Lösung
- Man sagt, dass stetig im Punkt ist, wenn es zu jedem ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung gilt.
- Die Funktion heißt gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem ein gibt mit folgender Eigenschaft: Für alle mit ist .
- Zu zwei
Reihen
und
komplexer Zahlen
heißt die Reihe
-
das Cauchy-Produkt der beiden Reihen.
- Die Exponentialreihe in ist die
Reihe
-
- Man nennt
-
die Supremumsnorm von .
- Der natürliche Logarithmus
-
ist als die
Umkehrfunktion
der
reellen Exponentialfunktion
definiert.
- Die Ableitungsfunktion ist die Abbildung
-
die jedem Punkt die Ableitung von an der Stelle zuordnet.
- Es sei die
eindeutig bestimmte
reelle
Nullstelle
der
Kosinusfunktion
auf dem
Intervall
. Die Kreiszahl ist definiert durch
-
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper .
- Der Zwischenwertsatz.
- Die Kettenregel für differenzierbare Abbildungen.
- Der
Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
Lösung
- Ein von verschiedenes Polynom
vom Grad besitzt maximal Nullstellen.
- Es seien reelle Zahlen und sei
eine stetige Funktion. Es sei eine reelle Zahl zwischen
und .
Dann gibt es ein mit .
- Seien
und
offene Mengen
in und seien
-
und
-
Funktionen mit . Es sei in
differenzierbar
und sei in differenzierbar. Dann ist auch die
Hintereinanderschaltung
-
in differenzierbar mit der
Ableitung
-
- Es sei und sei
-
eine stetige, auf differenzierbare Funktion. Dann gibt es ein mit
-
Es seien
-
Funktionen.
a) Zeige die Gleichheit
-
b) Zeige durch ein Beispiel, dass die Gleichheit
-
nicht gelten muss.
Lösung
Zeige, dass die Funktion
-
mit
-
nur im Nullpunkt stetig ist.
Lösung
Es sei zunächst
und
vorgegeben. Dann kann man
setzen, denn aus
folgt wegen
oder
auch
.
Es sei nun
Wir zeigen, dass man für
kein
mit der Abschätzungseigenschaft für die Stetigkeit finden kann. Es sei hierzu
vorgegeben und sei
.
Wenn rational ist, so wählen wir eine irrationale Zahl
,
wenn irrational ist, so wählen wir eine rationale Zahl
Im ersten Fall gilt
-
im zweiten Fall gilt
-
sodass in beiden Fällen die -Umgebung von nicht in die -Umgebung von abgebildet wird.
Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer vierten Potenz, vermindert um das Doppelte ihrer dritten Potenz, gleich dem Negativen der Quadratwurzel von ist?
Lösung
Lösung
Wir betrachten
-
Diese Funktion ist nach
[[Reelle Funktion/Stetigkeit/Addition, Multiplikation, Invertierung von Funktionen/Fakt|Kurs:Analysis/Stetigkeit/K/Addition, Multiplikation, Invertierung von Funktionen/Faktreferenznummer (Analysis (Osnabrück 2021-2023))]]
wieder stetig und es ist
-
und
-
Nach
dem Zwischenwertsatz
gibt es ein mit
-
also ist
-
Beweise den Satz über das angenommene Maximum einer Funktion
-
Lösung
Nach dem Zwischenwertsatz
wissen wir, dass das Bild ein Intervall ist.
Wir zeigen zunächst, dass
(nach oben und nach unten)
beschränkt ist. Wir nehmen dazu an, dass nicht nach oben beschränkt ist. Dann gibt es eine Folge in mit .
Nach Satz 7.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
besitzt eine konvergente Teilfolge. Da abgeschlossen ist, gehört der Grenzwert der Teilfolge zu . Wegen der Stetigkeit muss dann auch die Bildfolge konvergieren. Die Bildfolge ist aber unbeschränkt, sodass sie
nach Satz . (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
nicht konvergieren kann, und sich ein Widerspruch ergibt.
Es sei nun das Supremum von . Es gibt eine Folge in , die gegen das Supremum konvergiert. Nach Definition von gibt es eine Folge mit . Für diese Folge gibt es
wieder nach Satz 7.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
eine konvergente Teilfolge. Es sei der Grenzwert dieser Teilfolge. Somit ist aufgrund der Stetigkeit und daher .
Berechne das Cauchy-Produkt bis zur vierten Potenz der geometrischen Reihe mit der Exponentialreihe.
Lösung
Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen unter Verwendung der Regel
-
mit Hilfe von
-
Lösung
Es ist
Bestimme die
Ableitung der Funktion
-
Lösung
Wir verwenden die Darstellung .
Aufgrund der Quotientenregel und der Kettenregel ist
Es sei
und
.
a) Bestimme die
Ableitung
von
und von .
b) Berechne die
Hintereinanderschaltung
.
c) Bestimme die Ableitung von mit Hilfe von Teil b).
d) Bestimme die Ableitung von mittels der
Kettenregel.
Lösung
a) Nach der Quotientenregel ist
-
und
-
b) Es ist
c) Die Ableitung von
-
ist
d) Es ist
Lösung
Zum Induktionsanfang betrachten wir , es geht also um die Funktion selbst. Wegen
-
ist die Formel für gerade richtig.
Wir beweisen nun nun die Formel für unter der Induktionsvoraussetzung, dass sie für alle kleinere Zahlen richtig ist. Es sei zunächst ungerade, also gerade. Dann ist
(unter Verwendung der Tatsache, dass die zweiten Ableitungen von und gleich sind)
sodass der Ausdruck für ungerade vorliegt.
Bei gerade, also ungerade, ist
sodass der Ausdruck für gerade vorliegt.
Zeige, dass die Funktion
streng wachsend ist.
Lösung
Lösung
Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist , das ist auf dem Definitionsbereich des Logarithmus eine fallende Funktion, also ist nach
Satz 20.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
der Logarithmus
konkav.
Lösung
Die erste Ableitung ist
-
Die zweite Ableitung
ist
-
Die dritte Ableitung ist
-
Die vierte Ableitung ist
-
Das Taylor-Polynom vom Grad ist demnach
-
bzw.
-
Bestimme die lokalen und globalen Extrema der Funktion
-
Lösung