Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 47

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum von endlicher Dimension. Zeige, dass der Dualraum ${}{V}^{*}$ die gleiche Dimension wie ${}V$ besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum mit Basis ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$. Es sei

${}{V}^{*}:=\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,K\right)}\,$

der Dualraum zu ${}V$. Zeige, dass auf ${}{V}^{*}$ die Koordinatenfunktionen ${}v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}$, die durch

$v_{j}^{*}(v_{k})={\begin{cases}1,{\text{ falls }}j=k,\\0{\text{ sonst}},\end{cases}}$

definiert sind, eine Basis von ${}{V}^{*}$ bilden.

Aufgabe

Betrachte die Linearform

$L\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x+3y-4z.$

1. Bestimme den Vektor ${}u\in \mathbb {R} ^{3}$ mit der Eigenschaft

   $\left\langle u,v\right\rangle =L(v){\text{ für alle }}v\in \mathbb {R} ^{3},$

   wobei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ das Standardskalarprodukt bezeichnet.

2. Es sei

   $E={\left\{(x,y,z)\mid 3x-2y-5z=0\right\}}\subset \mathbb {R} ^{3}$

   und es sei ${}\varphi =L{|}_{E}$ die Einschränkung von ${}L$ auf ${}E$. Bestimme den Vektor ${}w\in E$ mit der Eigenschaft

   $\left\langle w,v\right\rangle =\varphi (v){\text{ für alle }}v\in E,$

   wobei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ die Einschränkung des Standardskalarprodukts auf ${}E$ bezeichnet.

Aufgabe

Zeige, dass ein Skalarprodukt eine nicht-ausgeartete Bilinearform ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum, der mit dem induzierten Skalarprodukt versehen sei. Es sei

$f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Linearform und ${}v\in V$ der zugehörige Gradient im Sinne von Lemma 47.5. Zeige, dass der Gradient ${}u\in U$ zur Einschränkung ${}f{|}_{U}$ die orthogonale Projektion von ${}v$ auf ${}U$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Zeige, dass eine von ${}0$ verschiedene lineare Abbildung

$f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$

keine lokalen Extrema besitzt. Gilt dies auch für unendlichdimensionale Vektorräume? Braucht man dazu Differentialrechnung?

Aufgabe

Berechne den Gradienten der Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x^{2}y-z^{3}xe^{xyz},$

in jedem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{3}$.

Kommentar:

Zur Wiederholung, der Gradient gehört nach Definition . zu einer differenzierbaren Funktion

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R} ,$

die von einer offenen Teilmenge eines euklidischen Vektorraums ${}G\subset V$ in die reellen Zahlen abbildet. Euklidisch ist wichtig, da wir dann ein Skalarprodukt haben und somit das total Differential ${}(Df)_{P}$ zu einem festen Punkt ${}P\in G$ (welches eine lineare Funktion von ${}V$ nach ${}\mathbb {R}$ ist, siehe die Definition .) mit Hilfe eines eindeutigen Vektors ${}w\in V$ und des Skalarproduktes darstellen lässt. Das heißt es gibt ein ${}w\in V$, sodass wir für alle ${}v\in V$

$(Df)_{P}(v)=\left\langle w,v\right\rangle$

haben. Der Vektor ${}w$ wird dann Gradient (zum gewählten Skalarprodukt) genannt.

In dieser Aufgabe ist nicht erwähnt, welches Skalarprodukt verwendet werden soll, deshalb gehen wir von dem Standardskalarprodukt aus. Das totale Differential von ${}f$ ist bezüglich der Standardbasis in ${}P\in \mathbb {R} ^{3}$ nach Satz . gegeben durch

${}(Df)_{P}=\left({\frac {\partial f}{\partial x}}(P),\,{\frac {\partial f}{\partial y}}(P),\,{\frac {\partial f}{\partial z}}(P)\right)\,.$

Die partiellen Ableitungen müssen noch berechnet werden, das bleibt Übung. Es ist ein Zeilenvektor, der (als Matrix mit einer Zeile aufgefasst) die lineare Abbildung des totalen Differentials in der Standardbasis repräsentiert. Das totale Differential wirkt demnach auf einen Vektor im ${}v\in \mathbb {R} ^{3}$, als Spaltenvektor aufgefasst, durch die übliche Zeile-mal-Spalte Matrix-Vektor-Multiplikation. Dies ist aber nichts anderes als das Standardskalarprodukt des totalen Differentials und des Vektors ${}v$. Deswegen ist in diesem Fall der Gradient schon der Zeilenvektor des totalen Differentials als Element im ${}\mathbb {R} ^{3}$ aufgefasst,

${}\operatorname {Grad} \,f(P)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}}(P)\\{\frac {\partial f}{\partial y}}(P)\\{\frac {\partial f}{\partial z}}(P)\end{pmatrix}}\,.$

 

Aufgabe

Berechne den Gradienten der Funktion

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto {\frac {xyz-z^{2}}{\ln(xy)+z^{2}}},$

in jedem Punkt ${}P\in G$ mit ${}G=\mathbb {R} _{>1}\times \mathbb {R} _{>1}\times \mathbb {R}$

Aufgabe

Es sei ${}(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum, ${}G\subseteq V$ eine offene Menge, ${}P\in G$ ein Punkt und

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine in ${}P$ differenzierbare Funktion. Zeige, dass ${}f$ und ${}\left(Df\right)_{P}$ im Punkt ${}P$ den gleichen Gradienten besitzen.

Aufgabe *

Wir betrachten Dreiecke mit den beiden fixierten Eckpunkten ${}(-1,0)$ und ${}(1,0)$ und dem variablen Eckpunkt ${}(x,y)$.

1. Erstelle eine Formel für den Flächeninhalt des Dreieckes mit den Eckpunkten ${}(-1,0),(1,0),(x,y)$.
2. Erstelle eine Formel für den Umfang des Dreieckes mit den Eckpunkten ${}(-1,0),(1,0),(x,y)$.
3. In welche Richtung muss man den dritten Punkt ${}(x,y)$ bewegen, damit der Flächeninhalt möglichst schnell wächst?
4. In welche Richtung muss man den dritten Punkt ${}(x,y)$ bewegen, damit der Umfang möglichst schnell wächst?

Aufgabe *

Wir betrachten ein Ballspiel, bei dem das Tor durch die Eckpfosten ${}(-1,0)$ und ${}(1,0)$ gegeben ist. Der Ball (bzw. der ballführende Spieler) befindet sich in der variablen Position ${}(x,y)$. Die Wahrscheinlichkeit, von einer bestimmten Position aus ein Tor zu erzielen, hänge direkt vom Winkel (Torschusswinkel) ab, der das Dreieck ${}(-1,0),(1,0),(x,y)$ im Punkt ${}(x,y)$ besitzt (man denke an die Situation, wo der Spieler allein vor dem leeren Tor steht und es allein auf die Zielgenauigkeit ankommt).

1. Erstelle eine Formel für den Torschusswinkel in Abhängigkeit von der Ballposition ${}(x,y)$.
2. Skizziere die Menge der Punkte, für die der Toreinschusswinkel gleich ${}90$ Grad ist.
3. In welche Richtung muss der Ball bewegt werden, damit der Torschusswinkel möglichst schnell wächst?

Aufgabe

Es sei ${}(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum, ${}G\subseteq V$ eine offene Menge, ${}P\in G$ ein Punkt und

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine in ${}P$ differenzierbare Funktion. Zeige, dass ein Vektor ${}v\in V$ genau dann zum Kern von ${}\left(Df\right)_{P}$ gehört, wenn er orthogonal zum Gradienten ${}\operatorname {Grad} \,f(P)$ ist.

Kommentar:

Auf den ersten Blick scheint dies vielleicht eine schwierige Beweisaufgabe zu sein. Aber wenn die Definitionen und Eigenschaften der beteiligten mathematischen Objekte klar sind, ist das ganze nur noch halb so wild.

Ein Vektor ${}v\in V$ soll zum Kern vom totalen Differntial ${}\left(Df\right)_{P}$ von ${}f$ im Punkt ${}P$ gehören. Das totale Differential ist eine lineare Abbildung von ${}V$ nach ${}\mathbb {R}$ und der Kern von ${}\left(Df\right)_{P}$ ist die Menge aller Elemente aus ${}V$ die durch ${}\left(Df\right)_{P}$ auf Null abgebildet werden.

${}\operatorname {Grad} \,f(P)$ ist der Gradient von ${}f$ im Punkt ${}P$ und hängt, wie wir gelernt haben, stark mit dem obigen totalen Differential zusammen. Er ist ein Vektor im Vektorraum ${}V$ und zwar genau der eindeutige Vektor, der es erlaubt, das totale Differential mit Hilfe des gewählten oder gegebenen Skalarproduktes auszudrücken. Das heißt es gilt

$\left(Df\right)_{P}(v)=\left\langle \operatorname {Grad} \,f(P),v\right\rangle$

für alle ${}v\in V$.

Mit Hilfe dieser Darstellung kann nun der Zusammenhang zwischen ${}v$ ist im Kern von ${}\left(Df\right)_{P}$ und der Orthogonalität zum Gradienten bezüglich des Skalarproduktes hergestellt werden.

 

Aufgabe

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{2}.$

Aufgabe *

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy^{2}-x.$

Aufgabe

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}y-y^{2}+x.$

Aufgabe

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und ${}L\times M$ ihre Produktmenge. Beschreibe die Faser der Projektion

$L\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto y,$

über einem Punkt ${}y\in M$. Kann die Faser leer sein?

Aufgabe

Seien ${}L_{1},\ldots ,L_{n}$ und ${}M_{1},\ldots ,M_{n}$ Mengen und seien

$\varphi _{i}\colon L_{i}\longrightarrow M_{i}$

Abbildungen. Zu einem Punkt ${}P_{i}\in M_{i}$ sei ${}F_{i}\subseteq L_{i}$ die Faser von ${}\varphi _{i}$ über ${}P_{i}$. Zeige, dass die Faser der Produktabbildung ${}\varphi =\varphi _{1}\times \cdots \times \varphi _{n}$ über ${}P=(P_{1},\ldots ,P_{n})$ gleich ${}F_{1}\times \cdots \times F_{n}$ ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne den Anstieg der Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}y-x+y^{3},$

im Punkt ${}P=(1,1)$ in Richtung des Winkels ${}\alpha \in [0,2\pi ]$. Für welchen Winkel ist der Anstieg maximal?

Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x+\sin \left(y\right)-xz.$

1. Bestimme den Gradienten ${}G$ von ${}f$ im Punkt ${}P=(0,0,0)\in \mathbb {R} ^{3}$ bezüglich des Standardskalarprodukts ${}\left\langle -,-\right\rangle$.
2. Es sei

   ${}E={\left\{(x,y,z)\mid 2x-y+3z=0\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,$

   und es sei ${}g=f{|}_{E}$ die Einschränkung von ${}f$ auf ${}E$. Bestimme den Gradienten ${}{\tilde {G}}$ von ${}g$ bezüglich der Einschränkung des Standardskalarprodukts auf ${}E$.

3. Zeige, dass ${}{\tilde {G}}$ die orthogonale Projektion von ${}G$ auf ${}E$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy^{3}-xy+\sin y.$

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die kritischen Punkte zur Funktion

${}f(x,y)=x^{4}+y^{4}+2x^{2}y^{2}-6y^{3}-6x^{2}y+8y^{2}\,$

aus Beispiel 46.9.