Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Vorlesung 20

Normale topologische Räume

Definition

Ein topologischer Raum heißt normal, wenn die einzelnen Punkte abgeschlossen sind und es in ihm zu je zwei disjunkten ${}Y,Z\subseteq X$ offene Mengen ${}Y\subseteq U$ und ${}Z\subseteq V$ mit ${}U\cap V=\emptyset$ gibt.

Diese Eigenschaft kann man auch so formulieren, dass es zu einer Inklusion ${}Y\subseteq U$ mit ${}Y$ abgeschlossen und ${}U$ offen eine Verfeinerung

${}Y\subseteq U'\subseteq Y'\subseteq U\,$

mit den entsprechenden Eigenschaften gibt.

Lemma

Ein metrischer Raum

ist normal.

Beweis

Es seien ${}Y,Z$ disjunkte abgeschlossene Teilmengen des metrischen Raumes ${}X$. Zu jedem Punkt ${}y\in Y$ gibt es aufgrund der Abgeschlossenheit von ${}Z$ ein ${}\delta _{y}>0$ derart, dass der offene Ball ${}U{\left(y,\delta _{y}\right)}$ disjunkt zu ${}Z$ ist. Entsprechend gibt es zu ${}z\in Z$ ein ${}\epsilon _{z}>0$ derart, dass ${}U{\left(z,\epsilon _{z}\right)}$ disjunkt zu ${}Y$ ist. Es ist dann

${}Y\subseteq \bigcup _{y\in Y}U{\left(y,{\frac {\delta _{y}}{2}}\right)}\,$

eine offene Umgebung von ${}Y$ und

${}Z\subseteq \bigcup _{z\in Z}U{\left(z,{\frac {\epsilon _{z}}{2}}\right)}\,$

eine offene Umgebung von ${}Z$. Wir behaupten, dass diese beiden offenen Mengen disjunkt sind. Nehmen wir an, dass dies nicht der Fall ist. Dann gibt es Punkte ${}y\in Y$ und ${}z\in Z$ derart, dass

${}U{\left(y,{\frac {\delta _{y}}{2}}\right)}\cap U{\left(z,{\frac {\epsilon _{z}}{2}}\right)}\neq \emptyset \,$

ist. Es sei ${}x$ ein Punkt darin. Dann ist

${}d(y,z)\leq d(y,x)+d(x,z)<{\frac {\delta _{y}}{2}}+{\frac {\epsilon _{z}}{2}}\,.$

Ohne Einschränkung sei ${}\delta _{y}\leq \epsilon _{z}$. Dann ist

${}d(y,z)<\epsilon _{z}\,$

was ein Widerspruch zur Wahl von ${}\epsilon _{z}$ ist.

$\Box$

Lemma

Ein kompakter topologischer Raum

ist normal.

Beweis

Es seien ${}Y,Z$ disjunkte abgeschlossene Teilmengen des kompakten Raumes ${}X$. Zuerst sei ${}Y$ beliebig und ${}Z=\{P\}$ ein Punkt. Dann gibt es zu jedem Punkt ${}y\in Y$ aufgrund der Hausdorff-Eigenschaft disjunkte Umgebungen ${}y\in U_{y}$ und ${}P\in V_{y,P}$. Es ist

${}Y\subseteq \bigcup _{y\in Y}U_{y}\,$

eine offene Überdeckung. Nach Lemma 17.3 ist mit ${}X$ auch ${}Y$ kompakt und daher gibt es eine endliche Teilüberdeckung, sagen wir

${}Y\subseteq U:=\bigcup _{i=1}^{n}U_{y_{i}}\,.$

Es ist dann ${}U$ eine offene Umgebung von ${}Y$, die zur offenen Umgebung

${}V:=\bigcap _{i=1}^{n}V_{y_{i},P}\,$

von ${}P$ disjunkt ist.

Für den allgemeinen Fall gibt es nach diesem speziellen Fall zu jedem ${}z\in Z$ disjunkte offene Umgebungen ${}z\in V_{z}$ und ${}Y\subseteq U_{z}$. Es ist dann

${}Z\subseteq \bigcup _{z\in Z}V_{z}\,$

eine offene Überdeckung, für die es wieder eine endliche Teilüberdeckung ${}\bigcup _{j=1}^{m}V_{z_{j}}$ gibt, die zu ${}\bigcap _{j=1}^{m}U_{z_{j}}$ disjunkt ist.

$\Box$

Die folgende Aussage heißt Satz von Urysohn.

Satz

Es sei ${}X$ ein normaler topologischer Raum.

Dann gibt es zu disjunkten abgeschlossenen Teilmengen ${}Y,Z\subseteq X$ eine stetige Funktion ${}f\colon X\rightarrow \mathbb {R}$ mit ${}f{|}_{Y}=0$ und ${}f{|}_{Z}=1$.

Beweis

Wir definieren induktiv über ${}n$ zu den Zahlen ${}{\frac {k}{2^{n}}}$ mit ${}k\in \{0,\ldots ,2^{n}\}$ eine Kette von offenen Teilmengen ${}U_{\frac {k}{2^{n}}}$ und von abgeschlossenen Teilmengen ${}Y_{\frac {k}{2^{n}}}$ mit

${}U_{\frac {k}{2^{n}}}\subseteq Y_{\frac {k}{2^{n}}}\,$

und mit

${}Y_{\epsilon }\subseteq U_{\epsilon '}\,$

für ${}\epsilon <\epsilon '$. Wir starten induktiv mit ${}U_{0}=\emptyset$, ${}Y_{0}=Y$, ${}U_{1}=X\setminus Z$ und ${}Y_{1}=X$. Es seien die Mengen zum Nenner ${}2^{n}$ schon konstruiert. Das heißt, dass zum Nenner ${}2^{n+1}$ die Mengen zu den Indizes ${}{\frac {m}{2^{n+1}}}$ mit ${}m$ gerade schon konstruiert sind. Für ${}k$ ungerade liegt die Situation

${}Y_{\frac {k-1}{2^{n+1}}}\subseteq U_{\frac {k+1}{2^{n+1}}}\,$

vor. Aufgrund der Normalität gibt eine offene Menge ${}U_{\frac {k}{2^{n+1}}}$ und eine abgeschlossene Menge ${}Y_{\frac {k}{2^{n+1}}}$ mit

${}Y_{\frac {k-1}{2^{n+1}}}\subseteq U_{\frac {k}{2^{n+1}}}\subseteq Y_{\frac {k}{2^{n+1}}}\subseteq U_{\frac {k+1}{2^{n+1}}}\,$

wie gewünscht.

Wir definieren jetzt eine Funktion

$f\colon X\longrightarrow [0,1]$

durch

${}f(x)=\operatorname {inf} (t,x\in Y_{t})\,.$

Dabei besitzt ${}f$ auf ${}Y$ den Wert ${}0$ und auf ${}Z$ den Wert ${}1$. Es ist

${}f^{-1}([0,s])=\bigcap _{s\leq {\frac {k}{2^{n}}}}Y_{\frac {k}{2^{n}}}\,,$

woraus die Stetigkeit folgt.

$\Box$

Approximationseigenschaften in den Lebesgueräumen

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum, der zugleich ein Maßraum auf der ${}\sigma$- Algebra der Borelmengen sei. Es gibt dann einerseits die stetigen Funktionen und andererseits ${}p$- integrierbare Funktionen ${}f\colon X\rightarrow {\mathbb {K} }$, die beides messbare Funktionen sind. Wir möchten verstehen, unter welchen Bedingungen an ${}X$ und an das Maß ${}\mu$ die stetigen Funktionen integrierbar sind und inwiefern man ihnen die integrierbaren Funktionen approximieren kann.

Lemma

Es sei ${}(X,\mu )$ ein ${}\sigma$- endlicher Maßraum. Es sei ${}E$ die Menge der messbaren, einfachen komplex-wertigen Funktionen ${}f$ auf ${}X$, deren Träger ${}{\left\{x\in X\mid f(x)\neq 0\right\}}$ ${}\mu$- endlich sei.

Dann ist ${}E$ dicht in ${}L^{p}(X)$ für alle ${}p\geq 1$.

Beweis

Es sei ${}p$ fixiert und es sei ${}f$ eine ${}p$- integrierbare Funktion, die wir als reellwertig und als nichtnegativ annehmen können. Nach Lemma 8.11 gibt es eine Folge von einfachen monoton wachsenden Funktionen ${}e_{n}\geq 0$, die punktweise gegen ${}f$ konvergieren. Wegen ${}e_{n}\leq f$ und der ${}p$-Integrierbarkeit von ${}f$ sind auch die ${}e_{n}$ ${}p$-integrierbar, woraus wiederum folgt, dass die Träger zu ${}e_{n}$ einen endlichen Träger haben. Wegen

${}{\left(f-e_{n}\right)}^{p}\leq f^{p}\,$

können wir Satz 10.9 auf die Funktionenfolge ${}(f-e_{n})^{p}$, die ja gegen ${}0$ konvergiert, anwenden, und erhalten, dass

${}\Vert {f-e_{n}}\Vert _{p}=\int _{X}{\left(f-e_{n}\right)}^{p}d\mu \,$

für ${}n\rightarrow \infty$ gegen ${}0$ konvergiert. Dies bedeutet, die Konvergenz von ${}e_{n}$ gegen ${}f$ in ${}L^{p}(X)$.

$\Box$

Um zu zeigen, dass auch die stetigen Funktionen, sagen wir für eine Teilmenge des ${}\mathbb {R} ^{m}$, dicht sind, gibt es im Wesentlichen zwei Strategien. Man approximiert die einfachen Funktionen bzw. die Indikatorfunktionen zu beliebigen messbaren Teilmengen beliebig gut durch stetige Funktionen, oder aber, man verschärft das vorstehende Resultat und zeigt, dass auch die Indikatorfunktionen zu Quadern schon einen dichten Untervektorraum erzeugen, und approximiert diese durch stetige Funktionen.

Lemma

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine messbare Teilmenge.

Dann ist das ${}n$- dimensionale Volumen von ${}T$ gleich dem Infimum über die Volumensumme aller Quader-Überpflasterungen ${}Q_{i}$, ${}i\in \mathbb {N}$, von ${}T$, also

${}\lambda ^{n}(T)=\operatorname {inf} {\left\{\sum _{i\in \mathbb {N} }\lambda ^{n}(Q_{i})\mid T\subseteq \bigcup _{i\in \mathbb {N} }Q_{i}\right\}}\,.$

Beweis

Dies folgt aus Satz 6.5 und der Definition eines äußeren Maßes.

$\Box$

Hierbei kann man offene, halboffene oder abgeschlossene Quader nehmen.

Lemma

Das Borel-Lebesgue-Maß auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ besitzt die folgenden Eigenschaften.

1. Für alle beschränkten und insbesondere für alle kompakten Teilmengen ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ist ${}\lambda ^{n}(T)<\infty$.
2. Für jede messbare Menge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ist

   ${}\lambda ^{n}(T)=\operatorname {inf} (\lambda ^{n}(U),T\subseteq U{\text{ offen}})\,.$

3. Für jede messbare Menge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ist

   ${}\lambda ^{n}(T)=\operatorname {sup} (\lambda ^{n}(A),A\subseteq T,\,A{\text{ abgeschlossen}})\,.$

Beweis

Die erste Eigenschaft ist klar. Die zweite Eigenschaft folgt aus Lemma 20.6 mit offenen Quaderüberpflasterungen.

Zum Nachweis von (3) können wir annehmen, dass ${}\lambda ^{n}(T)$ endlich ist.

Wir betrachten die Durchschnitte

${}T_{r}=T\cap B\left(0,r\right)\,.$

Da die Bälle den Raum ausschöpfen, konvergieren die Volumina nach Lemma 3.4  (5) gegen das von ${}T$. Wir können also ${}T$ durch ${}T_{r}$ ersetzen (beispielsweise mit einer Maßabweichung von ${}\epsilon /2$) und dann annehmen, dass ${}T\subseteq U{\left(0,s\right)}\subset U{\left(0,r\right)}$ ist. Wir betrachten

${}T'=U{\left(0,r\right)}\setminus T\subseteq U{\left(0,r\right)}\,.$

Nach Teil (2) können wir das Volumen von ${}T'$ beliebig gut durch offene Mengen von oben approximieren, von den wir ferner annehmen können, dass sie in ${}U{\left(0,r\right)}$ liegen, sagen wir

${}T'\subseteq U'\subseteq U{\left(0,r\right)}\,$

mit

${}\lambda ^{n}(U')-\lambda ^{n}(T')\leq {\frac {\epsilon }{2}}\,.$

Dann ist

${}A'=B(0,r)\cap {\left(\mathbb {R} ^{n}\setminus U'\right)}\subseteq B(0,r)\cap {\left(\mathbb {R} ^{n}\setminus T'\right)}=T\,$

eine abgeschlossene Teilmenge von ${}T$ und die Volumenabweichung ist wie zuvor.

$\Box$

Genaue Eigenschaften, Definition. Topologische Quetscheigenschaft. Topologisch approximierbar. Kompaktheit.

Lemma

Es sei ${}X$ ein normaler topologischer Raum und ${}\mu$ ein ${}\sigma$- endliches Maß auf den Borelmengen von ${}X$. Es sei ${}T$ eine messbare Teilmenge von ${}X$ mit ${}\mu (T)<\infty$.

Dann gibt es zu jedem ${}\epsilon >0$ eine stetige Funktion ${}f\colon X\rightarrow \mathbb {R}$ mit einem kompakten Träger derart, dass

${}\mu {\left({\left\{x\in X\mid f(x)\neq e_{T}(x)\right\}}\right)}\leq \epsilon \,.$

Beweis

Es sei ${}A\subseteq T\subseteq U$ mit einer abgeschlossenen Teilmenge ${}A$ und einer offenen Teilmenge ${}U$ derart, dass

${}\mu (U\setminus A)\leq \epsilon \,$

ist. Dann sind ${}A$ und ${}X\setminus U$ disjunkte abgeschlossene Teilmengen und daher gibt es in dem normalen Raum nach dem Lemma von Urysohn eine stetige Funktion ${}f$, deren Bild in ${}[0,1]$ ist und die auf ${}A$ den Wert ${}1$ und auf ${}X\setminus U$ den Wert ${}0$ besitzt. Daher stimmt ${}f$ auf ${}A$ und auf ${}X\setminus U$ mit der Indikatorfunktion zu ${}T$ überein und die Abweichungsmenge liegt in ${}U\setminus A$, dessen Maß höchstens ${}\epsilon$ ist.

$\Box$

Satz

Es sei ${}X$ ein normaler topologischer Raum und sei ${}\mu$ ein ${}\sigma$- endliches topologisch (kompakt) approximierbares Maß auf den Borel-Mengen von ${}X$.

Dann ist der Raum der ${}{\mathbb {K} }$-wertigen stetigen Funktionen mit einem kompakten Träger ein dichter Untervektorraum im Lebesgueraum ${}L^{p}(X,\mu )$.

Beweis

Es sei ${}V$ der topologische Abschluss des Raumes der stetigen Funktionen mit kompakten Träger in ${}L^{p}(X)$. Es ist ${}V=L^{p}(X)$ zu zeigen. Nach Lemma 20.8 gehören die Indikatorfunktionen zu messbaren Mengen mit endlichem Maß dazu. Wegen der Vektorraumeigenschaft gehören auch die einfachen Funktionen mit einer Trägermenge mit endlichem Maß dazu. Deshalb folgt die Aussage aus Lemma 20.5.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}X$ ein kompakter topologischer Raum und sei ${}\mu$ ein ${}\sigma$- endliches topologisch approximierbares Maß auf den Borel-Mengen von ${}X$.

Dann ist der Raum der ${}{\mathbb {K} }$-wertigen stetigen Funktionen ein dichter Untervektorraum im Lebesgueraum ${}L^{p}(X,\mu )$.

Beweis

Dies folgt direkt aus Satz 20.9.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}\mu$ ein Maß auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$, das durch eine Dichte bezüglich des Borel-Lebesgue-Maßes gegeben sei.

Dann ist der Raum der ${}{\mathbb {K} }$-wertigen stetigen Funktionen mit einem kompakten Träger ein dichter Untervektorraum im Lebesgueraum ${}L^{p}(\mathbb {R} ^{n},\mu )$.

Beweis

Dies folgt wegen Lemma 20.7 aus Satz 20.9.

$\Box$

Korollar

Im Lebesgueraum ${}L^{p}([a,b])$ bildet

der Raum ${}C([a,b],\mathbb {R} )$ einen dichten Untervektorraum.

Beweis

Dies folgt direkt aus Korollar 20.10.

$\Box$

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