Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 46
- Übungsaufgaben
Es sei eine total differenzierbare Abbildung mit für alle . Zeige, dass konstant ist.
Kommentar:
Wir wollen beweisen, dass die Funktion auf konstant ist. Dafür reicht es für einen beliebigen Punkt eine kleine Umgebung zu betrachten und zu zeigen, dass der Funktionswert in mit dem eines beliebig Punktes übereinstimmt. lässt sich schreiben als für ein . Da überall total differenzierbar ist, mit , folgt mit Proposition 46.1, dass in Richtung differenzierbar ist mit Richtungsableitung . Insbesondere können wir das für alle Punkte auf der Verbindungslinie zwischen und machen. Betrachten wir nun nur auf diesem Verbindungsstück, erhalten wir die differenzierbare Kurve
deren Ableitung konstant Null ist. Die Komponenten der Kurve sind nun eindimensionale differenzierbare Funktionen mit Ableitung null, siehe Lemma 37.4. Hier lässt sich nun mit Hilfe des Mittelwertsatzes, Satz 19.3 die Gleichheit der Komponenten von an Anfangs und Endpunkt der Kurve zeigen.
a) Berechne das totale Differential der Abbildung
in jedem Punkt.
b) Was ist das totale Differential im Punkt ?
c) Berechne die Richtungsableitung in diesem Punkt in Richtung .
d) Berechne den Wert von in diesem Punkt.
a) Berechne das totale Differential der Abbildung
in jedem Punkt.
b) Was ist das totale Differential im Punkt ?
c) Berechne die Richtungsableitung in diesem Punkt in Richtung .
d) Berechne den Wert von in diesem Punkt.
a) Berechne das totale Differential der Abbildung
in jedem Punkt.
b) Was ist das totale Differential im Punkt ?
c) Berechne die Richtungsableitung in diesem Punkt in Richtung .
d) Berechne den Wert von in diesem Punkt.
Wie betrachten die komplexe Invertierung
- Bestimme die Ableitung von .
- Beschreibe die Funktion
mit den reellen Koordinaten (bezüglich der reellen Basis und von ).
- Bestimme das totale Differential zu bezüglich der Basis und in einem beliebigen Punkt.
- Beschreibe die Multiplikation mit auf durch eine reelle Matrix bezüglich der reellen Basis und .
Bestätige die Kettenregel für für die beiden differenzierbaren Abbildungen
Bestätige die Kettenregel anhand der beiden Abbildungen
und
und ihrer Komposition in folgenden Schritten.
- Berechne für einen beliebigen Punkt das totale Differential mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
- Berechne für einen beliebigen Punkt das totale Differential mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
- Berechne explizit die Komposition .
- Berechne direkt mit partiellen Ableitungen in einem Punkt das totale Differential von .
- Berechne das totale Differential von in einem Punkt mit Hilfe der Kettenregel und den Teilen (1) und (2).
Es seien und offene Mengen, und und Abbildungen derart, dass gilt. Es sei weiter angenommen, dass in und in total differenzierbar ist. Zeige
Kommentar:
Bei dieser Aufgabe bietet es sich an, mit den Jacobi-Matrizen zu und zu arbeiten.
Die Jacobi-Matrix zu ist gegeben durch
Hierbei sollte man darauf achten, dass die Spalten über die Koordinaten indiziert sind (man sollte die Matrix nicht versehentlich transponieren), weil wir die Matrix als Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung vom -dimensionalen in den -dimensionalen Raum auffassen. Das heißt, wir wollen den Koordinatenvektor von rechts an die Matrix dranmultiplizieren können.
Für die Jacobi-Matrix der Verknüpfung gilt nun
Es seien und offene Mengen, und und Abbildungen derart, dass gilt. Es sei weiter angenommen, dass und -fach stetig differenzierbar sind. Zeige, dass auch -fach stetig differenzierbar ist.
Es seien
und
in bzw. in total differenzierbare Abbildungen. Es sei ein Vektor. Zeige mit der Kettenregel, dass
gilt.
Es seien und offene Mengen, und und Abbildungen derart, dass gilt. Es sei weiter angenommen, dass und stetig differenzierbar sind. Zeige, dass auch stetig differenzierbar ist.
Man gebe ein Beispiel für partiell differenzierbare Funktionen und derart, dass nicht partiell differenzierbar ist.
Man gebe ein Beispiel für partiell differenzierbare Funktionen und derart, dass auch partiell differenzierbar ist, dass aber
nicht gilt.
Es sei
eine Funktion. Zeige, dass die Funktion
genau dann im Punkt total differenzierbar ist, wenn in stetig ist.
Es seien und euklidische Vektorräume, offen und sei
eine Abbildung. Zeige, dass genau dann stetig differenzierbar ist, wenn total differenzierbar ist und wenn die Abbildung
stetig ist.
Es sei
differenzierbar im Nullpunkt und sei eine Folge in mit
Zeige, dass ein Eigenvektor von zum Eigenwert ist.
Wir betrachten die Funktion
mit
a) Zeige, dass stetig ist.
b) Zeige, dass die Einschränkung von auf jede Gerade durch den Nullpunkt eine lineare Abbildung ist.
c) Zeige, dass zu im Nullpunkt in jede Richtung die Richtungsableitung existiert.
d) Zeige, dass im Nullpunkt nicht total differenzierbar ist.
Es sei ein metrischer Raum, ein Punkt und es sei
eine Funktion. Es sei eine streng wachsende Funktion. Zeige, dass in genau dann ein lokales Maximum besitzt, wenn ein lokales Maximum in besitzt.
Es seien und metrische Räume und es sei
eine stetige Abbildung. Es sei
und es sei
eine Funktion, die im Punkt ein lokales Extremum besitze. Zeige, dass
in ein lokales Extremum besitzt.
Kommentar:
Hier haben wir eine typische Beweisaufgabe, in der mathematische Objekte mit speziellen Eigenschaften gegeben sind und daraus soll die Eigenschaft eines weiteren im Zusammenhang stehenden Objektes gezeigt werden. Konkret, wir haben eine stetige Abbildung und eine Funktion mit einem lokalen Extremum im Punkt . Jetzt soll gezeigt werden, dass das lokale Extremum erhalten bleibt, nachdem in eingesetzt wird. Dann aber, wegen der Verknüpfung, in dem Punkt , der durch zum ursprünglichen Punkt des lokalen Extremums "geschickt" wird.
Die Eigenschaft, dass stetig ist, ist dabei natürlich entscheidend. Nehmen wir uns hierfür als Beispiel eine einfache reelle Funktion mit Ableitung . Diese hat ein lokales Minimum (dies ist kein globales Minimum, ein Plot der Funktion ist hilfreich) in
mit Wert . Wählen wir nun
als eindeutig nicht stetige Funktion, sehen wir, dass diese in eingesetzt
ergibt. Diese Funktion hat gewiss kein lokales Extremum mehr in , dem Punkt der auf das lokale Extremum von geschickt wurde.
Zum Beweis der Aussage in der Aufgabenstellung sammlen wir die Eigenschaften. Dass stetig ist, bedeutet, dass es in jedem Punkt stetig ist. Somit insbesondere im Punkt . Das wiederum heißt, für jedes existiert ein , sodass
Mit Worten, in einer Umbebung von bleiben wir nach Abbilden mit in einer Umgebung von . Weiterhin hat die Funktion in ein lokales Extremum
(wir nehmen ohne Einschränkung an, dass dies ein lokales Minimum ist, für ein Maximum geht das genau so), d.h. es exisitert ein mit
Mit Worten, in einer Umgebung von ist der Funktionswert von immer größer oder gleich dem Funktionswert in selbst.
Jetzt ist die Frage, ob die Verknüpfung ein lokales Minimum in besitzt, also ein existiert mit
Es wäre also gut, wenn garantiert, dass wir von in landen, denn dann nutzen dass in das lokale Minimum hat. Das erledigt die Stetigkeit von . Wie kann dann gewählt werden?
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Zeige, dass eine von verschiedene lineare Abbildung
keine lokalen Extrema besitzt. Gilt dies auch für unendlichdimensionale Vektorräume? Braucht man dazu Differentialrechnung?
Es sei ein Polynom in zwei Variablen der Bauart
Zeige ohne Differentialrechnung, dass im Nullpunkt ein isoliertes lokales Minimum besitzt. Bestimme in Abhängigkeit der Koeffizienten ein derart, dass die Einschränkung von auf außerhalb des Nullpunktes echt positiv ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (5 Punkte)
Wir wollen die Kettenregel anhand der beiden Abbildungen
und
und ihrer Komposition veranschaulichen.
- Berechne für einen beliebigen Punkt das totale Differential mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
- Berechne für einen beliebigen Punkt das totale Differential mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
- Berechne explizit die Komposition .
- Berechne direkt mit partiellen Ableitungen in einem Punkt das totale Differential von .
- Berechne das totale Differential von in einem Punkt mit Hilfe der Kettenregel und den Teilen (1) und (2).
Aufgabe (8 Punkte)
Wir betrachten die Funktionen
mit
und
Berechne das totale Differential von in einem beliebigen Punkt auf vier verschiedene Arten.
Aufgabe (5 Punkte)
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei
eine differenzierbare Abbildung. Zeige, dass dann auch die Abbildung
differenzierbar ist und bestimme das totale Differential davon.
Aufgabe (10 Punkte)
Man gebe ein Beispiel für eine differenzierbare Kurve
und eine stetige Funktion
für die die Richtungsableitung in jede Richtung existiert, derart, dass die Verknüpfung
nicht differenzierbar ist.
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