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Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 3

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Übungsaufgaben

Es seien und komplexe Vektorräume und es sei

eine Abbildung. Zeige, dass genau dann - antilinear ist, wenn für alle gilt.



Bestimme den linearen und den antilinearen Anteil der folgenden reell-linearen Abbildungen.

  1. Die komplexe Konjugation
  2. Der Realteil
  3. Der Imaginärteil
  4. Die Identität



Es seien und komplexe Vektorräume und es seien

- antilinear. Zeige, dass auch antilinear ist.



Es seien und komplexe Vektorräume und es sei

eine reell-lineare Abbildung. Zeige, dass genau dann die Nullabbildung ist, wenn sie sowohl komplex-linear als auch - antilinear ist



Es sei ein - Vektorraum und es seien

und

antilineare Abbildungen. Zeige, dass die Verknüpfung linear ist.



Es seien Vektorräume über , es seien

lineare oder antilineare Abbildungen und es sei

die Hintereinanderschaltung der Abbildungen. Zeige durch Induktion über die beiden folgenden Aussagen.

  1. Wenn die Anzahl der antilinearen Abbildungen gerade ist, so ist linear.
  2. Wenn die Anzahl der antilinearen Abbildungen ungerade ist, so ist antilinear.

Gilt von diesen Aussagen auch die Umkehrung?



Bestimme die Zerlegung in den -linearen und den - antilinearen Anteil der - linearen Abbildung , die bezüglich der reellen Basis und durch die Matrix beschrieben wird.



  1. Drücke die Abbildungen

    für in reellen Koordinaten aus.

  2. Drücke die Abbildungen

    für in reellen Koordinaten aus.



Drücke die Abbildung

in reellen Koordinaten aus. Berechne das reelle totale Differential dieser Abbildung.



Beschreibe die Abbildung

in reellen Koordinaten.



Bestimme die partiellen Ableitungen der Abbildung



Beschreibe eine gebrochen-lineare Funktion als eine reelle Funktion von (einer offenen Teilmenge von) nach .



Wir betrachten die Funktion

  1. Bestimme das totale Differential von bezüglich der Basis und in einem beliebigen Punkt .
  2. Bestimme die Zerlegung des totalen Differentials in den -linearen und den - antilinearen Anteil.



Wir betrachten die Funktion

  1. Bestimme das totale Differential von bezüglich der Basis und in einem beliebigen Punkt .
  2. Bestimme die Zerlegung des totalen Differentials in den -linearen und den - antilinearen Anteil.



Betrachte die Abbildung

welche in reellen Koordinaten durch gegeben ist. Berechne das reelle totale Differential und überprüfe, ob die Cauchy-Riemann Differentialgleichungen gelten.



Es sei

eine komplex differenzierbar Funktion mit der Eigenschaft, dass der Wertebereich reell ist. Zeige, dass konstant ist.



Zeige, dass der Realteil, also die Funktion

in keinem Punkt differenzierbar ist.



Wir betrachten die reell total differenzierbare Abbildung

Bestimme die Punkte, in denen komplex differenzierbar ist.



Charakterisiere diejenigen komplex differenzierbaren Abbildungen

mit der Eigenschaft, dass

für alle gilt.



Charakterisiere diejenigen zweifach komplex differenzierbaren Abbildungen

die flächentreu sind (das bedeutet, dass die Determinante der reellen Jacobimatrix konstant gleich ist).



Es sei eine komplex differenzierbare Funktion auf einer offenen Teilmenge mit der Zerlegung . Zeige, dass die Funktionaldeterminante der reellen Jacobimatrix zu nur von abhängt.



Es sei eine komplex differenzierbare Funktion auf einer offenen Teilmenge mit der Zerlegung . Zeige, dass die Funktionaldeterminante der reellen Jacobimatrix zu nur von abhängt.



Zeige, dass man in Korollar 3.8 nicht auf die Voraussetzung, dass ein Gebiet ist, verzichten kann.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte die komplex-lineare Abbildung , die durch die -Matrix

gegeben ist. Bestimme die zugehörige Matrix, welche die gleiche lineare Abbildung beschreibt.



Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und Vektorräume über den komplexen Zahlen , es sei endlichdimensional und es sei , , eine Basis von . Es seien , , Elemente in . Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte - antilineare Abbildung

mit

gibt.



Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und Vektorräume über den komplexen Zahlen und es bezeichne die Menge der reell-linearen Abbildungen, die Menge der komplex-linearen Abbildungen und die Menge der antilinearen Abbildungen. Zeige, dass die Abbildungen

und

die eine reell-lineare Abbildung auf ihren -linearen bzw. -antilinearen Anteil abbilden, reell-linear sind.



Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass es eine (reell) stetig differenzierbare Abbildung

derart gibt, dass das Bild von gleich der eindimensionalen Sphäre ist.



Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten die reell total differenzierbare Abbildung

Bestimme die Punkte, in denen komplex-differenzierbar ist.



Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft

für alle . Zeige, dass eine Drehung um den Nullpunkt ist.




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