- Übungsaufgaben
Wir wollen beweisen, dass die Funktion auf konstant ist. Dafür reicht es für einen beliebigen Punkt eine kleine Umgebung zu betrachten und zu zeigen, dass der Funktionswert in mit dem eines beliebig Punktes übereinstimmt. lässt sich schreiben als für ein .
Da überall total differenzierbar ist, mit , folgt mit
Proposition 46.1,
dass in Richtung differenzierbar ist mit Richtungsableitung .
Insbesondere können wir das für alle Punkte auf der Verbindungslinie zwischen und machen. Betrachten wir nun nur auf diesem Verbindungsstück,
erhalten wir die differenzierbare Kurve
-
deren Ableitung konstant Null ist.
Die Komponenten der Kurve sind nun eindimensionale differenzierbare Funktionen mit Ableitung null, siehe
Lemma 37.4.
Hier lässt sich nun mit Hilfe des Mittelwertsatzes,
Satz 19.3
die Gleichheit der Komponenten von an Anfangs und Endpunkt der Kurve zeigen.
Diskutieren und Fragen
a) Berechne das
totale Differential
der Abbildung
-
in jedem Punkt.
b) Was ist das totale Differential im Punkt ?
c) Berechne die
Richtungsableitung
in diesem Punkt in Richtung .
d) Berechne den Wert von in diesem Punkt.
a) Berechne das
totale Differential
der Abbildung
-
in jedem Punkt.
b) Was ist das totale Differential im Punkt ?
c) Berechne die
Richtungsableitung
in diesem Punkt in Richtung .
d) Berechne den Wert von in diesem Punkt.
a) Berechne das
totale Differential
der Abbildung
-
in jedem Punkt.
b) Was ist das totale Differential im Punkt ?
c) Berechne die
Richtungsableitung
in diesem Punkt in Richtung .
d) Berechne den Wert von in diesem Punkt.
Bestimme das
totale Differential
der
Determinante
-
für an der
Einheitsmatrix.
Bestätige die Kettenregel für für die beiden differenzierbaren Abbildungen
-
und
-
Bestätige die
Kettenregel
anhand der beiden Abbildungen
-
und
-
und ihrer Komposition in folgenden Schritten.
- Berechne für einen beliebigen Punkt das
totale Differential
mit Hilfe von
partiellen Ableitungen.
- Berechne für einen beliebigen Punkt das totale Differential mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
- Berechne explizit die Komposition
.
- Berechne direkt mit partiellen Ableitungen in einem Punkt das totale Differential von
.
- Berechne das totale Differential von
in einem Punkt mit Hilfe der Kettenregel und den Teilen (1) und (2).
Es seien und
offene Mengen,
und
und
Abbildungen
derart, dass gilt. Es sei weiter angenommen, dass in und in
total differenzierbar
ist. Zeige
-
Bei dieser Aufgabe bietet es sich an, mit den Jacobi-Matrizen zu und zu arbeiten.
Die Jacobi-Matrix zu ist gegeben durch
-
Hierbei sollte man darauf achten, dass die Spalten über die Koordinaten indiziert sind (man sollte die Matrix nicht versehentlich transponieren), weil wir die Matrix als Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung vom -dimensionalen in den -dimensionalen Raum auffassen. Das heißt, wir wollen den Koordinatenvektor von rechts an die Matrix dranmultiplizieren können.
Für die Jacobi-Matrix der Verknüpfung gilt nun
-
nach
Satz .. Die zu zeigende Aussage lässt sich daraus direkt ableiten, denn
ist ein Eintrag der Matrix
.
Diskutieren und Fragen
Es seien
-
und
-
in
bzw. in
total differenzierbare
Abbildungen. Es sei
ein Vektor. Zeige mit der Kettenregel, dass
-
gilt.
Es sei
-
eine Funktion. Zeige, dass die Funktion
-
genau dann im Punkt
total differenzierbar
ist, wenn in
stetig
ist.
Es seien
und
euklidische Vektorräume,
offen
und sei
-
eine
Abbildung.
Zeige, dass genau dann
stetig differenzierbar
ist, wenn
total differenzierbar
ist und wenn die Abbildung
-
stetig
ist.
Wir betrachten die Funktion
-
mit
-
a) Zeige, dass
stetig
ist.
b) Zeige, dass die Einschränkung von auf jede Gerade durch den Nullpunkt eine lineare Abbildung ist.
c) Zeige, dass zu im Nullpunkt in jede Richtung die
Richtungsableitung
existiert.
d) Zeige, dass im Nullpunkt nicht
total differenzierbar
ist.
Hier haben wir eine typische Beweisaufgabe, in der mathematische Objekte mit speziellen Eigenschaften gegeben sind und daraus soll die Eigenschaft eines weiteren im Zusammenhang stehenden Objektes gezeigt werden. Konkret, wir haben eine stetige Abbildung und eine Funktion mit einem lokalen Extremum im Punkt . Jetzt soll gezeigt werden, dass das lokale Extremum erhalten bleibt, nachdem in eingesetzt wird. Dann aber, wegen der Verknüpfung, in dem Punkt , der durch zum ursprünglichen Punkt des lokalen Extremums "geschickt" wird.
Die Eigenschaft, dass stetig ist, ist dabei natürlich entscheidend.
Nehmen wir uns hierfür als Beispiel eine einfache reelle Funktion mit Ableitung . Diese hat ein lokales Minimum (dies ist kein globales Minimum, ein Plot der Funktion ist hilfreich) in
mit Wert . Wählen wir nun
-
als eindeutig nicht stetige Funktion, sehen wir, dass diese in eingesetzt
-
ergibt. Diese Funktion hat gewiss kein lokales Extremum mehr in , dem Punkt der auf das lokale Extremum von geschickt wurde.
Zum Beweis der Aussage in der Aufgabenstellung sammlen wir die Eigenschaften.
Dass stetig ist, bedeutet, dass es in jedem Punkt stetig ist. Somit insbesondere im Punkt . Das wiederum heißt, für jedes existiert ein , sodass
-
Mit Worten, in einer Umbebung von bleiben wir nach Abbilden mit in einer Umgebung von .
Weiterhin hat die Funktion in ein
lokales Extremum
(wir nehmen ohne Einschränkung an, dass dies ein lokales Minimum ist, für ein Maximum geht das genau so),
d.h. es exisitert ein mit
-
Mit Worten, in einer Umgebung von ist der Funktionswert von immer größer oder gleich dem Funktionswert in selbst.
Jetzt ist die Frage, ob die Verknüpfung ein lokales Minimum in besitzt, also ein existiert mit
-
Es wäre also gut, wenn garantiert, dass wir von in landen, denn dann nutzen dass in das lokale Minimum hat. Das erledigt die Stetigkeit von . Wie kann dann gewählt werden?
Diskutieren und Fragen
Es sei ein Polynom in zwei Variablen der Bauart
-
Zeige ohne Differentialrechnung, dass im Nullpunkt ein
isoliertes lokales Minimum
besitzt. Bestimme in Abhängigkeit der Koeffizienten ein
derart, dass die Einschränkung von auf außerhalb des Nullpunktes echt positiv ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Wir wollen die
Kettenregel
anhand der beiden Abbildungen
-
und
-
und ihrer Komposition veranschaulichen.
- Berechne für einen beliebigen Punkt
das
totale Differential
mit Hilfe von
partiellen Ableitungen.
- Berechne für einen beliebigen Punkt
das totale Differential mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
- Berechne explizit die Komposition
.
- Berechne direkt mit partiellen Ableitungen in einem Punkt
das totale Differential von
.
- Berechne das totale Differential von
in einem Punkt
mit Hilfe der Kettenregel und den Teilen (1) und (2).
Wir betrachten die Funktionen
-
mit
-
-
und
-
Berechne das
totale Differential
von in einem beliebigen Punkt auf vier verschiedene Arten.
Untersuche die Abbildung
-
auf
partielle Ableitungen
und
totale Differenzierbarkeit.
Es sei
-
eine
differenzierbare Abbildung.
Zeige, dass dann auch die Abbildung
-
differenzierbar ist und bestimme das
totale Differential
davon.
Man gebe ein Beispiel für eine
differenzierbare Kurve
-
und eine
stetige Funktion
-
für die die
Richtungsableitung
in jede Richtung existiert, derart, dass die Verknüpfung
-
nicht differenzierbar ist.