Kurs:Körper- und Galoistheorie/10/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 0 3 5 3 0 4 0 12 0 4 4 0 5 4 4 7 61




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein algebraisch abgeschlossener Körper.
  2. Eine einfache Radikalerweiterung (von Körpern).
  3. Ein Hauptidealbereich.
  4. Ein über einem Körper algebraisches Element einer -Algebra .
  5. Eine normale Körpererweiterung .
  6. Ein aus einer Teilmenge einer Ebene in einem Schritt konstruierbarer Punkt .


Lösung

  1. Ein Körper heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes nichtkonstante Polynom eine Nullstelle in besitzt.
  2. Eine Körpererweiterung heißt eine einfache Radikalerweiterung, wenn es ein gibt mit und ein mit .
  3. Ein Integritätsbereich, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealbereich.
  4. Das Element heißt algebraisch über , wenn es ein von verschiedenes Polynom mit gibt.
  5. Eine Körpererweiterung heißt normal, wenn es zu jedem ein Polynom , , mit gibt, das über zerfällt.
  6. Ein Punkt heißt aus in einem Schritt konstruierbar, wenn eine der folgenden Möglichkeiten zutrifft.
    1. Es gibt zwei aus elementar konstruierbare Geraden und mit .
    2. Es gibt eine aus elementar konstruierbare Gerade und einen aus elementar konstruierbaren Kreis derart, dass ein Schnittpunkt von und ist.
    3. Es gibt zwei aus elementar konstruierbare Kreise und derart, dass ein Schnittpunkt der beiden Kreise ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Beziehung zwischen prim und irreduzibel in einem Integritätsbereich .
  2. Der Satz über die Charakterisierung normaler Körpererweiterungen.
  3. Der Satz über die Konstruktion der Quadratwurzel.


Lösung

  1. In einem Integritätsbereich ist ein Primelement stets irreduzibel.
  2. Sei eine endliche Körpererweiterung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
    1. Die Körpererweiterung ist normal.
    2. Wenn ein irreduzibles Polynom eine Nullstelle in besitzt, so zerfällt es in .
    3. Es gibt ein -Algebraerzeugendensystem , , von und über zerfallende Polynome ,  , , mit .
    4. Für jede Körpererweiterung und jeden -Algebrahomomorphismus

      ist .

  3. Es sei eine mit zwei Punkten und markierte Gerade, die wir mit den reellen Zahlen identifizieren. Es sei eine positive reelle Zahl. Dann ist die Quadratwurzel aus mittels Zirkel und Lineal konstruierbar.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine -te Einheitswurzel. Zeige


Lösung

Es ist

wie sich durch Ausmultiplizieren der rechten Seite ergibt. Die -te Einheitswurzel ist eine Nullstelle der linken Seite. Da wir in einem Körper sind, muss der rechte Faktor bei Einsetzen von den Wert ergeben. Also ist


Aufgabe (5 Punkte)

Sei ein Hauptidealbereich und ein Element. Zeige, dass die folgende Bedingungen äquivalent sind.

  1. ist ein Primelement.
  2. ist ein Integritätsbereich.
  3. ist ein Körper.


Lösung

Die Äquivalenz (1) (2) gilt in jedem kommutativen Ring (auch für ), siehe Aufgabe 7.1 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)), und (3) impliziert natürlich (2). Sei also (1) erfüllt und sei von verschieden. Wir bezeichnen einen Repräsentanten davon in ebenfalls mit . Es ist dann und es ergibt sich eine echte Idealinklusion . Ferner können wir schreiben, da wir in einem Hauptidealring sind. Es folgt . Da keine Einheit ist und prim (also nach Lemma 3.10 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) auch irreduzibel) ist, muss eine Einheit sein. Es ist also , und das bedeutet modulo , also in , dass eine Einheit ist. Also ist ein Körper.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass eine endliche Körpererweiterung algebraisch ist.


Lösung

Es sei der Grad von über . Sei . Wir betrachten die Potenzen

Da dies Elemente in einem -dimensionalen -Vektorraum sind, können sie nach Satz 8.2 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) nicht linear unabhängig sein. Also gibt es Koeffizienten , die nicht alle gleich sind, mit

Das zugehörige Polynom

ist nicht das Nullpolynom und es annulliert . Somit ist algebraisch.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine Erweiterung endlicher Körper mit und es sei eine primitive Einheitswurzel von . Was ist die erste Potenz , , die zu gehört? Ist dieses ein primitives Element von ?


Lösung

Wir betrachten die Untergruppenbeziehung

Die Gruppen besitzen bzw. Elemente. Wegen

besitzt die Restklassengruppe

genau

Elemente. Da alle beteiligten Gruppen zyklisch sind, ist der Restklassenhomomorphismus gleich

wobei der Erzeuger auf einen Erzeuger geht. Deshalb wird der Kern von erzeugt. Es ist also

die erste Potenz, die in liegt, und dieses ist ein primitives Element.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (12 (3+1+6+2) Punkte)

Es sei eine Primzahl.

a) Bestimme den Grad der Körpererweiterung

Man gebe auch eine -Basis von an.

b) Zeige, dass in alle Elemente der Form und mit eine dritte Wurzel besitzen.

c) Die rationale Zahl besitze in eine dritte Wurzel. Zeige, dass die Form

mit besitzt.

d) Es sei nun eine weitere, von verschiedene Primzahl. Bestimme den Grad der Körpererweiterung


Lösung

a) Wegen besitzt das Polynom keine Nullstelle in . Daher ist es nach Aufgabe 3.14 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) irreduzibel und somit ist nach Lemma 7.12 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) das Minimalpolynom und somit besitzt die Körpererweiterung

den Grad . Eine -Basis ist durch gegeben.

b) Es ist

und

c) Eine dritte Potenz in besitzt die Form mit . Sei

mit . Dann ist

mit

und

Wegen müssen die beiden hinteren Komponenten sein, also

Daher ist auch

Sei zuerst der hintere Faktor . Bei müsste

sein, was der Irrationalität dieser dritten Wurzel widerspricht. Also ist und damit auch .

Sei nun

Wegen folgt daraus oder . In jedem Fall sind also mindestens zwei der Koeffizienten gleich . Die zugehörigen dritten Potenzen sind

und somit sind die rationalen Zahlen, die in diesem Körper eine dritte Wurzel besitzen, von der beschriebenen Art.

d) Wir betrachten die Körpererweiterung

Nach Teil b) ist . Somit ist irreduzibel über und daher besitzt nach der gleichen Argumentation wie unter a) die Körpererweiterung

den Grad . Nach der Gradformel besitzt die Gesamterweiterung

den Grad .


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei mit gerade. Zeige, dass der Zerfällungskörper von maximal den Grad besitzt.


Lösung

Wenn das Polynom schon über eine Nullstelle besitzt, so ist die Aussage klar, da es dann um den Zerfällungskörper eines Polynoms vom maximalen Grad handelt, dessen Grad maximal gleich

ist. Es sei eine Körpererweiterung vom Grad , unter der das Polynom eine Nullstelle bekommt. Zu gehört auch , und da gerade ist, ist dies ebenfalls eine Nullstelle. Somit gilt über

und man braucht maximal den Grad , um zu zerfällen. Insgesamt ist der benötigte Grad also gleich . Dabei ist

da dies zu

äquivalent ist, was wegen erfüllt ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Kreisteilungspolynom .


Lösung

Es gilt die Gleichung

mit . Das dritte

Kreisteilungspolynom errechnet sich aus

zu

(Division mit Rest)

Wegen berechnet man das neunte Kreisteilungspolynom durch die Divison

Dies ergibt


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 Punkte)

Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise und , wobei den Mittelpunkt und den Radius und den Mittelpunkt und den Radius besitzt.


Lösung

Die Kreisgleichungen der beiden Kreise sind

und

Die Differenz der beiden Gleichungen ergibt

Also ist

Dies setzen wir in die erste Kreisgleichung ein und erhalten

Nach der Lösungsformel für eine quadratische Gleichung ist

Somit ist

und

Die Schnittpunkte sind also

und


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass zu zwei konstruierbaren positiven reellen Zahlen und die Potenz nicht konstruierbar sein muss.


Lösung

Sei und

Die Zahl

ist algebraisch und wird von annulliert. Da liegt, gibt es nur eine reelle Nullstelle und keine rationale Nullstelle. Daher ist nach Aufgabe 3.14 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) das Polynom irreduzibel und daher nach Lemma 7.12 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) gleich dem Minimalpolynom. Also besitzt die Körpererweiterung

den Grad . Nach Korollar 25.6 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) kann daher nicht konstruierbar sein.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz, dass man zu einer positiven reellen Zahl ihre Quadratwurzel mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.


Lösung

Der Punkt sei auf einer Geraden gegeben, auf der auch Punkte und markiert seien. Wir zeichnen den Kreis mit Mittelpunkt durch und markieren den zweiten Schnittpunkt dieses Kreises mit als . Wir halbieren die Strecke zwischen und gemäß Lemma 24.6 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) und erhalten den konstruierbaren Punkt . Der Abstand von zu als auch zu ist dann . Wir zeichnen den Kreis mit Mittelpunkt und Radius und markieren einen der Schnittpunkte des Kreises mit der zu senkrechten Geraden durch als . Wir wenden den Satz des Pythagoras auf das Dreieck mit den Ecken an. Daraus ergibt sich

Also repräsentiert (der Abstand von zu) die Quadratwurzel aus .


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise das Austauschlemma für Transzendenzbasen.


Lösung

Wir zeigen, dass man durch eines der ersetzen kann. Da die Körpererweiterung algebraisch ist, gibt es zu jedem ein irreduzibles Polynom mit . Wir multiplizieren mit dem Hauptnenner sämtlicher Koeffizienten der und können dann annehmen, dass gilt. Nehmen wir an, dass sämtliche sogar zu gehören. Dann wäre die Körperkette

eine nach Aufgabe 10.4 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) algebraische Erweiterung und insbesondere wäre algebraisch über im Widerspruch zur Voraussetzung, dass die algebraisch unabhängig sind. Es gibt also ein mit . Wir schreiben

mit

und . Dabei ist zumindest ein für ein . Daher können wir die Gleichung als eine algebraische Gleichung für über lesen. Dies bedeutet, dass algebraisch über ist.

Wir behaupten, dass eine Transzendenzbasis von über ist, wobei wir gerade gezeigt haben, dass darüber algebraisch ist. Es ist zu zeigen, dass diese Elemente algebraisch unabhängig sind. Wären sie algebraisch abhängig, so müsste algebraisch über sein. Doch dann wäre, wieder wegen der Transitivität von algebraisch, auch algebraisch über im Widerspruch zur Voraussetzung.