Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 18/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Skizziere die Funktion

g\colon \mathbb {R} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto e^{-{\frac {1}{x}}}.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Skizziere die Funktion

g\colon \mathbb {R} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}.

Ist diese Funktion im Nullpunkt stetig fortsetzbar?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Skizziere die Funktion

g\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin {\frac {1}{x}}.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die durch

f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {1}{x}}{\text{ für }}x\neq 0\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}

definierte Funktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

nicht stetig ist, aber dem Zwischenwertsatz genügt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der Funktionslimes für ${}x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$ , ${}x\rightarrow 0$ , existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt.

${}\sin {\frac {1}{x}}$ ,
${}x\cdot \sin {\frac {1}{x}}$ ,
${}{\frac {1}{x}}\cdot \sin {\frac {1}{x}}$ .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Untersuche den Graphen der durch

{}f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {1}{x}}{\text{ für }}x\neq 0\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,

gegebenen Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ auf Zusammenhangseigenschaften.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die durch

{}f(x)={\begin{cases}x\cdot \sin {\frac {1}{x}}{\text{ für }}x\neq 0\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,

definierte Funktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

stetig ist. Ist der Graph dieser Funktion „zeichenbar“?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Funktion

f(x)={\begin{cases}x\sin {\frac {1}{x}}{\text{ für }}x\in {]0,1]},\\0{\text{ für }}x=0,\end{cases}}

stetig ist und unendlich viele Nullstellen besitzt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Funktion

f(x)={\begin{cases}x\sin {\frac {1}{x}}{\text{ für }}x\in {]0,1]},\\0{\text{ für }}x=0,\end{cases}}

unendlich viele isolierte lokale Maxima und unendlich viele isolierte lokale Minima besitzt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass die (stetige) Funktion

f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\begin{cases}x\sin {\frac {1}{x}}{\text{ bei }}x>0\,,\\0{\text{ bei }}x=0\,,\end{cases}}

nicht rektifizierbar ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Wir betrachten die durch

f(x)={\begin{cases}x\cdot \sin {\frac {1}{x}}{\text{ für }}x\neq 0\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}

definierte Funktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .

Zeige, dass es zu jedem ${}\lambda ,\,-1\leq \lambda \leq 1$ , eine Nullfolge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} _{+}$ derart gibt, dass die Folge der Differenzenquotienten

{\frac {f(x_{n})-f(0)}{x_{n}}}

gegen ${}\lambda$ konvergiert.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} _{+}\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion und sei ${}\Gamma \subseteq \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R}$ der Graph von ${}f$ . Es sei ${}{\overline {\Gamma }}\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R}$ der Abschluss von ${}\Gamma$ und sei

{}M={\left(0\times \mathbb {R} \right)}\cap {\overline {\Gamma }}\,.

Zeige, dass jedes abgeschlossene Intervall als ein solches ${}M$ zu einer stetigen Funktion ${}f$ auftritt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} _{+}\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion und sei ${}\Gamma \subseteq \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R}$ der Graph von ${}f$ . Es sei ${}{\overline {\Gamma }}\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R}$ der Abschluss von ${}\Gamma$ und sei

{}M={\left(0\times \mathbb {R} \right)}\cap {\overline {\Gamma }}\,.

Zeige, dass ${}M$ leer oder ein abgeschlossenes Intervall ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

f\colon U{\left(0,r\right)}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} }

eine holomorphe Funktion, die in ${}0$ eine wesentliche Singularität besitze. Zeige, dass ${}z^{n}f$ für jedes ${}n\in \mathbb {Z}$ ebenfalls eine wesentliche Singularität besitzt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, ${}a\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und

f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }

eine holomorphe Funktion. Zeige, dass ${}f$ in ${}a$ genau dann eine wesentliche Singularität besitzt, wenn dies für die Ableitung ${}f'$ gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, ${}a\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und

f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }

eine nullstellenfreie holomorphe Funktion. Zeige, dass ${}f$ in ${}a$ genau dann eine wesentliche Singularität besitzt, wenn dies für ${}{\frac {1}{f}}$ gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, ${}a\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und

f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }

eine holomorphe Funktion. Es sei ${}\Gamma \subseteq {\left(U\setminus \{a\}\right)}\times {\mathbb {C} }$ der Graph von ${}f$ und sei ${}{\overline {\Gamma }}\subseteq U\times {\mathbb {C} }$ der Abschluss von ${}\Gamma$ . Zeige, dass es die drei Möglichkeiten

{}{\overline {\Gamma }}\cap {\left(\{a\}\times {\mathbb {C} }\right)}={\begin{cases}{\text{ ein Punkt}}\,,\\{\text{ leer}}\,,\\\{a\}\times {\mathbb {C} }\,,\end{cases}}\,

gibt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}S$ die Menge der holomorphen Keime ${}f$ auf punktierten Kreisscheiben ${}U{\left(0,r\right)}\setminus \{0\}$ (zu variierenden Radien ${}r>0$ ).

Zeige, dass ${}S$ ein kommutativer Ring ist.
Charakterisiere die Einheiten von ${}S$ .
Zeige, dass die Teilmenge ${}A\subseteq S$ der nach ${}0$ holomorph fortsetzbaren Funktionskeime mit ${}f(0)=0$ kein Ideal in ${}S$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}f\neq 0$ eine meromorphe Funktion auf ${}U{\left(0,r\right)}$ , die auf der punktierten Kreisscheibe ${}U{\left(0,r\right)}\setminus \{0\}$ holomorph sei. Zeige, dass ${}0$ kein Häufungspunkt der Nullstellen von ${}f$ ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel einer holomorphen Funktion ${}f\neq 0$ auf der punktierten Kreisscheibe ${}U{\left(0,r\right)}\setminus \{0\}$ derart, dass ${}0$ ein Häufungspunkt der Nullstellen von ${}f$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

f\colon U{\left(0,r\right)}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} }

eine holomorphe Funktion und sei ${}[f]$ der zugehörige Funktionskeim (es werden also solche Funktionen miteinander identifiziert, wenn sie auf einer hinreichend kleinen punktierten Kreisscheibe übereinstimmen). Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

Der Nullpunkt ist kein Häufungspunkt der Nullstellenmenge von ${}f$ .
Für jeden holomorphen Repräsentanten
$g\colon U{\left(0,r\right)}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

ist der Nullpunkt kein Häufungspunkt der Nullstellenmenge von ${}g$ .
Es gibt einen nullstellenfreien holomorphen Repräsentanten
$g\colon U{\left(0,r\right)}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} }.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ die Menge der holomorphen Keime ${}f$ auf punktierten Kreisscheiben ${}U{\left(0,r\right)}\setminus \{0\}$ mit der Eigenschaft, dass der Nullpunkt kein Häufungspunkt der Nullstellenmenge von ${}f$ ist (abgesehen vom Nullkeim, der zu ${}R$ gehört).

Zeige, dass ${}R$ ein kommutativer Ring ist.
Zeige, dass ${}R$ ein Körper ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

{}R={\text{ Ring der holomorphen Keime auf }}U{\left(0,r\right)}{\text{ ohne Nullstelle (aber mit }}0)\,

und

{}S={\text{ Ring der holomorphen Keime auf }}U{\left(0,r\right)}\,

(mit ${}r$ variierend). Zeige, dass die folgenden (jeweils echten) Inklusionen vorliegen.

{\begin{matrix}{\mathbb {C} }[T]_{(T)}&\subseteq &{\mathbb {C} }\langle \!\langle T\rangle \!\rangle &\searrow &&\nearrow &S\\\downarrow &&\downarrow &&R&&\downarrow &\\{\mathbb {C} }(T)&\subseteq &{\mathcal {M}}_{0}&\nearrow &&\searrow &Q(S)\,.\end{matrix}}

Aufgabe Aufgabe 18.24 ändern

Es sei ${}D\subseteq {\mathbb {C} }$ eine diskrete Teilmenge und sei

f\colon {\mathbb {C} }\setminus D\longrightarrow {\mathbb {C} }

eine holomorphe Funktion. Es gebe ein ${}B\in \mathbb {R}$ mit

{}\vert {f(z)}\vert \leq B\,

für alle ${}z\in {\mathbb {C} }\setminus D$ . Zeige, dass ${}f$ konstant ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass Satz 18.6 nicht für holomorphe Funktionen gilt, die auf einem nach außen unbeschränkten Kreisring definiert sind.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine auch einem nach außen unbeschränkten Kreisring ${}U$ definierte holomorphe Funktion. Zeige, dass ${}f$ genau dann eine rationale Funktion ist, wenn die auf einer offenen punktierten Umgebung ${}V$ der ${}0$ definierte holomorphe Funktion

V\longrightarrow {\mathbb {C} },\,w\longmapsto f{\left({\frac {1}{w}}\right)},

im Nullpunkt keine wesentliche Singularität besitzt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}n\geq 2$ . Zeige, dass es ${}n$ Punkte ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in {\mathbb {C} }$ derart gibt, dass es auf

{}U={\mathbb {C} }\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{n}\}\,

eine von der Identität verschiedene biholomorphe Abbildung ${}\varphi \colon U\rightarrow U$ gibt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}U,V\subseteq {\mathbb {C} }$ offene Teilmengen, die zueinander biholomorph seien. Zeige, dass die Automorphismengruppen ${}\operatorname {Aut} \,U$ und ${}\operatorname {Aut} \,V$ zueinander isomorph sind.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei

g\colon ]0,1]\longrightarrow \mathbb {R} _{+}

eine stetige Funktion mit ${}g(1)=1$ . Zeige, dass durch

{}f(x):={\begin{cases}g(x)\,,{\text{ für }}x\leq 1,\,\\{\frac {1}{g\left({\frac {1}{x}}\right)}}{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,

eine Funktion

f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+}

gegeben ist, die die Bedingung

{}f\left({\frac {1}{x}}\right)={\frac {1}{f(x)}}\,

für alle ${}x\in \mathbb {R} _{+}$ erfüllt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei

h\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion, wir betrachten dazu die zusammengesetzte Funktion

{}f:=\exp \circ h\circ \ln \,,

also

{}f(x):=\exp \left(h{\left(\ln x\right)}\right)\,

auf ${}\mathbb {R} _{+}$ .

Bestimme für die lineare Funktion (mit dem Proportionalitätsfaktor ${}c$ )
${}h(t)=ct\,$

die zugehörige Funktion ${}f(x)$ .
Es sei nun ${}h$ eine beliebige ungerade Funktion. Zeige, dass ${}f$ die Bedingung
${}f\left({\frac {1}{x}}\right)={\frac {1}{f(x)}}\,$

für alle ${}x\in \mathbb {R} _{+}$ erfüllt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

f\colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow \mathbb {R}

durch

{}f(x,y)=\sin ^{2}\left({\frac {1}{x^{2}+y^{2}}}\right)\,

gegeben. Begründe, dass das Singularitätsverhalten von ${}f$ um ${}0$ nicht das Singularitätsverhalten des Betrages einer holomorphen Funktion auf ${}{\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ sein kann.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Beschreibe die Gruppenstruktur auf der Gruppe der Automorphismen von ${}{\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ mit Hilfe der Menge ${}{\left({\mathbb {C} }\setminus \{0\}\right)}\times \{1,-1\}$ .