Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblatt 16/kontrolle

Gar nicht mehr lange! Wir wünschen schon jetzt frohe Weihnachten!

Die Pausenaufgabe

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass zu einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ mit Dualraum ${}{V}^{*}$ die Auswertungsabbildung

$V\times {V}^{*}\longrightarrow K,\,(v,f)\longmapsto f(v),$

bilinear ist.

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne die Determinante der Matrix

${\begin{pmatrix}1+3{\mathrm {i} }&5-{\mathrm {i} }\\3-2{\mathrm {i} }&4+{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne die Determinante der Matrix

${\begin{pmatrix}1&3&5\\2&1&3\\8&7&4\end{pmatrix}}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Matrix

${\begin{pmatrix}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{pmatrix}}.$

1. Berechne die Determinante von ${}M$.
2. Bestimme die Determinante zu jeder Matrix, die entsteht, wenn man in ${}M$ eine Zeile und eine Spalte weglässt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige durch Induktion, dass bei einer oberen Dreiecksmatrix die Determinante gleich dem Produkt der Diagonalelemente ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige durch Induktion, dass bei einer unteren Dreiecksmatrix die Determinante gleich dem Produkt der Diagonalelemente ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$- Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

sei eine ${}K$- lineare Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ multilinear und alternierend ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass die Multiplikation

$K\times K=K^{2}\longrightarrow K,\,(a,b)\longmapsto a\cdot b,$

multilinear ist. Ist sie alternierend?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass die Abbildung

$K^{n}\times K^{n}\longrightarrow K,\,({\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}})\longmapsto (u_{1},\ldots ,u_{n})\circ {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}},$

multilinear ist.

Aufgabe * Aufgabe 55.5 ändern

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}I$ und ${}J$ endliche Indexmengen. Zeige, dass die Abbildung

$\operatorname {Abb} \,{\left(I,K\right)}\times \operatorname {Abb} \,{\left(J,K\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(I\times J,K\right)},\,(f,g)\longmapsto f\otimes g,$

mit

${}(f\otimes g)(i,j):=f(i)\cdot g(j)\,$

multilinear ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Überprüfe die Multilinearität und die Eigenschaft, alternierend zu sein, direkt für die Determinante von ${}2\times 2$- Matrizen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Überprüfe die Multilinearität und die Eigenschaft, alternierend zu sein, direkt für die Determinante von ${}3\times 3$- Matrizen.

Aufgabe Aufgabe 16.13 ändern

Zeige, dass für jede Elementarmatrix ${}E$ die Beziehung

${}\det E=\det {E^{\text{tr}}}\,$

gilt.

Aufgabe * Aufgabe 16.14 ändern

Man begründe anhand des Bildes, dass zu zwei Vektoren ${}(x_{1},y_{1})$ und ${}(x_{2},y_{2})$ die Determinante der durch die Vektoren definierten ${}2\times 2$-Matrix mit dem Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms (bis auf das Vorzeichen) übereinstimmt.

${}\,$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine ${}2\times 2$- Matrix. Zeige

${}\operatorname {Spur} {\left(M\right)}=1+\det \left(M\right)-\det \left(E_{2}-M\right)\,.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}z\in {\mathbb {C} }$ und

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,w\longmapsto zw,$

die zugehörige Multiplikation. Bestimme die Determinante dieser Abbildung, wenn man sie als reell-lineare Abbildung ${}\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ auffasst.

Aufgabe Aufgabe 16.17 ändern

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Es sei

$\Phi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W$

eine multilineare Abbildung und es seien ${}v_{1j},\ldots ,v_{m_{j}j}\in V_{j}$ und ${}a_{ij}\in K$. Zeige

${}\Phi {\left(\sum _{i=1}^{m_{1}}a_{i1}v_{i1},\ldots ,\sum _{i=1}^{m_{n}}a_{in}v_{in}\right)}=\sum _{(i_{1},\ldots ,i_{n})\in \{1,\ldots ,m_{1}\}\times \cdots \times \{1,\ldots ,m_{n}\}}a_{i_{1}1}\cdots a_{i_{n}n}\Phi {\left(v_{i_{1}1},\ldots ,v_{i_{n}n}\right)}\,.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Es seien ${}v_{i_{j}}$, ${}i_{j}\in I_{j}$, Erzeugendensysteme von ${}V_{j}$, ${}j=1,\ldots ,n$. Zeige, dass eine multilineare Abbildung

$\triangle \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W$

durch

$\triangle (v_{i_{1}},\ldots ,v_{i_{n}})$

festgelegt ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\triangle \colon V\times V\longrightarrow K$

eine multilineare und alternierende Abbildung. Es seien ${}u,v,w\in V$. Ziehe in

$\triangle {\begin{pmatrix}u+2v\\v+3w\end{pmatrix}}$

Summen und Skalare nach außen und vereinfache.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass die Abbildung

$\operatorname {Mat} _{2}(K)\longrightarrow K,\,{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\longmapsto ad+cb,$

multilinear ist, aber nicht alternierend.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper. Ist die Abbildung

$\operatorname {Mat} _{2}(K)\longrightarrow K,\,{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\longmapsto ac-bd,$

multilinear in den Zeilen? In den Spalten?

Aufgabe * Aufgabe 16.22 ändern

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass die Determinante

$\operatorname {Mat} _{n}(K)=(K^{n})^{n}\longrightarrow K,\,M\longmapsto \det M,$

für beliebiges ${}k\in {\{1,\ldots ,n\}}$ und beliebige ${}n-1$ Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{k-1},v_{k+1},\ldots ,v_{n}\in K^{n}$, für ${}u\in K^{n}$ und für ${}s\in K$ die Gleichheit

${}\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\su\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=s\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,$

gilt.

Aufgabe Aufgabe 16.23 ändern

Es sei ${}M$ eine quadratische Matrix, die man als

${}M={\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}}\,$

mit quadratischen Matrizen ${}A$ und ${}D$ schreiben kann. Zeige

${}\det M=\det A\cdot \det D\,.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine quadratische Matrix, die man als

${}M={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\,$

mit quadratischen Matrizen ${}A,B,C$ und ${}D$ schreiben kann. Zeige durch ein Beispiel, dass die Beziehung

${}\det M=\det A\cdot \det D-\det B\cdot \det C\,$

im Allgemeinen nicht gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Untersuche die Abbildung

$\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\times V\longrightarrow W,\,(\varphi ,v)\longmapsto \varphi (v),$

auf Multilinearität.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper, es seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ und es sei

$\Phi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W$

eine multilineare Abbildung. Zeige, dass die Menge

${\left\{\left(v_{1},\,\ldots ,\,v_{n}\right)\in V_{1}\times \cdots \times V_{n}\mid \Phi \left(v_{1},\,\ldots ,\,v_{n}\right)=0\right\}}$

im Allgemeinen kein Untervektorraum von ${}V_{1}\times \cdots \times V_{n}$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Zeige, dass die Menge aller multilinearen Abbildungen, die mit ${}\operatorname {Mult} _{K}{\left(V_{1},\ldots ,V_{n},W\right)}$ bezeichnet wird, in natürlicher Weise ein Vektorraum ist.

Aufgabe Aufgabe 16.28 ändern

Es sei ${}K$ ein Körper, seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ und ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass die Menge aller alternierenden Abbildungen, die mit ${}\operatorname {Alt} _{K}^{n}{\left(V,W\right)}$ bezeichnet wird, ein Untervektorraum von ${}\operatorname {Mult} _{K}{\left(V,\ldots ,V,W\right)}$ (wobei der Vektorraum ${}V$ ${}n$-fach auftritt) ist.

Aufgabe Aufgabe 16.29 ändern

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$- Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

sei eine ${}K$- lineare Abbildung und es sei

$\triangle \colon W^{m}\longrightarrow K$

eine multilineare Abbildung. Zeige, dass dann auch die verknüpfte Abbildung

$V^{m}\longrightarrow K,\,(v_{1},\ldots ,v_{m})\longmapsto \triangle \left(\varphi (v_{1}),\,\ldots ,\,\varphi (v_{m})\right),$

multilinear ist. Zeige ebenfalls, dass wenn ${}\triangle$ alternierend ist, dass dann auch ${}\triangle \circ \varphi ^{n}$ alternierend ist, und dass hiervon bei ${}\varphi$ bijektiv auch die Umkehrung gilt.

Aufgabe Aufgabe 16.30 ändern

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n},W_{1},\ldots ,W_{n}$ und ${}Z$ Vektorräume über ${}K$. Es seien

$\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow W_{i}$

lineare Abbildungen und sei

$\pi \colon W_{1}\times \cdots \times W_{n}\longrightarrow Z$

eine multilineare Abbildung. Zeige, dass die Abbildung

$\pi \circ (\varphi _{1}\times \cdots \times \varphi _{n})\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow Z,\,(v_{1},\ldots ,v_{n})\longmapsto \pi (\varphi _{1}(v_{1}),\ldots ,\varphi _{n}(v_{n})),$

ebenfalls multilinear ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne zur (komplexen) Matrix

${}M={\begin{pmatrix}1+{\mathrm {i} }&2{\mathrm {i} }&3\\0&1-{\mathrm {i} }&-1+3{\mathrm {i} }\\4-{\mathrm {i} }&0&2\end{pmatrix}}\,$

die Determinante und die inverse Matrix.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme, für welche ${}x\in {\mathbb {C} }$ die Matrix

${\begin{pmatrix}x^{2}+x&-x\\-x^{3}+2x^{2}+5x-1&x^{2}-x\end{pmatrix}}$

invertierbar ist.

Die Weihnachtsaufgabe für die ganze Familie

Aufgabe Aufgabe 16.33 ändern

Welches Bildungsgesetz liegt der Folge

$1,\,11,\,21,\,1211,\,111221,\,312211,\,...$

zugrunde?

(Es wird behauptet, dass diese Aufgabe für Grundschulkinder sehr einfach und für Mathematiker sehr schwierig ist.)

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}M\in \operatorname {Mat} _{n}(\mathbb {Q} )$. Zeige, dass es egal ist, ob man die Determinante in ${}\mathbb {Q}$, in ${}\mathbb {R}$ oder in ${}{\mathbb {C} }$ ausrechnet.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne die Determinanten der Elementarmatrizen.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne die Determinante der Matrix

${\begin{pmatrix}1+{\mathrm {i} }&3-2{\mathrm {i} }&5\\{\mathrm {i} }&1&3-{\mathrm {i} }\\2{\mathrm {i} }&-4-{\mathrm {i} }&2+{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne die Determinante der Matrix

$A={\begin{pmatrix}2&1&0&-2\\1&3&3&-1\\3&2&4&-3\\2&-2&2&3\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\triangle \colon V\times V\times V\longrightarrow K$

eine multilineare und alternierende Abbildung. Es seien ${}u,v,w\in V$. Ziehe in

$\triangle {\begin{pmatrix}u+v+w\\2u+3z\\4w-5z\end{pmatrix}}$

Summen und Skalare nach außen und vereinfache.

Aufgabe (3 Punkte)Aufgabe 16.39 ändern

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ Vektorräume über ${}K$. Es seien

$\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow K$

(${}i=1,\ldots ,n$), lineare Abbildungen. Zeige, dass dann die Abbildung

$\varphi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow K,\,{\left(v_{1},\ldots ,v_{n}\right)}\longmapsto \varphi _{1}(v_{1}){\cdots }\varphi _{n}(v_{n}),$

multilinear ist.

Aufgabe (3 (1+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

${}T={\left\{M\in \operatorname {Mat} _{3\times 3}(K)\mid \det M=0\right\}}\subset \operatorname {Mat} _{3\times 3}(K)=K^{9}\,$

die Menge aller ${}3\times 3$-Matrizen mit Determinante ${}0$.

a) Zeige, dass ${}T$ kein Untervektorraum von ${}\operatorname {Mat} _{3\times 3}(K)$ ist.

b) Zeige, dass ${}T$ einen Untervektorraum von ${}\operatorname {Mat} _{3\times 3}(K)$ der Dimension ${}6$ enthält.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Abbildung

$f\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,$

die dem Bildungsgesetz aus Aufgabe 16.33 entspricht (die natürlichen Zahlen sind dabei als endliche Ziffernfolgen im Zehnersystem zu verstehen).

1. Ist ${}f$ wachsend?
2. Ist ${}f$ surjektiv?
3. Ist ${}f$ injektiv?
4. Besitzt ${}f$ einen Fixpunkt?

Die Aufgabe zum Aufgeben

Lösungen zu der folgenden Aufgabe direkt an den Dozenten, bis Ende des Semesters.

Aufgabe (10 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

${}T={\left\{M\in \operatorname {Mat} _{3\times 3}(K)\mid \det M=0\right\}}\subset \operatorname {Mat} _{3\times 3}(K)=K^{9}\,$

die Menge aller ${}3\times 3$-Matrizen mit Determinante ${}0$. Enthält ${}T$ einen Untervektorraum von ${}\operatorname {Mat} _{3\times 3}(K)$ der Dimension ${}7$?