Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/19/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 2 2 3 5 2 3 4 5 3 4 6 10 4 2 3 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Primzahl.
  2. Die Konvergenz einer reellen Folge gegen .
  3. Ein lokales Minimum einer Funktion

    ( eine Teilmenge) in einem Punkt .

  4. Der Grenzwert zu einer auf definierten Funktion

    in einem Punkt .

  5. Die Ableitungsfunktion zu einer differenzierbaren Funktion .
  6. Die transponierte Matrix zu einer -Matrix .


Lösung

  1. Eine natürliche Zahl heißt eine Primzahl, wenn die einzigen natürlichen Teiler von ihr und sind.
  2. Die Konvergenz gegen bedeutet, dass es zu jedem reellen ein derart gibt, dass für alle die Abschätzung

    gilt.

  3. Man sagt, dass in ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung

    gilt.

  4. Die reelle Zahl heißt Grenzwert von in , wenn für jede Folge in , die gegen konvergiert, auch die Bildfolge gegen konvergiert.
  5. Die Ableitungsfunktion ist diejenige Funktion, die jedem Punkt die Ableitung zuordnet.
  6. Man nennt die Matrix

    die transponierte Matrix zu .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Rechenregeln für stetige Funktionen
  2. Die Taylor-Formel für eine -mal differenzierbare Funktion
    auf einem reellen Intervall für einen inneren Punkt .
  3. Der Festlegungssatz für lineare Abbildungen.


Lösung

  1. Unter der vorausgesetzten Stetigkeit sind auch die Funktionen

    stetig. Für eine Teilmenge , auf der keine Nullstelle besitzt, ist auch die Funktion

    stetig.
  2. Zu jedem Punkt gibt es ein mit
  3. Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Es sei , , eine Basis von und es seien , , Elemente in . Dann gibt es genau eine lineare Abbildung
    mit


Aufgabe (2 Punkte)

wurde ermordet. Es gelten folgende Sachverhalte.

  1. Der Mörder ist oder oder oder .
  2. Wenn der Mörder ist, dann ist nicht der Mörder oder ist der Mörder.
  3. sind alle verschieden.
  4. Es gibt genau einen Mörder.
  5. Wenn nicht der Mörder ist, dann ist nicht der Mörder.
  6. ist genau dann der Mörder, wenn der Mörder ist.

Wer ist der Mörder?


Lösung

Aus (6), (3) und (4) folgt, dass und beide nicht der Mörder sind, denn sonst wären beide der Mörder. Nach (5) ist somit auch nicht der Mörder. Wegen (1) muss also der Mörder sein. ((2) wird nicht verwendet)


Aufgabe (2 Punkte)

Heinz Ngolo und Mustafa Müller wollen wissen, wie viele Kaulquappen sich im Teich im Wald befinden. Der Teich ist einen Meter tief und ist quadratisch mit einer Seitenlänge von zehn Metern, die Kaulquappen sind darin gleichmäßig verteilt. Heinz hat eine Teekanne dabei, in die ein halber Liter Wasser hineinpasst. Sie trinken den Tee leer und füllen die Kanne mit Teichwasser. Sie zählen, dass in der Kanne genau Kaulquappen sind und schütten alles zurück. Wie viele Kaulquappen befinden sich im Teich?


Lösung

Der Teich enthält Kubikmeter Wasser. In einen Kubikmeter passen Liter und somit der Inhalt von Teekannen. In den Teich passen also

Teekannen. Somit befinden sich im Teich ca.

Kaulquappen.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

eine surjektive Abbildung. Zeige, dass es eine Teilmenge derart gibt, dass man als Abbildung

auffassen kann ( und unterscheiden sich nur hinsichtlich des Definitionsbereiches) und dass bijektiv ist.


Lösung

Wegen der Surjektivität von gibt es zu jedem mindestens ein mit . Wir wählen nun zu jedem ein solches zugehöriges . Es sei die Vereinigung all dieser gewählten . Die auf eingeschränkte Abbildung

ist nach wie vor surjektiv, da ja jedes von einem (dem gewählten) erreicht wird. Die Abbildung ist injektiv, da es zu jedem in nur das eine gewählte Urbild gibt. Insgesamt ist also bijektiv.


Aufgabe (5 (3+2) Punkte)

Wir behaupten, dass die Summe von vier aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen durch teilbar ist.

  1. Beweise diese Aussage mit vollständiger Induktion.
  2. Beweise diese Aussage ohne vollständige Induktion.


Lösung

Eine ungerade natürliche Zahl besitzt die Form mit einer natürlichen Zahl . Vier aufeinanderfolgende Zahlen sind damit .

  1. Induktionsbeweis: Für geht es um

    was durch teilbar ist. Sei nun die Vierersumme der aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen beginnend mit ein Vielfaches der . Es ist zu zeigen, dass dies auch für die Vierersumme der aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen beginnend mit gilt. Es ist

    so dass diese Zahl wieder ein Vielfaches der ist.

  2. Es ist
    so dass ein Vielfaches der vorliegt.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass in einem Körper zu jedem Element das Element mit eindeutig bestimmt ist.


Lösung

Sei mit vorgegeben. Es seien und Elemente mit . Dann ist

Also ist .


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei . Zeige


Lösung

Es ist


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Lösungsmenge in für die Ungleichung


Lösung

Wir analysieren die Ungleichung

abhängig davon, ob die Beträge positiv oder negativ zu nehmen sind. Es ist

genau dann, wenn ist, und es ist

genau dann, wenn ist. Wegen führt dies auf die folgenden Fälle.

  1. Dann muss man die Bedingung

    betrachten, also

    bzw.

    Daher gehört zur Lösungsmenge.

  2. Dann muss man die Bedingung

    betrachten, also

    bzw.

    also

    Wegen

    führt dies auf die Lösungen .

  3. Dann muss man die Bedingung

    betrachten, die auf

    führt. Also in diesem Fall automatisch erfüllt ist. Daher gehört zur Lösungsmenge.

Die gesamte Lösungsmenge besteht daher aus allen mit oder .


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die Folge, die durch die Folgenglieder

gegeben ist. Zeige, dass dies eine Nullfolge ist.


Lösung

Wir betrachten zusätzlich die Folge

Beide Folgen sind streng fallend, da sich jedes Glied aus dem Vorgängerglied durch einen Faktor ergibt. Da sie positiv sind, müssen nach [[Reelle Zahlen/Folge/Beschränkt monoton/Konvergiert/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Reelle Zahlen/Folge/Beschränkt monoton/Konvergiert/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021))]] die beiden Folgen konvergieren, sagen wir gegen bzw. . Die Produktfolge ist

Diese Folge konvergiert gegen , somit ist

nach Lemma 8.1 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021))  (2). Ferner ist

da man die beteiligten Faktoren untereinander vergleichen kann. Somit ist

und daher ist


Aufgabe (3 Punkte)

Entscheide, ob die reelle Folge

(mit ) in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Lösung

Wir erweitern mit und erhalten

Folgen der Form , , konvergieren gegen , nach den Rechengesetzen für konvergente Folgen konvergiert diese Folge also gegen .


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei , , eine Intervallschachtelung in . Zeige, dass der Durchschnitt

aus genau einem Punkt besteht.


Lösung

Es sei beliebig gewählt. Wir behaupten, dass dies eine Cauchy-Folge ist. Zu gegebenem sei derart, dass

Für ist dann

da ja ist. Es sei der Limes dieser Cauchy-Folge. Wäre für ein , so wäre

(oder ), doch wegen der Konvergenz der Folge gegen würden dann auch die Folgenglieder für hinreichend groß echt unterhalb von und damit von liegen, im Widerspruch zu . Also ist . Würden zwei Zahlen zum Durchschnitt aller Intervalle gehören, so wäre

für alle im Widerspruch dazu, dass die Intervalllängen gegen konvergieren.


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Satz von Bolzano-Weierstraß.


Lösung

Die Folge sei durch

beschränkt. Wir definieren zuerst induktiv eine Intervallhalbierung derart, dass in den Intervallen unendlich viele Folgenglieder liegen. Das Startintervall ist . Sei das -te Intervall bereits konstruiert. Wir betrachten die beiden Hälften

In mindestens einer der Hälften liegen unendlich viele Folgenglieder, und wir wählen als Intervall eine Hälfte mit unendlich vielen Gliedern. Da sich bei diesem Verfahren die Intervalllängen mit jedem Schritt halbieren, liegt eine Intervallschachtelung vor. Als Teilfolge wählen wir nun ein beliebiges Element

mit . Dies ist möglich, da es in diesen Intervallen unendlich viele Folgenglieder gibt. Diese Teilfolge konvergiert nach Aufgabe 8.21 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) gegen die durch die Intervallschachtelung bestimmte Zahl .


Aufgabe (10 (1+1+4+2+2) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

  1. Berechne die erste Ableitung von .
  2. Berechne die zweite Ableitung von .
  3. Erstelle (und beweise) eine Formel für die -te Ableitung von ().
  4. Bestimme das Taylorpolynom zu im Punkt vom Grad .
  5. Bestimme die Taylorreihe zu im Punkt .


Lösung

  1. Es ist
  2. Es ist
  3. Wir behaupten

    Dies beweisen wir durch Induktion nach . Der Induktionsanfang ist durch Aufgabenteil (1) gesichert (das leere Produkt ist ). Der Induktionsschluss ergibt sich durch

  4. Das Taylorpolynom vom Grad mit Entwicklungspunkt ist
  5. Aus der Formel für die Ableitungen folgt, dass der -te Koeffizient der Taylorreihe für gleich

    ist, also ist die Taylorreihe gleich


Aufgabe (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem


Lösung

Wir eliminieren zuerst die Variable , indem wir die zweite und die dritte Gleichung übernehmen und hinzunehmen. Dies führt auf

Nun eliminieren wir die Variable , indem wir (bezogen auf das vorhergehende System) und ausrechnen. Dies führt auf

Mit ergibt sich

und

Rückwärts gelesen ergibt sich

und


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei die Menge aller reellen -Matrizen

die die Bedingung

erfüllen. Zeige, dass kein Untervektorraum im Raum aller -Matrizen ist.


Lösung

Die beiden Matrizen und gehören offenbar zu . Ihre Summe ist

und für diese Summe ist der entscheidende Ausdruck gleich

Die Teilmenge ist also nicht unter Addition abgeschlossen und kann daher kein Untervektorraum des Matrizenraums sein.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme, ob die reelle Matrix

trigonalisierbar und ob sie diagonalisierbar ist.


Lösung

Das charakteristische Polynom der Matrix ist

Damit ist die Matrix jedenfalls trigonalisierbar. Zur Frage die Diagonalisierbarkeit betrachten wir den Eigenwert . Der Rang von

ist offenbar und somit ist der Eigenraum eindimensional. Daher ist die geometrische Vielfachheit echt kleiner als die algebraische Vielfachheit und die Matrix ist nach [[Endomorphismus/Diagonalisierbar/Algebraische und geometrische Vielfachheit/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Endomorphismus/Diagonalisierbar/Algebraische und geometrische Vielfachheit/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021))]] nicht diagonalisierbar.