Lösung
- Man sagt, dass
stetig im Punkt
ist, wenn es zu jedem
ein
derart gibt, dass für alle
mit
die Abschätzung
gilt.
- Die Funktion
heißt gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem
ein
gibt mit folgender Eigenschaft: Für alle
mit
ist
.
- Zu zwei
Reihen
und
komplexer Zahlen
heißt die Reihe
-
das Cauchy-Produkt der beiden Reihen.
- Die Exponentialreihe in
ist die
Reihe
-
- Man nennt
-

die Supremumsnorm von
.
- Der natürliche Logarithmus
-
ist als die
Umkehrfunktion
der
reellen Exponentialfunktion
definiert.
- Die Ableitungsfunktion ist die Abbildung
-
die jedem Punkt
die Ableitung von
an der Stelle
zuordnet.
- Es sei
die
eindeutig bestimmte
reelle
Nullstelle
der
Kosinusfunktion
auf dem
Intervall
. Die Kreiszahl
ist definiert durch
-

Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper
.
- Der Zwischenwertsatz.
- Die Kettenregel für differenzierbare Abbildungen.
- Der
Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
Lösung
- Ein von
verschiedenes Polynom
vom Grad
besitzt maximal
Nullstellen.
- Es seien
reelle Zahlen und sei
eine stetige Funktion. Es sei
eine reelle Zahl zwischen
und
.
Dann gibt es ein
mit
.
- Seien
und
offene Mengen
in
und seien
-
und
-
Funktionen mit
. Es sei
in
differenzierbar
und
sei in
differenzierbar. Dann ist auch die
Hintereinanderschaltung
-
in
differenzierbar mit der
Ableitung
-
- Es sei
und sei
-
eine stetige, auf
differenzierbare Funktion. Dann gibt es ein
mit
-

Es seien
-
Funktionen.
a) Zeige die Gleichheit
-

b) Zeige durch ein Beispiel, dass die Gleichheit
-

nicht gelten muss.
Lösung
Zeige, dass die Funktion
-
mit
-

nur im Nullpunkt stetig ist.
Lösung
Es sei zunächst
und
vorgegeben. Dann kann man
setzen, denn aus
folgt wegen
oder
auch
.
Es sei nun
Wir zeigen, dass man für
kein
mit der Abschätzungseigenschaft für die Stetigkeit finden kann. Es sei hierzu
vorgegeben und sei
.
Wenn
rational ist, so wählen wir eine irrationale Zahl
,
wenn
irrational ist, so wählen wir eine rationale Zahl
Im ersten Fall gilt
-

im zweiten Fall gilt
-

sodass in beiden Fällen die
-Umgebung von
nicht in die
-Umgebung von
abgebildet wird.
Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer vierten Potenz, vermindert um das Doppelte ihrer dritten Potenz, gleich dem Negativen der Quadratwurzel von
ist?
Lösung
Lösung
Wir betrachten
-

Diese Funktion ist nach
[[Reelle Funktion/Stetigkeit/Addition, Multiplikation, Invertierung von Funktionen/Fakt|Kurs:Analysis/Stetigkeit/K/Addition, Multiplikation, Invertierung von Funktionen/Faktreferenznummer (Analysis (Osnabrück 2021-2023))]]
wieder stetig und es ist
-

und
-

Nach
dem Zwischenwertsatz
gibt es ein
mit
-

also ist
-

Beweise den Satz über das angenommene Maximum einer Funktion
-
Lösung
Nach dem Zwischenwertsatz
wissen wir, dass das Bild
ein Intervall ist.
Wir zeigen zunächst, dass
(nach oben und nach unten)
beschränkt ist. Wir nehmen dazu an, dass
nicht nach oben beschränkt ist. Dann gibt es eine Folge
in
mit
.
Nach Satz 7.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
besitzt
eine konvergente Teilfolge. Da
abgeschlossen ist, gehört der Grenzwert der Teilfolge zu
. Wegen der Stetigkeit muss dann auch die Bildfolge konvergieren. Die Bildfolge ist aber unbeschränkt, sodass sie
nach Satz . (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
nicht konvergieren kann, und sich ein Widerspruch ergibt.
Es sei nun
das Supremum von
. Es gibt eine Folge
in
, die gegen das Supremum konvergiert. Nach Definition von
gibt es eine Folge
mit
. Für diese Folge gibt es
wieder nach Satz 7.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
eine konvergente Teilfolge. Es sei
der Grenzwert dieser Teilfolge. Somit ist aufgrund der Stetigkeit
und daher
.
Berechne das Cauchy-Produkt bis zur vierten Potenz der geometrischen Reihe mit der Exponentialreihe.
Lösung
Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen unter Verwendung der Regel
-

mit Hilfe von
-

Lösung
Es ist

Bestimme die
Ableitung der Funktion
-
Lösung
Wir verwenden die Darstellung
.
Aufgrund der Quotientenregel und der Kettenregel ist

Es sei
und
.
a) Bestimme die
Ableitung
von
und von
.
b) Berechne die
Hintereinanderschaltung
.
c) Bestimme die Ableitung von
mit Hilfe von Teil b).
d) Bestimme die Ableitung von
mittels der
Kettenregel.
Lösung
a) Nach der Quotientenregel ist
-

und
-

b) Es ist

c) Die Ableitung von
-

ist

d) Es ist

Lösung
Zum Induktionsanfang betrachten wir
, es geht also um die Funktion selbst. Wegen
-

ist die Formel für
gerade richtig.
Wir beweisen nun nun die Formel für
unter der Induktionsvoraussetzung, dass sie für alle kleinere Zahlen richtig ist. Es sei zunächst
ungerade, also
gerade. Dann ist
(unter Verwendung der Tatsache, dass die zweiten Ableitungen von
und
gleich
sind)

sodass der Ausdruck für
ungerade vorliegt.
Bei
gerade, also
ungerade, ist

sodass der Ausdruck für
gerade vorliegt.
Zeige, dass die Funktion
streng wachsend ist.
Lösung
Lösung
Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist
, das ist auf dem Definitionsbereich
des Logarithmus eine fallende Funktion, also ist nach
Satz 20.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
der Logarithmus
konkav.
Lösung
Die erste Ableitung ist
-
Die zweite Ableitung
ist
-
Die dritte Ableitung ist
-
Die vierte Ableitung ist
-
Das Taylor-Polynom vom Grad
ist demnach
-
bzw.
-
Bestimme die lokalen und globalen Extrema der Funktion
-
Lösung