Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/30/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Punkte 3 3 2 2 2 4 5 4 5 6 3 2 4 7 3 1 2 2 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Vereinigung der Mengen und .
  2. Eine beschränkte Teilmenge von reellen Zahlen.
  3. Eine fallende reelle Folge.
  4. Die eulersche Zahl .
  5. Der Spaltenrang einer -Matrix über einem Körper .
  6. Der Eigenraum zu und einem Endomorphismus

    auf einem -Vektorraum .


Lösung

  1. Die Menge

    heißt die Vereinigung der beiden Mengen.

  2. Eine Teilmenge der reellen Zahlen heißt beschränkt, wenn es reelle Zahlen mit gibt.
  3. Die reelle Folge heißt fallend, wenn für alle ist.
  4. Die eulersche Zahl ist durch

    definiert.

  5. Man nennt die Dimension des von den Spalten erzeugten Untervektorraums von den (Spalten-)Rang der Matrix .
  6. Man nennt

    den Eigenraum von zum Wert .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Zwischenwertsatz.
  2. Die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion.
  3. Der Satz über die Transformation eines linearen Gleichungssystems in Dreiecksgestalt.


Lösung

  1. Seien reelle Zahlen und sei eine stetige Funktion. Es sei eine reelle Zahl zwischen und . Dann gibt es ein mit .
  2. Für reelle Zahlen gilt
  3. Jedes (inhomogene) lineare Gleichungssystem über einem Körper lässt sich durch elementare Umformungen in ein äquivalentes lineares Gleichungssystem der Stufenform
    überführen, bei dem alle Startkoeffizienten von verschieden sind.


Aufgabe (2 Punkte)

Negiere den Satz „Kein Schwein ruft mich an und keine Sau interessiert sich für mich“ durch (eine) geeignete Existenzaussage(n).


Lösung

Es gibt ein Schwein, das mich anruft, oder es gibt eine Sau, die sich für mich interessiert.


Aufgabe (2 Punkte)

Es seien und Mengen. Beweise die Identität


Lösung

Sei . Dann ist und . Letzteres bedeutet oder . Im ersten Fall ist , im zweiten Fall , in beiden Fällen also .

Wenn umgekehrt gilt, so bedeutet dies oder . Im ersten Fall ist und , im zweiten Fall und . Also ist und und somit ist .


Aufgabe (2 Punkte)

Wenn man alles Gold der Welt zusammennimmt, so erhält man einen Würfel, dessen Seitenlänge Meter beträgt. Wenn man alles Gold von Deutschland zusammennimmt, so erhält man einen Würfel, dessen Seitenlänge Meter beträgt. Wie viel Prozent des weltweiten Goldes besitzt Deutschland?


Lösung

Der Anteil am weltweiten Gold ist

also etwa .


Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Abbildung

Ist injektiv, surjektiv bzw. bijektiv?


Lösung

Die Abbildung ist bijektiv und damit auch injektiv und surjektiv. Wir geben explizit eine Umkehrabbildung an, wir definieren

Für gerade ist

und für ungerade ist

Umgekehrt ist für bei

und bei


Aufgabe (5 Punkte)

Es seien und reelle Zahlen. Zeige


Lösung

Wegen

ist

Wir können also die Abschätzungen nachweisen, wenn wir mit multiplizieren. Die linke Abschätzung folgt somit aus

Für die rechte Abschätzung ist

nachzuweisen. Aus der obigen Abschätzung ergibt sich bzw. , was

bestätigt.


Aufgabe (4 Punkte)

Es stehen zwei Gläser auf einem Tisch, wobei das eine mit Rotwein und das andere mit Weißwein gefüllt ist, und zwar gleichermaßen. Nun wird ein kleineres leeres Glas (ein Fingerhut oder ein Schnapsglas) in das Rotweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Weißweinglas überführt und dort gleichmäßig vermischt (insbesondere gibt es Platz für diese Hinzugabe). Danach wird das kleinere Glas in das Weißweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Rotweinglas überführt. Befindet sich zum Schluss im Rotweinglas mehr Rotwein als im Weißweinglas Weißwein?


Lösung

Die Anteile stimmen überein. Die Weinmenge sei jeweils zu normiert und die Größe des kleineren Glases sei . Nach dem ersten Umfüllen befindet sich im Rotweinglas Rotwein (und kein Weißwein) und im Weißweinglas Weißwein und Rotwein. Im Weißweinglas beträgt der Weißweinanteil und der Rotweinanteil . Daher wird beim zweiten Umfüllen Weißwein und Rotwein transportiert. Der Weißweinanteil im Weißweinglas ist somit zum Schluss

und der Rotweinanteil im Rotweinglas ist


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass die komplexen Zahlen einen Körper bilden.


Lösung

Die Körpereigenschaften für die komponentenweise definierte Addition sind klar, da die entsprechenden Eigenschaften für gelten. Es ist

somit ist die das neutrale Element der Multiplikation. Die Kommutativität der Multiplikation ist ebenfalls von der Formel her klar. Zum Nachweis der Assoziativität der Multiplikation berechnen wir

Ebenso ist

Wenn

ist, so ist mindestens eine der Zahlen oder von verschieden und damit ist . Somit ist eine komplexe Zahl und es gilt

also besitzt jedes Element ein Inverses bezüglich der Multiplikation. Das Distributivgesetz folgt aus


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ein Körper und es seien verschiedene Elemente und Elemente gegeben. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom vom Grad gibt derart, dass für alle ist.


Lösung

Wir beweisen die Existenz und betrachten zuerst die Situation, wo ist für alle . Dann ist

ein Polynom vom Grad , das an den Stellen den Wert hat. Das Polynom

hat an diesen Stellen ebenfalls eine Nullstelle, zusätzlich aber noch bei den Wert . Nennen wir dieses Polynom . Dann ist

das gesuchte Polynom. An der Stelle gilt ja

für und .

Die Eindeutigkeit folgt aus Korollar 6.6 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)).


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne von Hand die Approximationen im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von zum Startwert .


Lösung

Das Heron-Verfahren ergibt der Reihe nach

und


Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine Folge von abgeschlossenen Intervallen ()

derart an, dass eine Nullfolge ist, dass aus einem einzigen Punkt besteht, wo aber keine Intervallschachtelung vorliegt.


Lösung

Für gerade sei

und für ungerade sei

Die Intervalllänge ist stets , also bilden diese eine Nullfolge. Es ist

Es handelt sich aber nicht um eine Intervallschachtelung, da das folgende Intervall nicht im Vorgängerintervall enthalten ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die Regel von l'Hospital.


Lösung

Zur Ermittlung des Grenzwertes benutzen wir das Folgenkriterium. Es sei eine Folge in , die gegen konvergiert. Zu jedem gibt es nach Satz 15.9 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)), angewandt auf bzw. , ein (im Innern von ) mit

Die Folge konvergiert ebenfalls gegen , so dass nach Voraussetzung die rechte Seite gegen konvergiert. Daher konvergiert auch die linke Seite gegen , und wegen bedeutet das, dass gegen konvergiert.


Aufgabe (7 (1+1+3+1+1) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

  1. Berechne die erste Ableitung von .
  2. Berechne die zweite Ableitung von .
  3. Erstelle (und beweise) eine Formel für die -te Ableitung von ().
  4. Bestimme das Taylorpolynom zu im Punkt vom Grad .
  5. Bestimme das Taylorreihe zu im Punkt .


Lösung

  1. Es ist
  2. Es ist
  3. Wir behaupten

    Dies beweisen wir durch Induktion nach . Der Induktionsanfang ist durch Aufgabenteil (1) gesichert. Der Induktionsschluss ergibt sich durch

  4. Das Taylorpolynom vom Grad mit Entwicklungspunkt ist
  5. Aus der Formel für die Ableitungen folgt, dass der -te Koeffizient der Taylorreihe gleich

    ist, also ist die Taylorreihe gleich


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral


Lösung

Mit der Substitution

ist das bestimmte Integral gleich


Aufgabe (1 Punkt)

Bei einem linearen Gleichungssystem führe das Eliminationsverfahren auf die Gleichung

Welche Folgerung kann man daraus schließen?


Lösung

Das bedeutet, dass das lineare Gleichungssystem keine Lösung besitzt.


Aufgabe (2 Punkte)

Gilt für quadratische Matrizen die erste binomische Formel?


Lösung

Die erste binomische Formel gilt nicht, da beispielsweise

aber

gilt.


Aufgabe (2 Punkte)

Berechne die Determinante der Matrix


Lösung

Es ist


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper und es sei ein -dimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung. Zeige, dass genau dann ein Eigenwert von ist, wenn eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist.


Lösung

Es sei eine beschreibende Matrix für , und sei vorgegeben. Es ist

genau dann, wenn die lineare Abbildung

nicht bijektiv (und nicht injektiv) ist (wegen Satz 26.11 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) und Lemma 25.11 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021))). Dies ist nach Lemma 27.11 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) und Lemma 24.14 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) äquivalent zu

was bedeutet, dass der Eigenraum zu nicht der Nullraum ist, also ein Eigenwert zu ist.