Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Vorlesung 48

Die Hesse-Form

Wir sind natürlich auch an hinreichenden Kriterien für das Vorliegen von lokalen Extrema interessiert. Wie schon im eindimensionalen Fall muss man sich die zweiten Ableitungen anschauen, wobei die Situation natürlich dadurch wesentlich verkompliziert wird, dass es zu je zwei Richtungsvektoren ${}v$ und ${}w$ eine zweite Richtungsableitung ${}D_{vw}=D_{v}D_{w}$ gibt. Die zweite Richtungsableitung wird dadurch handhabbar, dass man sie in die sogenannte Hesse-Form bzw. Hesse-Matrix zusammenfasst. Als solche ist sie eine symmetrische Bilinearform, die mit Methoden der linearen Algebra analysiert werden kann. Diese Methoden werden wir im Folgenden entwickeln und insbesondere auf die Hesse-Form anwenden, um schließlich hinreichende Kriterien für die Existenz von lokalen Extrema zu erhalten.

Definition

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}G\subseteq V$ eine offene Menge und

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Zu ${}P\in G$ heißt die Abbildung

$\operatorname {Hess} _{P}\,f\colon V\times V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(u,v)\longmapsto D_{u}D_{v}f(P),$

die Hesse-Form im Punkt ${}P\in G$.

Definition

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}G\subseteq V$ eine offene Menge und

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei eine Basis ${}v_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$, von ${}V$ gegeben mit den zugehörigen Richtungsableitungen ${}D_{i}:=D_{v_{i}}$, ${}i=1,\ldots ,n$. Zu ${}P\in G$ heißt dann die Matrix

${\begin{pmatrix}D_{1}D_{1}f(P)&\cdots &D_{1}D_{n}f(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\D_{n}D_{1}f(P)&\cdots &D_{n}D_{n}f(P)\end{pmatrix}}$

die Hesse-Matrix zu ${}f$ im Punkt ${}P$ bezüglich der gegebenen Basis.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf ${}V$. Die Bilinearform heißt symmetrisch, wenn

${}\left\langle v,w\right\rangle =\left\langle w,v\right\rangle \,$

für alle ${}v,w\in V$ gilt.

Lemma

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}G\subseteq V$ eine offene Menge und

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Zu ${}P\in G$ ist die Hesse-Form

eine symmetrische Bilinearform.

Beweis

Die Symmetrie folgt aus dem Satz von Schwarz. Seien ${}u,v\in V$ Vektoren und

${}v=a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}\,.$

Dann gelten unter Verwendung von Satz 46.3, Proposition 46.1 und Lemma 43.6 die Gleichheiten

${}{\begin{aligned}D_{u}(D_{v}f(P))&=D_{u}((Df)_{P}(v))\\&=D_{u}((Df)_{P}(a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}))\\&=D_{u}(a_{1}(Df)_{P}(v_{1})+a_{2}(Df)_{P}(v_{2}))\\&=a_{1}D_{u}(D_{v_{1}}f(P))+a_{2}D_{u}(D_{v_{2}}f(P)).\end{aligned}}$

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Eigenschaften von Bilinearformen

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf ${}V$. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$. Dann heißt die ${}n\times n$- Matrix

$\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle _{1\leq i,j\leq n}$

die Gramsche Matrix von ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis.

Die Hesse-Matrix ist beispielsweise die Gramsche Matrix der Hesse-Form bezüglich der Standardbasis im ${}\mathbb {R} ^{n}$.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf ${}V$. Es seien ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{n}$ zwei Basen von ${}V$ und es seien ${}G$ bzw. ${}H$ die Gramschen Matrizen von ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basen. Zwischen den Basiselementen gelte die Beziehungen

${}w_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}v_{i}\,,$

die wir durch die Übergangsmatrix ${}A={\left(a_{ij}\right)}_{i,j}$ ausdrücken.

Dann besteht zwischen den Gramschen Matrizen die Beziehung

${}H={A^{\text{tr}}}GA\,.$

Beweis

Es ist

${}{\begin{aligned}\left\langle w_{r},w_{s}\right\rangle &=\left\langle \sum _{i=1}^{n}a_{ir}v_{i},\sum _{k=1}^{n}a_{ks}v_{k}\right\rangle \\&=\sum _{1\leq i,k\leq n}a_{ir}a_{ks}\left\langle v_{i},v_{k}\right\rangle \\&=\sum _{1\leq i\leq n}a_{ir}{\left(\sum _{1\leq k\leq n}a_{ks}\left\langle v_{i},v_{k}\right\rangle \right)}\\&=\sum _{1\leq i\leq n}a_{ir}{\left(G\circ A\right)}_{is}\\&={\left({A^{\text{tr}}}\circ {\left(G\circ A\right)}\right)}_{rs}.\end{aligned}}$

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Definition

Es sei ${}V$ ein reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Diese Bilinearform heißt

1. positiv definit, wenn ${}\left\langle v,v\right\rangle >0$ für alle ${}v\in V$, ${}v\neq 0$ ist.
2. negativ definit, wenn ${}\left\langle v,v\right\rangle <0$ für alle ${}v\in V$, ${}v\neq 0$ ist.
3. positiv semidefinit, wenn ${}\left\langle v,v\right\rangle \geq 0$ für alle ${}v\in V$ ist.
4. negativ semidefinit, wenn ${}\left\langle v,v\right\rangle \leq 0$ für alle ${}v\in V$ ist.
5. indefinit, wenn ${}\left\langle -,-\right\rangle$ weder positiv semidefinit noch negativ semidefinit ist.

Positiv definite symmetrische Bilinearformen nennt man auch Skalarprodukte. Eine indefinite Form liegt vor, wenn es Vektoren ${}v$ und ${}w$ mit ${}\left\langle v,v\right\rangle >0$ und ${}\left\langle w,w\right\rangle <0$ gibt.

Eine Bilinearform auf ${}V$ kann man auf einen Untervektorraum ${}U\subseteq V$ einschränken, wodurch sich eine Bilinearform auf ${}U$ ergibt. Wenn die ursprüngliche Form positiv definit ist, so überträgt sich dies auf die Einschränkung. Allerdings kann eine indefinite Form eingeschränkt auf gewisse Unterräume positiv definit werden und auf andere negativ definit. Dies führt zu folgender Definition.

Definition

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Man sagt, dass eine solche Bilinearform den Typ

$(p,q)$

besitzt, wobei

${}p:={\max {\left(\dim _{\mathbb {R} }{\left(U\right)},U\subseteq V,\,\left\langle -,-\right\rangle {|}_{U}{\text{ positiv definit}}\right)}}\,$

und

${}q:={\max {\left(\dim _{\mathbb {R} }{\left(U\right)},U\subseteq V,\,\left\langle -,-\right\rangle {|}_{U}{\text{ negativ definit}}\right)}}\,$

ist.

Beispiel

Es seien ${}p,q,n$ natürliche Zahlen mit ${}p+q\leq n$. Wir betrachten auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ die Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$, die durch

$\left\langle {\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}\right\rangle :=x_{1}y_{1}+\cdots +x_{p}y_{p}-x_{p+1}y_{p+1}-\cdots -x_{p+q}y_{p+q}\,$

gegeben ist. Sie hat den Typ ${}(p,q)$, und zwar ist die Einschränkung auf den Unterraum ${}\mathbb {R} e_{1}+\cdots +\mathbb {R} e_{p}$ positiv definit und die Einschränkung auf den Unterraum ${}\mathbb {R} e_{p+1}+\cdots +\mathbb {R} e_{p+q}$ negativ definit.

Bei einem Skalarprodukt auf einem ${}n$-dimensionalen reellen Vektorraum ist der Typ ${}(n,0)$. Wie für Skalarprodukte nennt man Vektoren ${}v,w\in V$ orthogonal bezüglich einer Bilinearform, wenn ${}\left\langle v,w\right\rangle =0$ ist, und ähnlich wie im Fall eines Skalarproduktes kann man zeigen, dass es Orthogonalbasen gibt.

James Joseph Sylvester (1814-1897)

Die folgende Aussage nennt man den Trägheitssatz von Sylvester.

Satz

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ ${}(p,q)$.

Dann ist die Gramsche Matrix von ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich einer jeden Orthogonalbasis eine Diagonalmatrix mit ${}p$ positiven und ${}q$ negativen Einträgen.

Beweis

Bezüglich einer Orthogonalbasis ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ von ${}V$ (die es nach Satz 38.15 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) gibt) hat die Gramsche Matrix natürlich Diagonalgestalt. Es sei ${}p'$ die Anzahl der positiven Diagonaleinträge und ${}q'$ die Anzahl der negativen Diagonaleinträge. Die Basis sei so geordnet, dass die ersten ${}p'$ Diagonaleinträge positiv, die folgenden ${}q'$ Diagonaleinträge negativ und die übrigen ${}0$ seien. Auf dem ${}p'$-dimensionalen Unterraum ${}U=\langle u_{1},\ldots ,u_{p'}\rangle$ ist die eingeschränkte Bilinearform positiv definit, sodass ${}p'\leq p$ gilt. Sei ${}W=\langle u_{p'+1},\ldots ,u_{n}\rangle$, auf diesem Unterraum ist die Bilinearform negativ semidefinit. Dabei ist ${}V=U\oplus W$, und diese beiden Räume sind orthogonal zueinander.

 Angenommen, es gebe einen Unterraum ${}U'$, auf dem die Bilinearform positiv definit ist, und dessen Dimension ${}p$ größer als ${}p'$ ist. Die Dimension von ${}W$ ist ${}n-p'$ und daher ist ${}W\cap U'\neq 0$ nach Korollar 9.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)).

Für einen Vektor ${}w\in W\cap U'$, ${}w\neq 0$, ergibt sich aber direkt der Widerspruch ${}\left\langle w,w\right\rangle >0$ und ${}\left\langle w,w\right\rangle \leq 0$.

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Minorenkriterien für symmetrische Bilinearformen

Es gibt mehrere Methoden, den Typ einer symmetrischen Bilinearform zu bestimmen. Hier besprechen wir das Minorenkriterium.

Satz

Es sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ${}V$ und sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$. Es sei ${}G$ die Gramsche Matrix zu ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis. Die Determinanten ${}D_{k}$ der quadratischen Untermatrizen

${}M_{k}=(\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle )_{1\leq i,j\leq k}\,$

seien für ${}k=1,\ldots ,n$ von ${}0$ verschieden. Es sei ${}a$ die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge

$D_{0}=1,\,D_{1}=\det M_{1},\,D_{2}=\det M_{2},\ldots ,D_{n}=\det M_{n}=\det G.$

Dann ist ${}\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ ${}(n-a,a)$.

Beweis

Da nach Voraussetzung insbesondere die Determinante der Gramschen Matrix nicht ${}0$ ist, ist nach Aufgabe 48.4 die Bilinearform nicht ausgeartet und daher hat der Typ die Form ${}(n-q,q)$. Wir müssen zeigen, dass ${}q=a$ ist. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Dimension von ${}V$, wobei der Induktionsanfang trivial ist. Die Aussage sei bis zur Dimension ${}n-1$ bewiesen und es liege ein ${}n$-dimensionaler Raum mit einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ mit den angegebenen Eigenschaften vor. Der Untervektorraum

${}U=\langle v_{1},\ldots ,v_{n-1}\rangle \,$

hat die Dimension ${}n-1$ und die Folge der Determinanten der Untermatrizen der Gramschen Matrix zur eingeschränkten Form ${}\left\langle -,-\right\rangle {|}_{U}$ stimmt mit der vorgegebenen Folge überein, wobei lediglich das letzte Glied

${}D_{n}=\det M_{n}=\det G\,$

weggelassen wird. Nach Induktionsvoraussetzung besitzt ${}\left\langle -,-\right\rangle {|}_{U}$ den Typ ${}(n-1-b,b)$, wobei ${}b$ die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge

$D_{0}=1,\,D_{1},\ldots ,D_{n-1}$

ist. Aufgrund der Definition des Typs ist

${}b\leq q\leq b+1\,,$

da ein ${}q$-dimensionaler Untervektorraum ${}W\subseteq V$, auf dem die Bilinearform negativ definit ist, zu einem Untervektorraum

${}W'=U\cap W\subseteq U\,$

führt, der die Dimension ${}q$ oder ${}q-1$ besitzt und auf dem die eingeschränkte Form ebenfalls negativ definit ist. Nach Aufgabe 48.5 ist das Vorzeichen von ${}D_{n-1}$ gleich ${}(-1)^{b}$ und das Vorzeichen von ${}D_{n}$ gleich ${}(-1)^{q}$. Das bedeutet, dass zwischen ${}D_{n-1}$ und ${}D_{n}$ ein zusätzlicher Vorzeichenwechsel (und somit ${}a=b+1$) genau dann vorliegt, wenn

${}q=b+1\,$

ist.

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Korollar

Es sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum und sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$. Es sei ${}G$ die Gramsche Matrix zu ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis und es seien ${}D_{k}$ die Determinanten der quadratischen Untermatrizen

$M_{k}=(\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle )_{1\leq i,j\leq k},\,k=1,\ldots ,n.$

Dann gelten folgende Aussagen.

1. Genau dann ist ${}\left\langle -,-\right\rangle$ positiv definit, wenn alle ${}D_{k}$ positiv sind.
2. Genau dann ist ${}\left\langle -,-\right\rangle$ negativ definit, wenn das Vorzeichen in der Folge ${}D_{0}=1,\,D_{1},\,D_{2},\ldots ,D_{n}$ an jeder Stelle wechselt.

Beweis

(1). Wenn die Bilinearform positiv definit ist, so ist nach Aufgabe 48.5 das Vorzeichen der Determinante der Gramschen Matrix gleich ${}(-1)^{0}=1$, also positiv. Da die Einschränkung der Form auf die Unterräume ${}U_{i}=\langle v_{1},\ldots ,v_{i}\rangle$ ebenfalls positiv definit ist, sind auch die Determinanten zu den Untermatrizen positiv.
Wenn umgekehrt die Determinanten alle positiv sind, so folgt aus Satz 48.11, dass die Bilinearform positiv definit ist.

(2) folgt aus (1), indem man die negative Bilinearform, also ${}-\left\langle -,-\right\rangle$, betrachtet.

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Fußnoten

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