Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesung 13

Orientierungen auf Mannigfaltigkeiten

Definition

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

mit ${}U\subseteq M$ und ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen heißt orientiert, wenn der ${}\mathbb {R} ^{n}$ orientiert ist.

Wenn man einen Atlas aus orientierten Karten ${}(U_{i},V_{i},\alpha _{i})$ hat, so haben die Orientierungen auf den umgebenden Zahlenräumen ${}\mathbb {R} ^{n}$, in denen die offenen Bilder ${}V_{i}$ der Karten liegen, erstmal nichts miteinander zu tun (obwohl man stets ${}\mathbb {R} ^{n}$ schreibt). Ein Zusammenhang zwischen den Orientierungen wird erst durch die beiden folgenden Begriffe formulierbar.

Definition

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und es seien ${}(U_{1},V_{1},\alpha _{1})$ und ${}(U_{2},V_{2},\alpha _{2})$ orientierte Karten. Dann heißt der zugehörige Kartenwechsel

$\psi =\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\colon V_{1}\cap \alpha _{1}(U_{1}\cap U_{2})\longrightarrow V_{2}\cap \alpha _{2}(U_{1}\cap U_{2})$

orientierungstreu, wenn für jeden Punkt ${}Q\in V_{1}\cap \alpha _{1}(U_{1}\cap U_{2})$ das totale Differential

$\left(D\psi \right)_{Q}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

orientierungstreu ist.

Definition

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ${}M$ mit einem Atlas ${}(U_{i},V_{i},\alpha _{i})$ heißt orientiert, wenn jede Karte orientiert ist und wenn sämtliche Kartenwechsel orientierungstreu sind.

Das Möbius-Band ist das typische Beispiel einer nicht orientierbaren Mannigfaltigkeit. Damit es eine Mannigfaltigkeit ist, darf der Rand nicht dazu gehören; dann ist es aber auch keine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des ${}\mathbb {R} ^{3}$, diese sind nämlich stets orientierbar.

Bei einer orientierten Mannigfaltigkeit besitzt jeder Tangentialraum ${}T_{P}M$ eine Orientierung. Man kann einfach eine beliebige Kartenumgebung ${}P\in U$ (aus dem orientierten Atlas) wählen und die Orientierung auf

${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,$

mittels ${}T_{P}(\alpha ^{-1})$ nach ${}T_{P}M$ transportieren. Wegen der Orientierungstreue der Kartenwechsel ist diese Orientierung unabhängig von der gewählten Kartenumgebung.

In einer orientierten Mannigfaltigkeit kann man auch zu zwei Basen in den Tangentialräumen zu zwei verschiedenen Punkten sagen, ob sie die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht. Dies ist der Fall, wenn beide Basen die Orientierung der Mannigfaltigkeit repräsentieren oder aber beide nicht.

Eine Mannigfaltigkeit heißt orientierbar, wenn sie diffeomorph zu einer orientierten Mannigfaltigkeit ist. D.h. wenn es einen Atlas gibt, der die gleiche differenzierbare Struktur definiert und der zusätzlich orientiert werden kann.

Kompaktheit

Teilmengen eines euklidischen Raumes, die sowohl abgeschlossen als auch beschränkt sind, nennt man kompakt. Auf topologischen Räumen, die nicht durch eine Metrik gegeben sind, kann man nicht von beschränkt sprechen, aber auch bei einem metrischen Raum, der keine Teilmenge eines ${}\mathbb {R} ^{n}$ ist, führen die beiden Eigenschaften abgeschlossen und beschränkt nicht sehr weit. Schlagkräftiger ist das folgende Konzept.

Definition

Ein topologischer Raum ${}X$ heißt kompakt (oder überdeckungskompakt), wenn es zu jeder offenen Überdeckung

$X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,\,\,{\text{ mit }}U_{i}{\text{ offen und einer beliebigen Indexmenge }}I$

eine endliche Teilmenge ${}J\subseteq I$ derart gibt, dass

${}X=\bigcup _{i\in J}U_{i}\,$

ist.

Diese Eigenschaft nennt man manchmal auch überdeckungskompakt. Häufig nimmt man zu kompakt noch die Eigenschaft Hausdorffsch mit hinzu. Es sei betont, dass diese Eigenschaft nicht besagt, dass es eine endliche Überdeckung aus offenen Mengen gibt (es gibt immer die triviale offene Überdeckung mit dem Gesamtraum), sondern dass man, wenn irgendeine irgendwie indizierte offene Überdeckung vorliegt, dann nur eine endliche Teilmenge aus der Indexmenge für die Überdeckung nötig ist.

Lemma

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum mit einer abzählbaren Basis.

Dann ist ${}X$ genau dann kompakt, wenn jede Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}X$ einen Häufungspunkt (in ${}X$) besitzt.

Beweis

Es sei ${}X$ kompakt und sei eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegeben.  Nehmen wir an, dass diese Folge keinen Häufungspunkt besitzt. Das bedeutet, dass es zu jedem ${}y\in X$ eine offene Umgebung ${}y\in U_{y}$ gibt, in der es nur endlich viele Folgenglieder gibt. Wegen

${}X=\bigcup _{y\in X}U_{y}\,$

gibt es nach Voraussetzung eine endliche Teilüberdeckung

${}X=\bigcup _{i=1}^{n}U_{y_{i}}\,.$

 Diese enthält einerseits alle Folgenglieder und andererseits nur endlich viele Folgenglieder, ein Widerspruch.

Es sei die Folgeneigenschaft erfüllt und sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine Überdeckung mit offenen Mengen. Da ${}X$ eine abzählbare Basis besitzt, gibt es nach Aufgabe . eine abzählbare Teilmenge ${}J\subseteq I$ mit

${}X=\bigcup _{i\in J}U_{i}\,.$

Wir können ${}J=\mathbb {N}$ annehmen.  Nehmen wir an, dass die Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }U_{i}$ keine endliche Teilüberdeckung besitzt. Dann ist insbesondere ${}\bigcup _{i=0}^{n}U_{i}\neq X$ für jedes ${}n\in \mathbb {N}$ und daher gibt es zu jedem ${}n\in \mathbb {N}$ ein ${}x_{n}\in X$ mit ${}x_{n}\not \in \bigcup _{i=0}^{n}U_{i}$. Nach Voraussetzung besitzt diese Folge einen Häufungspunkt ${}x$. Da eine Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }U_{i}$ vorliegt, gibt es ein ${}k\in \mathbb {N}$ mit ${}x\in U_{k}$. Da ${}x$ ein Häufungspunkt ist, liegen unendlich viele Folgenglieder in ${}U_{k}$. Dies ist ein Widerspruch, da nach Konstruktion für ${}n\geq k$ die Folgenglieder ${}x_{n}$ nicht zu ${}U_{k}$ gehören.

$\Box$

Der folgende Satz heißt Satz von Heine-Borel.

Satz

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine Teilmenge Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}T$ ist überdeckungskompakt.
2. Jede Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}T$ besitzt einen Häufungspunkt in ${}T$.
3. Jede Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}T$ besitzt eine in ${}T$ konvergente Teilfolge.
4. ${}T$ ist abgeschlossen und beschränkt.

Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) wurde allgemeiner in Lemma 17.4 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)) bewiesen, für die Existenz einer abzählbaren Basis siehe Aufgabe *****.
Die Äquivalenz von (2) und (3) ist klar.
Die Äquivalenz von (3) und (4) wurde in Satz 36.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) gezeigt.

$\Box$

Maße auf Mannigfaltigkeiten

Es sei ${}M$ eine Mannigfaltigkeit. Gibt es ein sinnvolles Volumen für (Teilmengen von) ${}M$, wann kann man eine auf ${}M$ definierte Funktion sinnvoll integrieren? Wenn man die Maßtheorie als allgemeines Konzept zugrunde legt, so ergibt sich folgendes Bild: es sei vorausgesetzt, dass ${}M$ einen abzählbaren Atlas ${}(U_{i},V_{i},\alpha _{i},i\in I)$ besitzt. Ein Maß ${}\mu$ auf den Borelmengen ${}{\mathcal {B}}(M)$ ist dann durch die Einschränkungen ${}\mu _{i}=\mu {|}_{U_{i}}$ des Maßes auf die offenen Teilmengen ${}U_{i}$ eindeutig bestimmt. Für jedes ${}i\in I$ definiert die Homöomorphie

$\alpha _{i}\colon U_{i}\longrightarrow V_{i}$

das Bildmaß ${}\nu _{i}={\alpha _{i}}_{*}\mu _{i}$ auf ${}V_{i}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$. Dabei stehen die Bildmaße ${}\nu _{i}$, ${}i\in I$, untereinander in der Beziehung

${}\nu _{i}(\alpha _{i}(T))=\mu (T)=\nu _{j}(\alpha _{j}(T))\,$

für jede messbare Teilmenge ${}T\subseteq U_{i}\cap U_{j}$. Mit den Kartenwechseln ${}\psi _{ij}=\alpha _{j}\circ \alpha _{i}^{-1}$ bedeutet dies

${}\nu _{i}(S)=\nu _{j}(\psi _{ij}(S))\,$

für jede messbare Menge ${}S\subseteq V_{i}$, die ganz innerhalb des Definitionsbereiches der Übergangsabbildung liegt.

Nehmen wir nun an, dass sich die Bildmaße ${}\nu _{i}$ jeweils mit einer Dichte bezüglich des Borel-Lebesgue-Maßes ${}\lambda ^{n}$ schreiben lassen, sagen wir

$\nu _{i}=g_{i}d\lambda ^{n},$

mit auf ${}V_{i}$ definierten

integrierbaren Funktionen ${}g_{i}\colon V_{i}\rightarrow \mathbb {R}$. Für eine messbare Teilmenge ${}T\subseteq U_{i}$ gilt dann also

${}\mu (T)=\nu _{i}(\alpha _{i}(T))=\int _{\alpha _{i}(T)}g_{i}\,d\lambda ^{n}\,.$

Für eine messbare Teilmenge ${}T\subseteq U_{i}\cap U_{j}$ gilt somit nach der Transformationsformel, angewendet auf die diffeomorphe Übergangsabbildung

$\psi _{ij}\colon \alpha _{i}(U_{i}\cap U_{j})\longrightarrow \alpha _{j}(U_{i}\cap U_{j}),$

die ${}\alpha _{i}(T)$ in ${}\alpha _{j}(T)$ überführt, die Gleichheit

${}{\begin{aligned}\int _{\alpha _{i}(T)}g_{i}\,d\lambda ^{n}&=\int _{\alpha _{j}(T)}g_{j}\,d\lambda ^{n}\\&=\int _{\alpha _{i}(T)}\vert {\det {\left(D\psi _{ij}\right)}}\vert \cdot (g_{j}\circ \psi _{ij})\,d\lambda ^{n}.\end{aligned}}$

Dies legt für die Dichtefunktionen ${}g_{i}$, ${}i\in I$, das Transformationsverhalten

${}g_{i}=\vert {\det {\left(D\psi _{ij}\right)}}\vert \cdot (g_{j}\circ \psi _{ij})\,$

nahe (auch wenn es dies nicht erzwingt, da eine Dichte durch ihr Maß nicht eindeutig bestimmt ist). Wir werden die Integrationstheorie für Mannigfaltigkeiten auf dem Konzept der ${}n$-Differentialformen aufbauen, die in natürlicher Weise dieses Transformationsverhalten (ohne den Betrag) besitzen.

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