Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 18/kontrolle

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Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Skizziere die Funktion


Aufgabe Referenznummer erstellen

Skizziere die Funktion

Ist diese Funktion im Nullpunkt stetig fortsetzbar?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Skizziere die Funktion


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die durch

definierte Funktion

nicht stetig ist, aber dem Zwischenwertsatz genügt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der Funktionslimes für , , existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt.

  1. ,
  2. ,
  3. .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Untersuche den Graphen der durch

gegebenen Funktion auf Zusammenhangseigenschaften.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die durch

definierte Funktion

stetig ist. Ist der Graph dieser Funktion „zeichenbar“?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Funktion

stetig ist und unendlich viele Nullstellen besitzt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Funktion

unendlich viele isolierte lokale Maxima und unendlich viele isolierte lokale Minima besitzt.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass die (stetige) Funktion

nicht rektifizierbar ist.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Wir betrachten die durch

definierte Funktion

Zeige, dass es zu jedem , eine Nullfolge derart gibt, dass die Folge der Differenzenquotienten

gegen konvergiert.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine stetige Funktion und sei der Graph von . Es sei der Abschluss von und sei

Zeige, dass jedes abgeschlossene Intervall als ein solches zu einer stetigen Funktion auftritt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine stetige Funktion und sei der Graph von . Es sei der Abschluss von und sei

Zeige, dass leer oder ein abgeschlossenes Intervall ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

eine holomorphe Funktion, die in eine wesentliche Singularität besitze. Zeige, dass für jedes ebenfalls eine wesentliche Singularität besitzt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine offene Teilmenge, ein Punkt und

eine holomorphe Funktion. Zeige, dass in genau dann eine wesentliche Singularität besitzt, wenn dies für die Ableitung gilt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine offene Teilmenge, ein Punkt und

eine nullstellenfreie holomorphe Funktion. Zeige, dass in genau dann eine wesentliche Singularität besitzt, wenn dies für gilt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine offene Teilmenge, ein Punkt und

eine holomorphe Funktion. Es sei der Graph von und sei der Abschluss von . Zeige, dass es die drei Möglichkeiten

gibt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei die Menge der holomorphen Keime auf punktierten Kreisscheiben (zu variierenden Radien ).

  1. Zeige, dass ein kommutativer Ring ist.
  2. Charakterisiere die Einheiten von .
  3. Zeige, dass die Teilmenge der nach holomorph fortsetzbaren Funktionskeime mit kein Ideal in ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine meromorphe Funktion auf , die auf der punktierten Kreisscheibe holomorph sei. Zeige, dass kein Häufungspunkt der Nullstellen von ist.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel einer holomorphen Funktion auf der punktierten Kreisscheibe derart, dass ein Häufungspunkt der Nullstellen von ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

eine holomorphe Funktion und sei der zugehörige Funktionskeim (es werden also solche Funktionen miteinander identifiziert, wenn sie auf einer hinreichend kleinen punktierten Kreisscheibe übereinstimmen). Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

  1. Der Nullpunkt ist kein Häufungspunkt der Nullstellenmenge von .
  2. Für jeden holomorphen Repräsentanten

    ist der Nullpunkt kein Häufungspunkt der Nullstellenmenge von .

  3. Es gibt einen nullstellenfreien holomorphen Repräsentanten


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei die Menge der holomorphen Keime auf punktierten Kreisscheiben mit der Eigenschaft, dass der Nullpunkt kein Häufungspunkt der Nullstellenmenge von ist (abgesehen vom Nullkeim, der zu gehört).

  1. Zeige, dass ein kommutativer Ring ist.
  2. Zeige, dass ein Körper ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

und

(mit variierend). Zeige, dass die folgenden (jeweils echten) Inklusionen vorliegen.


Aufgabe Aufgabe 18.24 ändern

Es sei eine diskrete Teilmenge und sei

eine holomorphe Funktion. Es gebe ein mit

für alle . Zeige, dass konstant ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass Satz 18.6 nicht für holomorphe Funktionen gilt, die auf einem nach außen unbeschränkten Kreisring definiert sind.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine auch einem nach außen unbeschränkten Kreisring definierte holomorphe Funktion. Zeige, dass genau dann eine rationale Funktion ist, wenn die auf einer offenen punktierten Umgebung der definierte holomorphe Funktion

im Nullpunkt keine wesentliche Singularität besitzt.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei . Zeige, dass es Punkte derart gibt, dass es auf

eine von der Identität verschiedene biholomorphe Abbildung gibt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien offene Teilmengen, die zueinander biholomorph seien. Zeige, dass die Automorphismengruppen und zueinander isomorph sind.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei

eine stetige Funktion mit . Zeige, dass durch

eine Funktion

gegeben ist, die die Bedingung

für alle erfüllt.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei

eine Funktion, wir betrachten dazu die zusammengesetzte Funktion

also

auf .

  1. Bestimme für die lineare Funktion (mit dem Proportionalitätsfaktor )

    die zugehörige Funktion .

  2. Es sei nun eine beliebige ungerade Funktion. Zeige, dass die Bedingung

    für alle erfüllt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

durch

gegeben. Begründe, dass das Singularitätsverhalten von um nicht das Singularitätsverhalten des Betrages einer holomorphen Funktion auf sein kann.


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Beschreibe die Gruppenstruktur auf der Gruppe der Automorphismen von mit Hilfe der Menge .


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die holomorphen Funktionen

mit der Eigenschaft, dass sie im Nullpunkt keine wesentliche Singularität besitzen und dass

für alle ist.


Aufgabe (? Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die holomorphen Funktionen

mit der Eigenschaft, dass

für alle ist.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beschreibe die biholomorphen Automorphismen auf der oberen Halbebene ähnlich zu Satz 18.13.