

Es sei ${}K={\mathbb {F} }_{q}$, ${}q=p^{e}$, ein endlicher Körper und sei ${}R$ eine ${}K$-Algebra. Es sei ${}{\overline {K}}$ ein algebraischer Abschluss von ${}K$. Dann heißt zu ${}m\in \mathbb {N}$

$F^{em}\otimes \operatorname {Id} _{\overline {K}}\colon R\otimes _{K}{\overline {K}}\longrightarrow R\otimes _{K}{\overline {K}},\,f\otimes 1\longmapsto f^{q^{m}}\otimes 1,$

die ${}{\overline {K}}$-lineare Fortsetzung des Frobeniushomomorphismus ${}F^{em}\colon R\rightarrow R$.

Beispiel

Es sei ${}K={\mathbb {F} }_{q}$, ${}q=p^{e}$, ein endlicher Körper und sei ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Dann ist die ${}{\overline {K}}$-lineare Fortsetzung von ${}F^{em}$ gleich dem Einsetzungshomomorphismus

${\overline {K}}[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow {\overline {K}}[X_{1},\ldots ,X_{n}],\,X_{i}\longmapsto X_{i}^{q^{m}}.$

Beispiel

Es sei ${}K={\mathbb {F} }_{q}$, ${}q=p^{e}$, ein endlicher Körper und sei ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ eine endlich erzeugte ${}K$-Algebra Dann ist die ${}{\overline {K}}$-lineare Fortsetzung von ${}F^{em}$ gleich

${\overline {K}}[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\longrightarrow {\overline {K}}[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}},\,X_{i}\longmapsto X_{i}^{q^{m}}.$

Diese Abbildung ist wohldefiniert, da mit ${}f\in {\mathfrak {a}}$ auch ${}f^{q}=f\cdot f^{q-1}\in {\mathfrak {a}}$ ist. Wegen ${}f\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ stimmt für ${}f$ der ${}e$-te Frobenius mit dem linear fortgesetzten Frobenius überein.

Lemma

Es sei ${}K={\mathbb {F} }_{q}$, ${}q=p^{e}$, ein endlicher Körper und sei ${}R$ eine endlich erzeugte ${}K$-Algebra. Es sei ${}{\overline {K}}$ ein algebraischer Abschluss von ${}K$. Es sei

$\Phi =F^{e}\otimes \operatorname {Id} _{\overline {K}}\colon R\otimes _{K}{\overline {K}}\longrightarrow R\otimes _{K}{\overline {K}},$

der ${}{\overline {K}}$-lineare Frobenius auf ${}R\otimes _{K}{\overline {K}}$. Dann sind für einen ${}{\overline {K}}$-rationalen Punkt

$Q\colon R\otimes _{K}{\overline {K}}\longrightarrow {\overline {K}}$

die folgenden Aussagen äquivalent.

1. Es ist

   ${}\Phi ^{*}(Q)=Q\,.$

2. Es ist

   ${}\operatorname {kern} \left(\Phi ^{*}(Q)\right)=\operatorname {kern} Q\,.$

3. Es gibt einen ${}K$-rationalen Punkt

   $P\colon R\longrightarrow K,$

   dessen kanonische Fortsetzung

   ${\overline {P}}\colon R\otimes _{K}{\overline {K}}\longrightarrow K\otimes _{K}{\overline {K}}\cong {\overline {K}}$

   mit ${}Q$ übereinstimmt.

Beweis

Die Äquivalenz von (1) nach (2) gilt, da mit ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ und ${}R\otimes _{K}{\overline {K}}={\overline {K}}[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}{\overline {K}}[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Kern von ${}Q$ einem maximalen Ideal der Form ${}(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})$ mit ${}a_{i}\in K$ entspricht, und dies den Homomorphismus festlegt.

Von (1) nach (3). Es sei ${}L\subseteq {\overline {K}}$ das Bild des zusammengesetzten Ringhomomorphismus ${}P$

$R\longrightarrow R\otimes _{K}{\overline {K}}{\stackrel {Q}{\longrightarrow }}{\overline {K}}.$

Wegen ${}\Phi ^{*}(Q)=Q$ ist auch

${}(F^{e})^{*}(P)=P\,.$

Aus Fakt  (4) folgt ${}L=K$. Es liegt also ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}R&{\stackrel {P}{\longrightarrow }}&K&\\\downarrow &&\downarrow &\\R\otimes _{K}{\overline {K}}&{\stackrel {Q}{\longrightarrow }}&{\overline {K}}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

vor. Wir behaupten

${}Q=P\otimes \operatorname {Id} _{\overline {K}}\,.$

Da ${}Q$ ${}{\overline {K}}$-linear ist, gilt

${}Q(f\otimes a)=aQ(f\otimes 1)=aP(f)=P(f)\otimes \operatorname {Id} _{\overline {K}}(a)=(P\otimes \operatorname {Id} _{\overline {K}})(f\otimes a)\,,$

woraus die Behauptung folgt.

Von (3) nach (1) folgt aus Fakt  (3).

$\Box$

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper mit ${}q=p^{e}$ Elementen und sei ${}K\subseteq {\overline {K}}$ ein algebraischer Abschluss. Dann nennt man die Abbildung

$F^{em}\colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}({\overline {K}})\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}({\overline {K}}),\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto (x_{1}^{q^{m}},\ldots ,x_{n}^{q^{m}}),$

den ${}{\overline {K}}$- linearen Frobenius auf dem affinen Raum.

Definition

Es sei ${}K={\mathbb {F} }_{q}$, ${}q=p^{e}$, ein endlicher Körper und sei ${}V$ eine ${}K$-Varietät. Es sei ${}{\overline {K}}$ ein algebraischer Abschluss von ${}K$. Es sei ${}m\in \mathbb {N}$ und sei

$F^{em}\colon V\longrightarrow V$

der ${}em$-te absolute Frobenius. Dann nennt man

$F^{em}\times {\overline {K}}\colon V_{\overline {K}}\longrightarrow V_{\overline {K}},$

die ${}{\overline {K}}$-lineare Fortsetzung des Frobeniusmorphismus.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper mit ${}q=p^{e}$ Elementen. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Der ${}e$-te Frobeniusmorphismus ist auf dem affinen Raum über ${}K$ die Spektrumsabbildung zum ${}K$-Algebrahomomorphismus

   $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n}],\,X_{i}\longmapsto X_{i}^{q}.$

2. Ein ${}L$-Punkt ${}\left(a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)$ zu einer Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ wird unter dem Morphismus auf den ${}L$-Punkt ${}\left(a_{1}^{q},\,\ldots ,\,a_{n}^{q}\right)$ abgebildet.
3. Ein Punkt

   ${}P\in {{\mathbb {A} }_{}^{n}}({\overline {K}})={\overline {K}}^{n}\,$

   gehört genau dann zu ${}K^{n}$, wenn

   ${}F^{e}(P)=P\,$

   ist.

4. Wenn ${}{\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Ideal und ${}P\in V({\mathfrak {a}})$ ein ${}L$-Punkt ist, so ist auch ${}F^{e}(P)\in V({\mathfrak {a}})$.

Beweis

1. Es sei

   $\psi \colon K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n}],\,X_{i}\longmapsto X_{i}^{q},$

   der angegebene ${}K$-Algebrahomomorphismus. Ein Punkt ${}(a_{1},\ldots ,a_{n})$ mit Koordinaten aus ${}L$ zu einer beliebigen Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ ist als ${}K$-Algebrahomomorphismus

   $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow L,\,X_{i}\longmapsto a_{i},$

   aufzufassen. Die Verknüpfung mit dem algebraischen Frobenius-Homomorphismus ist durch ${}X_{i}\mapsto X_{i}^{q}\mapsto a_{i}^{q}$ gegeben, was dem ${}L$-Punkt des affinen Raumes mit den Koordinaten

   ${}(\psi (a_{1}),\ldots ,\psi (a_{n}))=(a_{1}^{q},\ldots ,a_{n}^{q})\,$

   entspricht.

2. 2. wurde in 1 mitbewiesen.
3. 3 folgt aus 2 und Fakt.
4. Es genügt die entsprechende Aussage für jedes ${}f\in {\mathfrak {a}}$ zu zeigen. Aus ${}P\in V(f)$ folgt generell, dass der Bildpunkt zu ${}V(\psi (f))$ gehört, und wegen ${}f\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ist ${}\psi (f)=f^{q}$ und somit ${}V(f)=V(f^{q})=V(\psi (f))$.

$\Box$

Definition

Projektiver Raum/Frobenius-Homomorphismus/Direkt und basistrivial/Koordinaten/Definition

Lemma

Projektiver Raum/Frobenius-Homomorphismus/Direkt und basistrivial/Koordinaten/Eigenschaften/Fakt

Beweis

Projektiver Raum/Frobenius-Homomorphismus/Direkt und basistrivial/Koordinaten/Eigenschaften/Fakt/Beweis

$\Box$