Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Arbeitsblatt 31

Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass das Standardskalarprodukt auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ in der Tat ein Skalarprodukt ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und sei ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Zeige, dass die Einschränkung des Skalarproduktes auf ${}U$ ebenfalls ein Skalarprodukt ist.

Aufgabe *

Es sei ${}V$ ein komplexer Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige, dass der Realteil dieses Skalarproduktes ein Skalarprodukt auf dem zugrunde liegenden reellen Vektorraum ist.

Aufgabe

Es sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit den Werten ${}\left\langle e_{1},e_{1}\right\rangle =5$, ${}\left\langle e_{1},e_{2}\right\rangle =-4$, ${}\left\langle e_{2},e_{1}\right\rangle =7$ und ${}\left\langle e_{2},e_{2}\right\rangle =-3$. Berechne ${}\left\langle {\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-5\\-6\end{pmatrix}}\right\rangle$. Handelt es sich um ein Skalarprodukt?

Aufgabe

Es seien

$f,g\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R}$

mit ${}f(x)=-x^{2}+1$ und ${}g(x)=x^{2}+x+3$. Berechne ${}\left\langle f,g\right\rangle$ im Sinne von Beispiel 31.6.

Aufgabe

Es sei ${}[a,b]$ ein abgeschlossenes reelles Intervall mit ${}a<b$ und sei ${}V={\left\{f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ stetig}}\right\}}$. Zu ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und ${}f,g\in V$ sei

${}\left\langle f,g\right\rangle _{n}:=\sum _{i=0}^{n}f{\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right)}g{\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right)}\,.$

Welche Eigenschaften eines Skalarproduktes erfüllt ${}\left\langle -,-\right\rangle _{n}$, welche nicht? Welche Beziehung besteht zwischen ${}\left\langle -,-\right\rangle _{n}$ und dem Skalarprodukt aus Beispiel 31.6?

Aufgabe

Es seien ${}(V_{1},\left\langle -,-\right\rangle _{1})$ und ${}(V_{2},\left\langle -,-\right\rangle _{2})$ reelle Vektorräume mit Skalarprodukten. Zeige, dass auf dem Produktraum ${}V_{1}\times V_{2}$ durch

${}\left\langle (v_{1},v_{2}),(w_{1},w_{2})\right\rangle :=\left\langle v_{1},w_{1}\right\rangle _{1}+\left\langle v_{2},w_{2}\right\rangle _{2}\,$

ein Skalarprodukt definiert ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}{\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm ${}\Vert {-}\Vert$. Zeige, dass die sogenannte Parallelogrammgleichung

${}\Vert {v+w}\Vert ^{2}+\Vert {v-w}\Vert ^{2}=2\Vert {v}\Vert ^{2}+2\Vert {w}\Vert ^{2}\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige, dass in der Abschätzung

${}\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert \leq \Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert \,$

von Cauchy-Schwarz genau dann die Gleichheit gilt, wenn ${}v$ und ${}w$ linear abhängig sind.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}{\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm ${}\Vert {-}\Vert$.

a) Zeige, dass bei ${}{\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ die Beziehung

${}\left\langle v,w\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\left(\Vert {v+w}\Vert ^{2}-\Vert {v}\Vert ^{2}-\Vert {w}\Vert ^{2}\right)}\,$

gilt.

b) Zeige, dass bei ${}{\mathbb {K} }={\mathbb {C} }$ die Beziehung

${}\left\langle v,w\right\rangle ={\frac {1}{4}}{\left(\Vert {v+w}\Vert ^{2}-\Vert {v-w}\Vert ^{2}+{\mathrm {i} }\Vert {v+{\mathrm {i} }w}\Vert ^{2}-{\mathrm {i} }\Vert {v-{\mathrm {i} }w}\Vert ^{2}\right)}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein komplexer Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige, dass die Norm zu diesem Skalarprodukt mit der Norm übereinstimmt, die man erhält, wenn man ${}V$ als reellen Vektorraum mit dem zugehörigen reellen Skalarprodukt auffasst.

Aufgabe

Zeige, dass die Maximumsnorm auf dem ${}{\mathbb {K} }^{n}$ eine Norm ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Summennorm auf dem ${}{\mathbb {K} }^{n}$ eine Norm ist.

Aufgabe

Bestimme für den Vektor

${}{\begin{pmatrix}-6\\10\\7\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\,$

den zugehörigen normierten Vektor bezüglich der euklidischen Norm, der Maximumsnorm und der Summennorm.

Aufgabe

Es sei ${}n\geq 2$. Zeige, dass für die Norm ${}\Vert {x}\Vert :=\operatorname {max} \{\vert {x_{i}}\vert :1\leq i\leq n\}$ auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ kein Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ mit der Eigenschaft ${}\Vert {x}\Vert ={\sqrt {\left\langle x,x\right\rangle }}$ existiert.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein normierter Vektorraum über ${}{\mathbb {C} }$. Zeige, dass ${}V$, aufgefasst als reeller Vektorraum, mit der gleichen Norm ebenfalls ein normierter Vektorraum ist.

Aufgabe *

Zeige, dass ein normierter ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum durch

${}d(u,v):=\Vert {u-v}\Vert \,$

zu einem metrischen Raum wird.

Aufgabe *

Es seien ${}P=\left({\frac {3}{4}},\,-1\right)$ und ${}Q=\left(2,\,{\frac {1}{5}}\right)$ zwei Punkte im ${}\mathbb {R} ^{2}$. Bestimme den Abstand zwischen diesen beiden Punkten in

a) der euklidischen Metrik,

b) der Summenmetrik,

c) der Maximumsmetrik.

d) Vergleiche diese verschiedenen Abstände der Größe nach.

Aufgabe *

Es sei ${}A$ eine nichtleere Menge, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und ${}M=A^{n}$ das ${}n$-fache Produkt der Menge mit sich selbst.

a) Zeige, dass auf ${}M$ durch

${}d(x,y)=d((x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n})):={\#\left({\left\{i\mid x_{i}\neq y_{i}\right\}}\right)}\,$

eine Metrik definiert wird.

b) Bestimme zu ${}A=\{a,b,c\}$ und ${}n=4$ den Abstand ${}d((a,a,b,c),(c,a,b,a))$.

c) Liste für ${}A=\{a,b,c\}$ und ${}n=3$ alle Elemente aus der offenen Kugel ${}U{\left((a,a,b),2\right)}$ auf.

Aufgabe

Es sei ${}M$ die Menge aller (Personen)-Bahnhöfe in Deutschland. Zu ${}a,b\in M$ sei

$d(a,b)$

die (zeitlich) kürzeste fahrplanmäßige Verbindung von ${}a$ nach ${}b$. Handelt es sich dabei um eine Metrik?

Aufgabe

Es sei ${}A\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ das Achsenkreuz, also die Vereinigung von ${}x$-Achse und ${}y$-Achse.

a) Definiere auf ${}A$ den Abstand, der durch die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten ${}P,Q\in A$ durch einen Weg auf ${}A$ gegeben ist.

b) Zeige, dass es sich dabei um eine Metrik handelt.

c) Gibt es eine Norm auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$ derart, dass die Einschränkung der zugehörigen Metrik mit unserer Verbindungsmetrik übereinstimmt?

Aufgabe *

Es sei ${}V$ ein normierter ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum und ${}E$ ein affiner Raum über ${}V$. Zeige, dass ${}E$ durch

${}d(P,Q):=\Vert {\overrightarrow {PQ}}\Vert \,$

zu einem metrischen Raum wird.

Es sei ${}T$ eine Menge und

$f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktion. Dann nennt man

${}\Vert {f}\Vert :=\Vert {f}\Vert _{T}={\operatorname {sup} \,(\vert {f(x)}\vert {|}x\in T)}\,$

das Supremum (oder die Supremumsnorm) von ${}f$. Es ist eine nichtnegative reelle Zahl oder ${}\infty$.

Aufgabe

Es sei ${}T$ eine Menge und

${}M={\left\{f:T\rightarrow {\mathbb {C} }\mid \Vert {f}\Vert _{T}<\infty \right\}}\,$

die Menge der beschränkten komplexwertigen Funktionen auf ${}T$. Zeige, dass ${}M$ ein komplexer Vektorraum ist.

Aufgabe

Es sei ${}T$ eine Menge und

${}M={\left\{f:T\rightarrow {\mathbb {C} }\mid \Vert {f}\Vert _{T}<\infty \right\}}\,$

die Menge der beschränkten komplexwertigen Funktionen auf ${}T$. Zeige, dass die Supremumsnorm auf ${}M$ folgende Eigenschaften erfüllt.

1. ${}\Vert {f}\Vert \geq 0$ für alle ${}f\in M$.
2. ${}\Vert {f}\Vert =0$ genau dann, wenn ${}f=0$ ist.
3. Für ${}\lambda \in {\mathbb {C} }$ und ${}f\in M$ gilt

   ${}\Vert {\lambda f}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {f}\Vert \,.$

4. Für ${}g,f\in M$ gilt

   ${}\Vert {g+f}\Vert \leq \Vert {g}\Vert +\Vert {f}\Vert \,.$

Aufgabe

Es sei ${}T$ eine Menge und ${}E$ ein euklidischer Vektorraum. Es sei

${}M={\left\{f:T\rightarrow E\mid \Vert {f}\Vert _{T}<\infty \right\}}\,$

die Menge der beschränkten Abbildungen von ${}T$ nach ${}E$. Zeige, dass die Supremumsnorm auf ${}M$ eine Norm ist.

Aufgabe

Es sei ${}T$ eine Menge, ${}E$ ein euklidischer Vektorraum und

${}M={\left\{f:T\rightarrow E\mid \Vert {f}\Vert _{T}<\infty \right\}}\,$

die Menge der beschränkten Abbildungen von ${}T$ nach ${}E$. Zeige, dass eine Folge ${}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ aus ${}M$ genau dann gegen ${}f\in M$ gleichmäßig konvergiert, wenn diese Folge im durch die Supremumsnorm gegebenen metrischen Raum ${}M$ konvergiert.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien

$f,g\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R}$

mit ${}f(x)=2x^{3}-x+3$ und ${}g(x)=-5x^{2}+4x-7$. Berechne

$\left\langle f,g\right\rangle ,\,\Vert {f}\Vert ,\,\Vert {g}\Vert$

im Sinne von Beispiel 31.6.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}V$ ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Bestätige

${}\Vert {x+y}\Vert ^{2}-\Vert {x-y}\Vert ^{2}=4\left\langle x,y\right\rangle \,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}V=\operatorname {Mat} _{n\times n}(\mathbb {R} )$. Zeige, dass ${}V$ versehen mit der Abbildung

$\left\langle -,-\right\rangle \colon V\times V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(A,B)\longmapsto \operatorname {Spur} {\left(B^{t}A\right)}$

ein euklidischer Vektorraum ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Es seien ${}n$ Punkte ${}P_{1},P_{2},\ldots ,P_{n}$ in der Kreisscheibe ${}B$ mit Mittelpunkt ${}(0,0)$ und Radius ${}1$, also in ${}B={\left\{P\in \mathbb {R} ^{2}\mid d(P,0)\leq 1\right\}}$, gegeben. Zeige, dass es einen Punkt ${}Q\in B$ mit der Eigenschaft

${}\sum _{i=1}^{n}d(P_{i},Q)\geq n\,$

gibt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}v,w\in \mathbb {R} ^{n}$ mit ${}\Vert {v}\Vert \leq 1$ und ${}\Vert {w}\Vert =1$. Zeige, dass es ein ${}a\in \mathbb {R}$ mit ${}\Vert {v+aw}\Vert =1$ gibt.