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Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 12

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Aufgabe

Zeige, dass ein reelles Vektorbündel über einem Punkt (also einem einpunktigen topologischen Raum) das gleiche ist wie ein reeller endlichdimensionaler Vektorraum.


Aufgabe

Es sei ein reelles Vektorbündel über einem topologischen Raum . Zeige, dass genau dann ein Hausdorffraum ist, wenn ein Hausdorffraum ist.


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum. Zeige, dass man die Identität als ein reelles Vektorbündel vom Rang auffassen kann.


Aufgabe

Zeige, dass das Kernbündel aus Beispiel 12.6 trivial ist.


Aufgabe

Bestimme zum Vektorbündel

lineare Trivialisierungen oberhalb von , und , also von abhängige Basen oberhalb von u.s.w. Bestimme die Basiswechselabbildungen auf .


Aufgabe

Bestimme zum Vektorbündel

diejenigen Parameter , für die der Vektor zur Faser gehört.


Aufgabe

Beschreibe das Tangentialbündel zur -dimensionalen Sphäre

als ein Kernbündel im Sinne von Bemerkung 12.5, vergleiche auch Beispiel 12.7.


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum. Zeige, dass ein Homomorphismus der (trivialen) Vektorbündel

das gleiche ist wie eine - Matrix, der Einträge stetige Funktionen von nach sind.


Aufgabe

Es sei offen und eine stetig differenzierbare Abbildung. Zeige, dass durch das totale Differential in der Form

ein Homomorphismus des Vektorbündels in das Vektorbündel gegeben ist.


Aufgabe

Betrachte den topologischen Raum

mit der Projektion

  1. Zeige, dass jede Faser von homöomorph zu einer reellen Geraden ist.
  2. Zeige, dass durch

    eine stetige Abbildung mit

    gegeben ist.

  3. Definiere einen Homöomorphismus zwischen und .
  4. Zeige, dass es keine polynomiale Abbildung mit

    gibt.


Nicht nur Vektorbündel, sondern allgemeiner topologische Räume kann man durch Verklebungsdaten beschreiben.


Unter einem Verklebungsdatum für topologische Räume versteht man den folgenden Datensatz.

  1. Eine Familie , , von topologischen Räumen.
  2. Für jedes Paar eine offene Teilmenge (mit ).
  3. Für jedes Paar einen Homöomorphismus

    (mit ).

  4. Für Indizes ist die Kozykelbedingung

    als Abbildung von nach erfüllt.


Aufgabe *

Es sei ein Verklebungsdatum , , für topologische Räume gegeben. Zeige, dass es einen eindeutig bestimmten topologischen Raum , eine offene Überdeckung und Homöomorphismen derart gibt, dass

ist und

gilt.


Aufgabe *

Es sei ein Verklebungsdatum , , über einem topologischen Raum

gegeben. Zeige, dass es ein eindeutig bestimmtes reelles Vektorbündel und Isomorphismen derart gibt, dass

gilt.


Aufgabe

Es sei ein stetiger Schnitt zu einem reellen Vektorbündel über einem topologischen Raum . Zeige, dass das Bild eine abgeschlossene Teilmenge ist, die homöomorph zu ist.


Aufgabe

Es sei ein reelles Vektorbündel vom Rang über einem topologischen Raum und sei eine offene Teilmenge. Zeige, dass es auf eine stetige Trivialisierung von genau dann gibt, wenn es eine Familie von stetigen Basisschnitten

gibt.


Aufgabe

Ein Vektorbündel vom Rang über einem topologischen Raum sei durch stetige Matrizenabbildungen

zu einer offenen Überdeckung gegeben. Zeige, dass ein stetiger Schnitt

dasselbe ist wie eine Familie von stetigen Abbildungen , die die Bedingungen

für alle erfüllt.


Aufgabe

Es sei eine offene Überdeckung eines topologischen Raumes . Es seien

und

Matrixbeschreibungen, die zu den Vektorbündeln bzw. führen. Zeige, dass diese Bündel genau dann isomorph sind, wenn es stetige Abbildungen

derart gibt, dass (für sinnvolle Einschränkungen)

für alle gilt.


Aufgabe

Zeige, dass das Komplement des Nullschnittes in einem trivialen Geradenbündel nicht zusammenhängend ist.


Aufgabe

Man nehme ein schmales rechteckiges Band, verdrehe es mit einer Volldrehung um die längere Achse und verklebe die beiden kürzeren Ränder. Nun schneide man mit einer Schere das Band längs in der Mitte durch. Ist das entstehende Objekt zusammenhängend? Wie sieht es aus, wenn man Halbdrehungen macht?


Es sei ein reelles Vektorbündel über einem topologischen Raum. Ein reelles Vektorbündel heißt Unterbündel von , wenn ein injektiver Homomorphismus von Vektorbündeln gegeben ist.


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum und sei ein Homomorphismus von reellen Vektorbündeln über . Es sei

Zeige, dass die (Familie der) Untervektorräume ein Untervektorbündel von bilden.


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum und sei ein Untervektorbündel des reellen Vektorbündels . Zeige, dass die (Familie der) Restklassenräume ein Vektorbündel auf bilden und dass ein surjektiver Bündelhomomorphismus vorliegt.


Wir führen zwei weitere Sprechweisen ein.

Es sei ein Körper und seien Vektorräume über . Man nennt ein Diagramm der Form

eine kurze exakte Sequenz von -Vektorräumen, wenn ein Untervektorraum von ist und wenn isomorph zum Restklassenraum ist.


Es sei ein topologischer Raum, seien

Vektorbündel über und seien und Homomorphismen. Man sagt, dass eine kurze exakte Sequenz

vorliegt, wenn für jeden Punkt für die Fasern eine kurze exakte Sequenz

vorliegt.


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum und sei ein Untervektorbündel des reellen Vektorbündels . Zeige, dass eine kurze exakte Sequenz

vorliegt.


Aufgabe

Es seien und topologische Räume und eine stetige Abbildung. Es sei ein Vektorbündel über . Zeige, dass (siehe Aufgabe 11.16) ein Vektorbündel über ist.


Aufgabe

Es seien und topologische Räume und eine stetige Abbildung. Es sei ein Vektorbündel über . Beschreibe den Rückzug eines Vektorbündels mit der Hilfe von Verklebungsdaten.


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum und seien und Vektorbündel über . Zeige, dass (siehe Aufgabe 11.16) ein Vektorbündel über ist, das mit der direkten Summe von Vektorbündeln über übereinstimmt.


Aufgabe

Es sei eine differenzierbare Abbildung zwischen den differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und . Zeige, dass die zu einem natürlichen Vektorbündelhomomorphismus

von Vektorbündeln auf führt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein topologischer Raum und seien reellwertige stetige Funktionen auf . Es sei und

vergleiche Bemerkung 12.5. Man gebe explizit Trivialisierungen für über an und zeige, dass ein Vektorbündel über vom Rang ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass ein reelles Geradenbündel über einem topologischen Raum genau dann trivial ist, wenn es einen stetigen nullstellenfreien Schnitt besitzt.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass ein Verklebungsdatum für ein Geradenbündel zu einer offenen Überdeckung das gleiche ist wie eine Familie von stetigen nullstellenfreien Funktionen , die auf jeweils die Bedingung erfüllen.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass das Möbiusband eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit ist.




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