Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 1

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In der folgenden Aufgabe verwenden wir die Schreibweise .

Aufgabe

Bestimme zum Vektorbündel

lineare Trivialisierungen oberhalb von , und , also von abhängige Basen oberhalb von u.s.w. Bestimme die Basiswechselabbildungen auf .


Aufgabe

Bestimme zum Vektorbündel

diejenigen Parameter , für die der Vektor zur Faser gehört.


Aufgabe

Zeige, dass in Beispiel 1.2 auf durch

ein (von den Parametern abhängiger) Vektor im Lösungsraum definiert ist, der auf ganz polynomial fortsetzbar ist, obwohl die Koeffizientenfunktionen und nur auf definiert sind und nicht fortsetzbar sind. Ist überall Teil einer Basis?


Aufgabe

Bestimme in Beispiel 1.3 die Parameter, für die der Lösungsraum ein-, zwei- oder dreidimensional ist. Sind diese Mengen offen oder abgeschlossen?


Aufgabe

Zeige, dass über einem beliebigen Körper zu linear unabhängigen Vektoren und das Kreuzprodukt zusammen mit und keine Basis des bilden müssen.


Aufgabe

Betrachte den topologischen Raum

mit der Projektion

  1. Zeige, dass jede Faser von homöomorph zu einer reellen Geraden ist.
  2. Zeige, dass durch

    eine stetige Abbildung mit

    gegeben ist.

  3. Definiere einen Homöomorphismus zwischen und .
  4. Zeige, dass es keine polynomiale Abbildung mit

    gibt.


Aufgabe

Zeige, dass ein reelles Vektorbündel über einem Punkt (also einem einpunktigen topologischen Raum) das gleiche ist wie ein reeller endlichdimensionaler Vektorraum.


Aufgabe

Es sei ein reelles Vektorbündel über einem topologischen Raum . Zeige, dass genau dann ein Hausdorffraum ist, wenn ein Hausdorffraum ist.


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum. Zeige, dass man die Identität als ein reelles Vektorbündel vom Rang auffassen kann.


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum. Zeige, dass ein Homomorphismus der (trivialen) Vektorbündel

das gleiche ist wie eine -Matrix, der Einträge stetige Funktionen von nach sind.


Aufgabe

Es sei offen und eine stetig differenzierbare Abbildung. Zeige, dass durch das totale Differential in der Form

ein Homomorphismus des Vektorbündels in das Vektorbündel gegeben ist.


Aufgabe

Zeige, dass es eine Homöomorphie des Tangentialbündels der -Sphäre mit dem Produkt gibt.

Was hat die vorstehende Aufgabe mit Beispiel 1.1 zu tun?

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer differenzierbaren Kurve

derart, dass der Grenzwert existiert, dass aber der Grenzwert in nicht existiert.


Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

für jeden Punkt außerhalb der Einheitskreisscheibe zwei Urbildpunkte, auf dem Einheitskreis einen Urbildpunkt und innerhalb der offenen Einheitskreisscheibe keinen Urbildpunkt besitzt. Man interpretiere dies geometrisch.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer injektiven differenzierbaren Abbildung

zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und derart, dass die zugehörige Tangentialabbildung

nicht injektiv ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer surjektiven differenzierbaren Abbildung

zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und derart, dass die zugehörige Tangentialabbildung

nicht surjektiv ist.


Aufgabe

Seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und es sei eine differenzierbare Abbildung. Zeige, dass die zugehörige Tangentialabbildung

stetig ist.



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