Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Klausur mit Lösungen

Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

Der positive Teil einer Funktion
$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R} ,$

wobei ${}M$ eine Menge bezeichnet.
Das Bildmaß unter einer messbaren Abbildung
$\varphi \colon M\longrightarrow N$

von einem Maßraum ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ in einen Messraum ${}(N,{\mathcal {B}})$ .
Ein translationsinvariantes Maß auf ${}(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))$ .
Der Limes superior zu einer reellen Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ .
Ein überdeckungskompakter topologischer Raum.
Zwei in einem Punkt ${}P\in M$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$ tangential äquivalente differenzierbare Kurven
$\gamma _{1},\gamma _{2}\colon I\longrightarrow M$

(dabei sei ${}0\in I$ ein offenes reelles Intervall und ${}\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)=P$ ).
Die zurückgezogene Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ zu einer Differentialform ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(M)$ bezüglich einer stetig differenzierbaren Abbildung ${}\varphi \colon L\rightarrow M$ zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${}L$ und ${}M$ .
Die kanonische Volumenform auf einer orientierten riemannschen Mannigfaltigkeit ${}M$ .

Lösung

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

Der positive Teil einer Funktion
$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R} ,$

wobei ${}M$ eine Menge bezeichnet.
Das Bildmaß unter einer messbaren Abbildung
$\varphi \colon M\longrightarrow N$

von einem Maßraum ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ in einen Messraum ${}(N,{\mathcal {B}})$ .
Ein translationsinvariantes Maß auf ${}(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))$ .
Der Limes superior zu einer reellen Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ .
Ein überdeckungskompakter topologischer Raum.
Zwei in einem Punkt ${}P\in M$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$ tangential äquivalente differenzierbare Kurven
$\gamma _{1},\gamma _{2}\colon I\longrightarrow M$

(dabei sei ${}0\in I$ ein offenes reelles Intervall und ${}\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)=P$ ).
Die zurückgezogene Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ zu einer Differentialform ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(M)$ bezüglich einer stetig differenzierbaren Abbildung ${}\varphi \colon L\rightarrow M$ zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${}L$ und ${}M$ .
Die kanonische Volumenform auf einer orientierten riemannschen Mannigfaltigkeit ${}M$ .

Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

Das Lemma von Fatou.
Die Transformationsformel für Integrale zu einem ${}C^{1}$ -Diffeomorphismus
$\varphi \colon G\longrightarrow H,$

wobei ${}G$ und ${}H$
offene Teilmengen des ${}\mathbb {R} ^{n}$ sind.
Die Formel für die zurückgezogene Volumenform ${}\varphi ^{*}\omega$ zu ${}\omega =fdy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{n}$ unter einer stetig differenzierbaren Abbildung
$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$
Der Satz von Stokes für Mannigfaltigkeiten mit Rand.

Lösung

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$ - endlicher Maßraum und es sei
$f_{n}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

eine Folge von nichtnegativen messbaren numerischen Funktionen. Dann gilt

${}\int _{M}\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left(f_{n}\right)}\,d\mu \leq \operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left(\int _{M}f_{n}\,d\mu \right)}\,$
Für eine messbare Funktion
$f\colon H\longrightarrow \mathbb {R}$

ist ${}f$ genau dann integrierbar auf ${}H$ , wenn die Hintereinanderschaltung ${}f\circ \varphi$ auf ${}G$ integrierbar ist. In diesem Fall gilt

${}\int _{H}f\,d\lambda ^{n}=\int _{G}(f\circ \varphi )\vert {J(\varphi )}\vert \,d\lambda ^{n}\,,$
wobei ${}J(\varphi )$ die Determinante des totalen Differentials ${}D\varphi$ bezeichnet.
Es seien ${}U,V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offene Teilmengen, deren Koordinaten mit ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ bzw. mit ${}y_{1},\ldots ,y_{n}$ bezeichnet seien. Es sei
$\varphi \colon U\longrightarrow V$

eine differenzierbare Abbildung und es sei ${}\omega$ eine ${}n$ - Differentialform auf ${}V$ mit der Darstellung

${}\omega =fdy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{n}\,.$

Dann besitzt die zurückgezogene Form die Darstellung

${}\varphi ^{*}\omega =(f\circ \varphi )\cdot \det {\left({\left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}\right)}_{1\leq i,j\leq n}\right)}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,.$
Es sei ${}M$ eine ${}n$ - dimensionale orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand ${}\partial M$ und mit abzählbarer Basis der Topologie, und es sei ${}\omega$ eine stetig differenzierbare ${}(n-1)$ - Differentialform mit kompaktem Träger auf ${}M$ . Dann ist
${}\int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega \,.$

Aufgabe * (5 (2+2+1) Punkte)

Die Grundfläche eines Kochtopfes sei eine Kreisscheibe mit Radius ${}13$ cm, der Topf sei ${}10$ cm hoch und auf die Höhe von ${}7{,}7$ cm mit Wasser gefüllt. Eine Kartoffel wird in den Topf geworfen und taucht voll unter, wobei das Wasser auf eine Höhe von ${}8{,}8$ cm ansteigt.

a) Berechne das Volumen der Kartoffel (rechne mit ${}\pi =3{,}14$ ; Einheit nicht vergessen)!

b) Welche maßtheoretischen Gesetzmäßigkeiten wurden bei der Berechnung von a) verwendet?

c) Handelt es sich um eine große oder um eine kleine Kartoffel?

Lösung

a) Das Wasser steigt um ${}1{,}1$ cm, daher ist das Volumen der Kartoffel gleich

{}13\cdot 13\cdot 3{,}14\cdot 1{,}1=169\cdot 3{,}14\cdot 1{,}1=169\cdot 3{,}454=583{,}726\,

(in Kubikzentimetern).

b) Es wurde dabei die Formel für die Kreisfläche (für die Grundfläche des Topfes), die Produktformel für das Maß einer Produktmenge und das Additivitätsprinzip für disjunkte Teilmengen angewendet.

c) Wegen ${}8^{3}=512$ ist die Kartoffel volumengleich zu einem Würfel, dessen Kantenlänge größer als ${}8$ cm ist. Die Kartoffel ist also ziemlich groß.

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Volumen des von den Vektoren

{\begin{pmatrix}2\\0\\0\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\-1\\2\\0\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}-1\\0\\2\\1\end{pmatrix}}

im ${}\mathbb {R} ^{4}$ erzeugten Parallelotops (in dem von diesen Vektoren erzeugten Unterraum).

Lösung

Sei

v_{1}={\begin{pmatrix}2\\0\\0\\1\end{pmatrix}},\,v_{2}={\begin{pmatrix}1\\-1\\2\\0\end{pmatrix}}{\text{ und }}v_{3}={\begin{pmatrix}-1\\0\\2\\1\end{pmatrix}}.

Die Skalarprodukte haben die Werte

\left\langle v_{1},v_{1}\right\rangle =5,\,\left\langle v_{2},v_{2}\right\rangle =6,\,\left\langle v_{3},v_{3}\right\rangle =6,,

\left\langle v_{1},v_{2}\right\rangle =2,\,\left\langle v_{1},v_{3}\right\rangle =-1,\,\left\langle v_{2},v_{3}\right\rangle =3.

Die Determinante der Matrix

{\begin{pmatrix}5&2&-1\\2&6&3\\-1&3&6\end{pmatrix}}

ist

{}180-6-6-6-45-24=93\,.

Das Volumen des Parallelotops ist also ${}{\sqrt {93}}$ .

Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei ${}X$ ein Messraum und es sei

f_{n}\colon X\longrightarrow \mathbb {R}

( ${}n\in \mathbb {N}$ ) eine Folge von messbaren Funktionen, wobei ${}\mathbb {R}$ die ${}\sigma$ - Algebra der Borelmengen trägt. Es sei ${}a\in \mathbb {R}$ . Zeige, dass die Menge

{}M={\left\{x\in X\mid a{\text{ ist ein H}}{\ddot {\rm {a}}}{\text{ufungspunkt der Folge }}{\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right\}}\,

eine messbare Teilmenge von ${}X$ ist.

Lösung

Die Folge ${}{\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ besitzt genau dann ${}a$ als einen Häufungspunkt, wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ unendlich viele Folgenglieder in ${}[a-\epsilon ,a+\epsilon ]$ gibt. Dies ist äquivalent dazu, dass es zu jedem ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ und jedem ${}m\in \mathbb {N} _{+}$ ein ${}n\geq m$ gibt mit

f_{n}(x)\in [a-{\frac {1}{k}},a+{\frac {1}{k}}].

Wir definieren

M_{k,n}={\left\{x\in X\mid \vert {f_{n}(x)-a}\vert \leq {\frac {1}{k}}\right\}}.

Mit dieser Bezeichnung ist

M=\bigcap _{k}(\bigcap _{m}(\bigcup _{n\geq m}M_{k,n})).

Die Menge ${}M_{k,n}$ ist das Urbild des abgeschlossenen Intervalls ${}[a-{\frac {1}{k}},a+{\frac {1}{k}}]$ unter der messbaren Abbildung ${}f_{n}$ , also messbar. Daher ist für jedes ${}m\in \mathbb {N}$ die abzählbare Vereinigung ${}\bigcup _{n\geq m}M_{k,n}$ messbar. Somit sind auch die abzählbaren Durchschnitte ${}\bigcap _{m}(\bigcup _{n\geq m}M_{k,n})$ und ${}M=\bigcap _{k}(\bigcap _{m}(\bigcup _{n\geq m}M_{k,n}))$ messbare Teilmengen.

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Integral zur Funktion

{}f(r,s,t)=s^{2}t+r\cos t\,

über dem Einheitswürfel ${}W=[0,1]^{3}$ .

Lösung

Aufgrund des Satzes von Fubini ist

{}{\begin{aligned}\int _{W}s^{2}t+r\cos t\,d\lambda ^{3}&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\left(s^{2}t+r\cos t\right)}drdsdt\\&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\left(rs^{2}t+{\frac {1}{2}}r^{2}\cos t\right)}|_{0}^{1}dsdt\\&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\left(s^{2}t+{\frac {1}{2}}\cos t\right)}dsdt\\&=\int _{0}^{1}{\left({\frac {1}{3}}s^{3}t+s{\frac {1}{2}}\cos t\right)}|_{0}^{1}dt\\&=\int _{0}^{1}{\left({\frac {1}{3}}t+{\frac {1}{2}}\cos t\right)}dt\\&={\left({\frac {1}{6}}t^{2}+{\frac {1}{2}}\sin t\right)}|_{0}^{1}\\&={\frac {1}{6}}+{\frac {1}{2}}\sin 1.\end{aligned}}

Aufgabe * (3 (2+1) Punkte)

Wir betrachten im ${}\mathbb {R} ^{3}$ die drei Vektoren

{\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\2\\-2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}x\\5\\7\end{pmatrix}}.

a) Wie muss man ${}x$ wählen, damit diese drei Vektoren die Standardorientierung des ${}\mathbb {R} ^{3}$ repräsentieren?

b) Wie muss man ${}x$ wählen, damit diese drei Vektoren die der Standardorientierung entgegengesetzte Orientierung repräsentieren?

Lösung

a) Die Vektoren repräsentieren die Standardorientierung genau dann, wenn ihre Determinante positiv ist. Diese ist

{}\det {\begin{pmatrix}1&0&x\\2&2&5\\3&-2&7\end{pmatrix}}=14-4x-6x+10=-10x+24\,,

und dies ist positiv genau dann, wenn ${}x<2,4$ ist.

b) Die entgegengesetzte Orientierung liegt genau dann vor, wenn die Determinante negativ ist, und dies ist genau bei ${}x>2,4$ der Fall.

Aufgabe * (10 (2+8) Punkte)

Sei

S={\left\{P\in \mathbb {R} ^{3}\mid \Vert {P}\Vert =1\right\}}

die Einheitssphäre. Zu ${}v=(a,b,c)\neq 0$ ist

E_{v}={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid ax+by+cz=0\right\}}

eine Ebene durch den Nullpunkt, die einen Großkreis (einen „Äquator“) und zwei offene Halbsphären auf ${}S$ definiert.

a) Beschreibe zu ${}v=(a,b,c)\neq 0$ den zugehörigen Großkreis und die beiden Halbsphären mit Gleichungen bzw. mit Ungleichungen.

b) Zeige, dass man ${}S$ nicht mit drei offenen Halbsphären überdecken kann.

Lösung

a) Der Großkreis ist

G={\left\{(x,y,z)\in S\mid ax+by+cz=0\right\}}

und die beiden offenen Halbsphären sind

U_{+}={\left\{(x,y,z)\in S\mid ax+by+cz>0\right\}}

bzw.

U_{-}={\left\{(x,y,z)\in S\mid ax+by+cz<0\right\}}.

b) Für jede offene Halbkugel ${}U$ und den zugehörigen Großkreis ${}G$ ist ${}U\cap G=\emptyset$ . Der maximale Abstand von zwei Punkten ${}P,Q\in S$ ist ${}2$ , und dies ist genau dann der Fall, wenn die beiden Punkte gegenüber (antipodal) liegen, wenn also ihre Verbindungsgerade durch den Kugelmittelpunkt geht (also bei ${}Q=-P$ ). Ein solches antipodale Paar liegt nicht auf einer offenen Halbsphäre, da bei ${}P=(x,y,z)$ und ${}P\in U_{+}$ ja ${}ax+by+cz>0$ und daher ${}a(-x)+b(-y)+c(-z)<0$ gilt, also ${}-P\in U_{-}$ .

Wir nehmen nun an, dass es eine offene Überdeckung

S\subseteq U_{1}\cup U_{2}\cup U_{3}

mit drei offenen Halbsphären ${}U_{1},U_{2},U_{3}$ gibt (die entsprechenden Ebenen und Großkreise seien mit ${}E_{i}$ bzw. ${}G_{i}$ bezeichnet). Wegen ${}U_{1}\cap G_{1}=\emptyset$ folgt

G_{1}\subseteq U_{2}\cup U_{3}.

Der Durchschnitt ${}G_{1}\cap E_{2}$ enthält mindestens zwei antipodale Punkte ${}P$ und ${}-P$ Dabei ist ${}P,-P\not \in U_{2}$ . Da ${}U_{3}$ nach der Vorüberlegung kein antipodales Punktepaar enthält, gehört einer dieser Punkte auch nicht zu ${}U_{3}$ und wir haben einen Widerspruch.

Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}P\in M$ ein Punkt. Es sei ${}0\in I$ ein offenes reelles Intervall und es seien

\gamma _{1},\gamma _{2}\colon I\longrightarrow M

zwei differenzierbare Kurven mit ${}\gamma _{1}(0)=P=\gamma _{2}(0)$ . Zeige, dass ${}\gamma _{1}$ und ${}\gamma _{2}$ genau dann tangential äquivalent in ${}P$ sind, wenn für jede Karte

\alpha \colon U\longrightarrow V

mit

{}P\in U

und

{}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}

die Gleichheit

{}(\alpha \circ (\gamma _{1}{|}_{\gamma _{1}^{-1}(U)}))'(0)=(\alpha \circ (\gamma _{2}{|}_{\gamma _{2}^{-1}(U)}))'(0)\,

gilt.

Lösung

Die beiden Kurven sind nach Definition tangential äquivalent, wenn es eine Karte

\alpha \colon U\longrightarrow V

mit ${}P\in U$ und ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen gibt derart, dass die Gleichheit

{}(\alpha \circ \gamma _{1}{|}_{\gamma _{1}^{-1}(U)})'(0)=(\alpha \circ \gamma _{2}{|}_{\gamma _{2}^{-1}(U)})'(0)\,

gilt. Wir müssen zeigen, dass die entsprechende Gleichheit für jede Karte

\beta \colon U'\longrightarrow V'

mit ${}P\in U'$ gilt. Dabei ändern sich diese Werte nicht, wenn man zu einer kleineren offenen Umgebung von ${}P$ und einem kleineren offenen Intervall von ${}0$ übergeht. Wir können also davon ausgehen, dass ${}U=U'$ ist, dass die Bilder von ${}\gamma _{1}$ und ${}\gamma _{2}$ in ${}U$ liegen und dass es auf ${}U$ zwei Karten

\alpha _{1}\colon U\longrightarrow V_{1}

und

\alpha _{2}\colon U\longrightarrow V_{2}

gibt. Dann folgt aus

{}(\alpha _{1}\circ \gamma _{1})'(0)=(\alpha _{1}\circ \gamma _{2})'(0)\,

nach der Kettenregel unter Verwendung der Differenzierbarkeit der Übergangsabbildung ${}\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}$ sofort

{}{\begin{aligned}(\alpha _{2}\circ \gamma _{1})'(0)&=((\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1})\circ (\alpha _{1}\circ \gamma _{1}))'(0)\\&={\left(D(\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1})\right)}_{\alpha _{1}(P)}{\left((\alpha _{1}\circ \gamma _{1})'(0)\right)}\\&={\left(D(\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1})\right)}_{\alpha _{1}(P)}{\left((\alpha _{1}\circ \gamma _{2})'(0)\right)}\\&=(\alpha _{2}\circ \gamma _{2})'(0).\end{aligned}}

Aufgabe * (7 (2+3+2) Punkte)

Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen

\gamma \colon [1,2]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t,t^{-1}),

und

\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(u,v)\longmapsto (u^{2},uv,-u+v^{2}),

und die Differentialform

{}\omega =xdx-zdy+dz\,

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$ .

a) Berechne die zurückgezogene Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$ .

b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ zum Weg ${}\gamma$ .

c) Berechne (ohne Bezug auf b)) das Wegintegral zur Differentialform ${}\omega$ zum Weg ${}\varphi \circ \gamma$ .

Lösung

a) Die zurückgezogene Differentialform ist

{}{\begin{aligned}\varphi ^{*}(xdx-zdy+dz)&=u^{2}du^{2}-(-u+v^{2})duv+d(-u+v^{2})\\&=2u^{3}du+(u-v^{2})(vdu+udv)-du+2vdv\\&=(2u^{3}+uv-v^{3}-1)du+(u^{2}-uv^{2}+2v)dv.\end{aligned}}

b) Das Wegintegral ist

{}{\begin{aligned}\int _{1}^{2}(2t^{3}+1-t^{-3}-1)dt+(t^{2}-t^{-1}+2t^{-1})dt^{-1}&=\int _{1}^{2}(2t^{3}-t^{-3})dt+(t^{2}+t^{-1})dt^{-1}\\&=\int _{1}^{2}(2t^{3}-t^{-3})dt-(1+t^{-3})dt\\&=\int _{1}^{2}(2t^{3}-2t^{-3}-1)dt\\&={\left({\frac {1}{2}}t^{4}+t^{-2}-t\right)}|_{1}^{2}\\&=8+{\frac {1}{4}}-2-{\frac {1}{2}}-1+1\\&=5+{\frac {3}{4}}.\end{aligned}}

c) Der verknüpfte Weg ist

{}\psi (t)=(t^{2},1,-t+t^{-2})\,.

Somit ist

{}{\begin{aligned}\int _{1}^{2}\psi ^{*}(xdx-zdy+dz)&=\int _{1}^{2}t^{2}dt^{2}+d(-t+t^{-2})\\&=\int _{1}^{2}(2t^{3}-1-2t^{-3})dt\\&=5+{\frac {3}{4}}.\end{aligned}}

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne die äußere Ableitung ${}d\omega$ der Differentialform

\omega =e^{xz}dx\wedge dy-xyzdx\wedge dz+(\sin(\cos(xy))+y^{10}z^{100})dy\wedge dz

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$ .

Lösung

Es ist

{}{\begin{aligned}d\omega &=xe^{xz}dz\wedge dx\wedge dy-xzdy\wedge dx\wedge dz\\&\,-y\sin(xy)\cos(\cos(xy))dx\wedge dy\wedge dz\\&=(xe^{xz}+xz-y\sin(xy)\cos(\cos(xy)))dx\wedge dy\wedge dz.\end{aligned}}

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz von Green für ein Dreieck ${}D$ mit den Eckpunkten ${}P_{1},P_{2},P_{3}\in \mathbb {R} ^{2}$ und für die Differentialform ${}xdy$ .

Lösung

Es seien

P_{1}={\begin{pmatrix}a_{1}\\b_{1}\end{pmatrix}},\,P_{2}={\begin{pmatrix}a_{2}\\b_{2}\end{pmatrix}}{\text{ und }}P_{3}={\begin{pmatrix}a_{3}\\b_{3}\end{pmatrix}}

die drei Eckpunkte. Wegen ${}d(xdy)=dx\wedge dy$ ist das Integral zu dieser Flächenform über ${}D$ gleich dem Flächeninhalt des Dreiecks. Dieses Dreieck wird von ${}P_{1}$ aus von den beiden Vektoren ${}{\begin{pmatrix}a_{2}-a_{1}\\b_{2}-b_{1}\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}a_{3}-a_{1}\\b_{3}-b_{1}\end{pmatrix}}$ aufgespannt. Der Flächeninhalt ist nach der Determinantenformel für ein Parallelotop somit gleich

{}{\frac {1}{2}}\vert {(a_{2}-a_{1})(b_{3}-b_{1})-(b_{2}-b_{1})(a_{3}-a_{1})}\vert ={\frac {1}{2}}\vert {a_{2}b_{3}-a_{2}b_{1}-a_{1}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{1}b_{2}+a_{3}b_{1}}\vert \,.

Wenn die beiden Vektoren die Standardorientierung repräsentieren, was wir von nun an annehmen, so kann man den Betrag weglassen.

Wir berechnen nun das Wegintegral zu ${}xdy$ entlang des gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen Dreiecksrandes. Dabei geht der Weg von ${}P_{1}$ nach ${}P_{2}$ , dann nach ${}P_{3}$ und zurück zu ${}P_{1}$ (dies entspricht dem entgegengesetzten Uhrzeigersinn bei der fixierten Orientierung). Diese linearen Wege sind (jeweils auf dem Einheitsintervall definiert)