Kurs:Analysis/Teil I/50/Klausur mit Lösungen/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	2	4	3	4	3	1	5	3	7	8	4	3	4	2	3	2	64

Aufgabe (3 Punkte)

Lösung

1. Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen

   $I_{n}=[a_{n},b_{n}],\,n\in \mathbb {N} ,$

   in ${}K$ heißt eine Intervallschachtelung, wenn ${}I_{n+1}\subseteq I_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also

   ${\left(b_{n}-a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },$

   gegen ${}0$ konvergiert.

2. Die Folge heißt bestimmt divergent gegen ${}+\infty$, wenn es zu jedem ${}s\in K$ ein ${}N\in \mathbb {N}$ gibt mit

   $x_{n}\geq s{\text{ für alle }}n\geq N.$

3. Zu einer komplexen Zahl ${}z=a+b{\mathrm {i} }$ nennt man ${}a$ den Realteil von ${}z$.
4. Man sagt, dass ${}f$ in ${}x\in M$ das Maximum annimmt, wenn

   $f(x)\geq f(x'){\text{ für alle }}x'\in M{\text{ gilt}}.$

5. Die Abbildung

   ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \exp z:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}},$

   heißt (komplexe) Exponentialfunktion.

6. Eine Funktion ${}F\colon {]a,b[}\rightarrow \mathbb {R}$ heißt Stammfunktion zu ${}f$, wenn ${}F$ auf ${}]a,b[$ differenzierbar ist und ${}F'(x)=f(x)$ für alle ${}x\in {]a,b[}$ gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Lösung

1. Es seien ${}P,T\in K[X]$ zwei Polynome mit ${}T\neq 0$. Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome ${}Q,R\in K[X]$ mit

   $P=TQ+R{\text{ und mit }}\operatorname {grad} \,(R)<\operatorname {grad} \,(T){\text{ oder }}R=0.$

2. Die Potenzreihe ${}f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$ sei für eine komplexe Zahl ${}z=b$, ${}b\neq a$, konvergent. Dann ist für jeden reellen Radius ${}r$ mit ${}0<r<\vert {b-a}\vert$ die Potenzreihe ${}f(z)$ auf der abgeschlossenen Kreisscheibe ${}B\left(a,r\right)$ punktweise absolut und gleichmäßig konvergent.
3. Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   eine stetige Funktion. Es sei

   $g\colon [a,b]\longrightarrow I$

   stetig differenzierbar. Dann gilt

   ${}\int _{a}^{b}f(g(t))g'(t)\,dt=\int _{g(a)}^{g(b)}f(s)\,ds\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Bei der Onlinepartnervermittlung „e-Tarzan meets e-Jane“ verliebt sich alle elf Minuten ein Single. Wie lange (in gerundeten Jahren) dauert es, bis sich alle erwachsenen Menschen in Deutschland (ca. ${}65000000$) verliebt haben, wenn ihnen allein dieser Weg zur Verfügung steht.

Lösung

Es benötigt

${}65000000\cdot 11=715000000\,$

Minuten. Ein Jahr besteht aus

${}365\cdot 24\cdot 60=525600\,$

Minuten. Der benötigte Zeitraum ist somit

${}{\frac {715000000}{525600}}={\frac {7150000}{5256}}\cong 1360,35\,$

Jahre.

Aufgabe (4 (1+1+1+1) Punkte)

1. Es sei ${}H$ die Menge aller (lebenden oder verstorbenen) Menschen. Untersuche die Abbildung

   $\varphi \colon H\longrightarrow H,$

   die jedem Menschen seine Mutter zuordnet, auf Injektivität und Surjektivität.

2. Welche Bedeutung hat die Hintereinanderschaltung ${}\varphi ^{3}$?
3. Wie sieht es aus, wenn man die gleiche Abbildungsvorschrift nimmt, sie aber auf die Menge ${}E$ aller Einzelkinder und auf die Menge ${}M$ aller Mütter einschränkt?
4. Seien Sie spitzfindig (evolutionsbiologisch oder religiös) und argumentieren Sie, dass die Abbildung in (1) nicht wohldefiniert ist.

Lösung

1. Die Abbildung ist nicht injektiv, da Geschwister die gleiche Mutter haben, und nicht surjektiv, da nicht jeder Mensch ein Mutter ist.
2. Die Abbildung ${}\varphi ^{3}$ ordnet jedem Menschen seine Urgroßmutter in der mütterlichen Stammlinie zu.
3. Die Abbildung ist jetzt injektiv, da verschiedene Einzelkinder verschiedene Mütter haben. Sie ist nicht surjektiv, da es Mütter gibt, die mehr als ein Kind haben.
4. Evolutionsbiologisch: Da sich die Menschheit evolutionär aus nichtmenschlichen Vorfahren entwickelt hat, muss es in der Folge ${}\varphi ^{n}(x)$, ${}n\in \mathbb {N}$, einen Übergang von Mensch zu Nichtmensch geben, also ein ${}n\in \mathbb {N}$ derart, dass ${}\varphi ^{n}(x)$ schon ein Mensch ist, aber ${}\varphi ^{n+1}(x)$ noch nicht. Für ${}\varphi ^{n}(x)$ ist dann die Abbildung nicht definiert. Relgiös: Adam und Eva haben keine Mutter, obwohl sie Menschen sind.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und seien ${}a>b>0$ Elemente aus ${}K$. Zeige

${}{\frac {1}{a-b}}+{\frac {1}{a+b}}\geq {\frac {2}{a}}\,.$

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}{\frac {1}{a-b}}+{\frac {1}{a+b}}&={\frac {a+b}{(a-b)(a+b)}}+{\frac {a-b}{(a-b)(a+b)}}\\&={\frac {2a}{(a-b)(a+b)}}\\&={\frac {2a}{a^{2}-b^{2}}}\\&\geq {\frac {2a}{a^{2}}}\\&={\frac {2}{a}},\end{aligned}}$

wobei wir im vorletzten Schritt verwendet haben, dass Quadrate positiv und daher ${}a^{2}-b^{2}\leq a^{2}$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}I_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Intervallschachtelung in ${}\mathbb {R}$. Zeige, dass der Durchschnitt

$\bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$

aus genau einem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$ besteht.

Lösung

Es sei ${}x_{n}\in I_{n}=[a_{n},b_{n}]$ beliebig gewählt. Wir behaupten, dass dies eine Cauchy-Folge ist. Zu gegebenem ${}\epsilon >0$ sei ${}n_{0}$ derart, dass

${}b_{n_{0}}-a_{n_{0}}\leq \epsilon \,.$

Für ${}m\geq n\geq n_{0}$ ist dann

${}\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \leq b_{n}-a_{n}\leq \epsilon \,,$

da ja ${}x_{m},x_{n}\in I_{n}$ ist. Es sei ${}x$ der Limes dieser Cauchy-Folge. Wäre ${}x\notin I_{m}$ für ein ${}m$, so wäre

${}x<a_{m}\,$

(oder $x>b_{m}$), doch wegen der Konvergenz der Folge gegen ${}x$ würden dann auch die Folgenglieder für ${}n$ hinreichend groß echt unterhalb von ${}a_{m}$ und damit von ${}a_{n}$ liegen, im Widerspruch zu ${}x_{n}\in I_{n}$. Also ist ${}x\in \bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$. Würden zwei Zahlen ${}x<y$ zum Durchschnitt aller Intervalle gehören, so wäre

${}y-x\leq b_{n}-a_{n}\,$

für alle ${}n$ im Widerspruch dazu, dass die Intervalllängen gegen ${}0$ konvergieren.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

${}x^{2}+px+q=0\,$

eine quadratische Gleichung über einem Körper ${}K$, und es sei ${}r\neq 0$ eine Lösung davon. Zeige, dass auch ${}{\frac {q}{r}}$ eine Lösung der Gleichung ist.

Lösung

Wir behaupten, dass das Polynom ${}X^{2}+pX+q$ die Faktorzerlegung

${}X^{2}+pX+q=(X-r){\left(X-{\frac {q}{r}}\right)}\,$

besitzt. Wenn man die rechte Seite ausmultipliziert, so stimmt der konstante Koeffizient und der Leitkoeffizient mit den Koeffizienten der linken Seite überein. Der lineare Koeffizient ist

${}-r-{\frac {q}{r}}={\frac {-r^{2}-q}{r}}={\frac {-{\left(-pr-q\right)}-q}{r}}={\frac {pr+q-q}{r}}=p\,,$

sodass hier auch Überstimmung vorliegt. Wenn man nun rechts ${}{\frac {q}{r}}$ einsetzt, kommt offenbar ${}0$ raus, es liegt also eine Lösung vor.

Aufgabe (1 Punkt)

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit Mittelpunkt ${}(-5,5)$, der durch den Punkt ${}(-4,-1)$ läuft.

Lösung

Der Abstand der beiden Punkte ist

${}r={\sqrt {1^{2}+6^{2}}}={\sqrt {37}}\,.$

Die Kreisgleichung ist somit

$(X+5)^{2}+(Y-5)^{2}=37.$

Aufgabe (5 Punkte)

Es seien ${}a,b,x,y$ positive reelle Zahlen und es gelte

${}a^{x}<b^{y}\,.$

Zeige, dass es positive rationale Zahlen ${}c,z$ mit

${}a^{x}<c^{z}<b^{y}\,$

gibt.

Lösung

Es sei ${}x_{n}$ eine rationale echt fallende Folge (bei ${}a\geq 1$; bei ${}a<1$ wählen wir eine rationale echt wachsende positive Folge), die gegen ${}x$ konvergiert. Wegen der Stetigkeit der Exponentialfunktion zur Basis ${}a$ konvergiert auch ${}a^{x_{n}}$ gegen ${}a^{x}$. In jedem Fall ist dies eine (bei ${}a\neq 1$) echt fallende Folge. Wegen der Konvergenz gibt es ein rationales ${}z=x_{n}$ mit

${}a^{x}\leq a^{z}<b^{y}\,.$

Die Funktion

$\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,a\longmapsto a^{z},$

ist als Hintereinanderschaltung einer Potenz und einer Wurzel nach [[Polynomfunktion/R/Stetig/Fakt|Kurs:Analysis/Polynomfunktion/K/Stetig/Fakt/Faktreferenznummer (Analysis (Osnabrück 2021-2023))]] und Satz 13.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ebenfalls stetig. Somit gilt für eine rationale Folge ${}a_{n}$, die gegen ${}a$ konvergiert, dass auch ${}a_{n}^{z}$ gegen ${}a^{z}$ konvergiert. Wir wählen die Folge ${}a_{n}$ echt fallend, sodass auch ${}a_{n}^{z}$ echt fallend ist. Für ${}n$ hinreichend groß ist dann

${}a^{x}\leq a^{z}<a_{n}^{z}<b^{y}\,,$

und wir können ${}c=a_{n}$ wählen.

Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

1. Finde eine quadratische Gleichung der Form

   ${}x^{2}+px+q=0\,$

   mit ${}p,q\in \mathbb {Z}$, für die ${}17$ die einzige Lösung ist.

2. Finde unendlich viele verschiedene quadratische Gleichungen der Form

   ${}x^{2}+px+q=0\,$

   mit ${}p,q\in \mathbb {Z}$, für die ${}17$ eine Lösung ist.

Lösung

Für jede ganze Zahl ${}k$ ist generell

${}(x-17)(x-k)=x^{2}-(k+17)x+17k\,.$

Dies führt zu einer quadratischen Gleichung mit ${}p=-(k+17)$ und ${}q=17k$. Wenn man darin ${}x$ gleich ${}17$ setzt, ergibt sich ${}0$ wegen dem ersten Faktor. Somit sind unendlich viele quadratische Gleichungen mit Koeffizienten aus ${}\mathbb {Z}$ gefunden, die ${}17$ als Lösung besitzen. Wenn man

${}k=17\,$

setzt, so erhält man die quadratische Gleichung

${}(x-17)(x-17)=x^{2}-34x+289=0\,.$

Für diese ist nur ${}17$ eine Lösung.

Aufgabe (7 (1+1+1+3+1) Punkte)

Wir betrachten für ${}n\in \mathbb {N}$ die Funktionenfolge ${}f_{n}$ auf ${}\mathbb {R} _{\geq 0}$ mit

${}f_{n}(x):={\frac {\left\lfloor 10^{n}x\right\rfloor }{10^{n}}}\,.$

1. Berechne die Funktionswerte ${}f_{n}(x)$ für

   ${}x=11,793105\,$

   und für ${}n=0,1,2$.

2. Skizziere die Funktionen ${}f_{1}$ und ${}f_{2}$ auf dem Intervall ${}[0,1]$.
3. Begründe, dass die ${}f_{n}$ nicht stetig sind.
4. Zeige, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert. Was ist die Grenzfunktion?
5. Zeige, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert.

Lösung

1. Es ist ${}f_{0}(x)=11$, ${}f_{1}(x)=11,7$, ${}f_{2}(x)=11,79$.
2. ${}\,$
3. Da ${}\left\lfloor nx\right\rfloor$ ganzzahlig ist, bestht das Bild stets nur aus rationalen Zahlen und daher können die Funktionen nicht stetig sein (Zwischenwertsatz).
4. Es gelten die Abschätzungen

   ${}u-1\leq \left\lfloor u\right\rfloor \leq u\,.$

   Daher gilt

   ${}x-{\frac {1}{n}}={\frac {nx-1}{n}}\leq {\frac {\left\lfloor nx\right\rfloor }{n}}\leq {\frac {nx}{n}}=x\,.$

   Für jedes ${}x$ zeigt nun das Quetschkriterium, dass

   ${}f_{n}(x)={\frac {\left\lfloor nx\right\rfloor }{n}}\,$

   gegen ${}x$ konvergiert. Die Grenzfunktion ist also die Identität.

5. Die Abschätzung aus Teil (4) zeigt direkt, dass auch gleichmäßige Konvergenz vorliegt.

Aufgabe (8 Punkte)

Beweise den Satz über das angenommene Maximum einer Funktion

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} .$

Lösung

Nach dem Zwischenwertsatz wissen wir, dass das Bild ${}J:=f([a,b])$ ein Intervall ist.

Wir zeigen zunächst, dass ${}J$ (nach oben und nach unten) beschränkt ist. Wir nehmen dazu an, dass ${}J$ nicht nach oben beschränkt ist. Dann gibt es eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}I$ mit ${}f(x_{n})\geq n$. Nach Satz 7.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) besitzt ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Teilfolge. Da ${}[a,b]$ abgeschlossen ist, gehört der Grenzwert der Teilfolge zu ${}[a,b]$. Wegen der Stetigkeit muss dann auch die Bildfolge konvergieren. Die Bildfolge ist aber unbeschränkt, sodass sie nach Satz . (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) nicht konvergieren kann, und sich ein Widerspruch ergibt.

Es sei nun ${}y$ das Supremum von ${}J$. Es gibt eine Folge ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}J$, die gegen das Supremum konvergiert. Nach Definition von ${}J$ gibt es eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ mit ${}f(x_{n})=y_{n}$. Für diese Folge gibt es wieder nach Satz 7.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) eine konvergente Teilfolge. Es sei ${}x$ der Grenzwert dieser Teilfolge. Somit ist aufgrund der Stetigkeit ${}f(x)=y$ und daher ${}y\in J$.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Sinusfunktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \sin z,$

nur reelle Nullstellen besitzt.

Lösung

Nach Satz 15.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ist

${}\sin z={\frac {\exp \left({\mathrm {i} }z\right)-\exp \left(-{\mathrm {i} }z\right)}{2{\mathrm {i} }}}\,.$

Die Bedingung ${}\sin z=0$ führt also auf

${}\exp \left({\mathrm {i} }z\right)=\exp \left(-{\mathrm {i} }z\right)\,.$

Nach Satz 15.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) sind diese beiden Zahlen invers zueinander, es muss also

${}u=u^{-1}\,$

sein, was auf ${}u=\pm 1$ führt. Es ist also

${}\exp {\mathrm {i} }z=\pm 1\,$

zu untersuchen. Mit

${}z=a+b{\mathrm {i} }\,$

führt dies mit Satz 15.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))  (1) auf die Bedingung

${}\exp \left({\mathrm {i} }(a+b{\mathrm {i} })\right)=\exp(a{\mathrm {i} }-b)=\exp \left(-b\right){\left(\cos \left(a\right)+{\mathrm {i} }\sin a\right)}=\pm 1\,.$

Dies erfordert einerseits ${}\sin a=0$ und andererseits

${}\exp \left(-b\right)=1\,,$

also nach Korollar 15.8 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ${}b=0$. Also muss

${}z=a\,$

reell sein.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion

${}f(x)={\frac {\ln \left(x^{2}+3\right)-x{\sqrt {x^{2}+2}}}{1+\sin ^{2}x}}\,.$

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}f'(x)&={\frac {{\left(\ln \left(x^{2}+3\right)-x{\sqrt {x^{2}+2}}\right)}'{\left(1+\sin ^{2}x\right)}-{\left(\ln \left(x^{2}+3\right)-x{\sqrt {x^{2}+2}}\right)}{\left(1+\sin ^{2}x\right)}'}{{\left(1+\sin ^{2}x\right)}^{2}}}\\&={\frac {{\left({\frac {2x}{x^{2}+3}}-{\sqrt {x^{2}+2}}-x{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+2}}}\right)}{\left(1+\sin ^{2}x\right)}-{\left(\ln \left(x^{2}+3\right)-x{\sqrt {x^{2}+2}}\right)}{\left(2\sin x\cos x\right)}}{{\left(1+\sin ^{2}x\right)}^{2}}}\\&={\frac {{\left({\frac {2x}{x^{2}+3}}-{\frac {2x^{2}+2}{\sqrt {x^{2}+2}}}\right)}{\left(1+\sin ^{2}x\right)}-{\left(\ln \left(x^{2}+3\right)-x{\sqrt {x^{2}+2}}\right)}{\left(2\sin x\cos x\right)}}{{\left(1+\sin ^{2}x\right)}^{2}}}\end{aligned}}$

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz von Rolle.

Lösung

Wenn ${}f$ konstant ist, so ist die Aussage richtig. Es sei also ${}f$ nicht konstant. Dann gibt es ein ${}x\in {]a,b[}$ mit ${}f(x)\neq f(a)=f(b)$. Sagen wir, dass ${}f(x)$ größer als dieser Wert ist. Aufgrund von Satz 13.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) gibt es ein ${}c\in [a,b]$, wo die Funktion ihr Maximum annimmt, und dieser Punkt kann kein Randpunkt sein. Für dieses ${}c$ ist dann ${}f'(c)=0$ nach Satz 19.1 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die zwischen der ${}x$-Achse und dem Graphen des Kosinus hyperbolicus oberhalb des Intervalls ${}[0,5]$ eingeschlossen wird.

Lösung

Eine Stammfunktion des Kosinus hyperbolicus

${}\cosh x={\frac {1}{2}}{\left(e^{x}+e^{-x}\right)}\,$

ist

${}\sinh x={\frac {1}{2}}{\left(e^{x}-e^{-x}\right)}\,.$

Somit ist der Flächeninhalt gleich

${}\int _{0}^{5}\cosh x\,dx=\left(\sinh x\right)|_{0}^{5}=\sinh 5={\frac {1}{2}}{\left(e^{5}-e^{-5}\right)}\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige mit Hilfe der harmonischen Reihe, dass es für das bestimmte Integral ${}\int _{1}^{m}{\frac {1}{x}}\,dx$ keine von ${}m$ unabhängige obere Schranke gibt.

Lösung

Für ${}x\in \mathbb {R} _{\geq 1}$ mit ${}n-1\leq x\leq n$ ist ${}{\frac {1}{x}}\geq {\frac {1}{n}}$. Deshalb ist auf ${}[1,m]$ (mit ${}m\in \mathbb {N}$) diejenige Funktion, die auf dem ganzzahligen Intervall ${}[n-1,n[$ den Wert ${}{\frac {1}{n}}$ besitzt, eine untere Treppenfunktion zu ${}1/x$. Das zugehörige Treppenintegral hat den Wert

${}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{m}}=\sum _{k=2}^{m}{\frac {1}{k}}\,$

und damit ist diese Summe ein unteres Treppenintegral von ${}1/x$ auf ${}[1,m]$. Jede obere Schranke zu ${}1/x$ liegt oberhalb dieses Treppenintegrals. Da die harmonische Reihe divergiert, gibt es keine gemeinsame Schranke unabhängig von ${}m$.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass eine gewöhnliche Differentialgleichung der Form

${}y'=f(t)y+g(t)y^{\alpha }\,$

mit ${}\alpha \in \mathbb {R}$, ${}\alpha \neq 1$ (mit Funktionen ${}f,g\colon I\rightarrow \mathbb {R}$) durch den Ansatz

${}z=y^{1-\alpha }\,$

auf eine inhomogene lineare Differentialgleichung für ${}z$ transformiert werden kann.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}z'&={\left(y^{1-\alpha }\right)}'\\&=(1-\alpha )y^{-\alpha }\cdot y'\\&=(1-\alpha )y^{-\alpha }{\left(f(t)y+g(t)y^{\alpha }\right)}\\&=(1-\alpha )f(t)y^{1-\alpha }+(1-\alpha )g(t)\\&=(1-\alpha )f(t)z+(1-\alpha )g(t).\end{aligned}}$