Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Vorlesung 15

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Der Satz von Liouville



Lemma  

Es sei holomorph mit der Potenzreihenenwicklung

im Punkt . Es sei und es sei eine Schranke für auf dem Rand von .

Dann gilt

Beweis  

In der Situation von Satz 14.1 ist

Mit der Abschätzung

erhalten wir mit Lemma 12.10


Der folgende Satz heißt Satz von Liouville.



Satz  

Es sei eine holomorphe Funktion, die beschränkt sei.

Dann ist konstant.

Beweis  

Es sei für alle . Man kann dann Lemma 15.1 für die Potenzreihe (für einen beliebigen Entwicklungspunkt ) für jeden Radius anwenden und erhält

woraus für alle folgt.



Beispiel  

Die komplexen Zahlen und die offene Kreisscheibe sind nicht biholomorph, da jede holomorphe Funktion nach Satz 15.2 konstant ist.


Es gilt nicht, dass unter einer nichtkonstanten holomorphen Abbildung nichtbeschränkte Mengen auf nichtbeschränkte Mengen abgebildet werden. Beispielsweise ist die obere Halbebene, die ja unbeschränkt ist, nach Lemma 2.10 biholomorph zur offenen Einheitskreisscheibe. Der Satz von Liouville gilt entsprechend, wenn man aus eine diskrete Teilmenge herausnimmt, siehe Aufgabe 18.24.

Mit dem Satz von Liouville kann man einen einfachen Beweis für den Fundamentalsatz der Algebra geben.


Satz  

Jedes nichtkonstante Polynom über den komplexen Zahlen

besitzt eine Nullstelle.

Beweis  

Wir nehmen an, dass keine Nullstelle besitzt. Dann ist eine ganze Funktion. Für geht aber gegen und insbesondere ist

für hinreichend groß, siehe Aufgabe 1.11, sagen wir für . Daher ist

für und für ist nach Satz 36.11 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ebenfalls beschränkt. Also ist beschränkt im Widerspruch zu Satz 15.2.




Lokale Beschreibung von holomorphen Funktionen

Wir fragen uns, inwiefern man eine holomorphe Funktion lokal in einem Punkt nach einem biholomorphen Koordinatenwechsel auf eine besonders einfache Gestalt bringen kann. Das bedeutet, wir suchen offene Mengen und und biholomorphe Abbildungen und derart, dass die untere horizontale Abbildung in dem kommutativen Diagramm

möglichst einfach ist.



Satz  

Es sei eine zusammenhängende offene Teilmenge, ein Punkt und eine nichtkonstante holomorphe Funktion.

Dann gibt es eine offene Umgebung derart, dass die Einschränkung von auf biholomorph äquivalent zu einer Potenzabbildung ist.

Das bedeutet, dass es ein und biholomorphe Abbildungen

mit eine offene Kreisscheibe um und eine Verschiebung

derart gibt, dass

auf gilt (wobei die Variable auf bezeichnet).

Beweis  

Wir wählen für eine Kreisscheibenumgebung von , auf der durch eine Potenzreihe dargestellt wird. Die Potenzreihe sei mit und . Durch eine Verschiebung im Ausgangsbereich und im Bildbereich können wir und annehmen. Die Potenzreihe kann man also als

mit schreiben. Nach Satz 5.10 gibt es eine holomorphe Funktion mit und damit ist auch . Die Abbildung besitzt die Ableitung und hat in den Wert . Daher ist nach Korollar 5.3 in einer geeigneten offenen Umgebung von biholomorph zu einer offenen Kreisscheibe . Mit der Variablen auf ist dann


Man kann also sagen, dass nach einem biholomorphen Koordinatenwechsel lokal jede holomorphe Abbildung eine Potenzierung ist. Diese lokale Beschreibung der Funktion nennen wir ihre lokale Normalform, und das nennen wir den lokalen Exponenten der Funktion im Punkt . Man spricht, je nach Kontext, auch vom Verzweigungsindex oder von der Ordnung. Wenn die Ableitung ist, so kann man den Satz über die lokale Umkehrabbildung anwenden und in einem solchen Punkt ist , dies ist der Standardfall. Nur für die Punkte einer diskreten Teilmenge kann sein, siehe Aufgabe 15.11.



Lemma  

Es sei eine zusammenhängende offene Teilmenge, ein Punkt und eine nichtkonstante holomorphe Funktion.

Dann ist der lokale Exponent von in genau dann , wenn ist.

Beweis  

Es sei der lokale Exponent. Aufgrund der Kettenregel kann man in Satz 15.5 die Ableitung mit der Ableitung der komplexen Potenzierung in Beziehung setzen. Da und biholomorph sind, verschwindet ihre Ableitung nirgendwo und daher muss man nur noch das komplexe Potenzieren betrachten, wofür die Aussage klar ist.


Allgemeiner kann man den lokalen Exponenten über die Nullstellenordnung der Ableitung charakterisieren, siehe Aufgabe 15.8.


Beispiel  

Es sei

Dann ist

und die beiden Nullstellen von sind

In diesen beiden Punkten ist der lokale Exponent gleich , in allen weiteren Punkten gleich .


Der folgende Offenheitssatz ist eine Verallgemeinerung von Lemma 5.5.


Satz  

Es sei eine nichtkonstante holomorphe Funktion auf einer zusammenhängenden offenen Teilmenge .

Dann ist offen.

Beweis  

Der Zusammenhang stellt in Verbindung mit Satz 14.6 sicher, dass die Funktion nirgendwo konstant ist. Es sei eine offene Teilmenge und ein Punkt. Aufgrund von Satz 15.5 gibt es eine offene Umgebung , auf der die Abbildung biholomorph äquivalent zu einer Potenzabbildung ist. Das Bild einer Kreisscheibe unter ist aber

und somit selbst eine offene Kreisscheibe. Daher ist offen in . Die Vereinigung solcher offener Mengen zeigt, dass das Bild von offen ist.


Im Gegensatz zu Korollar 5.3 erfordert die folgende Aussage keine Voraussetzung an die Ableitung.


Satz  

Es seien offen und sei eine bijektive holomorphe Funktion.

Dann ist auch die Umkehrfunktion holomorph.

Beweis  

Aufgrund der Bijektivität ist die Funktion nirgendwo konstant, wir können also Satz 15.5 anwenden. Da die Funktionen bei in keiner offenen Umgebung des Nullpunktes injektiv sind, muss stets sein. Damit ist nach Lemma 15.6 in jedem Punkt und somit ist nach Korollar 5.3 die Umkehrfunktion ebenfalls holomorph.



Lemma  

Es sei eine holomorphe Funktion auf einer offenen Menge , und sei injektiv.

Dann ist die Ableitung nullstellenfrei.

Beweis  

Es sei . Nach Satz 15.5 wird in einer offenen Umgebung von nach einer biholomorphen Abbildung durch eine komplexe Potenzierung beschrieben. Diese ist dann auch injektiv, was bedeutet. Nach Lemma 15.6 ist dann .



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