Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 3

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ komplexe Vektorräume und es sei

$\phi :V⟶W$

eine Abbildung. Zeige, dass $\phi$ genau dann $ℂ$-antilinear ist, wenn  $\phi (\mathrm{i}v)=-\mathrm{i}\phi (v)$  für alle  $v\in V$  gilt.

Aufgabe

Bestimme den linearen und den antilinearen Anteil der folgenden reell-linearen Abbildungen.

1. Die komplexe Konjugation

   $ℂ⟶ℂ,z⟼\bar{z}.$

2. Der Realteil

   $ℂ⟶ℂ,z⟼\mathrm{Re}\left(z\right).$

3. Der Imaginärteil

   $ℂ⟶ℂ,z⟼\mathrm{Im}\left(z\right).$

4. Die Identität

   $ℂ⟶ℂ,z⟼z.$

Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ komplexe Vektorräume und es seien

${\phi }_1,{\phi }_2:V⟶W$

$ℂ$-antilinear. Zeige, dass auch ${\phi }_1+{\phi }_2$ antilinear ist.

Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ komplexe Vektorräume und es sei

$\phi :V⟶W$

eine reell-lineare Abbildung. Zeige, dass $\phi$ genau dann die Nullabbildung ist, wenn sie sowohl komplex-linear als auch $ℂ$-antilinear ist

Aufgabe *

Es sei $V$ ein $ℂ$-Vektorraum und es seien

$\phi :V⟶V$

und

$\psi :V⟶V$

antilineare Abbildungen. Zeige, dass die Verknüpfung $\phi \circ \psi$ linear ist.

Aufgabe

Es seien $V_1,\dots ,V_n,V_{n+1}$ Vektorräume über $ℂ$, es seien

${\phi }_i:V_i⟶V_{i+1}$

lineare oder antilineare Abbildungen und es sei

$\phi ={\phi }_n\circ {\phi }_{n-1}\circ \cdots \circ {\phi }_2\circ {\phi }_1$

die Hintereinanderschaltung der Abbildungen. Zeige durch Induktion über $n$ die beiden folgenden Aussagen.

a) Wenn die Anzahl der antilinearen Abbildungen gerade ist, so ist $\phi$ linear.

b) Wenn die Anzahl der antilinearen Abbildungen ungerade ist, so ist $\phi$ antilinear.

Gilt von diesen Aussagen auch die Umkehrung?

Aufgabe

Bestimme die Zerlegung in den $ℂ$-linearen und den $ℂ$-antilinearen Anteil der $ℝ$-linearen Abbildung $\phi :ℂ\to ℂ$, die bezüglich der reellen Basis $1$ und $\mathrm{i}$ durch die Matrix $\left(\begin{array}{cc}-5& 4\\ 3& 7\end{array}\right)$ beschrieben wird.

Aufgabe

1. Drücke die Abbildungen

   $ℂ⟶ℂ,z⟼z^k$

   für  $k=0,\dots ,5$  in reellen Koordinaten aus.

2. Drücke die Abbildungen

   $ℂ\setminus \{0\}⟶ℂ,z⟼z^k$

   für  $k=-1,-2,-3$  in reellen Koordinaten aus.

Aufgabe

Drücke die Abbildung

$ℂ⟶ℂ,z⟼2z^3-z^2+3z+2-\mathrm{i},$

in reellen Koordinaten aus. Berechne das reelle totale Differential dieser Abbildung.

Aufgabe *

Beschreibe die Abbildung

$\psi :ℂ\setminus \{1\}⟶ℂ,w⟼\frac{(w+1)\mathrm{i}}{1-w}$

in reellen Koordinaten.

Aufgabe *

Bestimme die partiellen Ableitungen der Abbildung

$\psi :{ℝ}^2\setminus \{(1,0)\}⟶{ℝ}^2,\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)⟼\frac{1}{-2a+1+a^2+b^2}\left(\begin{array}{c}-2b\\ 1-a^2-b^2\end{array}\right).$

Aufgabe

Beschreibe eine gebrochen-lineare Funktion $\frac{az+b}{cz+d}$ als eine reelle Funktion von (einer offenen Teilmenge von) ${ℝ}^2$ nach ${ℝ}^2$.

Aufgabe

Wir betrachten die Funktion

$f:ℂ⟶ℂ,(x+y\mathrm{i})⟼2x-3y+x{y}^2+(x^2-xy-y^5)\mathrm{i}.$

1. Bestimme das totale Differential ${\left(Df\right)}_P$ von $f$ bezüglich der Basis $1$ und $\mathrm{i}$ in einem beliebigen Punkt  $P\in ℂ$. 
2. Bestimme die Zerlegung des totalen Differentials ${\left(Df\right)}_P$ in den $ℂ$-linearen und den $ℂ$-antilinearen Anteil.

Aufgabe

Wir betrachten die Funktion

$f:ℂ⟶ℂ,(x+y\mathrm{i})⟼\sin \left(xy\right)+(x^3-x{y}^2+2y^4)\mathrm{i}.$

1. Bestimme das totale Differential ${\left(Df\right)}_P$ von $f$ bezüglich der Basis $1$ und $\mathrm{i}$ in einem beliebigen Punkt  $P\in ℂ$. 
2. Bestimme die Zerlegung des totalen Differentials ${\left(Df\right)}_P$ in den $ℂ$-linearen und den $ℂ$-antilinearen Anteil.

Aufgabe

Betrachte die Abbildung

$ℂ\cong {ℝ}^2⟶{ℝ}^2\cong ℂ,$

welche in reellen Koordinaten durch $(x,y)\mapsto (x^3-x{y}^2,5x^2{y}^2-y)=(g,h)$ gegeben ist. Berechne das reelle totale Differential und überprüfe, ob die Cauchy-Riemann Differentialgleichungen gelten.

Aufgabe

Es sei

$f:ℂ⟶ℂ,z⟼f(z),$

eine komplex differenzierbar Funktion mit der Eigenschaft, dass der Wertebereich reell ist. Zeige, dass $f$ konstant ist.

Aufgabe

Zeige, dass der Realteil, also die Funktion

$ℂ⟶ℂ,z⟼\mathrm{Re}\left(z\right),$

in keinem Punkt  $a\in ℂ$  differenzierbar ist.

Aufgabe

Wir betrachten die reell total differenzierbare Abbildung

$\phi :ℂ⟶ℂ,x+y\mathrm{i}⟼x^2-y^2+xy+(x^3-xy+y)\mathrm{i}.$

Bestimme die Punkte, in denen $\phi$ komplex differenzierbar ist.

Aufgabe

Charakterisiere diejenigen komplex differenzierbaren Abbildungen

$f:ℂ⟶ℂ$

mit der Eigenschaft, dass

$\mathrm{Re}(f(z))=\mathrm{Re}\left(z\right)$

für alle  $z\in ℂ$  gilt.

Aufgabe

Charakterisiere diejenigen zweifach komplex differenzierbaren Abbildungen

$f:ℂ⟶ℂ,$

die flächentreu sind (das bedeutet, dass die Determinante der reellen Jacobimatrix konstant gleich $1$ ist).

Aufgabe

Es sei $f:U\to ℂ$ eine komplex differenzierbare Funktion auf einer offenen Teilmenge  $U\subseteq ℂ$  mit der Zerlegung  $f=g+h\mathrm{i}$.  Zeige, dass die Funktionaldeterminante der reellen Jacobimatrix zu $f$ nur von $g$ abhängt.

Aufgabe

Es sei $f:U\to ℂ$ eine komplex differenzierbare Funktion auf einer offenen Teilmenge  $U\subseteq ℂ$  mit der Zerlegung  $f=g+h\mathrm{i}$.  Zeige, dass die Funktionaldeterminante der reellen Jacobimatrix zu $f$ nur von $h$ abhängt.

Aufgabe

Zeige, dass man in Korollar 3.8 nicht auf die Voraussetzung, dass $G$ ein Gebiet ist, verzichten kann.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte die komplex-lineare Abbildung $L:{ℂ}^2\to {ℂ}^2$, die durch die $2\times 2$-Matrix

$\left(\begin{array}{cc}5& 3+4\mathrm{i}\\ 2-2\mathrm{i}& \mathrm{i}\end{array}\right)$

gegeben ist. Bestimme die zugehörige Matrix, welche die gleiche lineare Abbildung ${ℝ}^4\to {ℝ}^4$ beschreibt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien $V$ und $W$ Vektorräume über den komplexen Zahlen $ℂ$, es sei $V$ endlichdimensional und es sei $v_j$, $j\in J$, eine Basis von $V$. Es seien $w_j$, $j\in J$, Elemente in $W$. Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte $ℂ$-antilineare Abbildung

$f:V⟶W$

mit

$f(v_j)=w_j\text{ für alle }j\in J$

gibt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien $V$ und $W$ Vektorräume über den komplexen Zahlen $ℂ$ und es bezeichne ${\mathrm{Hom}}_{ℝ}(V,W)$ die Menge der reell-linearen Abbildungen, ${\mathrm{Hom}}_{ℂ}(V,W)$ die Menge der komplex-linearen Abbildungen und ${\mathrm{Hom}}_{\text{ anti}}(V,W)$ die Menge der antilinearen Abbildungen. Zeige, dass die Abbildungen

${\mathrm{Hom}}_{ℝ}(V,W)⟶{\mathrm{Hom}}_{ℂ}(V,W)$

und

${\mathrm{Hom}}_{ℝ}(V,W)⟶{\mathrm{Hom}}_{\text{anti}}(V,W),$

die eine reell-lineare Abbildung auf ihren $ℂ$-linearen bzw. $ℂ$-antilinearen Anteil abbilden, reell-linear sind.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass es eine (reell) stetig differenzierbare Abbildung

$f:{ℝ}^2⟶{ℝ}^2$

derart gibt, dass das Bild von $f$ gleich der eindimensionalen Sphäre $S^1$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten die reell total differenzierbare Abbildung

$\phi :ℂ⟶ℂ,x+y\mathrm{i}⟼x^{2}y-y^3+x{y}^2+(x^2-3xy-2y^2)\mathrm{i}.$

Bestimme die Punkte, in denen $\phi$ komplex-differenzierbar ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $f:ℂ\to ℂ$ eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft

$|f(z)|=|z|$

für alle  $z\in ℂ$.  Zeige, dass $f$ eine Drehung um den Nullpunkt ist.