Kurs:Elementare Algebra/21/Klausur mit Lösungen
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Punkte | 3 | 3 | 2 | 2 | 2 | 4 | 1 | 3 | 4 | 4 | 7 | 7 | 6 | 6 | 4 | 3 | 61 |
Aufgabe (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Die Ordnung eines Elements in einer Gruppe .
- Ein Nichtnullteiler in einem kommutativen Ring .
- Ein Körper .
- Die eulersche Funktion zu .
- Der Zerfällungskörper zu einem Polynom über einem Körper .
- Eine konstruierbare Zahl .
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Die Ordnung eines Elements in einer Gruppe .
- Ein Nichtnullteiler in einem kommutativen Ring .
- Ein Körper .
- Die eulersche Funktion zu .
- Der Zerfällungskörper zu einem Polynom über einem Körper .
- Eine konstruierbare Zahl .
Aufgabe (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Fundamentalsatz der Algebra.
- Der Satz über die Faktorzerlegung im Quotientenkörper zu einem faktoriellen Bereich .
- Der Satz über die Winkeldreiteilung.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Fundamentalsatz der Algebra.
- Der Satz über die Faktorzerlegung im Quotientenkörper zu einem faktoriellen Bereich .
- Der Satz über die Winkeldreiteilung.
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei eine ganze Zahl, von der die folgenden Eigenschaften bekannt sind:
- ist negativ.
- ist ein Vielfaches von , aber nicht von .
- ist kein Vielfaches von .
- ist ein Vielfaches von , aber nicht von .
- In der Primfaktorzerlegung von gibt es keine Primzahl, die größer als ist.
Was ist ?
Wir müssen nur für die Primzahlen bestimmen, mit welcher Potenz sie in vorkommen. Wegen (2) kommt mit der dritten Potenz vor, aber nicht mit der vierten. Wegen (3) ist kein Teiler von , da ja ein Teiler ist, und wegen (4) ist ein Teiler von . Wegen (4) kommt mit der zweiten Potenz vor, aber nicht mit der dritten. Daher ist
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei eine natürliche Zahl. Wann ist die Zahl eine Primzahl?
Es gilt generell die Zerlegung
Bei sind beide Faktoren und daher kann nicht prim sein. Bei ist
eine Primzahl. Bei liegt keine Primzahl vor.
Aufgabe (2 Punkte)
Führe in die Division mit Rest „ durch “ für die beiden Polynome und durch.
Es ist
Aufgabe (4 Punkte)
Die Einheiten sind genau die Elemente der Form
Solche Elemente sind Einheiten, da ja
gilt. Wenn umgekehrt mit eine Einheit ist, so gibt es ein mit entsprechend und mit
Dabei seien die angeführten Koeffizienten . Das Produkt ist daher von der Form
Dies kann nur dann gleich sein, wenn
ist, was nur bei möglich ist.
Aufgabe (1 Punkt)
Es sei eine kommutative Gruppe und
ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ebenfalls kommutativ ist.
Es seien . Dann gibt es mit und . Dann ist
Aufgabe (3 (1.5+1.5) Punkte)
(a) Bestimme für die Zahlen , und modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
die Restetupel und repräsentieren.
(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenzen
a) : Wir betrachten die Vielfachen von , diese haben modulo und modulo den Rest . Unter diesen Vielfachen muss also die Lösung liegen. hat modulo den Rest , somit hat modulo den Rest . Also repräsentiert das Restetupel .
: Hier betrachtet man die Vielfachen von , und hat modulo den Rest und hat modulo den Rest , also repräsentiert das Restetupel .
: Hier betrachtet man die Vielfachen von , und hat modulo den Rest und hat modulo den Rest , also repräsentiert das Restetupel .
b) Man schreibt (in )
Die Lösung ist dann
Die minimale Lösung ist dann .
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei eine Primzahl und . Zeige, dass der Restklassenring nur die beiden trivialen idempotenten Elemente und besitzt.
Es sei ein idempotentes Element. Dies bedeutet
und somit ist ein Vielfaches von , sagen wir
Nehmen wir an. Wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung in ist
und
mit
Wären , so wäre sowohl als auch ein Vielfaches von , und das würde dann auch für gelten, was nicht der Fall ist. Also ist oder , was oder im Restklassenring bedeutet.
Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)
a) Zeige, dass durch
ein Körper mit Elementen gegeben ist.
b) Berechne in das Produkt .
c) Berechne das (multiplikativ) Inverse zu .
a) Es ist
Also besitzt das Polynom keine Nullstelle in und ist somit irreduzibel, also ist ein Körper. Die Restklassen von bilden eine -Basis, sodass dieser Körper Elemente besitzt.
b) Es ist
c) Polynomdivision liefert
In gilt somit
Aufgabe (7 Punkte)
Es seien und Ideale in einem kommutativen Ring und sei . Zeige die Gleichheit
Zum Beweis der Inklusion sei . Da das Produkt von Idealen aus allen Summen von Produkten besteht, bedeutet dies, dass
wobei
mit ist. Dies bedeutet wiederum, dass
mit und ist. Somit ist
Wenn man ein solches Produkt distributiv ausrechnet, so erhält man eine Summe von Produkten mit Faktoren, wobei Faktoren zu und Faktoren zu gehören. Damit gehören diese Summanden zur rechten Seite und somit auch die und auch .
Zum Beweis der Inklusion genügt es, die Inklusion für jedes zu zeigen. Wegen ist aber sofort
Aufgabe (7 (1+2+4) Punkte)
a) Zeige, dass irreduzibel in ist.
b) Zeige, dass irreduzibel in ist. (Tipp: In gilt die Zerlegung .)
c) Bestimme die Partialbruchzerlegung von
in .
a) Das Polynom ist für rationale (auch reelle) Zahlen stets positiv und besitzt daher keine Nullstelle. Nach Lemma 6.9 (Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)) ist es somit irreduzibel.
b) Über hat man die Faktorisierung
Die beiden Faktoren haben keine reelle Nullstelle, da stets positiv ist. Eine Zerlegung über würde zu der gegebenen Zerlegung über führen, wegen gehören aber nicht zu . Das Polynom ist also irreduzibel in .
c) Wir machen den Ansatz
Durch Multiplikation mit dem Hauptnenner führt dies auf
Also ist
und
Aus
folgt durch Addition der ersten beiden Gleichungen und damit
Aus
folgt
also
und aus
ergibt sich
und somit
Die Partialbruchzerlegung ist also
Aufgabe (6 Punkte)
Beweise die „Gradformel“ für eine Kette von endlichen Körpererweiterungen .
Wir setzen und . Es sei eine -Basis von und eine -Basis von . Wir behaupten, dass die Produkte
bilden. Wir zeigen zuerst, dass diese Produkte den Vektorraum über aufspannen. Es sei dazu . Wir schreiben
mit Koeffizienten ausdrücken. Das ergibt
Daher ist eine -Linearkombination der Produkte .
Um zu zeigen, dass diese Produkte
linear unabhängig sind, sei
angenommen mit . Wir schreiben dies als . Da die linear unabhängig über sind und die Koeffizienten der zu gehören folgt, dass ist für jedes . Da die linear unabhängig über sind und ist folgt, dass ist für alle .
Aufgabe (6 Punkte)
Es sei eine rationale Zahl, die in keine dritte Wurzel besitzt. Bestimme den Zerfällungskörper des Polynoms über . Welchen Grad besitzt er? Man gebe auch eine Realisierung des Zerfällungskörpers als Unterkörper von an.
Da keine dritte Wurzel in besitzt, ist das Polynom in irreduzibel. Daher ist
eine Körpererweiterung vom Grad drei. Es sei die eindeutig bestimmte reelle dritte Wurzel aus . Durch die Zuordnung können wir als Unterkörper von auffassen. In (und in ) hat das Polynom die Zerlegung
Da es in nur eine dritte Wurzel gibt, und da keine Nullstelle des rechten Faktors ist, ist das Polynom
über und erst recht über irreduzibel. Von daher ist nicht der Zerfällungskörper. In der quadratischen Erweiterung
zerfällt das Polynom und damit auch in Linearfaktoren. Der Grad des Zerfällungskörpers ist also nach der Gradformel gleich .
Um eine Realisierung des Zerfällungskörpers in zu erhalten, betrachten wir
Die Lösungen dazu sind in gleich
Daher ist der Zerfällungskörper gleich
Aufgabe (4 Punkte)
Zeige, dass zu zwei konstruierbaren positiven reellen Zahlen und die Potenz nicht konstruierbar sein muss.
Sei und
Die Zahl
ist algebraisch und wird von annulliert. Da liegt, gibt es nur eine reelle Nullstelle und keine rationale Nullstelle. Daher ist nach Lemma 6.9 (Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)) das Polynom irreduzibel und daher nach Lemma 23.2 (Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)) gleich dem Minimalpolynom. Also besitzt die Körpererweiterung
den Grad . Nach Korollar 26.7 (Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)) kann daher nicht konstruierbar sein.
Aufgabe (3 Punkte)
Zeige, dass es auf dem Einheitskreis unendlich viele konstruierbare Punkte gibt.
Der Einheitskreis selbst ist konstruierbar, da er den Mittelpunkt besitzt und durch läuft. Der Punkt ist ebenfalls konstruierbar und somit hat man auch die -Achse zur Verfügung. Man kann nun den dadurch gegebenen rechten Winkel durch eine konstruierbare Gerade halbieren und erhält einen neuen Schnittpunkt mit dem Einheitskreis, der somit konstruierbar ist. Den entstehenden Winkel kann man wieder halbieren und so erhält man eine neue Gerade und einen neuen Punkt auf dem Einheitskreis. So fortfahrend erhält man unendlich viele Punkte auf dem Einheitskreis.