Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Vorlesung 20

Konvexe Funktionen

Eine konvexe Teilmenge.

Eine nichtkonvexe Teilmenge.

Definition

Eine Teilmenge  $T\subseteq {ℝ}^n$  heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten  $P,Q\in T$  auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke, also jeder Punkt der Form

$rP+(1-r)Q\text{ mit }r\in [0,1],$

zu $T$ gehört.

Definition

Es sei  $T\subseteq ℝ$  eine Teilmenge und

$f:T⟶ℝ$

eine Funktion. Dann nennt man die Menge

$S(f)=\{(x,y)\in T\times ℝ\mid y\le f(x)\}$

den Subgraphen und

$E(f)=\{(x,y)\in T\times ℝ\mid y\ge f(x)\}$

den Epigraphen der Funktion.

Subgraph und Epigraph sind nach unten bzw. nach oben unbeschränkt. Im Kontext der Integrationstheorie interessiert man sich für den positiven Subgraphen, der durch die $x$-Achse nach unten beschränkt ist. Der Graph der Funktion gehört sowohl zum Subgraphen als auch zum Epigraphen.

Der Graph und der Epigraph einer konvexen Funktion.

Definition

Es sei  $I\subseteq ℝ$  ein Intervall und

$f:I⟶ℝ$

eine Funktion. Man sagt, dass $f$ konvex ist, wenn der Epigraph $E(f)$ konvex ist.

Definition

Es sei  $I\subseteq ℝ$  ein Intervall und

$f:I⟶ℝ$

eine Funktion. Man sagt, dass $f$ konkav ist, wenn der Subgraph $S(f)$ konvex ist.

Bei beiden Begriffen muss man lediglich überprüfen, ob die Verbindungsstrecke zwischen je zwei Punkten des Graphen jeweils oberhalb bzw. unterhalb des Graphen verläuft, siehe Aufgabe 20.1. Die Verbindungsstrecke zwischen $(a,f(a))$ und $(b,f(b))$ ist durch $f(a)+s\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$, $s\in [0,b-a]$, bzw. als Ausschnitt (zu  $x\in [a,b]$ ) des Graphen zur linearen Funktion

$g(x)=f(b)\frac{x-a}{b-a}+f(a)\frac{x-b}{a-b}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}x+\frac{-af(b)+bf(a)}{b-a}$

gegeben. Im differenzierbaren Fall gibt es einfache Ableitungskriterien für diese Verhaltensweisen, wobei wir nur den konvexen Fall anführen.

Satz

Es sei  $I\subseteq ℝ$  ein Intervall und

$f:I⟶ℝ$

eine differenzierbare Funktion.

Dann ist $f$ genau dann eine konvexe (konkave) Funktion, wenn die Ableitung $f^{\prime }$ wachsend (fallend) ist.

Beweis

Es sei zunächst $f$ konvex und seien zwei Punkte  $a<b$  aus $I$ gegeben. Es sei $g:[a,b]\to ℝ$ die lineare Funktion, die $(a,f(a))$ und $(b,f(b))$ verbindet. Aufgrund der Konvexität ist  $f(x)\le g(x)$  für alle  $x\in [a,b]$.  Für die Differenzenquotienten gilt daher

$\begin{array}{cc}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}& \le \frac{g(x)-f(a)}{x-a}\\ & =\frac{g(x)-g(a)}{x-a}\\ & =\frac{g(b)-g(a)}{b-a}\\ & =\frac{g(b)-g(x)}{b-x}\\ & =\frac{f(b)-g(x)}{b-x}\\ & \le \frac{f(b)-f(x)}{b-x}.\end{array}$

Durch Übergang zu den Limiten für $x\to a$ bzw. $x\to b$ folgt

$f^{\prime }(a)\le \frac{g(b)-g(a)}{b-a}\le f^{\prime }(b).$

Es sei nun $f$ als nicht konvex vorausgesetzt und seien zwei Punkte  $a<b$  aus $I$ mit der Eigenschaft gegeben, dass die verbindende Gerade von $(a,f(a))$ und $(b,f(b))$ nicht vollständig oberhalb des Graphen von $f$ verläuft. Es gibt also ein  $c\in [a,b]$  mit  $g(c)<f(c)$,  wobei wieder $g$ die verbindende lineare Funktion ist. Durch Übergang zu $f-g$ können wir  $f(a)=f(b)=0$  und  $f(c)>0$  annehmen. Nach dem Mittelwertsatz gibt es Punkte  $s\in [a,c]$  und  $t\in [c,b]$  mit  $f^{\prime }(s)>0$  und  $f^{\prime }(t)<0$,  sodass $f^{\prime }$ nicht wachsend ist.

$◻$

Korollar

Es sei  $I\subseteq ℝ$  ein Intervall und

$f:I⟶ℝ$

eine zweimal differenzierbare Funktion.

Dann ist $f$ genau dann eine konvexe Funktion, wenn für die zweite Ableitung  $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$  für alle  $x\in I$  gilt.

Beweis

Siehe Aufgabe 20.8.

$◻$

Die folgende Aussage heißt Jensensche Ungleichung.

Satz

Es sei

$f:I⟶ℝ$

eine konvexe Funktion, seien  $x_1,\dots ,x_n\in I$  und  $t_1,\dots ,t_n\in {ℝ}_{\ge 0}$  mit  $\sum _{i=1}^n{t}_i=1$. 

Dann ist

$f\left(\sum _{i=1}^n{t}_i{x}_i\right)\le \sum _{i=1}^n{t}_{i}f(x_i).$

Beweis

Siehe Aufgabe 20.58.

$◻$

Der sogenannte K-Punkt einer Skisprungschanze ist der Wendepunkt des Landungshügels.

Definition

Es sei

$f:I⟶ℝ$

eine auf einem Intervall  $I\subseteq ℝ$  definierte Funktion und  $c\in I$  ein innerer Punkt von $I$. Man sagt, dass in $c$ ein Wendepunkt von $f$ vorliegt, wenn es ein  $ϵ>0$  derart gibt, dass $f$ auf $[c-ϵ,c]$ konvex (konkav) und auf $[c,c+ϵ]$ konkav (konvex) ist.

Für eine zweimal differenzierbare Funktion liegt nach Korollar 20.6 genau dann ein Wendepunkt in  $c\in I$  vor, wenn es ein  $ϵ>0$  gibt mit  $f^{\prime \prime }(x)\le 0$  für  $x\in [c-ϵ,c]$  und  $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$  für  $x\in [c,c+ϵ]$  ist (oder umgekehrt). Eine notwendige Voraussetzung für die Existenz eines Wendepunktes ist somit, dass  $f^{\prime \prime }(c)=0$  ist. Die Funktion  $f(x)=x^4$  erfüllt im Nullpunkt dieses notwendige Kriterium, es liegt aber kein Wendepunkt vor. Da eine lineare Funktion sowohl konvex als auch konkav ist, liegt in ihr überall ein Wendepunkt vor. Mit den Begriffen streng konvex, streng konkav und strenger Wendepunkt kann man lineare Funktionen ausschließen, siehe Aufgabe 20.12.

Ableitung von Potenzreihen

Satz

Es sei

$g=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(z-a{)}^n$

eine

konvergente Potenzreihe mit dem Konvergenzradius  $R>0$. 

Dann ist auch die formal abgeleitete Potenzreihe

$\tilde{g}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{a}_n(z-a{)}^{n-1}$

konvergent mit demselben Konvergenzradius. Die durch die Potenzreihe $g$ dargestellte Funktion $f$ ist in jedem Punkt  $z\in U(a,R)$  differenzierbar mit

$f^{\prime }(z)=\tilde{g}(z).$

Beweis

Es sei $s\in {ℝ}_{+}$, $s<R$, vorgegeben und sei $r$ mit $s<r<R$. Dann konvergiert $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}|a_n|r^n$ gemäß der Definition von Konvergenzradius. Wegen  $n\le {\left(\frac{r}{s}\right)}^n$  für $n$ hinreichend groß ist

$\begin{array}{cc}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n|a_n|s^{n-1}& =\sum _{n=1}^{N}n|a_n|s^{n-1}+\sum _{n=N+1}^{\mathrm{\infty }}n|a_n|s^{n-1}\\ & \le \sum _{n=1}^{N}n|a_n|s^{n-1}+\frac{1}{s}\sum _{n=N+1}^{\mathrm{\infty }}|a_n|r^n,\end{array}$

sodass die Potenzreihe $\tilde{g}$ in $B(a,s)$ und somit in $U(a,R)$ konvergiert (dafür, dass der Konvergenzradius von $\tilde{g}$ nicht größer als $R$ ist, siehe Aufgabe 20.26).
Die Potenzreihe

$\rho (z)=\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(z-a{)}^{n-1}$

ist ebenfalls in dieser Kreisscheibe konvergent, stellt eine nach Korollar 16.9 stetige Funktion dar und besitzt in $a$ den Wert $0$. Daher zeigt die Gleichung (von Potenzreihen und dargestellten Funktionen)

$f(z)=f(a)+a_1(z-a)+\rho (z)(z-a),$

dass $f$ in $a$ linear approximierbar, also nach Satz 18.5 differenzierbar ist mit der Ableitung

$f^{\prime }(a)=a_1=\tilde{g}(a).$

Es sei nun  $b\in U(a,R)$.  Nach dem Entwicklungssatz gibt es eine konvergente Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $b$,

$h(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n(z-b{)}^n,$

deren dargestellte Funktion mit der durch $g$ dargestellten Funktion in einer offenen Umgebung von $b$ übereinstimmt, und wobei  $b_1=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{a}_n(b-a{)}^{n-1}$  gilt. Daher gilt nach dem schon Bewiesenen (angewendet auf $h$ und die formale Potenzreihenableitung $\tilde{h}$)

$f^{\prime }(b)=\tilde{h}(b)=b_1=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{a}_n(b-a{)}^{n-1}=\tilde{g}(b).$

$◻$

Korollar

Eine durch eine Potenzreihe gegebene Funktion

ist in ihrem Konvergenzbereich unendlich oft differenzierbar.

Beweis

Dies ergibt sich direkt aus Satz 20.9.

$◻$

Satz

Die Exponentialfunktion

$ℂ⟶ℂ,z⟼\exp z,$

ist differenzierbar mit

$\exp {}^{\prime }(z)=\exp z.$

Beweis

Aufgrund von Satz 20.9 ist

$\begin{array}{cc}\exp {}^{\prime }(z)& =\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!}\right)\\ & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{z^n}{n!}\right)\\ & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n}{n!}{z}^{n-1}\\ & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(n-1)!}{z}^{n-1}\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!}\\ & =\exp z.\end{array}$

$◻$

Korollar

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus

$\ln :{ℝ}_{+}⟶ℝ,x⟼\ln x,$

ist

$\ln {}^{\prime }:{ℝ}_{+}⟶ℝ,x⟼\frac{1}{x}.$

Beweis

Siehe Aufgabe 20.29.

$◻$

Korollar

Es sei  $\alpha \in ℝ$. 

Dann ist die Funktion

$f:{ℝ}_{+}⟶{ℝ}_{+},x⟼x^{\alpha },$

differenzierbar und ihre Ableitung ist

$f^{\prime }(x)=\alpha x^{\alpha -1}.$

Beweis

Nach Aufgabe 17.1 ist

$x^{\alpha }=\exp (\alpha \ln x).$

Die Ableitung nach $x$ ist aufgrund von Satz 20.11, Korollar 20.12 und der Kettenregel gleich

$(x^{\alpha }{)}^{\prime }=(\exp (\alpha \ln x){)}^{\prime }=\frac{\alpha }{x}\cdot \exp (\alpha \ln x)=\frac{\alpha }{x}{x}^{\alpha }=\alpha x^{\alpha -1}.$

$◻$

Korollar

Für die eulersche Zahl gilt die Gleichheit

$e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}=\exp 1.$

Beweis

Die äußeren Gleichheiten sind Definitionen. Aufgrund von Korollar 20.12 ist  $\ln {}^{\prime }(1)=1$.  Dies bedeutet aufgrund der Definition des Differentialquotienten insbesondere

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\ln (1+\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}}=1.$

Wir schreiben die Folgenglieder der linken Seite als $n\cdot \ln (1+\frac{1}{n})$ und wenden darauf die Exponentialfunktion an. Daraus ergibt sich unter Verwendung der Stetigkeit und der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion die Gleichungskette

$\begin{array}{cc}\exp 1& =\exp \left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(n\cdot \ln (1+\frac{1}{n}))\right)\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\exp (n\cdot \ln (1+\frac{1}{n}))\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n\\ & =e.\end{array}$

$◻$

Satz

Die Sinusfunktion

$ℂ⟶ℂ,z⟼\sin z,$

ist differenzierbar mit

$\sin {}^{\prime }(z)=\cos z$

und die

Kosinusfunktion

$ℂ⟶ℂ,z⟼\cos z,$

ist differenzierbar mit

$\cos {}^{\prime }(z)=-\sin z.$

Beweis

Siehe Aufgabe 20.40.

$◻$

Korollar

Die Exponentialfunktion

$ℝ⟶ℝ,x⟼a^x,$

zur Basis  $a>0$ 

ist differenzierbar mit

$\left(a^x\right)=(\ln a)a^x.$

Beweis

Siehe Aufgabe 20.47.

$◻$

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