Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 12

Aufgabe

Zeige, dass ein reelles Vektorbündel über einem Punkt (also einem einpunktigen topologischen Raum) das gleiche ist wie ein reeller endlichdimensionaler Vektorraum.

Aufgabe

Es sei ${}p\colon V\rightarrow X$ ein reelles Vektorbündel über einem topologischen Raum ${}X$. Zeige, dass ${}V$ genau dann ein Hausdorffraum ist, wenn ${}X$ ein Hausdorffraum ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Zeige, dass man die Identität ${}\operatorname {Id} _{X}\colon X\rightarrow X$ als ein reelles Vektorbündel vom Rang ${}0$ auffassen kann.

Aufgabe

Zeige, dass das Kernbündel aus Beispiel 12.6 trivial ist.

Aufgabe

Bestimme zum Vektorbündel

${}L={\left\{(r,s,t,u,v,w)\mid ru+sv+tw=0,\,(r,s,t)\neq (0,0,0)\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\setminus \{0,0,0\}\times \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}\setminus \{0,0,0\}\,$

lineare Trivialisierungen oberhalb von ${}D(r)$, ${}D(s)$ und ${}D(t)$, also von ${}r,s,t$ abhängige Basen oberhalb von ${}D(r)$ u.s.w. Bestimme die Basiswechselabbildungen auf ${}D(rs)=D(r)\cap D(s)$.

Aufgabe

Bestimme zum Vektorbündel

${}L={\left\{(r,s,t,u,v,w)\mid ru+sv+tw=0,\,(r,s,t)\neq (0,0,0)\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\setminus \{0,0,0\}\times \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}\setminus \{0,0,0\}\,$

diejenigen Parameter ${}(r,s,t)$, für die der Vektor ${}\left(3,\,7,\,4\right)$ zur Faser ${}L_{(r,s,t)}$ gehört.

Aufgabe

Beschreibe das Tangentialbündel zur ${}(n-1)$-dimensionalen Sphäre

${}S^{n-1}={\left\{\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\mid x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1\right\}}\subset \mathbb {R} ^{n}\,$

als ein Kernbündel im Sinne von Bemerkung 12.5, vergleiche auch Beispiel 12.7.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Zeige, dass ein Homomorphismus der (trivialen) Vektorbündel

$\varphi \colon X\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow X\times \mathbb {R} ^{m}$

das gleiche ist wie eine ${}m\times n$- Matrix, der Einträge stetige Funktionen von ${}X$ nach ${}\mathbb {R}$ sind.

Aufgabe

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und ${}f\colon U\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ eine stetig differenzierbare Abbildung. Zeige, dass durch das totale Differential in der Form

$U\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow U\times \mathbb {R} ^{m},\,(x,v)\longmapsto (x,\left(Df\right)_{x}(v)),$

ein Homomorphismus des Vektorbündels ${}U\times \mathbb {R} ^{n}$ in das Vektorbündel ${}U\times \mathbb {R} ^{m}$ gegeben ist.

Aufgabe

Betrachte den topologischen Raum

${}Y:={\left\{(s,t,u,v)\in \mathbb {R} ^{4}\mid su+tv=1\right\}}\,$

mit der Projektion

$p\colon Y\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}=X,\,(s,t,u,v)\longmapsto (s,t).$

1. Zeige, dass jede Faser von ${}p$ homöomorph zu einer reellen Geraden ist.
2. Zeige, dass durch

   ${}\varphi (s,t)=(s,t,u(s,t),v(s,t))={\left(s,t,{\frac {s}{s^{2}+t^{2}}},{\frac {t}{s^{2}+t^{2}}}\right)}\,$

   eine stetige Abbildung ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ mit

   ${}p\circ \varphi =\operatorname {Id} _{X}\,$

   gegeben ist.

3. Definiere einen Homöomorphismus zwischen ${}Y$ und ${}X\times \mathbb {R}$.
4. Zeige, dass es keine polynomiale Abbildung ${}\psi \colon X\rightarrow Y$ mit

   ${}p\circ \psi =\operatorname {Id} _{X}\,$

   gibt.

Nicht nur Vektorbündel, sondern allgemeiner topologische Räume kann man durch Verklebungsdaten beschreiben.

Unter einem Verklebungsdatum für topologische Räume versteht man den folgenden Datensatz.

1. Eine Familie ${}U_{i}$, ${}i\in I$, von topologischen Räumen.
2. Für jedes Paar ${}(i,j)$ eine offene Teilmenge ${}U_{ij}\subseteq U_{i}$ (mit ${}U_{ii}=U_{i}$).
3. Für jedes Paar ${}(i,j)$ einen Homöomorphismus

   $\varphi _{ji}\colon U_{ij}\longrightarrow U_{ji}$

   (mit ${}\varphi _{ii}=\operatorname {Id} _{U_{i}}$).

4. Für Indizes ${}i,j,k\in I$ ist die Kozykelbedingung

   ${}\varphi _{kj}\circ \varphi _{ji}=\varphi _{ki}\,$

   als Abbildung von ${}U_{ik}\cap U_{ij}$ nach ${}U_{k}$ erfüllt.

Aufgabe *

Es sei ein Verklebungsdatum ${}U_{i}$, ${}i\in I$, für topologische Räume gegeben. Zeige, dass es einen eindeutig bestimmten topologischen Raum ${}X$, eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}V_{i}$ und Homöomorphismen ${}\psi _{i}\colon U_{i}\rightarrow V_{i}$ derart gibt, dass

${}\psi _{i}{\left(U_{ij}\right)}=V_{i}\cap V_{j}\,$

ist und

${}\psi _{i}{|}_{U_{ij}}=\psi _{j}{|}_{U_{ji}}\circ \varphi _{ji}\,$

gilt.

Aufgabe *

Es sei ein Verklebungsdatum ${}E_{i}$, ${}i\in I$, über einem topologischen Raum

${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$

gegeben. Zeige, dass es ein eindeutig bestimmtes reelles Vektorbündel ${}E\rightarrow X$ und Isomorphismen ${}\psi _{i}\colon E_{i}\rightarrow E{|}_{U_{i}}$ derart gibt, dass

${}\psi _{i}{|}_{E_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}}=\psi _{j}{|}_{E_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}}\circ \varphi _{ji}\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}s\colon X\rightarrow V$ ein stetiger Schnitt zu einem reellen Vektorbündel ${}p\colon V\rightarrow X$ über einem topologischen Raum ${}X$. Zeige, dass das Bild ${}s(X)\subseteq V$ eine abgeschlossene Teilmenge ist, die homöomorph zu ${}X$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}p\colon V\rightarrow X$ ein reelles Vektorbündel vom Rang ${}r$ über einem topologischen Raum ${}X$ und sei ${}U\subseteq X$ eine offene Teilmenge. Zeige, dass es auf ${}U$ eine stetige Trivialisierung von ${}V{|}_{U}$ genau dann gibt, wenn es eine Familie von stetigen Basisschnitten

$s_{1},\ldots ,s_{r}\colon U\longrightarrow V{|}_{U}$

gibt.

Aufgabe

Ein Vektorbündel ${}V\rightarrow X$ vom Rang ${}m$ über einem topologischen Raum ${}X$ sei durch stetige Matrizenabbildungen

$\varphi _{ij}\colon U_{i}\cap U_{j}\longrightarrow \operatorname {GL} _{m}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$

zu einer offenen Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ gegeben. Zeige, dass ein stetiger Schnitt

$s\colon X\longrightarrow V$

dasselbe ist wie eine Familie von stetigen Abbildungen ${}t_{i}\colon U_{i}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$, die die Bedingungen

${}t_{j}=\varphi _{ij}t_{i}\,$

für alle ${}ij$ erfüllt.

Aufgabe

Es sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung eines topologischen Raumes ${}X$. Es seien

$\varphi _{ij}\colon U_{i}\cap U_{j}\longrightarrow \operatorname {GL} _{r}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$

und

$\psi _{ij}\colon U_{i}\cap U_{j}\longrightarrow \operatorname {GL} _{r}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$

Matrixbeschreibungen, die zu den Vektorbündeln ${}E$ bzw. ${}F$ führen. Zeige, dass diese Bündel genau dann isomorph sind, wenn es stetige Abbildungen

$\alpha _{i}\colon U_{i}\longrightarrow \operatorname {GL} _{r}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$

derart gibt, dass (für sinnvolle Einschränkungen)

${}\alpha _{i}\circ \varphi _{ij}\circ \alpha _{j}^{-1}=\psi _{ij}\,$

für alle ${}i,j$ gilt.

Aufgabe

Zeige, dass das Komplement des Nullschnittes in einem trivialen Geradenbündel nicht zusammenhängend ist.

Aufgabe

Man nehme ein schmales rechteckiges Band, verdrehe es mit einer Volldrehung um die längere Achse und verklebe die beiden kürzeren Ränder. Nun schneide man mit einer Schere das Band längs in der Mitte durch. Ist das entstehende Objekt zusammenhängend? Wie sieht es aus, wenn man ${}n$ Halbdrehungen macht?

Es sei ${}V\rightarrow X$ ein reelles Vektorbündel über einem topologischen Raum. Ein reelles Vektorbündel ${}U\rightarrow X$ heißt Unterbündel von ${}V$, wenn ein injektiver Homomorphismus von Vektorbündeln ${}U\rightarrow V$ gegeben ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und sei ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ ein Homomorphismus von reellen Vektorbündeln über ${}X$. Es sei

${}Y={\left\{P\in X\mid \varphi _{P}{\text{ ist surjektiv }}\right\}}\,$

Zeige, dass die (Familie der) Untervektorräume ${}\operatorname {kern} \varphi _{P}\subseteq V_{P}$ ein Untervektorbündel von ${}V{|}_{Y}$ bilden.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und sei ${}U\subseteq V$ ein Untervektorbündel des reellen Vektorbündels ${}V\rightarrow X$. Zeige, dass die (Familie der) Restklassenräume ${}V_{P}/U_{P}$ ein Vektorbündel auf ${}X$ bilden und dass ein surjektiver Bündelhomomorphismus ${}V\rightarrow V/U$ vorliegt.

Wir führen zwei weitere Sprechweisen ein.

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}U,V,W$ Vektorräume über ${}K$. Man nennt ein Diagramm der Form

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,U\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,V\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,W\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

eine kurze exakte Sequenz von ${}K$-Vektorräumen, wenn ${}U$ ein Untervektorraum von ${}V$ ist und wenn ${}W$ isomorph zum Restklassenraum ${}V/U$ ist.

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum, seien

$U,V,W\longrightarrow X$

Vektorbündel über ${}X$ und seien ${}\varphi \colon U\rightarrow V$ und ${}\psi \colon V\rightarrow W$ Homomorphismen. Man sagt, dass eine kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,U\,{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}\,V\,{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}\,W\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

vorliegt, wenn für jeden Punkt ${}P\in X$ für die Fasern eine kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,U_{P}\,{\stackrel {\varphi _{P}}{\longrightarrow }}\,V_{P}\,{\stackrel {\psi _{P}}{\longrightarrow }}\,W_{P}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

vorliegt.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und sei ${}U\subseteq V$ ein Untervektorbündel des reellen Vektorbündels ${}V\rightarrow X$. Zeige, dass eine kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,U\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,V\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,U/V\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

vorliegt.

Aufgabe

Es seien ${}X$ und ${}Y$ topologische Räume und ${}\varphi \colon Y\rightarrow X$ eine stetige Abbildung. Es sei ${}p\colon V\rightarrow X$ ein Vektorbündel über ${}X$. Zeige, dass ${}Y\times _{X}V$ (siehe Aufgabe 11.16) ein Vektorbündel über ${}Y$ ist.

Aufgabe

Es seien ${}X$ und ${}Y$ topologische Räume und ${}\varphi \colon Y\rightarrow X$ eine stetige Abbildung. Es sei ${}p\colon V\rightarrow X$ ein Vektorbündel über ${}X$. Beschreibe den Rückzug eines Vektorbündels mit der Hilfe von Verklebungsdaten.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und seien ${}p\colon V\rightarrow X$ und ${}q\colon W\rightarrow X$ Vektorbündel über ${}X$. Zeige, dass ${}V\times _{X}W$ (siehe Aufgabe 11.16) ein Vektorbündel über ${}X$ ist, das mit der direkten Summe von Vektorbündeln über ${}X$ übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine differenzierbare Abbildung zwischen den differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${}X$ und ${}Y$. Zeige, dass die zu einem natürlichen Vektorbündelhomomorphismus

$TY\longrightarrow \varphi ^{*}TX$

von Vektorbündeln auf ${}Y$ führt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und seien ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in C^{0}(X,\mathbb {R} )$ reellwertige stetige Funktionen auf ${}X$. Es sei ${}U=\bigcup _{i\in I}D(f_{i})\subseteq X$ und

${}S={\left\{(P;t_{1},\ldots ,f_{n})\mid P\in U,\,\sum _{i=1}^{n}f_{i}(P)t_{i}=0\right\}}\subseteq U\times \mathbb {R} ^{n}\,,$

vergleiche Bemerkung 12.5. Man gebe explizit Trivialisierungen für ${}S$ über ${}D(f_{i})$ an und zeige, dass ${}S$ ein Vektorbündel über ${}U$ vom Rang ${}n-1$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass ein reelles Geradenbündel ${}L\rightarrow X$ über einem topologischen Raum ${}X$ genau dann trivial ist, wenn es einen stetigen nullstellenfreien Schnitt besitzt.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass ein Verklebungsdatum für ein Geradenbündel zu einer offenen Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ das gleiche ist wie eine Familie von stetigen nullstellenfreien Funktionen ${}f_{ij}\colon U_{i}\cap U_{j}\rightarrow \mathbb {R}$, die auf ${}U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}$ jeweils die Bedingung ${}f_{ki}=f_{kj}\cdot f_{ji}$ erfüllen.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass das Möbiusband eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit ist.