Kurs:Lineare Algebra/Teil I/11/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 1 4 3 3 3 8 3 3 11 4 4 4 2 3 2 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Körper .
  2. Eine Zerlegung eines -Vektorraumes als direkte Summe in die Untervektorräume .
  3. Die lineare Unabhängigkeit einer (nicht notwendigerweise endlichen) Familie von Vektoren , , in einem -Vektorraum .
  4. Eine alternierende Abbildung

    wobei und Vektorräume über sind.

  5. Die geometrische Vielfachheit von einem Eigenwert zu einer linearen Abbildung

    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .

  6. Ein affiner Unterraum eines -Vektorraumes .


Lösung

  1. Ein Körper ist ein kommutativer Ring, wenn ist und wenn jedes von verschiedene Element in ein multiplikatives Inverses besitzt.
  2. Man sagt, dass die direkte Summe der ist, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.
    1. für alle .
    2. Jeder Vektor besitzt eine Darstellung

      mit .

  3. Eine Familie von Vektoren , , heißt linear unabhängig, wenn eine Gleichung

    nur bei für alle möglich ist.

  4. Die Abbildung

    heißt alternierend, wenn multilinear ist und wenn folgendes gilt: falls in zwei Einträge übereinstimmen, also für ein Paar , so ist

  5. Man nennt

    die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts.

  6. Unter einem affinen Unterraum von versteht man (die leere Menge oder) eine Teilmenge der Form

    wobei ein Untervektorraum und ein Vektor ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Umkehrabbildung einer linearen Abbildung
  2. Der allgemeine Entwicklungssatz für die Determinante.
  3. Der Satz über baryzentrische Koordinaten.


Lösung

  1. Es sei ein Körper und es seien und zwei -Vektorräume. Es sei

    eine bijektive lineare Abbildung. Dann ist auch die Umkehrabbildung

    linear.
  2. Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Zu sei diejenige Matrix, die entsteht, wenn man in die -te Zeile und die -te Spalte weglässt. Dann ist (bei für jedes feste bzw. )
  3. Es sei , , eine affine Basis in einem affinen Raum über dem -Vektorraum . Dann gibt es für jeden Punkt eine eindeutige Darstellung

    mit

    .


Aufgabe (1 Punkt)

Wir betrachten den Satz „Diese Vorlesung versteht keine Sau“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.


Lösung

Es gibt eine Sau, die diese Vorlesung versteht.


Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Es sei , , eine Familie von Mengen. Wir setzen

a) Zeige

b) Zeige, dass die Vereinigung disjunkt ist, dass also

für ist.


Lösung

a) Wegen gilt . Zum Nachweis der umgekehrten Inklusion sei . Dann gibt es ein zwischen und mit und damit auch ein minimales mit dieser Eigenschaft. Es ist also , aber für . Damit ist und insbesondere .

b) Sei und sagen wir . Sei . Dann ist und für . Also ist insbesondere und damit auch . Also sind und disjunkt.


Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die durch die Wertetabelle

gegebene Abbildung

a) Bestimme das Bild von unter .

b) Bestimme das Urbild von unter .

c) Erstelle eine Wertetabelle für


Lösung

a) Das Bild von ist .

b) Das Urbild von ist .

c)


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum der Dimension . Es seien und Basen von . Zeige, dass die Übergangsmatrizen zueinander in der Beziehung

stehen.


Lösung

Es sei

und

Dann ist

und

Somit ist

Der Koeffizient vor ist dabei das Produkt aus der -ten Zeile von und der -ten Spalte von , und dies ist der Eintrag .


Aufgabe (3 Punkte)

Drücke in den Vektor

als Linearkombination der Vektoren

aus.


Lösung

Es geht um das lineare Gleichungssystem

Wir ersetzen die zweite Zeile durch und die dritte durch und erhalten

Wir ersetzen durch und erhalten

Somit ist

und


Aufgabe (8 Punkte)

Beweise den Basisaustauschsatz.


Lösung

Wir führen Induktion über , also über die Anzahl der Vektoren in der Familie. Bei ist nichts zu zeigen. Sei die Aussage für schon bewiesen und seien linear unabhängige Vektoren

gegeben. Nach Induktionsvoraussetzung, angewandt auf die

(ebenfalls linear unabhängigen) Vektoren

gibt es eine Teilmenge derart, dass die Familie

eine Basis von ist. Wir wollen auf diese Basis das Austauschlemma anwenden. Da eine Basis vorliegt, kann man

schreiben.  Wären hierbei alle Koeffizienten ,  so ergäbe sich sofort ein Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der , . Es gibt also ein mit . Wir setzen . Damit ist eine -elementige Teilmenge von . Nach dem Austauschlemma kann man den Basisvektor durch ersetzen und erhält die neue Basis

  Der Zusatz folgt sofort, da eine -elementige Teilmenge einer -elementigen Menge vorliegt.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Dimension des von den Vektoren

erzeugten Untervektorraumes des .


Lösung

Die Summe der vier Vektoren ist

Daher gehört zu dem von den Vektoren erzeugten Untervektorraum. Daher gehören auch die Differenzen

und

also die Standardvektoren, zu dem erzeugten Untervektorraum. Daher wird der ganze erzeugt und die Dimension ist .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme, für welche die Matrix

invertierbar ist.


Lösung

Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ist. Die Determinante der Matrix ist

Dies ist gleich bei oder bei . Diese quadratische Gleichung ist äquivalent zu bzw. zu

Also ist

und damit

Die einzigen komplexen Zahlen, bei denen die Matrix nicht invertierbar ist, sind also


Aufgabe (11 (6+5) Punkte)

Es sei ein Körper, und seien endlichdimensionale -Vektorräume und sei

eine lineare Abbildung.

a) Zeige: ist genau dann surjektiv, wenn es eine lineare Abbildung

mit

gibt.

b) Es sei nun surjektiv, es sei

und es sei fixiert. Definiere eine Bijektion zwischen und , unter der auf abgebildet wird.


Lösung

a) Es gebe eine lineare Abbildung mit der angegebenen Eigenschaft . Dann ist für jedes

also ist ein Urbild für unter .

Es sei eine Basis von und es seien Urbilder unter , also Elemente in mit

Wir definieren nun eine lineare Abbildung durch

Da man eine lineare Abbildung auf einer Basis frei vorgeben kann, ist dadurch in der Tat eine lineare Abbildung definiert.

Für die Verknüpfung und einen beliebigen Vektor gilt

Also ist diese Verknüpfung die Identität.

b) Wir definieren eine Abbildung durch

wobei die Addition von linearen Abbildungen von nach ist. Unter dieser Abbildung geht die Nullabbildung auf . Wir müssen zuerst zeigen, dass zu gehört. Dies folgt aus

für alle .

Zur Injektivität. Seien und aus gegeben, die auf das gleiche Element in abgebildet werden. Dann ist

und daher

Zur Surjektivität. Sei . Wir betrachten und behaupten, dass dies zu gehört. Dies folgt aus

Damit ist im Bild der Abbildung.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass eine Permutation auf genau dann die Identität ist, wenn sie keinen Fehlstand besitzt.


Lösung

Wenn die Identität ist, so ist für jedes natürlich auch , so dass kein Fehlstand vorliegt. Die Umkehrung beweisen wir durch Induktion über . Für ist die Aussage richtig. Sei sie für schon bewiesen und sei eine Permutation auf ohne Fehlstand gegeben. Für jedes gilt dann . Die verschiedenen Zahlen , , sind also kleiner als , und daher ist die einzige verbleibende Möglichkeit

Daher ist ein Fixpunkt von und somit kann man als eine Permutation auf auffassen. Diese besitzt ebenfalls keinen Fehlstand und ist nach Induktionsvoraussetzung die Identität, also ist auch die Identität.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper und ein Ideal, das die beiden Elemente und enthält. Zeige, dass das Einheitsideal ist.


Lösung

Es ist

Da und zum Ideal gehören, gehört auch

zu . Damit gehört auch

zum Ideal und wegen für alle Polynome ist das Einheitsideal.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die -Matrizen über der Form

mit


Lösung

Die Gesamtbedingung führt wegen

auf

und somit auf die drei Bedingungen

und

Nach der Lösungsformel für quadratische Gleichungen gilt

Bei sind also

Lösungen. Bei muss zusätzlich

sein, und daher sind

weitere Lösungen.


Aufgabe (2 Punkte)

Was ist falsch an der folgenden Argumentation:

„Aussage: Es sei ein Eigenwert zur oberen Dreiecksmatrix

Dann ist

Beweis: Es sei

ein Eigenvektor der Matrix zum Eigenwert . Dies bedeutet die Gleichheit

Diese Gleichheit bedeutet die entsprechende Gleichheit in jeder Zeile. Speziell ergibt sich für die letzte Zeile die Bedingung

Da als Eigenvektor von verschiedenen sein muss, kann man durch dividieren und erhält . “


Lösung

Es ist zwar

dies bedeutet aber nur, dass mindestens eine Komponente nicht ist. Der letzte Eintrag kann sein, und dann kann man die behauptete Division nicht durchführen.


Aufgabe (3 Punkte)

Eine lineare Abbildung

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der durch die Matrix

beschrieben wird.


Lösung

Es ist

und

Der Vektor gehört nicht zum Kern von , daher kann man aus den sukzessiven Bildern davon eine Basis wie gewünscht herstellen. Es ist

und

Daher ist

eine Basis, bezüglich der die jordansche Normalform

vorliegt.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei , , eine Familie von Punkten in einem affinen Raum . Zeige, dass durch eine baryzentrische Kombination ein eindeutiger Punkt in definiert wird.


Lösung

Es seien . Dann ist

der Punkt ist also wohldefiniert.