Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Arbeitsblatt 35/kontrolle

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe Aufgabe 35.1 ändern

Es sei eine lineare Abbildung mit

gegeben. Berechne




Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Welche der folgenden Figuren können als Bild eines Quadrates unter einer linearen Abbildung von nach auftreten?


Aufgabe * Aufgabe 35.3 ändern

Es sei eine lineare Abbildung

mit

gegeben. Berechne


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper und . Zeige, dass zu die Abbildung

linear ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper und . Zeige, dass zu die Abbildung

linear ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper und seien und lineare Abbildungen. Zeige, dass auch die Abbildung

eine lineare Abbildung ist.


Aufgabe * Aufgabe 35.7 ändern

Es sei ein Körper und sei eine lineare Abbildung. Zeige die folgenden Eigenschaften.

  1. Es ist .
  2. Für jede Linearkombination in gilt


Aufgabe Aufgabe 35.8 ändern

Es sei ein Körper und seien und lineare Abbildungen. Zeige die folgenden Eigenschaften.

  1. Die Hintereinanderschaltung

    ist ebenfalls linear.

  2. Wenn bijektiv ist, so ist auch die Umkehrabbildung

    linear.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Lucy Sonnenschein arbeitet als Fahrradkurier und bekommt einen Stundenlohn von €. Am Obststand kosten Himbeeren €, Erdbeeren kosten € und Äpfel € (jeweils pro Hundert Gramm). Beschreibe die Abbildung, die einem Einkauf die Zeit zuordnet, die Lucy für den Einkauf arbeiten muss, als eine Hintereinanderschaltung von linearen Abbildungen.


Aufgabe Referenznummer erstellen

In Beispiel 35.12 wurde beschrieben, welche Zutaten für Himbeerkuchen, Käsekuchen und Apfelkuchen benötigt werden. Die folgende Tabelle zeigt die Preise der einzelnen Zutaten (pro Kilogramm).

Produkt
Preis

Beschreibe die Abbildung, die einem Kuchentupel den Preis zuordnet, als Hintereinanderschaltung der Zutatenabbildung und der Preisabbildung.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Im Laden kostet Schokolade €, Kartoffeln € und Spinat € pro Tafel bzw. Sack bzw. Packung. Oma Müller kauft zwei Tafeln Schokolade, drei Säcke Kartoffeln und drei Packungen Spinat und zahlt dafür €. Mustafa ist vom Einkauf etwas enttäuscht und sagt: „wenn du zwei Säcke Kartoffeln und eine Packung Spinat weniger und dafür zehn Tafeln mehr gekauft hättest, so hätte das genau gleich viel gekostet“. Gabi Hochster ist zu Besuch und sagt: „oder wenigstens einen Sack Kartoffeln weniger und dafür vier Tafeln mehr, das hätte den Preis auch nicht geändert“.

  1. Finde weitere Möglichkeiten, den Einkauf abzuändern, ohne den Gesamtpreis zu ändern.
  2. Bestimme den Kern der Preisabbildung.
  3. Welche Elemente des Kerns lassen sich im eingangs beschriebenen Kontext sinnvoll interpretieren (wenn nur ganzzahlige Einkäufe möglich sind)?


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme den Kern der durch die Matrix

gegebenen linearen Abbildung


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme den Kern der linearen Abbildung


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei die durch die lineare Gleichung gegebene Ebene. Bestimme eine lineare Abbildung

derart, dass das Bild von gleich ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass das Bild einer Geraden unter einer linearen Abbildung entweder eine Gerade oder ein Punkt im ist.


Aufgabe Aufgabe 35.16 ändern

Es sei eine - Matrix über dem Körper , die zugehörige lineare Abbildung und das zugehörige homogene lineare Gleichungssystem. Zeige, dass die Lösungsmenge des Systems gleich dem Kern von ist.


Aufgabe Aufgabe 35.17 ändern

Es sei eine - Matrix über dem Körper , die zugehörige lineare Abbildung und das (vom Störvektor abhängige) zugehörige lineare Gleichungssystem. Zeige, dass die Lösungsmenge des Systems gleich dem Urbild von unter der linearen Abbildung ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine lineare Abbildung. Zeige, dass das Urbild eines Punktes ein affiner Unterraum des ist.


Aufgabe * Aufgabe 35.19 ändern

Ergänze den Beweis zu Satz 35.10 um die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation.


Aufgabe Aufgabe 35.20 ändern

Es sei ein Körper und . Es sei , , eine Basis des und seien , , Elemente in . Zeige, dass es genau eine lineare Abbildung

mit

gibt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Addition

eine lineare Abbildung ist. Wie sieht die Matrix dieser Abbildung bezüglich der Standardbasis aus?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein endlicher Körper mit Elementen. Bestimme die Anzahl der linearen Abbildungen


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper, und eine lineare Abbildung. Zeige, dass der Graph der Abbildung ein Untervektorraum von ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Mustafa Müller hat seinen neunten Geburtstag. Für die Feier backt seine Oma drei Himbeerkuchen, zwei Käsekuchen und vier Apfelkuchen. Berechne die insgesamt benötigten Zutaten mit Hilfe von Beispiel 35.12.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Beschreibe die Situation aus Beispiel 31.4 mit Hilfe einer linearen Abbildung.


Aufgabe Referenznummer erstellen

In einer Kekspackung befinden sich Schokokekse, Waffelröllchen, Mandelsterne und Nougatringe. Die Kalorien, der Vitamin C-Gehalt und der Anteil an linksdrehenden Fettsäuren werden durch folgende Tabelle (in geeigneten Maßeinheiten) wiedergegeben:

Sorte Kalorien Vitamin C Fett
Schokokeks 10 5 3
Waffelröllchen 8 7 6
Mandelstern 7 3 1
Nougatring 12 0 5

a) Beschreibe mit einer Matrix die Abbildung, die zu einem Verzehrtupel das Aufnahmetupel berechnet.

b) Heinz isst Schokokekse. Berechne seine Vitaminaufnahme.

c) Ludmilla isst Nougatringe und Waffelröllchen. Berechne ihre Gesamtaufnahme an Nährstoffen.

d) Peter isst Mandelsterne mehr und Schokokekse weniger als Fritz. Bestimme die Differenz ihrer Kalorienaufnahme.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Aus den Rohstoffen und werden verschiedene Produkte hergestellt. Die folgende Tabelle gibt an, wie viel von den Rohstoffen jeweils nötig ist, um die verschiedenen Produkte herzustellen (jeweils in geeigneten Einheiten).

a) Erstelle eine Matrix, die aus einem Vierertupel von Produkten die benötigten Rohstoffe berechnet.

b) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Produkt in einem Monat produziert werden soll.

Welche Rohstoffmengen werden dafür benötigt?

c) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Rohstoff an einem Tag angeliefert wird.

Welche Produkttupel kann man daraus ohne Abfall produzieren?


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Die Zeitungen und verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.

  1. Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  2. Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  3. Die Abonnenten von bleiben zu bei , niemand wechselt zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  4. Von den Nichtlesern entscheiden sich je für ein Abonnement von oder , die übrigen bleiben Nichtleser.

a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.

b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je Abonnenten und es gibt Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?

c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen (und wie viele Nichtleser gibt es noch) nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Die Telefonanbieter und kämpfen um einen Markt, wobei die Marktaufteilung im Jahr durch das Kundentupel ausgedrückt wird (dabei steht für die Anzahl der Kunden von im Jahr usw.). Es sind regelmäßig folgende Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres zu beobachten.

  1. Die Kunden von bleiben zu bei und wechseln zu je zu bzw. zu .
  2. Die Kunden von bleiben zu bei und wechseln zu zu und zu zu .
  3. Die Kunden von bleiben zu bei und wechseln zu zu und zu zu .

a) Bestimme die lineare Abbildung (bzw. die Matrix), die das Kundentupel aus berechnet.

b) Welches Kundentupel entsteht aus dem Kundentupel innerhalb eines Jahres?

c) Welches Kundentupel entsteht aus dem Kundentupel in vier Jahren?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Aufgabe 35.30 ändern

Es sei eine lineare Abbildung

mit

gegeben. Berechne


Aufgabe (2 Punkte)Aufgabe 35.31 ändern

Es sei eine lineare Abbildung. Zeige, dass der Kern von ein Untervektorraum des ist.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Auf dem reellen Vektorraum

der Glühweine betrachten wir die beiden linearen Abbildungen

und

Wir stellen uns als Preisfunktion und als Kalorienfunktion vor. Man bestimme Basen für , für und für .


Aufgabe (4 (2+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper und sei eine Familie von Vektoren im . Zeige, dass für die lineare Abbildung

die folgenden Beziehungen gelten.

  1. ist surjektiv genau dann, wenn ein Erzeugendensystem von ist.
  2. ist bijektiv genau dann, wenn eine Basis von ist.


Aufgabe (6 (3+1+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Eine Tierpopulation besteht aus Traglingen (erstes Lebensjahr), Frischlingen (zweites Lebensjahr), Halbstarken (drittes Lebensjahr), Reifen (viertes Lebensjahr) und alten Hasen (fünftes Lebensjahr), älter können diese Tiere nicht werden. Der Gesamtbestand dieser Tiere in einem bestimmten Jahr wird daher durch ein -Tupel

angegeben.

Von den Traglingen erreichen -tel das Frischlingsalter, von den Frischlingen erreichen -tel das Halbstarkenalter, von den Halbstarken erreichen -tel das reife Alter und von den Reifen erreichen -tel das fünfte Jahr.

Traglinge und Frischlinge können sich noch nicht vermehren, dann setzt die Geschlechtsreife ein und Halbstarke zeugen Nachkommen und Reife zeugen Nachkommen, wobei die Nachkommen ein Jahr später geboren werden.

a) Bestimme die lineare Abbildung (bzw. die Matrix), die den Gesamtbestand aus dem Bestand berechnet.

b) Was wird aus dem Bestand im Folgejahr?

c) Was wird aus dem Bestand in fünf Jahren?



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