Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/21/Klausur mit Lösungen/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	1	2	2	4	4	3	10	4	2	3	6	3	2	3	4	64

Aufgabe (3 Punkte)

Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}A$ eine ${}m\times n$- Matrix und ${}B$ eine ${}n\times p$-Matrix über ${}K$. Dann ist das Matrixprodukt

   $AB$

   diejenige ${}m\times p$-Matrix, deren Einträge durch

   ${}c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\,$

   gegeben sind.

2. Die Relation ${}R$ heißt antisymmetrisch, wenn aus ${}xRy$ und ${}yRx$ stets ${}x=y$ folgt.
3. Man nennt

   ${}M/\sim :={\left\{[x]\mid x\in M\right\}}\,$

   die Quotientenmenge von ${}\sim$.

4. Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen

   $I_{n}=[a_{n},b_{n}],\,n\in \mathbb {N} ,$

   in ${}K$ heißt eine Intervallschachtelung, wenn ${}I_{n+1}\subseteq I_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also

   ${\left(b_{n}-a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },$

   gegen ${}0$ konvergiert.

5. Eine Drehung ist eine lineare Abbildung, die durch eine Matrix der Form ${}{\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}$ gegeben ist.
6. Die endliche Wahrscheinlichkeitsdichte ${}B_{p,n}$ auf ${}M={\{1,\ldots ,n\}}$ mit

   ${}B_{p,n}(k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}\,$

   heißt Binomialverteilung zur Stichprobenlänge ${}n$ und zur Erfolgswahrscheinlichkeit ${}p$.

Aufgabe (3 Punkte)

Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper und sei

   $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$

   eine lineare Abbildung. Dann ist ${}\varphi$ genau dann injektiv, wenn ${}\operatorname {kern} \varphi =0$

   ist.
2. Eine reelle Zahl ist genau dann eine rationale Zahl, wenn sie eine periodische Ziffernentwicklung (im Dezimalsystem) besitzt.
3. Für ${}f\colon D\rightarrow \mathbb {R}$ sind folgende Aussagen äquivalent.
   1. ${}f$ ist stetig im Punkt ${}x$.
   2. Für jede konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}D$ mit ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x$ ist auch die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent mit dem Grenzwert ${}f(x)$.

Aufgabe (2 Punkte)

Erstelle eine Geradengleichung für die Gerade im ${}\mathbb {R} ^{2}$, die durch die beiden Punkte ${}(2,3)$ und ${}(5,-7)$ verläuft.

Lösung

Die Gerade wird in Punktvektorform durch

${}{\left\{{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}+t\left({\begin{pmatrix}5\\-7\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}\right)\mid t\in \mathbb {R} \right\}}={\left\{{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}3\\-10\end{pmatrix}}\mid t\in \mathbb {R} \right\}}\,$

beschrieben. Die Gleichungsform hat somit die Gestalt

${}G={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mid 10x+3y=c\right\}}\,$

mit einem zu bestimmenden ${}c$. Einsetzen des Punktes ${}{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}$ ergibt ${}c=29$, also ist

${}G={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mid 10x+3y=29\right\}}\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das Matrizenprodukt

${\begin{pmatrix}4&0&0&-3&7\\8&3&1&0&-5\\6&2&-1&-2&3\\-4&5&1&0&3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3&2&-4\\1&-1&5\\0&6&1\\-5&2&0\\6&-3&-2\end{pmatrix}}.$

Lösung

Es ist

${}{\begin{pmatrix}4&0&0&-3&7\\8&3&1&0&-5\\6&2&-1&-2&3\\-4&5&1&0&3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3&2&-4\\1&-1&5\\0&6&1\\-5&2&0\\6&-3&-2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}69&-19&-30\\-3&34&-6\\48&-9&-21\\11&-16&36\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme (ohne Begründung), welche der folgenden skizzierten geometrischen Objekte im ${}\mathbb {R} ^{2}$ als Lösungsmenge eines linearen (inhomogenen) Gleichungssystems auftreten können (man denke sich die Objekte ins Unendliche fortgesetzt).

1. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

2. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

3. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

4. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

5. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

Lösung

2 (Gerade) und 5 (Punkt) können als Lösungsmenge eines Gleichungssystems auftreten, die anderen nicht.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu

${}M={\begin{pmatrix}4&1\\5&3\end{pmatrix}}\,.$

Lösung

${}{\begin{pmatrix}4&1\\5&3\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}4&1\\0&{\frac {7}{4}}\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0\\-{\frac {5}{4}}&1\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}4&0\\0&{\frac {7}{4}}\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}{\frac {12}{7}}&-{\frac {4}{7}}\\-{\frac {5}{4}}&1\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}{\frac {3}{7}}&-{\frac {1}{7}}\\-{\frac {5}{7}}&{\frac {4}{7}}\end{pmatrix}}$

Die inverse Matrix ist also ${}{\begin{pmatrix}{\frac {3}{7}}&-{\frac {1}{7}}\\-{\frac {5}{7}}&{\frac {4}{7}}\end{pmatrix}}$.

Aufgabe (2 (1+0.5+0.5) Punkte)

Wir betrachten das Spiel Schnick Schnack Schnuck mit den Objekten Schere, Stein, Papier und Brunnen als eine Gewinnrelation.

1. Skizziere diese Gewinnrelation durch einen gerichteten Graphen (Pfeildiagramm).
2. Ist die Gewinnrelation transitiv?
3. Gibt es eine dreielementige Teilmenge der Objekte derart, dass die darauf eingeschränkte Relation transitiv ist?

Lösung

1. ${}\,$
2. Stein schlägt Schere und Schere schlägt Papier, aber Stein schlägt nicht Papier, also ist die Relation nicht transitiv.
3. Die Relation eingeschränkt auf die Teilmenge bestehend aus Papier, Brunnen und Stein ist transitiv (in der angegebenen Reihenfolge wird geschlagen).

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise das Kernkriterium für die Injektivität eines Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon G\longrightarrow H.$

Lösung

Wenn ${}\varphi$ injektiv ist, so darf auf jedes Element ${}h\in H$ höchstens ein Element aus ${}G$ gehen. Da ${}e_{G}$ auf ${}e_{H}$ geschickt wird, darf kein weiteres Element auf ${}e_{H}$ gehen, d.h. ${}\ker \varphi =\{e_{G}\}$. Es sei umgekehrt dies der Fall und sei angenommen, dass ${}g,{\tilde {g}}\in G$ beide auf ${}h\in H$ geschickt werden. Dann ist

${}\varphi {\left(g{\tilde {g}}^{-1}\right)}=\varphi (g)\varphi ({\tilde {g}})^{-1}=hh^{-1}=e_{H}\,$

und damit ist ${}g{\tilde {g}}^{-1}\in \ker \varphi$, also ${}g{\tilde {g}}^{-1}=e_{G}$ nach Voraussetzung und damit ${}g={\tilde {g}}$.

Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

Es sei ${}x_{n}$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {5}}$ mit Startwert ${}x_{0}=2$ und ${}y_{n}$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {5}}$ mit Startwert ${}y_{0}=3$.

1. Berechne ${}y_{1}-x_{1}$.
2. Zeige, dass die Differenzfolge

   ${}z_{n}:=y_{n}-x_{n}\,$

   eine Nullfolge ist.

Lösung

1. Es ist

   ${}{\begin{aligned}y_{1}-x_{1}&={\frac {y_{0}+{\frac {5}{y_{0}}}}{2}}-{\frac {x_{0}+{\frac {5}{x_{0}}}}{2}}\\&={\frac {3+{\frac {5}{3}}}{2}}-{\frac {2+{\frac {5}{2}}}{2}}\\&={\frac {1+{\frac {5}{3}}-{\frac {5}{2}}}{2}}\\&={\frac {1-{\frac {5}{6}}}{2}}\\&={\frac {1}{12}}.\end{aligned}}$

2. Es ist

   ${}{\begin{aligned}y_{n+1}-x_{n+1}&={\frac {y_{n}+{\frac {5}{y_{n}}}}{2}}-{\frac {x_{n}+{\frac {5}{x_{n}}}}{2}}\\&={\frac {y_{n}-x_{n}+5{\left({\frac {1}{y_{n}}}-{\frac {1}{x_{n}}}\right)}}{2}}\\&={\frac {y_{n}-x_{n}+5{\frac {x_{n}-y_{n}}{x_{n}y_{n}}}}{2}}\\&={\frac {y_{n}-x_{n}}{2}}{\left(1-{\frac {5}{x_{n}y_{n}}}\right)}.\end{aligned}}$

   Nach Satz 43.7 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023))  (1) sind (für ${}n\geq 1$)

   ${}x_{n}^{2},y_{n}^{2}\geq 5\,$

   und damit ist auch

   ${}x_{n}y_{n}\geq 5\,.$

   Somit ist ${}{\frac {5}{x_{n}y_{n}}}\leq 1$ und der rechte Faktor ist positiv und beschränkt. Durch den Faktor ${}1/2$ liegt eine Nullfolge vor.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

$0{,}{\overline {142857}}$

gegeben ist.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}0{,}{\overline {142857}}&=142857\cdot 0{,}{\overline {000001}}\\&=142857\cdot {\frac {1}{999999}}\\&={\frac {142857}{999999}}\\&={\frac {5291}{37037}}\\&={\frac {481}{3367}}\\&={\frac {37}{259}}\\&={\frac {1}{7}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (10 Punkte)

Beweise den Isomorphiesatz für reelle Zahlen.

Lösung

Wir können davon ausgehen, dass der eine Körper ${}M$ das Cauchy-Folgen-Modell ${}C/N$ der reellen Zahlen ist, wobei ${}C$ den Ring aller rationalen Cauchy-Folgen und ${}N$ das Ideal der Nullfolgen bezeichnet. Der andere Körper sei mit ${}K$ bezeichnet. Beide Körper enthalten die rationalen Zahlen und ein Ringhomomorphismus bildet ${}\mathbb {Z}$ auf ${}\mathbb {Z}$ und ${}\mathbb {Q}$ auf ${}\mathbb {Q}$ ab. Ein Ringhomomorphismus respektiert auch die Quadrate. In einem vollständigen archimedisch angeordneten Körper sind die nichtnegativen Elemente nach Aufgabe 45.22 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) genau die Quadrate, deshalb muss ein solcher Ringhomomorphismus auch positive Elemente in positive Elemente überführen. Da man in einem archimedisch angeordneten Körper nach Aufgabe ***** {{:Kurs:Kurs:Grundkurs Mathematik/Archimedisch angeordneter Körper/Konvergenz/Mit Stammbrüchen/Aufgabe/Aufgabereferenznummer/Archimedisch angeordneter Körper/Konvergenz/Mit Stammbrüchen/Aufgabe/Aufgabereferenznummer}} die Konvergenz mit Stammbrüchen allein überprüfen kann, erhält eine solche Abbildung auch die Konvergenz. Da in ${}M$ nach Konstruktion und Lemma 46.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) jedes Element Limes einer rationalen Cauchy-Folge ist, und diese auch in ${}K$ wegen der Vollständigkeit konvergiert, kann es nur eine solche Abbildung geben. Diese Überlegung zeigt zugleich, wie man die Abbildung ${}\varphi$ ansetzen muss. Ein Element ${}x\in M$ werde repräsentiert durch eine rationale Cauchy-Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$. Diese Folge konvergiert in ${}K$ gegen ein ${}y$ und man setzt ${}\varphi (x)=y$. Dies ist wohldefiniert. Wenn man nämlich eine andere ${}x$ repräsentierende rationale Cauchy-Folge ${}{\left(x'_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ nimmt, so ist die Differenz zu ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge und dann konvergieren nach Lemma 44.11 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017))  (1) die beiden Folgen in ${}K$ gegen das gleiche Element.

Aufgrund der Verträglichkeit mit der Konvergenz haben wir das kommutative Diagramm

${\begin{matrix}C&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,M=C/N&\\&\!\!\!\!\!\psi \searrow &\downarrow \varphi \!\!\!\!\!&\\&&\!\!K&\!\!\!\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$

wobei ${}\psi$ eine Cauchy-Folge auf ihren Limes in ${}K$ abbildet. Nach Lemma 44.11 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) ist diese Abbildung ein Ringhomomorphismus. Da die horizontale Abbildung surjektiv ist, ist auch ${}\varphi$ ein Ringhomomorphismus.

Die Injektivität gilt für jeden Ringhomomorphismus zwischen Körpern, siehe Aufgabe *****. {{:Kurs:Kurs:Grundkurs Mathematik/Körper/Ringhomomorphismus/Injektiv/Beweise direkt/Aufgabe/Aufgabereferenznummer/Körper/Ringhomomorphismus/Injektiv/Beweise direkt/Aufgabe/Aufgabereferenznummer}} Zum Nachweis der Surjektivität von ${}\varphi$ sei ${}y\in K$ vorgegeben. Nach Korollar 28.10 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) gibt es eine Dezimalbruchfolge, die gegen ${}y$ konvergiert. Da diese Dezimalbruchfolge eine rationale Cauchy-Folge ist, gehört sie zu ${}C$ und definiert ein Element in ${}M$, das durch ${}\varphi$ auf ${}y$ abgebildet wird. Insgesamt ist also ${}\varphi$ ein bijektiver Ringhomomorphismus.

Aufgabe (4 (1+1+1+1) Punkte)

Welche der folgenden Abbildungen ist ein Gruppenhomomorphismus?

1. $(\mathbb {R} _{+},1,\cdot )\longrightarrow (\mathbb {R} _{+},1,\cdot ),\,x\longmapsto {\sqrt {x}}.$

2. $(\mathbb {R} ,0,+)\longrightarrow (\mathbb {R} ,0,+),\,x\longmapsto {\sqrt {x}}.$

3. $(\mathbb {R} _{\geq 0},1,\cdot )\longrightarrow (\mathbb {R} _{\geq 0},1,\cdot ),\,x\longmapsto {\sqrt {x}}.$

4. $(\mathbb {R} _{+},1,\cdot )\longrightarrow (\mathbb {R} ,0,+),\,x\longmapsto {\sqrt {x}}.$

Lösung

1. Dies ist ein Gruppenhomomorphismus. Die positiven reellen Zahlen ${}(\mathbb {R} _{+},1,\cdot )$ bilden mit der Multiplikation eine Gruppe und es gilt

   ${}{\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}\cdot {\sqrt {y}}\,,$

   da die Quadrate davon übereinstimmen.

2. Dies ist kein Gruppenhomomorphismus, allein schon deshalb, weil die Wurzel für negative Zahlen gar nicht definiert ist.
3. Dies ist kein Gruppenhomomorphismus, da ${}(\mathbb {R} _{\geq 0},1,\cdot )$ keine Gruppe ist, da ${}0$ kein inverses Element besitzt.
4. Dies ist kein Gruppenhomomorphismus, da das neutrale Element links nicht auf das neutrale Element rechts abgebildet wird.

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne das Quadrat des Polynoms

$1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}.$

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}{\left(1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}\right)}^{2}&={\left(1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}\right)}\cdot {\left(1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}\right)}\\&=1+{\frac {1}{4}}x^{2}+{\frac {1}{64}}x^{4}+x-{\frac {1}{4}}x^{2}-{\frac {1}{8}}x^{3}\\&=1+x-{\frac {1}{8}}x^{3}+{\frac {1}{64}}x^{4}.\end{aligned}}$

Aufgabe (3 Punkte)

Führe in ${}\mathbb {Q} [X]$ die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ für die beiden Polynome ${}P=6X^{3}+X+1$ und ${}T=3X^{2}+2X-4$ durch.

Lösung

Es ist insgesamt

$6X^{3}+X+1={\left(3X^{2}+2X-4\right)}{\left(2X-{\frac {4}{3}}\right)}+{\frac {35}{3}}X-{\frac {13}{3}}\,.$

Aufgabe (6 (3+1+2) Punkte)

1. Bestimme diejenigen reellen Polynomfunktionen, die bijektiv sind und für die die Umkehrfunktion ebenfalls polynomial ist.
2. Man gebe ein Beispiel für eine bijektive reelle Polynomfunktion, für die die Umkehrfunktion kein Polynom ist.
3. Zeige, dass durch das Polynom ${}X^{5}$ eine bijektive Abbildung

   $\mathbb {Z} /(7)\longrightarrow \mathbb {Z} /(7),\,x\longmapsto x^{5},$

   gegeben ist. Ist die Umkehrabbildung polynomial?

Lösung

1. Die einzigen reellen Polynome mit polynomialer Umkehrfunktion sind die Polynome der Form ${}aX+b$ mit

   ${}a\neq 0\,.$

   Für diese ist ${}{\frac {1}{a}}X-{\frac {b}{a}}$ die Umkehrfunktion, da ja wegen

   ${}{\frac {1}{a}}{\left(aX+b\right)}-{\frac {b}{a}}=X+{\frac {b}{a}}-{\frac {b}{a}}=X\,$

   und

   ${}a{\left({\frac {1}{a}}X-{\frac {b}{a}}\right)}+b=X-b+b=X\,$

   diese Funktionen invers zueinander sind. Wir zeigen, dass es darüberhinaus keine weiteren Polynome mit polynomialer Umkehrfunktion gibt. Ein konstantes Polynom ist nicht bijektiv. Es sei also ${}P$ ein Polynom, das zumindest einen Grad ${}\geq 2$ besitzt. Wenn man darin ein weiteres nichtkonstantes Polynom einsetzt, ergibt sich aber ebenfalls ein Polynom vom Grad ${}\geq 2$ und nicht ${}X$. D.h., dass ${}P$ keine polynomiale Umkehrfunktion besitzen kann.

2. Die Funktion

   $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{3},$

   ist bijektiv nach Lemma 25.18 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)), nach Teil (1) kann aber die Umkehrfunktion nicht polynomial sein.

3. Die vollständige Wertetabelle zu dieser Funktion ist

   ${}x$	${}0$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$
   ${}x^{5}$	${}0$	${}1$	${}4$	${}5$	${}2$	${}3$	${}6$

   also ist die Funktion bijektiv. Diese Funktion ist offenbar zu sich selbst invers, also ist die Umkehrfunktion polynomial.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}q\in \mathbb {Q}$ fixiert. Zeige, dass die Potenzfunktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{q},$

stetig ist.

Lösung

Es ist ${}q={\frac {a}{b}}$ mit ${}a\in \mathbb {Z}$ und ${}b\in \mathbb {N} _{+}$. Nach Definition ist ${}x^{q}={\sqrt[{b}]{x^{a}}}$. Deshalb handelt es sich bei der Funktion ${}f$ um die Hintereinanderschaltung der Funktion ${}x\mapsto x^{a}$ gefolgt von der Funktion ${}y\mapsto {\sqrt[{b}]{y}}$. Diese sind beide stetig (nach Korollar 51.10 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) bei ${}a\geq 0$, [[Rationale Funktion/R/Stetig/Fakt|Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Rationale Funktion/R/Stetig/Fakt/Faktreferenznummer (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023))]] bei ${}a<0$ und [[Reelle Zahlen/kte Wurzeln aus reellen Zahlen/Über Zwischenwertsatz/Fakt|Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Reelle Zahlen/kte Wurzeln aus reellen Zahlen/Über Zwischenwertsatz/Fakt/Faktreferenznummer (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023))]]), also ist nach [[Reelle Funktion/Stetig/Hintereinanderschaltung/Fakt|Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Reelle Funktion/Stetig/Hintereinanderschaltung/Fakt/Faktreferenznummer (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023))]] auch ${}f$ stetig.

Aufgabe (2 Punkte)

Was ist eigentlich ein „Winkel“?

Lösung Winkel/Grundsatzfrage/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten den Einheitskreis über dem Körper ${}\mathbb {Z} /(5)$, also die Teilmenge

${}E\subseteq {\left\{(x,y)\in {\left(\mathbb {Z} /(5)\right)}^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,.$

Aus ${}{\left(\mathbb {Z} /(5)\right)}^{2}=\mathbb {Z} /(5)\times \mathbb {Z} /(5)$ werden zufällig Punkte ausgewählt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein gewählter Punkt auf dem Einheitskreis liegt?

Lösung

Wir setzen die Elemente aus ${}\mathbb {Z} /(5)$ als ${}-2,-1,0,1,2$ an. Die Punkte, die die Kreisgleichung erfüllen, sind

$(0,\pm 1){\text{ und }}(\pm 1,\pm 2){\text{ und diese mit vertauschter Reihenfolge }}.$

Es gibt also

${}2\cdot 2+2\cdot 4=12\,$

Punkte auf dem Einheitskreis. Da es insgesamt

${}5\cdot 5=25\,$

Punkte in ${}\mathbb {Z} /(5)\times \mathbb {Z} /(5)$ gibt, ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewählter Punkt auf dem Einheitskreis liegt, gleich ${}{\frac {12}{25}}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}(M,P)$ ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und ${}E_{1},\ldots ,E_{r}$ eine Familie von vollständig unabhängigen Ereignissen. Zeige, dass die Familie vollständig unabhängig bleibt, wenn man die leere Menge und die Gesamtmenge ${}M$ hinzunimmt.

Lösung

Sei ${}E_{r+1}=\emptyset$ und ${}E_{r+2}=M$ und sei

${}I\subseteq \{1,2,\ldots ,r,r+1,r+2\}\,.$

Wenn in ${}I$ weder ${}{r+1}$ noch ${}{r+2}$ vorkommt, so ist ${}I\subseteq \{1,\ldots ,r\}$ und daher gilt

${}P{\left(\bigcap _{i\in I}E_{i}\right)}=\prod _{i\in I}P{\left(E_{i}\right)}\,$

aufgrund der Voraussetzung über die vollständige Unabhängigkeit der Ausgangsfamilie. Wenn ${}r+1\in I$ ist, so taucht darin die leere Menge auf und es ist einerseits

${}\bigcap _{i\in I}E_{i}=\emptyset \,$

mit Wahrscheinlichkeit ${}0$ und andererseits auch

${}\prod _{i\in I}P(E_{i})=0\,.$

Wenn in ${}I$ der Index ${}r+2$ vorkommt, aber nicht ${}r+1$, so ist

${}I=J\cup \{r+2\}\,$

mit ${}J\subseteq \{1,\ldots ,r\}$ und somit

${}P{\left(\bigcap _{i\in I}E_{i}\right)}=P{\left(\bigcap _{i\in J}E_{i}\cap M\right)}=P{\left(\bigcap _{i\in J}E_{i}\right)}=\prod _{i\in J}P(E_{i})=\prod _{i\in J}P(E_{i})\cdot P(M)=\prod _{i\in I}P(E_{i})\,.$