Frobeniushomomorphismus/Lineare Fortsetzung/Fixpunkte/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik enthalte. Der Frobeniushomomorphismus ist der Ringhomomorphismus

Den Frobenius-Homomorphismus kann man iterieren, die -te Iteration ist die Abbildung

mit .



Satz  

Es sei ein endlicher Körper der Charakteristik .

Dann ist der Frobeniushomomorphismus

ein Automorphismus, dessen Fixkörper ist.

Beweis  

Der Frobeniushomomorphismus ist stets ein Ringhomomorphismus. Die Injektivität ergibt sich aus Fakt, und daraus ergibt sich die Surjektivität wegen der Endlichkeit aus Fakt. Wegen werden die Elemente aus auf sich selbst abgebildet. Daher gibt es Elemente in mit . Mehr kann es wegen Fakt nicht geben.




Satz  

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik . Es sei und .

Dann ist der Fixkörper des -ten Frobeniushomomorphismus

ein endlicher Körper mit Elementen.

Beweis  




Satz  

Es sei eine Primzahl und , .

Dann ist die Körpererweiterung eine Galoiserweiterung mit einer zyklischen Galoisgruppe der Ordnung , die vom Frobeniushomomorphismus erzeugt wird.

Beweis  

Es sei

der Frobeniushomomorphismus, der nach Fakt ein -Automorphismus ist. Daher sind auch die Iterationen Automorphismen, und zwar gilt

Bei ist nach Fakt für alle , also ist . Für kann nicht die Identität sein, da dies sofort Fakt widersprechen würde. Also gibt es verschiedene Potenzen des Frobeniusautomorphismus. Nach Fakt kann es keine weiteren Automorphismen geben und die Körpererweiterung ist galoissch mit der vom Frobenius erzeugten Gruppe als Galoisgruppe.


Auf den Körper mit

ist die -te Frobeniusiteration die Identität. Im folgenden arbeiten wir mit Ringen und Varietäten über einem Grundkörper , der Frobenius ist dann mit der Basis verträglich (auf dem Grundring trivial), hat aber auf den algebraischen oder geometrischen Objekten eine interessante Wirkung.




Lemma  

Es sei , , ein endlicher Körper und sei eine -Algebra. Es sei eine Körpererweiterung.

Dann wirkt der -te Frobeniushomomorphismus

in folgender Weise.

  1. Für einen -rationalen Punkt

    ist

    wobei das letzte den -ten Frobenius auf bezeichnet.

  2. Für einen -rationalen Punkt

    ist

  3. Für einen -rationalen Punkt

    ist

  4. Für und surjektiv ist

Beweis  

  1. Zu ist
  2. Folgt aus (1), da auf injektiv ist.
  3. Folgt aus (1), da auf die Identität ist.
  4. Es sei , , und . Wegen

    ist


Mit Fakt  (2) hängt unmittelbar die Tatsache zusammen, dass der Frobenius auf dem Spektrum von identisch wirkt.



Definition  

Es sei , , ein endlicher Körper und sei eine -Algebra. Es sei ein algebraischer Abschluss von . Dann heißt zu

die -lineare Fortsetzung des Frobeniushomomorphismus .


Beispiel  

Es sei , , ein endlicher Körper und sei . Dann ist die -lineare Fortsetzung von gleich dem Einsetzungshomomorphismus



Beispiel  

Es sei , , ein endlicher Körper und sei eine endlich erzeugte -Algebra Dann ist die -lineare Fortsetzung von gleich

Diese Abbildung ist wohldefiniert, da mit auch ist. Wegen stimmt für der -te Frobenius mit dem linear fortgesetzten Frobenius überein.




Lemma  

Es sei , , ein endlicher Körper und sei eine endlich erzeugte -Algebra. Es sei ein algebraischer Abschluss von . Es sei

der -lineare Frobenius auf . Dann sind für einen -rationalen Punkt

die folgenden Aussagen äquivalent.

  1. Es ist
  2. Es ist
  3. Es gibt einen -rationalen Punkt

    dessen kanonische Fortsetzung

    mit übereinstimmt.

Beweis  

Die Äquivalenz von (1) nach (2) gilt, da mit und der Kern von einem maximalen Ideal der Form mit entspricht, und dies den Homomorphismus festlegt.

Von (1) nach (3). Es sei das Bild des zusammengesetzten Ringhomomorphismus

Wegen ist auch

Aus Fakt  (4) folgt . Es liegt also ein kommutatives Diagramm

vor. Wir behaupten

Da -linear ist, gilt

woraus die Behauptung folgt.

Von (3) nach (1) folgt aus Fakt  (3).





Definition  

Es sei ein Körper mit Elementen und sei ein algebraischer Abschluss. Dann nennt man die Abbildung

den - linearen Frobenius auf dem affinen Raum.


Definition  

Es sei , , ein endlicher Körper und sei eine -Varietät. Es sei ein algebraischer Abschluss von . Es sei und sei

der -te absolute Frobenius. Dann nennt man

die -lineare Fortsetzung des Frobeniusmorphismus.



Lemma  

Es sei ein Körper mit Elementen. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Der -te Frobeniusmorphismus ist auf dem affinen Raum über die Spektrumsabbildung zum -Algebrahomomorphismus
  2. Ein -Punkt zu einer Körpererweiterung wird unter dem Morphismus auf den -Punkt abgebildet.
  3. Ein Punkt

    gehört genau dann zu , wenn

    ist.

  4. Wenn ein Ideal und ein -Punkt ist, so ist auch .

Beweis  

  1. Es sei

    der angegebene -Algebrahomomorphismus. Ein Punkt mit Koordinaten aus zu einer beliebigen Körpererweiterung ist als -Algebrahomomorphismus

    aufzufassen. Die Verknüpfung mit dem algebraischen Frobenius-Homomorphismus ist durch gegeben, was dem -Punkt des affinen Raumes mit den Koordinaten

    entspricht.

  2. 2. wurde in 1 mitbewiesen.
  3. 3 folgt aus 2 und Fakt.
  4. Es genügt die entsprechende Aussage für jedes zu zeigen. Aus folgt generell, dass der Bildpunkt zu gehört, und wegen ist und somit .