Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 3

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es seien ${}V$ und ${}W$ komplexe Vektorräume und es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann ${}\mathbb {C}$- antilinear ist, wenn ${}\varphi ({\mathrm {i} }v)=-{\mathrm {i} }\varphi (v)$ für alle ${}v\in V$ gilt.

Aufgabe

Bestimme den linearen und den antilinearen Anteil der folgenden reell-linearen Abbildungen.

1. Die komplexe Konjugation

   $\mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} ,\,z\longmapsto {\overline {z}}.$

2. Der Realteil

   $\mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} ,\,z\longmapsto \operatorname {Re} \,{\left(z\right)}.$

3. Der Imaginärteil

   $\mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} ,\,z\longmapsto \operatorname {Im} \,{\left(z\right)}.$

4. Die Identität

   $\mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} ,\,z\longmapsto z.$

Aufgabe

Es seien ${}V$ und ${}W$ komplexe Vektorräume und es seien

$\varphi _{1},\varphi _{2}\colon V\longrightarrow W$

${}\mathbb {C}$- antilinear. Zeige, dass auch ${}\varphi _{1}+\varphi _{2}$ antilinear ist.

Aufgabe

Es seien ${}V$ und ${}W$ komplexe Vektorräume und es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine reell-lineare Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann die Nullabbildung ist, wenn sie sowohl komplex-linear als auch ${}\mathbb {C}$- antilinear ist

Aufgabe *

Es sei ${}V$ ein ${}\mathbb {C}$- Vektorraum und es seien

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

und

$\psi \colon V\longrightarrow V$

antilineare Abbildungen. Zeige, dass die Verknüpfung ${}\varphi \circ \psi$ linear ist.

Aufgabe

Es seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n},V_{n+1}$ Vektorräume über ${}{\mathbb {C} }$, es seien

$\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow V_{i+1}$

lineare oder antilineare Abbildungen und es sei

${}\varphi =\varphi _{n}\circ \varphi _{n-1}\circ \cdots \circ \varphi _{2}\circ \varphi _{1}\,$

die Hintereinanderschaltung der Abbildungen. Zeige durch Induktion über ${}n$ die beiden folgenden Aussagen.

1. Wenn die Anzahl der antilinearen Abbildungen gerade ist, so ist ${}\varphi$ linear.
2. Wenn die Anzahl der antilinearen Abbildungen ungerade ist, so ist ${}\varphi$ antilinear.

Gilt von diesen Aussagen auch die Umkehrung?

Aufgabe

Bestimme die Zerlegung in den ${}{\mathbb {C} }$-linearen und den ${}{\mathbb {C} }$- antilinearen Anteil der ${}\mathbb {R}$- linearen Abbildung ${}\varphi \colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$, die bezüglich der reellen Basis ${}1$ und ${}{\mathrm {i} }$ durch die Matrix ${}{\begin{pmatrix}-5&4\\3&7\end{pmatrix}}$ beschrieben wird.

Aufgabe

1. Drücke die Abbildungen

   ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{k}$

   für ${}k=0,\ldots ,5$ in reellen Koordinaten aus.

2. Drücke die Abbildungen

   ${\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{k}$

   für ${}k=-1,-2,-3$ in reellen Koordinaten aus.

Aufgabe

Drücke die Abbildung

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto 2z^{3}-z^{2}+3z+2-{\mathrm {i} },$

in reellen Koordinaten aus. Berechne das reelle totale Differential dieser Abbildung.

Aufgabe *

Beschreibe die Abbildung

$\psi \colon \mathbb {C} \setminus \{1\}\longrightarrow \mathbb {C} ,\,w\longmapsto {\frac {(w+1){\mathrm {i} }}{1-w}}$

in reellen Koordinaten.

Aufgabe *

Bestimme die partiellen Ableitungen der Abbildung

$\psi \colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(1,0)\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\longmapsto {\frac {1}{-2a+1+a^{2}+b^{2}}}{\begin{pmatrix}-2b\\1-a^{2}-b^{2}\end{pmatrix}}.$

Aufgabe

Beschreibe eine gebrochen-lineare Funktion ${}{\frac {az+b}{cz+d}}$ als eine reelle Funktion von (einer offenen Teilmenge von) ${}\mathbb {R} ^{2}$ nach ${}\mathbb {R} ^{2}$.

Aufgabe

Wir betrachten die Funktion

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(x+y{\mathrm {i} })\longmapsto 2x-3y+xy^{2}+{\left(x^{2}-xy-y^{5}\right)}{\mathrm {i} }.$

1. Bestimme das totale Differential ${}\left(Df\right)_{P}$ von ${}f$ bezüglich der Basis ${}1$ und ${}{\mathrm {i} }$ in einem beliebigen Punkt ${}P\in {\mathbb {C} }$.
2. Bestimme die Zerlegung des totalen Differentials ${}\left(Df\right)_{P}$ in den ${}{\mathbb {C} }$-linearen und den ${}{\mathbb {C} }$- antilinearen Anteil.

Aufgabe

Wir betrachten die Funktion

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(x+y{\mathrm {i} })\longmapsto \sin \left(xy\right)+{\left(x^{3}-xy^{2}+2y^{4}\right)}{\mathrm {i} }.$

1. Bestimme das totale Differential ${}\left(Df\right)_{P}$ von ${}f$ bezüglich der Basis ${}1$ und ${}{\mathrm {i} }$ in einem beliebigen Punkt ${}P\in {\mathbb {C} }$.
2. Bestimme die Zerlegung des totalen Differentials ${}\left(Df\right)_{P}$ in den ${}{\mathbb {C} }$-linearen und den ${}{\mathbb {C} }$- antilinearen Anteil.

Aufgabe

Betrachte die Abbildung

${\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\cong {\mathbb {C} },$

welche in reellen Koordinaten durch ${}(x,y)\mapsto (x^{3}-xy^{2},5x^{2}y^{2}-y)=(g,h)$ gegeben ist. Berechne das reelle totale Differential und überprüfe, ob die Cauchy-Riemann Differentialgleichungen gelten.

Aufgabe

Es sei

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto f(z),$

eine komplex differenzierbar Funktion mit der Eigenschaft, dass der Wertebereich reell ist. Zeige, dass ${}f$ konstant ist.

Aufgabe

Zeige, dass der Realteil, also die Funktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \operatorname {Re} \,{\left(z\right)},$

in keinem Punkt ${}a\in {\mathbb {C} }$ differenzierbar ist.

Aufgabe

Wir betrachten die reell total differenzierbare Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,x+y{\mathrm {i} }\longmapsto x^{2}-y^{2}+xy+{\left(x^{3}-xy+y\right)}{\mathrm {i} }.$

Bestimme die Punkte, in denen ${}\varphi$ komplex differenzierbar ist.

Aufgabe

Charakterisiere diejenigen komplex differenzierbaren Abbildungen

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

mit der Eigenschaft, dass

${}\operatorname {Re} \,{\left(f(z)\right)}=\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}\,$

für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$ gilt.

Aufgabe

Charakterisiere diejenigen zweifach komplex differenzierbaren Abbildungen

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },$

die flächentreu sind (das bedeutet, dass die Determinante der reellen Jacobimatrix konstant gleich ${}1$ ist).

Aufgabe

Es sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine komplex differenzierbare Funktion auf einer offenen Teilmenge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ mit der Zerlegung ${}f=g+h{\mathrm {i} }$. Zeige, dass die Funktionaldeterminante der reellen Jacobimatrix zu ${}f$ nur von ${}g$ abhängt.

Aufgabe

Es sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine komplex differenzierbare Funktion auf einer offenen Teilmenge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ mit der Zerlegung ${}f=g+h{\mathrm {i} }$. Zeige, dass die Funktionaldeterminante der reellen Jacobimatrix zu ${}f$ nur von ${}h$ abhängt.

Aufgabe

Zeige, dass man in Korollar 3.8 nicht auf die Voraussetzung, dass ${}G$ ein Gebiet ist, verzichten kann.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte die komplex-lineare Abbildung ${}L\colon {\mathbb {C} }^{2}\rightarrow {\mathbb {C} }^{2}$, die durch die ${}2\times 2$-Matrix

${\begin{pmatrix}5&3+4{\mathrm {i} }\\2-2{\mathrm {i} }&{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$

gegeben ist. Bestimme die zugehörige Matrix, welche die gleiche lineare Abbildung ${}\mathbb {R} ^{4}\rightarrow \mathbb {R} ^{4}$ beschreibt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über den komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$, es sei ${}V$ endlichdimensional und es sei ${}v_{j}$, ${}j\in J$, eine Basis von ${}V$. Es seien ${}w_{j}$, ${}j\in J$, Elemente in ${}W$. Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte ${}\mathbb {C}$- antilineare Abbildung

$f\colon V\longrightarrow W$

mit

$f(v_{j})=w_{j}{\text{ für alle }}j\in J$

gibt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über den komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$ und es bezeichne ${}\operatorname {Hom} _{\mathbb {R} }{\left(V,W\right)}$ die Menge der reell-linearen Abbildungen, ${}\operatorname {Hom} _{\mathbb {C} }{\left(V,W\right)}$ die Menge der komplex-linearen Abbildungen und ${}\operatorname {Hom} _{\text{ anti}}{\left(V,W\right)}$ die Menge der antilinearen Abbildungen. Zeige, dass die Abbildungen

$\operatorname {Hom} _{\mathbb {R} }{\left(V,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{\mathbb {C} }{\left(V,W\right)}$

und

$\operatorname {Hom} _{\mathbb {R} }{\left(V,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{\text{anti}}{\left(V,W\right)},$

die eine reell-lineare Abbildung auf ihren ${}\mathbb {C}$-linearen bzw. ${}\mathbb {C}$-antilinearen Anteil abbilden, reell-linear sind.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass es eine (reell) stetig differenzierbare Abbildung

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

derart gibt, dass das Bild von ${}f$ gleich der eindimensionalen Sphäre ${}S^{1}$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten die reell total differenzierbare Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,x+y{\mathrm {i} }\longmapsto x^{2}y-y^{3}+xy^{2}+{\left(x^{2}-3xy-2y^{2}\right)}{\mathrm {i} }.$

Bestimme die Punkte, in denen ${}\varphi$ komplex-differenzierbar ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}f\colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft

${}\vert {f(z)}\vert =\vert {z}\vert \,$

für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$. Zeige, dass ${}f$ eine Drehung um den Nullpunkt ist.