Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Vorlesung 32

Orthogonalität

Mit einem Skalarprodukt kann man die Eigenschaft zweier Vektoren, aufeinander senkrecht zu stehen, ausdrücken.

Dass die über das Skalarprodukt definierte Orthogonalität der anschaulichen Orthogonalität entspricht, kann man sich folgendermaßen klar machen.^[1] Zu orthogonalen Vektoren $u, v \in V$ gilt, dass $v$ zu den beiden Punkten $u$ und $- u$ den gleichen Abstand besitzt. Es ist ja

\begin{matrix} ‖ v - u ‖^{2} & = ⟨ v - u, v - u ⟩ \\ = ⟨ v, v ⟩ + ⟨ u, u ⟩ \\ = ⟨ v + u, v + u ⟩ \\ = ‖ v + u ‖^{2} . \end{matrix}

Die Umkehrung gilt ebenfalls, siehe Aufgabe 32.1.

Wir rufen uns den Satz des Pythagoras in Erinnerung.

Der folgende Satz ist der Satz des Pythagoras, genauer die Skalarproduktversion davon, die trivial ist. Die Beziehung zum klassischen, elementar-geometrischen Satz des Pythagoras ist diffizil, da es nicht selbstverständlich ist, dass unser über das Skalarprodukt eingeführter Orthogonalitätsbegriff und unser ebenso eingeführter Längenbegriff mit den entsprechenden intuitiven Begriffen übereinstimmen. Dass unser Normbegriff der wahre Längenbegriff ist, beruht wiederum auf dem Satz des Pythagoras in einem cartesischen Koordinatensystem, was den klassischen Satz voraussetzt.

Satz

Es sei $V$ ein $𝕂$ -Vektorraum mit Skalarprodukt $⟨ -, - ⟩$ . Es seien $u, v \in V$ Vektoren, die aufeinander senkrecht stehen.

Dann ist

$‖ u + v ‖^{2} = ‖ u ‖^{2} + ‖ v ‖^{2} .$

Beweis

Es ist

‖ u + v ‖^{2} = ⟨ u + v, u + v ⟩ = ⟨ u, u ⟩ + ⟨ u, v ⟩ + ⟨ v, u ⟩ + ⟨ v, v ⟩ = ‖ u ‖^{2} + ‖ v ‖^{2} .

◻

Definition

Es sei $V$ ein $𝕂$ -Vektorraum mit Skalarprodukt und $U \subseteq V$ ein Untervektorraum. Dann heißt

U^{⊥} = {v \in V ∣ ⟨ v, u ⟩ = 0 für  alle u \in U}

das orthogonale Komplement von $U$ .

Das orthogonale Komplement zu einem Untervektorraum ist selbst wieder ein Untervektorraum, siehe Aufgabe 32.8. Wenn ein Erzeugendensystem von $U$ gegeben ist, so gehört ein Vektor $v \in V$ bereits dann zum orthogonalen Komplement von $U$ , wenn er auf allen Vektoren des Erzeugendensystems senkrecht steht, siehe Aufgabe 32.9.

Beispiel

Es sei $V = ℝ^{n}$ mit dem Standardskalarprodukt versehen. Zum eindimensionalen Untervektorraum $ℝ e_{i}$ zum Standardvektor $e_{i}$ besteht das orthogonale Komplement aus allen Vektoren $(\begin{matrix} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{i - 1} \\ 0 \\ x_{i + 1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix})$ , deren $i$ -ter Eintrag $0$ ist. Zum eindimensionalen Untervektorraum $ℝ v$ zu einem Vektor

v = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{matrix}) \neq 0

kann man das orthogonale Komplement bestimmen, indem man den Lösungsraum der linearen Gleichung

a_{1} x_{1} + \dots + a_{n} x_{n} = 0

bestimmt. Der Orthogonalraum

U = (ℝ v)^{⊥} = {(\begin{matrix} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}) ∣ a_{1} x_{1} + \dots + a_{n} x_{n} = 0}

besitzt die Dimension $n - 1$ , es handelt sich also um eine sogenannte Hyperebene. Man nennt dann $v$ einen Normalenvektor für die Hyperebene $U$ .

Zu einem Untervektorraum $U \subseteq ℝ^{n}$ , der durch eine Basis (oder ein Erzeugendensystem) $v_{i} = (\begin{matrix} a_{i 1} \\ ⋮ \\ a_{i n} \end{matrix})$ , $i = 1, \dots, k$ , gegeben ist, bestimmt man das orthogonale Komplement als Lösungsraum des linearen Gleichungssystems

A (\begin{matrix} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}) = 0,

wobei $A = (a_{i j})$ die aus den $v_{i}$ (als Zeilen) gebildete Matrix ist.

Orthonormalbasen

Definition

Es sei $V$ ein $𝕂$ -Vektorraum mit einem Skalarprodukt. Eine Basis $v_{i}$ , $i \in I$ , von $V$ heißt Orthogonalbasis, wenn

⟨ v_{i}, v_{j} ⟩ = 0 für i \neq j

gilt.

Definition

Es sei $V$ ein $𝕂$ -Vektorraum mit Skalarprodukt $⟨ -, - ⟩$ . Eine Basis $v_{i}$ , $i \in I$ , von $V$ heißt Orthonormalbasis, wenn

⟨ v_{i}, v_{i} ⟩ = 1 für alle i \in I und ⟨ v_{i}, v_{j} ⟩ = 0 für i \neq j

gilt.

Die Elemente in einer Orthonormalbasis haben alle die Norm $1$ und sie stehen senkrecht aufeinander. Eine Orthonormalbasis ist also eine Orthogonalbasis, bei der zusätzlich die Normbedingung

‖ v_{i} ‖ = \sqrt{⟨ v_{i}, v_{i} ⟩} = 1

erfüllt ist. Man kann problemlos von einer Orthogonalbasis zu einer Orthonormalbasis übergehen, indem man jedes $v_{i}$ durch die Normierung $\frac{v_{i}}{‖ v_{i} ‖}$ ersetzt (da $v_{i}$ Teil einer Basis ist, ist die Norm von $0$ verschieden). Eine Familie von Vektoren, die jeweils die Norm $1$ haben und paarweise aufeinander senkrecht stehen, aber nicht unbedingt eine Basis bilden, nennt man ein Orthonormalsystem.

Lemma

Es sei $V$ ein $𝕂$ -Vektorraum mit Skalarprodukt und sei $u_{i}$ , $i \in I$ , eine Orthonormalbasis von $V$ .

Dann ergeben sich die Koeffizienten eines Vektors $v$ bezüglich dieser Basis durch

$v = \sum_{i \in I} ⟨ v, u_{i} ⟩ u_{i} .$

Beweis

Da eine Basis vorliegt, gibt es eine eindeutige Darstellung

v = \sum_{j \in I} a_{j} u_{j}

(wobei alle $a_{j}$ bis auf endlich viele gleich $0$ sind). Die Behauptung ergibt sich somit aus

⟨ v, u_{i} ⟩ = ⟨ \sum_{j \in I} a_{j} u_{j}, u_{i} ⟩ = \sum_{j \in I} a_{j} ⟨ u_{j}, u_{i} ⟩ = a_{i} .

◻

Wir werden Orthonormalbasen hauptsächlich im endlichdimensionalen Fall betrachten. Im $ℝ^{n}$ ist die Standardbasis eine Orthonormalbasis. In der Ebene $ℝ^{2}$ ist eine Orthonormalbasis von der Form $(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}), (\begin{matrix} - b \\ a \end{matrix})$ oder $(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}), (\begin{matrix} b \\ - a \end{matrix})$ , wobei jeweils $a^{2} + b^{2} = 1$ erfüllt sein muss. Beispielsweise ist $(\begin{matrix} \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \end{matrix}), (\begin{matrix} - \frac{4}{5} \\ \frac{3}{5} \end{matrix})$ eine Orthonormalbasis. Das folgende Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren erlaubt es, ausgehend von einer Basis eines endlichdimensionalen Vektorraumes eine Orthonormalbasis zu konstruieren, die die gleiche Fahne von Untervektorräumen festlegt.

Satz

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $𝕂$ -Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}$ eine Basis von $V$ .

Dann gibt es eine Orthonormalbasis $u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n}$ von $V$ mit^[2]

$⟨ v_{1}, v_{2}, \dots, v_{i} ⟩ = ⟨ u_{1}, u_{2}, \dots, u_{i} ⟩$

für alle $i = 1, \dots, n$ .

Beweis

Die Aussage wird durch Induktion über $i$ bewiesen, d.h. es wird sukzessive eine Familie von orthonormalen Vektoren konstruiert, die jeweils den gleichen Untervektorraum aufspannen. Für $i = 1$ muss man lediglich $v_{1}$ normieren, also durch $u_{1} = \frac{v_{1}}{‖ v_{1} ‖}$ ersetzen. Es sei die Aussage für $i$ schon bewiesen und sei eine Familie von orthonormalen Vektoren $u_{1}, \dots, u_{i}$ mit $⟨ u_{1}, \dots, u_{i} ⟩ = ⟨ v_{1}, \dots, v_{i} ⟩$ bereits konstruiert. Wir setzen

w_{i + 1} = v_{i + 1} - ⟨ v_{i + 1}, u_{1} ⟩ u_{1} - \dots - ⟨ v_{i + 1}, u_{i} ⟩ u_{i} .

Dieser Vektor steht wegen

\begin{matrix} ⟨ w_{i + 1}, u_{j} ⟩ & = ⟨ v_{i + 1} - ⟨ v_{i + 1}, u_{1} ⟩ u_{1} - \dots - ⟨ v_{i + 1}, u_{i} ⟩ u_{i}, u_{j} ⟩ \\ = ⟨ v_{i + 1}, u_{j} ⟩ - \sum_{k \leq i, k \neq j} ⟨ v_{i + 1}, u_{k} ⟩ ⟨ u_{k}, u_{j} ⟩ - ⟨ v_{i + 1}, u_{j} ⟩ ⟨ u_{j}, u_{j} ⟩ \\ = ⟨ v_{i + 1}, u_{j} ⟩ - ⟨ v_{i + 1}, u_{j} ⟩ \\ = 0 \end{matrix}

senkrecht auf allen $u_{1}, \dots, u_{i}$ und offenbar ist

⟨ u_{1}, \dots, u_{i}, w_{i + 1} ⟩ = ⟨ v_{1}, \dots, v_{i}, v_{i + 1} ⟩ .

Durch Normieren von $w_{i + 1}$ erhält man $u_{i + 1}$ .

◻

Beispiel

Es sei $V$ der Kern der linearen Abbildung

ℝ^{3} ⟶ ℝ, (x, y, z) ⟼ 2 x + 3 y - z .

Als Unterraum des $ℝ^{3}$ trägt $V$ das induzierte Skalarprodukt. Wir möchten eine Orthonormalbasis von $V$ bestimmen. Dazu betrachten wir die Basis bestehend aus den Vektoren

v_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) und v_{2} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}) .

Es ist $‖ v_{1} ‖ = \sqrt{5}$ und somit ist

u_{1} = \frac{v_{1}}{‖ v_{1} ‖} = (\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{5}} \\ 0 \\ \frac{2}{\sqrt{5}} \end{matrix})

der zugehörige normierte Vektor. Gemäß dem^[3] Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren setzen wir

\begin{matrix} w_{2} & = v_{2} - ⟨ v_{2}, u_{1} ⟩ u_{1} \\ = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}) - ⟨ (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}), (\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{5}} \\ 0 \\ \frac{2}{\sqrt{5}} \end{matrix}) ⟩ (\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{5}} \\ 0 \\ \frac{2}{\sqrt{5}} \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}) - \frac{6}{\sqrt{5}} (\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{5}} \\ 0 \\ \frac{2}{\sqrt{5}} \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}) - (\begin{matrix} \frac{6}{5} \\ 0 \\ \frac{12}{5} \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} - \frac{6}{5} \\ 1 \\ \frac{3}{5} \end{matrix}) . \end{matrix}

Es ist

‖ w_{2} ‖ = ‖ (\begin{matrix} - \frac{6}{5} \\ 1 \\ \frac{3}{5} \end{matrix}) ‖ = \sqrt{\frac{36}{25} + 1 + \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{70}{25}} = \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{5}}

und daher ist

u_{2} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{14}} (\begin{matrix} - \frac{6}{5} \\ 1 \\ \frac{3}{5} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - \frac{6}{\sqrt{70}} \\ \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{14}} \\ \frac{3}{\sqrt{70}} \end{matrix})

der zweite Vektor der Orthonormalbasis.

Korollar

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $𝕂$ -Vektorraum mit Skalarprodukt.

Dann gibt es eine Orthonormalbasis in $V$ .

Beweis

Dies folgt direkt aus Satz 32.9.

◻

Man kann auch stets in einem endlichdimensionalen Vektorraum mit Skalarprodukt ein vorgegebenes Orthonormalsystem zu einer Orthonormalbasis ergänzen, siehe Aufgabe 32.24.

Korollar

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $𝕂$ -Vektorraum mit Skalarprodukt und $U \subseteq V$ ein Untervektorraum.

Dann ist

$V = U \oplus U^{⊥},$

d.h. $V$ ist die direkte Summe aus $U$ und seinem orthogonalen Komplement.

Beweis

Aus $u \in U \cap U^{⊥}$ folgt direkt

⟨ u, u ⟩ = 0

und daher $u = 0$ . Somit ist die Summe direkt. Es sei $u_{1}, \dots, u_{k}$ eine Orthonormalbasis von $U$ , die wir zu einer Orthonormalbasis $u_{1}, \dots, u_{n}$ von $V$ ergänzen. Dann ist

U^{⊥} = ⟨ u_{k + 1}, \dots, u_{n} ⟩

und somit ist $V$ die Summe aus den Unterräumen.

◻

Zur folgenden Aussage vergleiche man auch Lemma 15.6 und Aufgabe 32.28.

Korollar

Es sei $V$ ein $𝕂$ -Vektorraum mit einem Skalarprodukt $⟨ -, - ⟩$ . Dann gelten folgende Aussagen.

Zu Untervektorräumen $U \subseteq U^{'} \subseteq V$ ist
$U^{⊥} \supseteq U'^{⊥} .$

Es ist $0^{⊥} = V$ und $V^{⊥} = 0$ .

Es sei $V$ endlichdimensional. Dann ist
${(U^{⊥})}^{⊥} = U .$

Es sei $V$ endlichdimensional. Dann ist
$\dim_{K} (U^{⊥}) = \dim_{K} (V) - \dim_{K} (U) .$

Beweis

Siehe Aufgabe 32.26.

◻

Orthogonale Projektionen

Zu einem endlichdimensionalen $𝕂$ -Vektorraum mit einem Skalarprodukt und einem Untervektorraum $U \subseteq V$ gibt es ein orthogonales Komplement $U^{⊥}$ und der Raum hat nach Korollar 32.12 die direkte Summenzerlegung

V = U \oplus U^{⊥} .

Die Projektion

p_{U} : V ⟶ U

längs $U^{⊥}$ heißt die orthogonale Projektion auf $U$ . Diese hängt allein von $U$ ab, da ja das orthogonale Komplement eindeutig bestimmt ist. Häufig bezeichnet man auch die Abbildung $V \to U \to V$ als orthogonale Projektion auf $U$ . Bei einer orthogonalen Projektion wird ein Punkt auf seinen Lotfußpunkt auf $U$ abgebildet.

Lemma

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $𝕂$ -Vektorraum mit Skalarprodukt und $U \subseteq V$ ein Untervektorraum mit einer Orthonormalbasis $u_{1}, \dots, u_{m}$ von $U$ .

Dann ist die orthogonale Projektion auf $U$ durch

$p_{U} (v) = \sum_{i = 1}^{m} ⟨ v, u_{i} ⟩ u_{i}$

gegeben.

Beweis

Wir ergänzen die Basis zu einer Orthonormalbasis $u_{1}, \dots, u_{n}$ von $V$ . Das orthogonale Komplement zu $U$ ist

U^{⊥} = ⟨ u_{m + 1}, \dots, u_{n} ⟩ .

Nach Lemma 32.8 ist

v = \sum_{i = 1}^{n} ⟨ v, u_{i} ⟩ u_{i} = (\sum_{i = 1}^{m} ⟨ v, u_{i} ⟩ u_{i}) + (\sum_{i = m + 1}^{n} ⟨ v, u_{i} ⟩ u_{i}) .

Somit ist $\sum_{i = 1}^{m} ⟨ v, u_{i} ⟩ u_{i}$ die Projektion auf $U$ längs $U^{⊥}$ .

◻

Fußnoten

↑ Wenn man akzeptiert, dass die über das Skalarprodukt definierte Länge der anschaulichen Länge entspricht, was auf dem elementar-geometrischen Satz des Pythagoras beruht.
↑ Hier bezeichnet $⟨ - ⟩$ den von den Vektoren erzeugten Untervektorraum, nicht das Skalarprodukt.
↑ Häufig ist es numerisch geschickter, zuerst nur zu orthogonalisieren und die Normierung erst zum Schluss durchzuführen, siehe Beispiel Anhang 1.1.

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[1] Wenn man akzeptiert, dass die über das Skalarprodukt definierte Länge der anschaulichen Länge entspricht, was auf dem elementar-geometrischen Satz des Pythagoras beruht.

[2] Hier bezeichnet $⟨ - ⟩$ den von den Vektoren erzeugten Untervektorraum, nicht das Skalarprodukt.

[3] Häufig ist es numerisch geschickter, zuerst nur zu orthogonalisieren und die Normierung erst zum Schluss durchzuführen, siehe Beispiel Anhang 1.1.

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