Lösung
- Ein Körper
heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes nichtkonstante Polynom
eine Nullstelle in
besitzt.
- Eine
Körpererweiterung
heißt eine einfache Radikalerweiterung, wenn es ein
gibt mit
und ein
mit
.
- Ein
Integritätsbereich,
in dem jedes
Ideal
ein
Hauptideal
ist, heißt Hauptidealbereich.
- Das Element
heißt algebraisch über
, wenn es ein von
verschiedenes Polynom
mit
gibt.
- Eine
Körpererweiterung
heißt normal, wenn es zu jedem
ein
Polynom
,
,
mit
gibt, das über
zerfällt.
- Ein Punkt
heißt aus
in einem Schritt konstruierbar, wenn eine der folgenden Möglichkeiten zutrifft.
- Es gibt zwei aus
elementar konstruierbare Geraden
und
mit
.
- Es gibt eine aus
elementar konstruierbare Gerade
und einen aus
elementar konstruierbaren Kreis
derart, dass
ein Schnittpunkt von
und
ist.
- Es gibt zwei aus
elementar konstruierbare Kreise
und
derart, dass
ein Schnittpunkt der beiden Kreise ist.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die Beziehung zwischen prim und irreduzibel in einem Integritätsbereich
.
- Der Satz über die Charakterisierung normaler Körpererweiterungen.
- Der Satz über die Konstruktion der Quadratwurzel.
Lösung
- In einem Integritätsbereich ist ein Primelement stets irreduzibel.
- Sei
eine endliche Körpererweiterung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- Die Körpererweiterung ist normal.
- Wenn ein irreduzibles Polynom
eine Nullstelle in
besitzt, so zerfällt es in
.
- Es gibt ein
-Algebraerzeugendensystem
,
,
von
und über
zerfallende Polynome
,
,
,
mit
.
- Für jede Körpererweiterung
und jeden
-Algebrahomomorphismus
-
ist
.
- Es sei
eine mit zwei Punkten
und
markierte Gerade, die wir mit den reellen Zahlen identifizieren. Es sei
eine positive reelle Zahl. Dann ist die Quadratwurzel
aus
mittels Zirkel und Lineal
konstruierbar.
Lösung /Aufgabe/Lösung
Lösung
Lösung
Die Äquivalenz (1)
(2) gilt in jedem
kommutativen Ring
(auch für
),
siehe
Aufgabe 7.1 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)),
und (3) impliziert natürlich (2). Es sei also (1) erfüllt und sei
von
verschieden. Wir bezeichnen einen Repräsentanten davon in
ebenfalls mit
. Es ist dann
und es ergibt sich eine echte Idealinklusion
.
Ferner können wir
schreiben, da wir in einem Hauptidealring sind. Es folgt
.
Da
keine
Einheit
ist und
prim
(also nach
Lemma 3.10 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))
auch irreduzibel)
ist, muss
eine Einheit sein. Es ist also
,
und das bedeutet modulo
, also in
, dass
eine Einheit ist. Also ist
ein Körper.
Lösung
Es sei
der
Grad
von
über
. Es sei
. Wir betrachten die Potenzen
-
Da dies
Elemente in einem
-dimensionalen
-
Vektorraum
sind, können sie nach
Satz 8.2 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
nicht
linear unabhängig
sein. Also gibt es Koeffizienten
, die nicht alle gleich
sind, mit
-

Das zugehörige Polynom
-
ist nicht das Nullpolynom und es annulliert
. Somit ist
algebraisch.
Lösung /Aufgabe/Lösung
Lösung
Wir betrachten die Untergruppenbeziehung
-

Die Gruppen besitzen
bzw.
Elemente. Wegen
-

besitzt die
Restklassengruppe
-
genau
-
Elemente. Da alle beteiligten Gruppen zyklisch sind, ist der Restklassenhomomorphismus gleich
-
wobei der Erzeuger auf einen Erzeuger geht. Deshalb wird der Kern von
erzeugt. Es ist also
-
die erste Potenz, die in
liegt, und dieses ist ein primitives Element.
Lösung /Aufgabe/Lösung
Es sei
eine Primzahl.
a) Bestimme den
Grad
der
Körpererweiterung
-
![{\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be511b7c34d259b50cf86435ed4875678b447a30)
Man gebe auch eine
-
Basis
von
an.
b) Zeige, dass in
alle Elemente der Form
und
mit
eine dritte Wurzel besitzen.
c) Die rationale Zahl
besitze in
eine dritte Wurzel. Zeige, dass
die Form
-
mit
besitzt.
d) Es sei nun
eine weitere, von
verschiedene Primzahl. Bestimme den Grad der Körpererweiterung
-
![{\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}},{\sqrt[{3}]{q}}]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caadcdc3183cba1d06080bbbe22158d75073e75f)
Lösung
a) Wegen
besitzt das Polynom
keine Nullstelle in
. Daher ist es
nach Aufgabe 3.14 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))
irreduzibel
und somit ist
nach
Lemma 7.12 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))
das
Minimalpolynom
und somit besitzt die Körpererweiterung
-
![{\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9a9ba8240deedf9108d6a51b77fb2e61b71a942)
den Grad
. Eine
-
Basis
ist durch
gegeben.
b) Es ist
-
![{\displaystyle {}(m{\sqrt[{3}]{p}})^{3}=m^{3}p\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b8f7ef96a8ab8375f2b7becf0f09e0ca46b6582)
und
-
![{\displaystyle {}(n({\sqrt[{3}]{p}})^{2})^{3}=n^{3}p^{2}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cb4ad81241b3f9623ca1e6bb1830a51ea3a1732)
c) Eine dritte Potenz in
besitzt die Form
mit
. Sei
-
![{\displaystyle {}y=a+b{\sqrt[{3}]{p}}+c{\sqrt[{3}]{p}}^{2}=a+bp^{1/3}+cp^{2/3}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98088463877857fba238855a1812224fc1571bc8)
mit
. Dann ist
-

mit
-

-

und
-

Wegen
müssen die beiden hinteren Komponenten
sein, also
-

Daher ist auch
-

Es sei zuerst der hintere Faktor
. Bei
müsste
-

sein, was der Irrationalität dieser dritten Wurzel widerspricht. Also ist
und damit auch
.
Es sei nun
-

Wegen
folgt daraus
oder
.
In jedem Fall sind also mindestens zwei der Koeffizienten
gleich
. Die zugehörigen dritten Potenzen sind
-
und somit sind die rationalen Zahlen, die in diesem Körper eine dritte Wurzel besitzen, von der beschriebenen Art.
d) Wir betrachten die Körpererweiterung
-
![{\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]\subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}},{\sqrt[{3}]{q}}]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deefbafe7653c5855a002f73e515acfc0a78e942)
Nach Teil b) ist
. Somit ist
irreduzibel über
und daher besitzt nach der gleichen Argumentation wie unter a) die Körpererweiterung
-
![{\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]=\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}][{\sqrt[{3}]{q}}]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa517277fd42930d7dd4065a259423960875bd1a)
den Grad
. Nach der
Gradformel
besitzt die Gesamterweiterung
-
![{\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}][{\sqrt[{3}]{q}}]=\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}},{\sqrt[{3}]{q}}]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bacc5fc97d2258503baeffd2d07496dc8f0fde82)
den Grad
.
Lösung /Aufgabe/Lösung
Lösung
Wenn das Polynom schon über
eine Nullstelle besitzt, so ist die Aussage klar, da es dann um den Zerfällungskörper eines Polynoms vom maximalen Grad
handelt, dessen Grad maximal gleich
-

ist. Es sei
eine Körpererweiterung vom Grad
, unter der das Polynom eine Nullstelle
bekommt. Zu
gehört auch
, und da
gerade ist, ist dies ebenfalls eine Nullstelle. Somit gilt über
-

und man braucht maximal den Grad
, um
zu zerfällen. Insgesamt ist der benötigte Grad also gleich
. Dabei ist
-

da dies zu
-

äquivalent ist, was wegen
erfüllt ist.
Lösung
Es gilt die Gleichung
-
mit

. Das dritte
Kreisteilungspolynom errechnet sich aus
-
zu
(Division mit Rest)
-
Wegen
berechnet man das neunte Kreisteilungspolynom durch die Divison
-
Dies ergibt
-
Lösung /Aufgabe/Lösung
Lösung
Die Kreisgleichungen der beiden Kreise sind
-

und
-

Die Differenz der beiden Gleichungen ergibt
-

Also ist
-

Dies setzen wir in die erste Kreisgleichung ein und erhalten

Nach der Lösungsformel für eine quadratische Gleichung ist

Somit ist

und

Die Schnittpunkte sind also
-
und
-
Lösung
Beweise den Satz, dass man zu einer positiven reellen Zahl ihre Quadratwurzel mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.
Lösung
Beweise das Austauschlemma für Transzendenzbasen.
Lösung
Wir zeigen, dass man
durch eines der
ersetzen kann. Da die Körpererweiterung
algebraisch ist, gibt es zu jedem
ein
irreduzibles Polynom
mit
.
Wir multiplizieren mit dem Hauptnenner sämtlicher Koeffizienten der
und können dann annehmen, dass
gilt. Nehmen wir an, dass sämtliche
sogar zu
gehören. Dann wäre die Körperkette
-

eine nach
Aufgabe 10.4 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))
algebraische Erweiterung und insbesondere wäre
algebraisch über
im Widerspruch zur Voraussetzung, dass die
algebraisch unabhängig sind. Es gibt also ein
mit
. Wir schreiben
-

mit
-

und
. Dabei ist zumindest ein
für ein
.
Daher können wir die Gleichung
als eine algebraische Gleichung für
über
lesen. Dies bedeutet, dass
algebraisch über
ist.
Wir behaupten, dass
eine Transzendenzbasis von
über
ist, wobei wir gerade gezeigt haben, dass
darüber algebraisch ist. Es ist zu zeigen, dass diese Elemente algebraisch unabhängig sind. Wären sie algebraisch abhängig, so müsste
algebraisch über
sein. Doch dann wäre, wieder wegen der Transitivität von algebraisch, auch
algebraisch über
im Widerspruch zur Voraussetzung.