Kurs:Elementare Algebra/21/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 4 4 2 2 2 4 1 3 4 4 7 7 6 6 4 3 63




Aufgabe (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Monoid .
  2. Die Ordnung eines Elements in einer Gruppe .
  3. Ein Nichtnullteiler in einem kommutativen Ring .
  4. Ein Körper .
  5. Ein Ideal in einem kommutativen Ring .
  6. Die eulersche Funktion zu .
  7. Der Zerfällungskörper zu einem Polynom über einem Körper .
  8. Eine konstruierbare Zahl .


Lösung

  1. Ein Monoid ist eine Menge zusammen mit einer Verknüpfung

    und einem ausgezeichneten Element derart, dass folgende beiden Bedingungen erfüllt sind.

    1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. es gilt

      für alle .

    2. ist neutrales Element der Verknüpfung, d.h. es gilt

      für alle .

  2. Man nennt die kleinste positive Zahl mit die Ordnung von . Wenn alle positiven Potenzen von vom neutralen Element verschieden sind, so setzt man .
  3. Das Element ist ein Nichtnullteiler, wenn für jedes aus folgt, dass ist.
  4. Ein Körper ist ein kommutativer Ring, wenn ist und wenn jedes von verschiedene Element in ein multiplikatives Inverses besitzt.
  5. Ein Ideal ist eine nichtleere Teilmenge , für die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
    1. Für alle ist auch .
    2. Für alle und ist auch .
  6. Zu einer natürlichen Zahl bezeichnet die Anzahl der Elemente von .
  7. Es sei eine Körpererweiterung, über der in Linearfaktoren zerfällt. Es seien die Nullstellen von . Dann nennt man

    einen Zerfällungskörper von .

  8. Eine Zahl heißt konstruierbar, wenn sie aus der Startmenge

    mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die rekursive Beziehung zwischen den Binomialkoeffizienten (Pascalsches Dreieck).
  2. Der Fundamentalsatz der Algebra.
  3. Der Satz über die Faktorzerlegung im Quotientenkörper zu einem faktoriellen Bereich .
  4. Der Satz über die Winkeldreiteilung.


Lösung

  1. Die Binomialkoeffizienten erfüllen die rekursive Beziehung
  2. Jedes nichtkonstante Polynom über den komplexen Zahlen besitzt eine Nullstelle.
  3. Jedes Element , , besitzt eine im Wesentlichen eindeutige Produktzerlegung
    mit einer Einheit und ganzzahligen Exponenten .
  4. Es ist nicht möglich, einen beliebig vorgegebenen Winkel mittels Zirkel und Lineal in drei gleich große Teile zu unterteilen.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine ganze Zahl, von der die folgenden Eigenschaften bekannt sind:

  1. ist negativ.
  2. ist ein Vielfaches von , aber nicht von .
  3. ist kein Vielfaches von .
  4. ist ein Vielfaches von , aber nicht von .
  5. In der Primfaktorzerlegung von gibt es keine Primzahl, die größer als ist.

Was ist ?


Lösung

Wir müssen nur für die Primzahlen bestimmen, mit welcher Potenz sie in vorkommen. Wegen (2) kommt mit der dritten Potenz vor, aber nicht mit der vierten. Wegen (3) ist kein Teiler von , da ja ein Teiler ist, und wegen (4) ist ein Teiler von . Wegen (4) kommt mit der zweiten Potenz vor, aber nicht mit der dritten. Daher ist


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine natürliche Zahl. Wann ist die Zahl eine Primzahl?


Lösung

Es gilt generell die Zerlegung

Bei sind beide Faktoren und daher kann nicht prim sein. Bei ist

eine Primzahl. Bei liegt keine Primzahl vor.


Aufgabe (2 Punkte)

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Lösung

Es ist


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Einheiten im Ring , wobei ein Körper ist.


Lösung

Die Einheiten sind genau die Elemente der Form

Solche Elemente sind Einheiten, da ja

gilt. Wenn umgekehrt mit eine Einheit ist, so gibt es ein mit entsprechend und mit

Dabei seien die angeführten Koeffizienten . Das Produkt ist daher von der Form

Dies kann nur dann gleich sein, wenn

ist, was nur bei möglich ist.


Aufgabe (1 Punkt)

Es sei eine kommutative Gruppe und

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ebenfalls kommutativ ist.


Lösung

Seien . Dann gibt es mit und . Dann ist


Aufgabe (3 (1.5+1.5) Punkte)

(a) Bestimme für die Zahlen , und modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

die Restetupel und repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenzen


Lösung

a) : Wir betrachten die Vielfachen von , diese haben modulo und modulo den Rest . Unter diesen Vielfachen muss also die Lösung liegen. hat modulo den Rest , somit hat modulo den Rest . Also repräsentiert das Restetupel .

: Hier betrachtet man die Vielfachen von , und hat modulo den Rest und hat modulo den Rest , also repräsentiert das Restetupel .

: Hier betrachtet man die Vielfachen von , und hat modulo den Rest und hat modulo den Rest , also repräsentiert das Restetupel .

b) Man schreibt (in )

Die Lösung ist dann

Die minimale Lösung ist dann .


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine Primzahl und . Zeige, dass der Restklassenring nur die beiden trivialen idempotenten Elemente und besitzt.


Lösung

Sei ein idempotentes Element. Dies bedeutet

und somit ist ein Vielfaches von , sagen wir

Nehmen wir an. Wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung in ist

und

mit

Wären , so wäre sowohl als auch ein Vielfaches von , und das würde dann auch für gelten, was nicht der Fall ist. Also ist oder , was oder im Restklassenring bedeutet.


Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

a) Zeige, dass durch

ein Körper mit Elementen gegeben ist.

b) Berechne in das Produkt .

c) Berechne das (multiplikativ) Inverse zu .


Lösung

a) Es ist

Also besitzt das Polynom keine Nullstelle in und ist somit irreduzibel, also ist ein Körper. Die Restklassen von bilden eine -Basis, so dass dieser Körper Elemente besitzt.

b) Es ist

c) Polynomdivision liefert

In gilt somit

Das Inverse von in ist , also ist
das Inverse von .


Aufgabe (7 Punkte)

Es seien und Ideale in einem kommutativen Ring und sei . Zeige die Gleichheit


Lösung

Zum Beweis der Inklusion sei . Da das Produkt von Idealen aus allen Summen von Produkten besteht, bedeutet dies, dass

wobei

mit ist. Dies bedeutet wiederum, dass

mit und ist. Somit ist

Wenn man ein solches Produkt distributiv ausrechnet, so erhält man eine Summe von Produkten mit Faktoren, wobei Faktoren zu und Faktoren zu gehören. Damit gehören diese Summanden zur rechten Seite und somit auch die und auch .

Zum Beweis der Inklusion genügt es, die Inklusion für jedes zu zeigen. Wegen ist aber sofort


Aufgabe (7 (1+2+4) Punkte)

a) Zeige, dass irreduzibel in ist.

b) Zeige, dass irreduzibel in ist. (Tipp: In gilt die Zerlegung )

c) Bestimme die Partialbruchzerlegung von

in .


Lösung

a) Das Polynom ist für rationale (auch reelle) Zahlen stets positiv und besitzt daher keine Nullstelle. Nach Lemma 6.9 ist es somit irreduzibel.

b) Über hat man die Faktorisierung

Die beiden Faktoren haben keine reelle Nullstelle, da stets positiv ist. Eine Zerlegung über würde zu der gegebenen Zerlegung über führen, wegen gehören aber nicht zu . Das Polynom ist also irreduzibel in .

c) Wir machen den Ansatz

Durch Multiplikation mit dem Hauptnenner führt dies auf

Also ist

und

Aus

folgt durch Addition der ersten beiden Gleichungen und damit

Aus

folgt

also

und aus

ergibt sich

und somit

Die Partialbruchzerlegung ist also


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise die „Gradformel“ für eine Kette von endlichen Körpererweiterungen .


Lösung

Wir setzen und . Es sei eine -Basis von und eine -Basis von . Wir behaupten, dass die Produkte

eine -Basis von

bilden. Wir zeigen zuerst, dass diese Produkte den Vektorraum über aufspannen. Sei dazu . Wir schreiben

Wir können jedes als

 mit Koeffizienten ausdrücken. Das ergibt

Daher ist eine -Linearkombination der Produkte .
Um zu zeigen, dass diese Produkte linear unabhängig sind, sei

angenommen mit . Wir schreiben dies als . Da die linear unabhängig über sind und die Koeffizienten der zu gehören folgt, dass ist für jedes . Da die linear unabhängig über sind und ist folgt, dass ist für alle .


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei eine rationale Zahl, die in keine dritte Wurzel besitzt. Bestimme den Zerfällungskörper des Polynoms über . Welchen Grad besitzt er? Man gebe auch eine Realisierung des Zerfällungskörpers als Unterkörper von an.


Lösung

Da keine dritte Wurzel in besitzt, ist das Polynom in irreduzibel. Daher ist

eine Körpererweiterung vom Grad drei. Es sei die eindeutig bestimmte reelle dritte Wurzel aus . Durch die Zuordnung können wir als Unterkörper von auffassen. In (und in ) hat das Polynom die Zerlegung

Da es in nur eine dritte Wurzel gibt, und da keine Nullstelle des rechten Faktors ist, ist das Polynom

über und erst recht über irreduzibel. Von daher ist nicht der Zerfällungskörper. In der quadratischen Erweiterung

zerfällt das Polynom und damit auch in Linearfaktoren. Der Grad des Zerfällungskörpers ist also nach der Gradformel gleich .

Um eine Realisierung des Zerfällungskörpers in zu erhalten, betrachten wir

Die Lösungen dazu sind in gleich

Daher ist der Zerfällungskörper gleich


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass zu zwei konstruierbaren positiven reellen Zahlen und die Potenz nicht konstruierbar sein muss.


Lösung

Sei und

Die Zahl

ist algebraisch und wird von annulliert. Da liegt, gibt es nur eine reelle Nullstelle und keine rationale Nullstelle. Daher ist nach Lemma 6.9 das Polynom irreduzibel und daher nach Lemma 23.2 gleich dem Minimalpolynom. Also besitzt die Körpererweiterung

den Grad . Nach Korollar 26.7 kann daher nicht konstruierbar sein.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass es auf dem Einheitskreis unendlich viele konstruierbare Punkte gibt.


Lösung

Der Einheitskreis selbst ist konstruierbar, da er den Mittelpunkt besitzt und durch läuft. Der Punkt ist ebenfalls konstruierbar und somit hat man auch die -Achse zur Verfügung. Man kann nun den dadurch gegebenen rechten Winkel durch eine konstruierbare Gerade halbieren und erhält einen neuen Schnittpunkt mit dem Einheitskreis, der somit konstruierbar ist. Den entstehenden Winkel kann man wieder halbieren und so erhält man eine neue Gerade und einen neuen Punkt auf dem Einheitskreis. So fortfahrend erhält man unendlich viele Punkte auf dem Einheitskreis.