Kurs:Analysis 3/2/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	6	0	3	0	0	4	0	0	5	7	7	4	5	0	47

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

Eine Mengenalgebra auf einer Menge ${}M$ .
Eine Schrumpfung für eine Teilmenge ${}T\subseteq M$ .
Die Fortsetzung eines äußeren Maßes
$\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

auf einem Präring ${}{\mathcal {P}}$ auf einer Menge ${}M$ .
Der Limes inferior zu einer reellen Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ .
Eine differenzierbare Abbildung
$\varphi \colon L\longrightarrow M$

zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${}L$ und ${}M$ .
Eine orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit ${}M$ .

Lösung

Ein Teilmengensystem ${}{\mathcal {A}}$ ${}{\mathcal {A}}$ auf einer Menge ${}M$ ${}M$ heißt Mengen-Algebra, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
1. Es ist ${}M\in {\mathcal {A}}$ .
2. Mit ${}T\in {\mathcal {A}}$ gehört auch das Komplement ${}M\setminus T$ zu ${}{\mathcal {A}}$ .
3. Für je zwei Mengen ${}S,T\in {\mathcal {A}}$ ist auch ${}S\cup T\in {\mathcal {A}}$ .
Eine Schrumpfung von ${}T$ ist eine Folge von Teilmengen ${}T_{n}$ , ${}n\in \mathbb {N}$ , in ${}M$ mit ${}T_{n}\supseteq T_{n+1}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ und mit ${}T=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }T_{n}$ .
Für eine beliebige Teilmenge ${}T\subseteq M$ definiert man
${\tilde {\mu }}(T):=\inf \left(\sum _{i\in I}\mu (T_{i}),\,T\subseteq \bigcup _{i\in I}T_{i},\,T_{i}\in {\mathcal {P}},\,I{\text{ abzählbar}}\right)$

und nennt dies die Fortsetzung des äußeren Maßes ${}\mu$ .
Es sei ${}H$ die Menge der Häufungspunkte der Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ . Dann nennt man
$\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left((x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\right)}=\inf \,{\left(H\right)}$

(eventuell ${}-\infty$ ) den Limes inferior der Folge.
Es seien ${}(U_{i},U_{i}',\alpha _{i},i\in I)$ und ${}(V_{j},V_{j}',\beta _{j},j\in J)$ die Atlanten von ${}M$ und ${}N$ . Die Abbildung
$\varphi \colon L\longrightarrow M$

heißt differenzierbar, wenn sie stetig ist und wenn für alle ${}i\in I$ und alle ${}j\in J$ die Abbildungen

$\beta _{j}\circ \varphi \circ (\alpha _{i})^{-1}\colon \alpha _{i}(\varphi ^{-1}(V_{j})\cap U_{i})\longrightarrow V_{j}'$

stetig differenzierbar sind.
Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ${}M$ mit einem Atlas ${}(U_{i},V_{i},\alpha _{i})$ heißt orientiert, wenn jede Karte orientiert ist und wenn sämtliche Kartenwechsel orientierungstreu sind.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

Die Tschebyschow-Abschätzung (Tschebyschow-Ungleichung) für eine messbare nichtnegative Funktion
$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$
auf einem ${}\sigma$ -endlichen Maßraum ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ .
Der Satz über die Integration des Produkts von zwei Funktionen über einem Produktraum.
Die Formel für die Berechnung des kanonischen Volumens auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit in einer Karte.

Lösung

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$ -endlicher Maßraum und
$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

eine messbare numerische nichtnegative Funktion. Dann gilt für jedes ${}a\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ die Abschätzung

${}\int _{M}f\,d\mu \geq a\cdot \mu {\left\{x\in M\mid f(x)\geq a\right\}}\,.$
Es seien ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und ${}(N,{\mathcal {B}},\nu )$ ${}\sigma$ - endliche Maßräume und es seien ${}f\colon M\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$ und ${}g\colon N\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$ integrierbare Funktionen. Dann ist auch die Funktion
$fg\colon M\times N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,(x,y)\longmapsto f(x)\cdot g(y),$
integrierbar und es gilt
${}\int _{M\times N}fg\,d(\mu \otimes \nu )=\int _{M}f\,d\mu \cdot \int _{N}g\,d\nu \,.$
Es sei ${}M$ eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit und ${}\omega$ die kanonische Volumenform. Es sei
$\alpha \colon U\longrightarrow V$

eine orientierte Karte mit

${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,$

offen mit Koordinaten ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ mit der metrischen Fundamentalmatrix ${}G=(g_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ und ${}g=\det G$ . Dann ist

${}\alpha _{*}\omega ={\sqrt {g}}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,.$

Für eine messbare Teilmenge ${}T\subseteq U$ ist

${}\int _{T}\omega =\int _{\alpha (T)}{\sqrt {g}}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}=\int _{\alpha (T)}{\sqrt {g}}\,d\lambda ^{n}\,.$

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}(X,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum und sei ${}{\mathcal {A}}$ die davon erzeugte Mengenalgebra. Zeige, dass diese genau aus allen endlichen Vereinigungen

(U_{1}\cap A_{1})\cup (U_{2}\cap A_{2})\cup \ldots \cup (U_{n}\cap A_{n})

mit offenen Mengen ${}U_{1},\ldots ,U_{n}$ und abgeschlossenen Mengen ${}A_{1},\ldots ,A_{n}$ besteht.

Lösung

Zu der von der Topologie erzeugten Mengenalgebra ${}{\mathcal {A}}$ müssen alle offenen Teilmengen und somit, da eine Mengenalgebra auch unter Komplementen abgeschlossen ist, auch alle abgeschlossenen Teilmengen gehören. Da eine Mengenalgebra mit zwei Teilmengen auch deren Durchschnitt und deren Vereinigung enthält, gehören die angegebenen Mengen zu ${}{\mathcal {A}}$ .

Zur Umkehrung müssen wir zeigen, dass das angegebene Mengensystem eine Mengenalgebra ist, die alle offenen Mengen enthält. Eine offene Menge ${}U$ kann man als ${}U\cap X$ schreiben und ist daher von der angegebenen Form, da ${}X$ selbst abgeschlossen ist. Insbesondere ist der Gesamtraum ${}X$ von der angegebenen Form. Es sei eine Menge

(U_{1}\cap A_{1})\cup \ldots \cup (U_{n}\cap A_{n})

gegeben. Ihr Komplement ist

{}{\begin{aligned}X\setminus ((U_{1}\cap A_{1})\cup \ldots \cup (U_{n}\cap A_{n}))&=(X\setminus (U_{1}\cap A_{1}))\cap \ldots \cap (X\setminus (U_{n}\cap A_{n}))\\&=((X\setminus U_{1})\cup (X\setminus A_{1}))\cap \ldots \cap ((X\setminus U_{n})\cup (X\setminus A_{n}))\\&=\bigcup _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\}}(\bigcap _{i\in I}(X\setminus U_{i})\cap \bigcap _{j\in \{1,\ldots ,n\}\setminus I}(X\setminus A_{j})).\,\end{aligned}}

Hierbei sind die ${}\bigcap _{i\in I}(X\setminus U_{i})$ jeweils abgeschlossen und die ${}\bigcap _{j\in \{1,\ldots ,n\}\setminus I}(X\setminus A_{j})$ jeweils offen, sodass eine Menge in der gewünschten Form vorliegt.

Die Vereinigung von zwei Mengen in der angegebenen Form ist offensichtlich wieder von dieser Form.

Aufgabe (0 Punkte)

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Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das Volumen des von den drei Vektoren

{\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}4\\-5\\6\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}7\\8\\9\end{pmatrix}}

im ${}\mathbb {R} ^{3}$ erzeugten Parallelotops.

Lösung

Das Parallelotop ist das Bild des Einheitswürfels unter der durch die Matrix

M={\begin{pmatrix}1&4&7\\2&-5&8\\3&6&9\end{pmatrix}}

gegebenen linearen Abbildung. Nach Satz 7.2 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)) ist sein Volumen gleich dem Betrag der Determinante dieser Matrix. Wir berechnen die Determinante mittels der Regel von Sarrus, d.h. wir betrachten

{\begin{pmatrix}1&4&7&1&4\\2&-5&8&2&-5\\3&6&9&3&6\end{pmatrix}}.

Daher ist

{}\det M=-45+96+84+105-48-72=285-165=120\,.

Das Volumen ist also ${}120$ .

Aufgabe (0 Punkte)

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Aufgabe (0 Punkte)

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Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn man den Graphen der Funktion

f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,t\longmapsto t+{\sqrt {t}}+1,

um die ${}t$ -Achse rotieren lässt.

Lösung

Das Volumen des Rotationskörpers ${}K$ ist gemäß der Formel gleich

{}{\begin{aligned}\lambda ^{3}(K)&=\pi \int _{0}^{1}(t+{\sqrt {t}}+1)^{2}\,dt\\&=\pi \int _{0}^{1}(t^{2}+t+1+2t^{3/2}+2t+2t^{1/2})\,dt\\&=\pi \int _{0}^{1}(t^{2}+2t^{3/2}+3t+2t^{1/2}+1)\,dt\\&=\pi {\left({\frac {1}{3}}t^{3}+{\frac {4}{5}}t^{5/2}+{\frac {3}{2}}t^{2}+{\frac {4}{3}}t^{3/2}+t\right)}|_{0}^{1}\\&=\pi {\left({\frac {1}{3}}+{\frac {4}{5}}+{\frac {3}{2}}+{\frac {4}{3}}+1\right)}\\&=\pi {\frac {10+24+45+40+30}{30}}\\&=\pi {\frac {149}{30}}.\end{aligned}}

Aufgabe (0 Punkte)

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Aufgabe (0 Punkte)

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Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass die Tangentialabbildung ${}T(\varphi )$ zu

\varphi \colon \mathbb {R} ^{1}\longrightarrow S^{1},\,t\longmapsto (\cos t,\sin t),

surjektiv ist.

Lösung

Die Abbildung ${}\varphi$ ist surjektiv, es ist also lediglich zu zeigen, dass für jedes ${}t\in \mathbb {R}$ die lineare Tangentialabbildung

T_{t}\mathbb {R} \cong \mathbb {R} \longrightarrow T_{\varphi (t)}S^{1}

surjektiv ist. Da beide Räume eindimensional sind, muss gezeigt werden, dass ein von ${}0$ verschiedener Vektor nicht auf ${}0$ geht. Ein Tangentialvektor an ${}t$ wird realisiert durch den differenzierbaren Weg

\gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,s\longmapsto t+s.

Der verknüpfte Weg

\varphi \circ \gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow S^{1},\,s\longmapsto (\cos(t+s),\sin(t+s)),

realisiert den Bild-Tangentialvektor, und zwar ist (in der umgebenden Ebene ${}T_{\varphi (t)}S^{1}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ )

{}(\varphi \circ \gamma )'(0)=(-\sin t,\cos t)\,,

und das ist nicht der Nullvektor.

Aufgabe (7 (1+2+4) Punkte)

a) Man gebe eine topologische Eigenschaft an, die zeigt, dass das offene Einheitsintervall und die Kreissphäre ${}S^{1}$ nicht homöomorph sind.

b) Zeige, dass jede stetige ${}1$ - Differentialform auf ${}]0,1[$ exakt ist.

c) Man gebe eine konkrete geschlossene ${}1$ -Form auf ${}S^{1}$ an, die nicht exakt ist.

Lösung

a) Nach Fakt ***** ist die ${}S^{1}$ als abgeschlossene und beschränkte Teilmenge des ${}\mathbb {R} ^{2}$ kompakt, das offene Intervall ist dagegen nicht kompakt.

b) Es ist

{}\omega =hdt\,

mit einer stetigen Funktion

h\colon ]0,1[\longrightarrow \mathbb {R} .

Nach dem Hauptsatz der Infinitesimalrechnung besitzt ${}h$ eine Stammfunktion ${}H$ . In der Sprache der Differentialformen bedeutet dies

{}H'=hdt=\omega \,,

also ist ${}\omega$ exakt.

c) Es sei ${}S^{1}\subset \mathbb {R} ^{2}$ gegeben, wobei die Koordinaten des ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit ${}u$ und ${}v$ bezeichnet seien. Wir betrachten die Differentialform

{}\omega =udv-vdu\,

auf ${}S^{1}$ . Da ${}S^{1}$ eindimensional ist, ist sie geschlossen. Für den Weg

\gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow S^{1},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}},

ist

{}\int _{\gamma }\omega =\int _{0}^{2\pi }\gamma ^{*}\omega dt=\int _{0}^{2\pi }\cos t\cdot \cos t+\sin t\sin tdt=\int _{0}^{2\pi }1dt=2\pi \,.

Nach Fakt ***** kann ${}\omega$ nicht exakt sein.

Aufgabe (7 Punkte)

Es sei ${}M$ eine kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer stetigen positiven Volumenform ${}\omega$ . Zeige, dass

{}\int _{M}\omega <\infty \,

ist.

Lösung

Zu jedem Punkt ${}P\in M$ gibt es eine offene Kartenumgebung ${}P\in U$ und eine Kartenabbildung

\alpha \colon U\longrightarrow V

mit ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und so, dass ${}\alpha ^{-1*}\omega =fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$ ist mit ${}f$ stetig und positiv. Wir finden auch eine offene Umgebung ${}P\in U'\subseteq U$ , die homöomorph zu einem offenen Ball ${}U'\cong B'\subseteq V$ ist, wobei man auch annehmen kann, dass der Abschluss des Balles ganz in ${}V$ liegt. Der abgeschlossene Ball ist abgeschlossen und beschränkt, daher ist die stetige Funktion ${}f$ darauf und somit auch auf ${}U'$ beschränkt. Es folgt, dass ${}\int _{U'}\omega$ endlich ist, wobei ${}U'$ eine offene Umgebung von ${}P$ ist.

Diese offenen Mengen ${}U'=U'(P)$ überdecken ${}M$ . Wegen der Kompaktheit gibt es eine endliche Überdeckung

{}M=\bigcup _{i=1}^{n}U_{i}\,

mit

{}\int _{U_{i}}\omega <\infty \,.

Wegen der Positivität gilt somit

{}\int _{M}\omega \leq \sum _{i=1}^{n}{\left(\int _{U_{i}}\omega \right)}<\infty \,.

Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit mit Rand, deren Rand aus (einer disjunkten Vereinigung von) unendlich vielen ${}\mathbb {R} ^{1}$ besteht.

Lösung

Die Funktion

h\colon ]-1,1[\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{x^{2}-1}},

läuft an den beiden Grenzen gegen unendlich, der Graph zu ${}h$ ist diffeomorph zu ${}]-1,1[$ und damit auch zu ${}\mathbb {R}$ . Wir betrachten nun zu ${}n\in \mathbb {Z}$ die entsprechende Funktion, deren Definitonsbereich um ${}4n$ verschoben wird (also mit dem Definitionsbereich ${}]4n-1,4n+1[$ ). Es sei ${}G_{n}$ der zugehörige Graph und ${}U_{n}$ der zugehörige offene (!) Epigraph. Wir setzen

{}M=\mathbb {R} ^{2}\setminus \biguplus _{n\in \mathbb {Z} }U_{n}\,.

Diese ist eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit mit Rand und der Rand ist die disjunkte Vereinigung der ${}G_{n}$ .

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} _{+}

eine stetig differenzierbare Funktion. Wir fassen den Subgraphen als eine Mannigfaltigkeit mit Rand auf, wobei der Rand aus dem Graphen, dem Grundintervall und den beiden Seitenkanten, aber ohne die vier Eckpunkte besteht. Bestätige den Satz von Stokes direkt für die Differentialform ${}\omega =xdy$ .

Lösung

Wegen

{}d(xdy)=dx\wedge dy\,

ist einerseits

{}\int _{M}dx\wedge dy=\int _{a}^{b}f(t)dt=F(b)-F(a)\,

der Flächeninhalt des Subgraphen, wobei ${}F$ eine Stammfunktion von ${}f$ sei. Für das Kurvenintegral müssen wir den Rand von ${}M$ gegen den Uhrzeigersinn parametrisieren. Das Grundintervall wird durch ${}i:t\mapsto {\begin{pmatrix}t\\0\end{pmatrix}}$ parametrisiert, dabei ist

{}i^{*}\omega =i^{*}xdy=xd0=0\,,

dieser Ausschnitt des Wegintegrals ist also ${}0$ . Für die Seite rechts ist ${}i:t\mapsto {\begin{pmatrix}b\\t\end{pmatrix}}$ , eine Parametrisierung, wobei ${}t$ zwischen ${}0$ und ${}f(b)$ wandert. Dabei ist